第一讲电场 §1、1
库仑定律和电场强度
1．1．1、电荷守恒定律
大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。
我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移，静电感应现象是电荷在同一物体上、不同部位间的转移。此外，液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定律。
1．1．2、库仑定律
真空中，两个静止的点电荷1q 和2q 之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积成正比，和它们之间距离r 的平方成正比；作用力的方向沿它们的连线，同号相斥，异号相吸
22
1r q q k
F =
式中k 是比例常数，依赖于各量所用的单位，在国际单位制（SI ）中的数值为：2
2
9
/109C m N k ??=（常
将k 写成
041πε=
k 的形式，0ε是真空介电常数，22120/1085.8m N C ??=-ε） 库仑定律成立的条件，归纳起来有三条：（1）电荷是点电荷；（2）两点电荷是静止或相对静止的；（3）只适用真
空。
条件（1）很容易理解，但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元（可视作点电荷）的集合，再利用叠加原理，求得非点电荷情况下，库仑力的大小。由于库仑定律给出的是一种静电场分布，因此在应用库仑定律时，可以把条件（2）放宽到静止源电荷对运动电荷的作用，但不能推广到运动源电荷对静止电荷的作用，因为有推迟效应。关于条件（3），其实库仑定律不仅适用于真空，也适用于导体和介质。当空间有了导体或介质时，无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷，此时必须考虑它们对源电场的影响，但它们也遵循库仑定律。
1．1．3、电场强度
电场强度是从力的角度描述电场的物理量，其定义式为
q F
E =
式中q 是引入电场中的检验电荷的电量，F 是q 受到的电场力。
借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为
2
2r Q
k q r Qq k q F E ===
式中r 为该点到场源电荷的距离，Q 为场源电荷的电量。
1．1．4、场强的叠加原理
在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强，等于每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。
原则上讲，有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。
例1、如图1-1-1（a ）所示，在半径为R 、体电荷密度为ρ的均匀带电球体内部挖去半径为R '的一个小球，小球球心O '与大球球心O 相距为a ，试求O '的电场强度，并证明空腔内电场均匀。 分析： 把挖去空腔的带电球看作由带电大球()ρ,R 与带异号电的小球()ρ-',R 构成。由公式求出它们各自在O '的电场强度，再叠加即得0'E 。这是利用不具有对称性的带电体的特点，把它凑成由若干具有对称性的带电体组成，使问题得以简化。
在小球内任取一点P ，用同样的方法求出P E ，比较P E 和0'E ，即可证明空腔内电场是均匀的。采用矢量表述，可使证明简单明确。
解： 由公式可得均匀带电大球（无空腔）在O '点的电场强度大球E ，
a k R kQa E
o ρπ343
,=='
大球，方向为O 指向O '。
同理，均匀带异号电荷的小球 ()ρ-',R 在球心O '点的电场强度0,='
o E 大球
所以
o E
o E '
=',大球小球
E
+，a
k o ρπ34
='
如图1-1-1（b ）所示，在小球内任取一点P ，设从O 点到O '点的
矢量为a ，P O '为b ，OP 为r 。则P 点的电场强度P E 为
p p P E E E 小球大球 +=,
?
?? ??-+=b k r k ρπρπ34
3
4 a
k b r k ρπρπ34)(34=-= 可见：0E E P
=
因P 点任取，故球形空腔内的电场是均匀的。 1．1．5．电通量、高斯定理、
（1）磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数，其大小为θsin BS =Φ，其中θ为截面与磁感线的夹角。与此相似，电通量是指穿过某一截面的电场线的条数，其大小为θ?sin ES =
θ为截面与电场线的夹角。
高斯定量：在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为
∑=i q k π?4 （
041πε=
k ） Nm C /1085.82120
-?=ε为真空介电常数
式中k 是静电常量，
∑i q
为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少高等数学知识，因此选取的高斯面即闭合曲面，往往和电场线垂直或平行，这样便于电通量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求，但笔者认为简单了解高斯定律的内容，并利用高斯定律推导几种特殊电场，这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。
（2）利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ①无限长均匀带电直线的电场
图1-1-1（a ）
O
P
图1-1-1（b ）
l
图1-1-2（a ） 图1-1-2（b ）
一无限长直线均匀带电，电荷线密度为η，如图1-1-2（a ）所示。考察点P 到直线的距离为r 。由于带电直线无限长且均匀带电，因此直线周围的电场在竖直方向分量为零，即径向分布，且关于直线对称。取以长直线为主轴，半径为r ，长为l 的圆柱面为高斯面，如图1-1-2（b ），上下表面与电场平行，侧面与电场垂直，因此电通量
ηπππ??==??=∑kl q k l r E i 442
r k E η2=
②无限大均匀带电平面的电场
根据无限大均匀带电平面的对称性，可以判定整个带电平面上的电荷产生的电场的场强与带电平面垂直并指向两侧，在离平面等距离的各点场强应相等。因此可作一柱形高斯面，使其侧面与带电平面垂直，两底分别与带电平面平行，并位于离带电平面等距离的两侧如图1-1-3由高斯定律：
∑=?=i q k S E π?42 S k σπ?=4
σπk E 2=
S Q =
σ 式中σ为电荷的面密度，由公式可知，无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。
平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成，其间场强为E '，则由场强叠加原理可知
σπk E 4='
③均匀带电球壳的场强
有一半径为R ，电量为Q 的均匀带电球壳，如图1-1-4。由于电荷分布的对称性，故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性，因此可在球壳内外取同心球面为高斯面。对高斯面1而言： 0,0442
===?=∑E q k r E i ππ?；
对高斯面2：
r kQ
E kQ q k r E i ===?=∑,4442πππ?。
????
?=2r kQ
o E
R r R r ≥?
④球对称分布的带电球体的场强
推导方法同上，如图1-1-4， 对高斯面1，
3
332
,444R kQr
E Q R r k q k r E i ===?=∑πππ?；
对高斯面2，
22,444r kQ
E kQ q k r E i =
==?=∑πππ?。
?
???
?=2
3r kQ R kQr
E R r R r ≥<
⑤电偶极子产生的电场
真空中一对相距为l 的带等量异号电荷的点电荷系统()q q -+,，且l 远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，将电量q 与两点电荷间距l 的乘积定义为电偶极矩。
a.设两电荷连线中垂面上有一点P ，该点到两电荷连线的距离为r ，则P 点的场强如图1-1-5所示，其中
42
2
l r q k
E E +
==-+
4242cos 22
2
22
l r l l r q
k
E E +
?
+
==+θ
3
2
3
22
)
4
(r ql k l r ql
k
≈+=
b.若P '为两电荷延长线上的一点，P '到两电荷连线中点的距
离为r ，如图1-1-6所示，则
,
2,22
2
?
?? ?
?
+=?
?? ?
?
-=-+l r q
k
E l r q k
E ?
???
??????????? ??+-??? ??-=-=-+2
22121l r l r kq E E E
??
????????? ??
+-??? ??-=--2
2
2
2121r l r l r
q k
?
?? ??+-+≈r l r l r q k 112 3
2r ql k = c.若T 为空间任意一点，它到两电荷连线的中点的距离为r ，如图1-1-7所示，则⊥ql 在T 点产生的场强分量为
E
图1-1-3
图1-1-4
图
1-1-5
q
+r
-
⊥
P '
图1-1-6
//
图1-1-7
33sin 2r ql k r ql k
E ?
==⊥⊥，
由//ql 在T 点产生的场强分量为
33////cos 22r ql k
r ql k E ?==
故
,1cos 3232
//2+=+=⊥?r ql
k
E E E T
?
??δtan 21
cos 2sin tan //===⊥E E
例2、如图所示，在-d ≤x ≤d 的空间区域内（y ，z 方向无限延伸）均匀分布着密度为ρ的正电荷，此外均为真空
（1）试求x ≤d 处的场强分布；
（2）若将一质量为m ，电量为ρ-的带点质点，从x=d 处由静止释放，试问该带电质点经过过多长时间第一次到达x=0处。
解： 根据给定区域电荷分布均匀且对称，在y 、z 方向无限伸展的特点，我们想象存在这样一个圆柱体，底面积为S ，高为2x ，
左、右底面在x 轴上的坐标分别是-x 和x ，如图1-1-8所示。可以判
断圆柱体左、右底面处的场强必定相等，且方向分别是逆x 轴方向和顺x 轴方向。再根据高斯定理，便可求出坐标为x 处的电场强度。 （1）根据高斯定律x S k S E 242???=?ρπ。坐标为x 处的场
强：
x k E ρπ4=（x ≤d ），x ＞0时，场强与x 轴同
向，x ＜0时，
场强与x 轴反向。
（2）若将一质量为m 、电量为q -的带电质点置于此电场中，质点所受的电场力为：qx k qE F ρπ4-=-=（x ≤d ）
显然质点所受的电场力总是与位移x 成正比，且与位移方向相反，符合准弹性力的特点。质点在电场力的运动是简谐振动，振动的周期为
q k m
q k m T ρπρππ
==42 当质点从x=d 处静止释放，第一次达到x=0处所用的时间为
q k m
T T t ρπ44=
=
§1、2电势与电势差
1．2．1、 电势差、电势、电势能
电场力与重力一样，都是保守力，即电场力做功与具体路径无关，只取决于始末位置。我们把在电场中的
两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值，定义为这两点间的电势差，即
q W U AB
AB =
这就是说，在静电场内任意两点A 和B 间的电势差，在数值等于一个单位正电荷从A 沿任一路径移到B 的
过程中，电场力所做的功。反映了电场力做功的能力。即电势差仅由电场本身性质决定，与被移动电荷的电量无关；即使不移动电荷，这两点间的电势差依然存在。
如果我们在电场中选定一个参考位置，规定它为零电势点，则电场中的某点跟参考位置间的电势差就叫做该点的电势。通常我们取大地或无穷远处为零电势点。电势是标准量，其正负代表电势的高低，单位是伏特（V ）。
电势是反映电场能的性质的物理量，电场中任意一点A 的电势，在数值上等于一个单位正电荷A 点处所具有的电势能，因此电量为q 的电荷放在电场中电势为U 的某点所具有的电势能表示为qU =ε。
1．2．2、 几种常见带电体的电势分布 （1）点电荷周围的电势
如图1-2-1所示，场源电荷电量为Q ，在离Q 为r 的P 点处有一带电量为q 的检验电荷，现将该检验电荷由P 点移至无穷远处（取无穷远处为零电势），由于此过程中，所受电场力为变力，故将q 移动的整个过程理解为
由P 移至很近的1P （离Q 距离为1r ）点，再由1P 移至很近的
2P （离Q 距离为2r ）点……直至无穷远处。在每一段很小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表
示为：
()()()+-+-+-=232
2122112r r r Qq k r r r Qq k r r r Qq k W ……
()()()+-+-+-=
233
2122111r r r r kQq r r r r kQq r r rr kQq
……
+-+-+-=
3
2211r kQq
r kQq r kQq r kQq r kQq r kQq ……
r Qq k
= 所以点电荷周围任一点的电势可表示为：
r Q k
U =
式中Q 为场源电荷的电量，r 为该点到场源电荷的距离。 （2）均匀带电球壳，实心导体球周围及内部的电势。
由于实心导体球处于静电平衡时，其净电荷只分布在导体球的外表面，因此其内部及周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点电荷周围电场的分布完全相同，因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳周围的电势为。
r Q
k
U = r ＞R
式中Q 为均匀带电球壳的电量，R 为球壳的半径，r 为该点到球壳球心的距离。
在球壳上任取一个微元，设其电量为q ?，该微元在球心O 处产生的电势
R q
k U i ?=
。由电势叠加原理，
可
图1-1-8
P r 1r 2
r 图1-2-1
知O 点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和，
∑∑∑
?=?==q R k
R q k U U i 。
R kQ
U =
因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体，因而它们内部及表面的电势均为R kQ
。
?
????=R kQ
r kQ U )()(R r R r ≤≥
1．2．3、电势叠加原理
电势和场强一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场
中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电
势叠加原理。
例3、如图1-2-2所示，两个同心导体球，内球半径为1R ，外球是个球壳，内半
径为2R ，外半径3R 。在下列各种情况下求内外球壳的电势，以及壳内空腔和壳外空
间的电势分布规律。
（1）内球带q +，外球壳带Q +。 （2）内球带q +，外球壳不带电。 （3）内球带q +，外球壳不带电且接地。 （4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +。 解: 如图1-2-2所示，根据叠原理：
（1）1R 处有均匀的q +，2R 必有均匀的q -，3R 处当然有()q Q ++电荷，因此： 内球 ()3211R q Q k R q
k R q k
U +=-=
外球
()()33222R q Q k R q Q k R q
k R q k
U +=++-=
电势差
212112R q
k R q k
U U U -=-= 腔内
()32R q Q k
R q
k r q k U ++-=内 （1R ＜r ＜2R ） 壳外
()()33R q Q k R q Q k
r q
k r q k U +=++-=外 （r ＞3R ） （2）1R 处有q +，2R 处有q -，3R 处有q +，因此： 内球
3211R q k R q k R q k
U +-=
外球
33222R q k R q k R q k R q k
U =+-= 电势差
212112R q
k
R q k U U U -=-= 腔内
32R q
k
R q k r q k U +-=内 （1R ＜r ＜2R ） 壳外
r q k r q k r q k r q k
U =+-=外 （r ＞3R ）
（3）1R 处有q +，2R 处有q -，外球壳接地，外球壳02=U ，3R 处无电荷。
内球
211R q k R q k
U -= 电势差
212112R q
k
R q k U U U -=-= 腔内
2R q
k
r q k U -=内 （1R ＜r ＜2R ） 壳外 0=-=r q k r q k
U 外 （r ＞3R ）
（4）内球接地电势为零，内球带q '-，2R 处有q '+，3R 处有()q Q ++，先求q '，因为
()03
21='++'
+'-R q Q k R q k R q k
解得 ()31322121/R R R R R R R QR q -+='
内球 01=U 外球
()3222R q Q k R q k R q k
U '-+'
+'-=
()()2131322112/U R R R R R R R R kQ =-+-=
腔内
()32R q Q k
R q k r q k U '-'+'-=内 ()?
??
??--+=r R R R R R R R kQR 131322121（1R ＜r ＜2R ）
壳外
()()()r R R R R R R R R kQR R q Q k
r q k r q k
U 3132211233
-+-='-+'
+'-=外 1．2．4、匀强电场中电势差与场强的关系 场强大小和方向都相同的电场为匀强电场，两块带等量异种电荷的平板之间的电场
可以认为是匀强电场，它的电场线特征是平行、等距的直线。
场强与电势虽然都是反映场强本身性质特点的物理量，但两者之间没有相应的对应
联系，但沿着场强方向电势必定降低，而电势阶低最快的方向也就是场
强所指方向，在匀
图
1-2-2
强电场中，场强E 与电势差U 之间满足
Ed U =
这就是说，在匀强电场中，两点间的电势等于场强大小和这两点在沿场强方向的位移的乘积。
例4、半径为R 的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为σ的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势。
解： 设想填补面电荷密度亦为σ+的另半个球面如图1-2-3所示，则球内任一点的场强均为0，对原半球面开口处圆面上的任一点P 而言，也有0=P E ，而P E 是上、下两个半球在P 点产生场强上E 、下E 的合成。另据对称性易知，上E 、下E 的大小必定相等，
而上E 、下E 的合场强为零，说明上E 、下E 均垂直于半球开口平面，故在半球面带均匀电荷的情况下，它的开口圆面应为等势点，即圆面上任一点的电势都等于开口圆面圆心点处的电势。故
R
k R R k R Q k U U P σππσ222
0=??=?==
说明 虽然场强与电势是描述电场不同方面特性的两个物理量，它们之间没有必然的对应关系，但电势相
等的各点构成的等势面应与该处的场强方向垂直，利用这个关系可为求取场强或电势提供一条有用的解题路径。
§1. 3、电场中的导体与电介质
一般的物体分为导体与电介质两类。导体中含有大量自由电子；而电介质中各个分子的正负电荷结合得比较紧密。处于束缚状态，几乎没有自由电荷，而只有束缚电子当它们处于电场中时，导体与电介质中的电子均会逆着原静电场方向偏移，由此产生的附加电场起着反抗原电场的作用，但由于它们内部电子的束缚程度不同。使它们处于电场中表现现不同的现象。
1．3．1、 静电感应、静电平衡和静电屏蔽 ①静电感应与静电平衡
把金属放入电场中时，自由电子除了无规则的热运动外，还要沿场强反方向做定向移动，结果会使导体两个端面上分别出现正、负净电荷。这种现象叫做“静电感应”。所产生的电荷叫“感应电荷”。由于感应电荷的聚集，在导体内部将建立起一个与外电场方向相反的内电场（称附加电场），随着自由电荷的定向移动，感应电荷的不断增加，附加电场也不断增强，最终使导体内部的合场强为零，自由电荷的移动停止，导体这时所处的状态称为静电平衡状态。
处于静电平衡状态下的导体具有下列四个特点： （a ）导体内部场强为零； （b ）净电荷仅分布在导体表面上（孤立导体的净电荷仅分布在导体的外表面上）； （c ）导体为等势体，导体表面为等势面；
（d ）电场线与导体表面处处垂直，表面处合场强不为0。 ②静电屏蔽
静电平衡时内部场强为零这一现象，在技术上用来实现静电屏蔽。金属外壳或金属网罩可以使其内部不受外电场的影响。如图1-3-1所示，由于感应电荷的存在，金属壳外的电场线依然存在，此时，金属壳的电势高于零，但如图把外壳接地，金属壳外的感应电荷流入大地（实际上自由电子沿相反方向移动），壳外电场线消失。可
见，接地的金属壳既能屏蔽外场，也能屏蔽内场。
在无线电技术中，为了防止不同电子器件互相干扰，它们都装有金属外壳，在使用时，这些外壳都必须接地，如精密的电磁测量仪器都装有金属外壳，示波管的外部也套有一个金属罩就是为
了实现静电屏蔽，高压带电作用时工作人员穿的等电势服也是根据静电屏蔽的
原理制成。
1．3．2、 电介质及其极化 ①电介质
电介质分为两类：一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心是重合的，
这种电介质称为非极性分子电介质，如2CO 、4CH 等及所有的单质气体；另一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心也不相重合，这种电
介质称为极性分
子电介质，如O H 2、3NH 等。对于有极分子，由于分子的无规则热运动，不加外
电场时，分子的取向是混乱的（如图1-3-2），因此，不加外电场时，无论是极性分
子电介质，还是非极性分子电介质，宏观上都不显电性。
②电介质的极化
当把介质放入电场后，非极性分子正负电荷的中心被拉开，分子成为一个偶极子；极性分子在外电场作用下发生转动，趋向于有序排列。因此，无论是极性分子还是非极性分子，在外电场作用下偶极子沿外电场方向进行有序排列（如图1-3-3），在介质表面上出现等量异种的极化电荷（不能自由移动，也不能离开介质而移到其他物体上），这个过程称为极化。
极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的附加电场，因此与真空相比，电介质内部的电场要减弱，但又不能像导体一样可使体内场强削弱到处处为零。减弱的程度随电介质而不同，故物理上引入相对介电常数ε来表示电介质的这一特性，对电介质ε均大于1，对真空ε等于1，对空气ε可近似认为等于1。
真空中场强为0E 的区域内充满电介质后，设场强减小到E ，那么比值E E 0
就叫做这种电介质的介常数，用ε
表示，则
E E 0=
ε
引入介电常数ε后，极化电荷的附加电场和总电场原则上解决了。但实际上附加电场和总电场的分布是很复杂的，只有在电介质表现为各向同性，且对称性极强的情况下，才有较为简单的解。如：
点电荷在电介质中产生的电场的表达式为：
2r kQ E ε=
电势的表达式为：
r kQ U ε=
库仑定律的表达式为：
2
r kQq F ε= 例5、有一空气平行板电容器，极板面积为S ，与电池连接，极板上充有电荷0Q +和0Q -，断开电源后，保持两板间距离不变，在极板中部占
极板间的一半体
积的空间填满（相对）介电常数为ε的电介质，如图1-3-4所示。
求：
（1）图中极板间a 点的电场强度=a E ？ （2）图中极板间b 点的电场强度=b E ？
（3）图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷=1Q ？
（4）图中与空气接触的那部分正极板上的电荷=2Q ？
（5）图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷='1
Q ？
图
1-3-1 图1-3-2 ++
+-
--
E
图1-3-3
Q +0
Q - 图1-3-4
解： 设未插入电介质时平行板电容器的电容为0C ，则
（1）
??
????
??+=?==221
1000εQ d C Q d d U E a S kQ S kd d
Q dC Q 000041241212πεπεε?
+=??+=?+= （2）b a
E E =
（3）()000112Q d E C U C Q a +==
=εε
ε
（4）
()0
00211
21Q d E C U C Q b +===ε （5）因b a E E =故
24242
11Q
k Q Q k ππ='+ 解得 ()0
21111
Q Q Q Q +--=--='εε
负号表示上极板处的极化电荷为负。 1．3．3． 电像法
电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场，多用于求解在边界面（例如接地或保持电势不变的导体）前面有一个或一个以上点电荷的问题，在某些情况下，从边界面和电荷的几何位置能够推断：在所考察的区域外，适当放几个量值合适的电荷，就能够模拟所需要的边界条件。这些电荷称为像电荷，而这种用一个带有像电荷的、无界的扩大区域，来代替有界区域的实际问题的方法，就称为电像法。例如：
①一无限大接地导体板A 前面有一点电荷Q ，如图1-3-5所示，则导体板A 有（图中左半平面）的空间电场，可看作是在没有导体板A 存在情况下，由点电荷Q 与其像电荷-Q 所共同激发产生。像电荷—Q 的位置就是把导体板A 当作平面镜时，由电荷Q 在此镜中的像点位置。于是左半空间任一点的P 的电势为 ?
??
??'-=r r kQ U 11
式中r 和r '分别是点电荷Q 和像电荷-Q 到点P 的距离，并且
()2
2
2
2
2
2
2
2
2,z y x d r z y x r ++-='++=，此处d 是点电荷Q 到
导体板A 的距离。 电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证，定性分析可从电场线等效的角度去
说明。
②一半径为r 的接地导体球置于电荷q 的电场中，
点电荷到球心的距离为h ，球上感应电荷同点电荷q 之间的相互作用也可以用一像电荷q '替代，显然由对称性易知像电荷在导体球的球心O 与点电荷q 的连线上，设其电量为q '，离球心O 的距离为h '，如图1-3-6
所示，则对球面上任一点P ，其电势
,0cos 2cos 2222
2=????
??'-'+'
--+=θθ
h r h r q rh h r q k U
整理化简得
()()
θθcos 2cos 222222222rh q h r q h r q h r q '-+'='-'+
要使此式对任意θ成立，则必须满足
()()
222222h r q h r q +'='+
h q h q 22'='
解得
q
h r q h r h ='=',2 ③对（2）中情况，如将q 移到无限远处∞→h ，同时增
大q ，使在球心
处的电场2
0h q
k E =保持有限（相当于匀强电场的场强），这时，像电荷q '-对应
的
h r h 2='无限趋近球心，但2
32h q
r h r q h r h q =?=''保持有限，因而像电荷q '
和q '-在球心形成一个电偶极子，其电偶极矩
3E k r h q P
=''=。
无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场0E 可看作是均匀的，因此一个绝缘的金属球在
匀强电场中0E 受感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一个处在球心，电偶极矩为0
3E k r
的电偶极子。
例6、在距离一个接地的很大的导体板为d 的A 处放一个带电量为q -的点电荷（图1-3-7）。
（1）求板上感应电荷在导体内P 点（r PA =）产生的电场强度。
（2）求板上感应电荷在导体外P '点产生的电场强度，已知P '点与P 点以导体板右表面对称。 （3）求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体板表面垂直。 （4）求导体板上感应电荷对电荷q -的作用力，
（5）若切断导体板跟地的连接线，再把Q +电荷置于导体板上，试说明这部分Q +电荷在导体板上应如何分布才可以达到静电平衡（略去边缘效应）。
分析： 由于导体板很大且接地，因此只有右边表面才分布有正的感应电荷，而左边接地那一表面是没有感电荷的。静电平衡的条件是导体内场强为零，故P 点处的场强为零，而P 点处的零场强是导体外及表面电荷产生场强叠加的结果。
解： （1）因为静电平衡后导体内部合场强为零，所以感应电荷在P 点的场强感E 和q -在P 点的场强q
E -大小相等，方向相反，即
图
1-3-5
q
图1-3-7
q
图1-3-6
2
1r kq
E E q ==-感方向如图1-3-8乙，1r 是
q -到P 点的距
离。
（2）由于导体板接地，因此感应电荷分布在导体的右边。点P '处场生的场根据对称原理，可知感应电荷在导体外任意一强一定和感应电荷在对称点P ''处产生的场强镜像对称（如图
1-3-8丙），即P P E E '''=感感，而22r kq
E E q P =
=-''感，式中2r 为q -到P ''的距离，因此
22r kq E P ='
感，方向如图1-3-8丙所示。
（3）根据（2）的讨论将P '取在导体的外表面，此处的场强由q E -和P E '感叠加而成（如图1-3-8丁所示），
不难看出，这两个场强的合场强是垂直于导体表面的。
（4）在导体板内取一点和q -所在点A 对称的A '点，A '的场强由q E -和A E '感叠加而为零。由对称可知，A 处的A E 感和A E '感应是大小相等，方向相反的（如图1-3-8戍），所以q -所受的电场力大小为
()q d kq
q E q E F q A ?=
?=?=-2
2感
22
4d kq =
方向垂直板面向左。
（5）因为q E -和感E 在导体内处处平衡，所以+Q 只有均匀分布在导体两侧，才能保持导体内部场强处处为零。
从以上（2）、（3）、（4）的分析中可看出：导体外部的电场分布与等量异种电荷的电场分布完全相似，即感应电荷的作用和在与A 点对称的A '位置上放一个q +的作用完全等效，这就是所谓的“电像法”。
§1、4 电容器
1．4．1、 电容器的电容
电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置，与以化学能储存电能的蓄电池不同。
任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，都可以看成是一个电容器，电容器所带电荷Q 与它两板间电势差U 的比值，叫做电容器的电容，记作C ，即
U Q U =
电容的意义就是每单位电势差的带电量，显然C 越大，电容器储电本领越强，而电容是电容器的固有属性，
仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关，而与电容器的带电量无关。
电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类，按极片间所用的电介质，则有空气电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电解电容器等。
每个电容器的型号都标明两个重要数值：电容量和耐压值（即电容器所承受的最大电压，亦称击穿电压）。 1．4．2、几种常用电容器的电容
（1）平行板电容器 若两金属板平行放置，距离d 很小，两板的正对面积为S 、两极板间充满相对介电常
数为ε的电介质，即构成平行板电容器。
设平行板电容器带电量为Q 、则两极板间电势差
d
S Q k d k Ed U ?==
=επε
σ
π44
故电容
kd S U Q C πε4=
=
（2）真空中半径为R 的孤立导体球的电容 由公式可知，导体球的电势为：
R kQ
U =
因此孤立导体球的电容为
k R U Q C ==
地球半径很大，电容很大，容纳电荷的本领极强。 （3）同轴圆柱形电容器
高H 、半径1R 的导体圆柱外，同轴地放置高也为H 、内半径为
2R ＞1R 的导体筒，当H 2R >>时，便构成一个同轴圆柱形电容器。如果2R -1R 1R <<，则可将它近似处
理为平行板电容器，由公式可得其电容为
????
???-=≈≈==1231242R R D R R R kD RH kD RH C επεπ
（4）同心球形电容器
半径为1R 的导体球（或球壳）和由半径为2R 的导体球壳同心放置，便构成了同心球形电容器。
若同心球形电容器内、外球壳之间也充以介电常数为ε的电介质，内球壳带电量为Q ，外球壳带 -Q 电荷，则内、外球壳之间的电势差为
外内U U U -=
????
??---=2221R Q k R Q k R Q k R Q k
εεεε
????
??-=2111R R Q k ε 故电容
()k R R R R U Q C 122
1-=
=
ε
当∞→2R 时，同心球形电容器便成为孤立导体（孤立导分是指在该导体周围没有其他导体或带电体，或者这些物体都接地）球形电容器，设R R =1，则其电容为
k R
C ε=
q -++++++++
q
A '
感A E '感q -图1-3-8丁 图1-3-8 戍
若孤立导体外无电介质，则1=ε，即
k R C =
。 例8、如图2-4-1所示，两个竖直放置 的同轴导体薄圆筒，内筒半径
为R ，两筒间距为d ，筒高为L
()d R L >>>>，内筒通过一
个未知电容x C 的电容器与电动势U 足够大的直流电源的
正极连接，外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h 的A 、B 两点，其连线AB 与竖直的筒中央轴平行。在A 点有一质量为m 、电量为-Q 的带电粒子，它以0v 的初速率运动，且方向垂直于由A 点和筒中央轴选择的0
v 构成的平面。为了使此带电粒子能够经过B 点，试求所有可供
和x C 值。
分析： 带电粒子从A 点射出后，受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下，使带电粒子在竖直方向作自由落体运动；电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内，沿径向指向中央轴。为了使带电粒子能通过B 点，要求它在垂直中央轴的平面内以R 为半径作匀速圆周运动，这就要求电场力能提供适当的向心力，即对x C 有一定要求。为了使带电粒子经过B 点，还要求它从A 点沿AB 到达B 点的时间刚好等于带电粒子作圆周运动所需时间的整数倍，亦即对圆周运动的速度0v 有一定的要求。
解： 带电粒子重力作用下，从A 点自由下落至B 点所需的时间为
g h t 2=
带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内，作匀速圆周运动一圈所需的时间为
02v R T π=
为了使带电粒子经过B 点，要求
2,1,==n nT t ……
由以上三式，得
2,12220====
n g h
r n t Rn T R v πππ……
带电粒子作匀速圆周运动（速率0v ，半径R ）所需的向心力由电场力提供，电场力为
R m v F 20
=
此电场力由内外筒之间的电场提供。因d R >>，近似认为内外筒构成平行板电容器，其间是大小相同的
径向电场E ，设内外筒电势差为R U ，则带电粒子所受电场力应为
d QU QE F R
=
=
由以上两式，得
QR d mv U R 20
=
0v 代入，得
hQ Rdmg
n U R 222π=
2,1=n ……
因为内、外筒电容器R C 与x C 串联，故有
x x R R U C U C = U U U x R =+
解得
R R R x U U U C C -=
由公式可知，同轴圆柱形电容器电容
kd RL C R 2=
代入，得
()
RLmg n hQU k Lmg
R n C x 222222ππ-=
2,1=n …… 这就是全部可供选择的x C 。
1．4．3、 电容器的连接
电容器的性能有两个指标；电容和耐压值。在实际应用时，当这两个指标不能满足要求时，就要将电容器串联或并联使用。
（1）串联
几个电容器，前一个的负极和后一个的正极相连，这种连接方式称为电容器的串联。充电后各电容器的电量相同，即==21Q Q …=Q ；第一个电容器的正极与第n 个电容器的负极之间的电U 为各电容器电压i U 之和，
即∑==n
i i
U U 1，因此电容器串联可以增大耐压值。用一个电量为Q ，电压为U 的等效电容来代替上述n 个串联的电容器，则电容为
()n U U U Q U Q
C +?++==
21/
∑=-=+?++=n
i i n C C C C C 1
1211111
（2）并联
把n 个电容器的正极连在一起，负极连在一起，这种连接方式称为电容器的并联。充电后正极总电量Q 等
于各电容器正极电量i Q 之和，即
∑==n
i i
Q Q 1
；正极和负极之间的电压U 等于各电容器的电压i U ，即
()n i U U i ?==,2,1,。
用一个电量为Q 、电压为U 的等效电容器代替上述几个并联的电容器，则电容为
U Q U Q C n
i i
∑===1
u
图1-4-1
高中物理竞赛模拟试卷（一） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得 4 分，选不全的得 2 分，有错选或不答的得 0 分. 1.置于水平面的支架上吊着一只装满细砂的漏斗，让漏斗左、右摆动，于是桌面上漏下许多砂子，经过一段时间形成一砂堆，砂堆的纵剖面最接近下图Ⅰ-1中的哪一种形状 2.如图Ⅰ-2所示，甲乙两物体在同一光滑水平轨道上相向运动，乙上连有一段轻弹簧，甲乙相互作用过程中无机械能损失，下列说法正确的有 A.若甲的初速度比乙大，则甲的速度后减到 0 B.若甲的初动量比乙大，则甲的速度后减到0 C.若甲的初动能比乙大，则甲的速度后减到0 D.若甲的质量比乙大，则甲的速度后减到0 3.特技演员从高处跳下，要求落地时必须脚先着地，为尽量保证安全，他落地时最好是采用哪种方法 A.让脚尖先着地，且着地瞬间同时下蹲 B.让整个脚板着地，且着地瞬间同时下蹲 C.让整个脚板着地，且着地瞬间不下蹲 D.让脚跟先着地，且着地瞬间同时下蹲 4.动物园的水平地面上放着一只质量为M 的笼子，笼内有一只质量为 m 的猴子.当猴以某一加速度沿竖直柱子加速向上爬时，笼子对地面的压力为F 1；当猴以同样大小的加速度沿竖直柱子加速下滑时，笼子对地面的压力为 F 2（如图Ⅰ-3），关于 F 1 和 F 2 的大小，下列判断中正确的是 A.F 1 = F 2＞(M + m )g B.F 1＞(M + m )g ,F 2＜(M + m )g C.F 1＞F 2＞(M + m )g D.F 1＜(M + m )g ，F 2＞(M + m )g 5.下列说法中正确的是 A.布朗运动与分子的运动无关 B.分子力做正功时，分子间距离一定减小 C.在环绕地球运行的空间实验室里不能观察热传递的对流现象 D.通过热传递可以使热转变为功 6.如图Ⅰ-4所示，虚线a 、b 、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面之 图Ⅰ -3 图Ⅰ -4 图Ⅰ-2
电场电场强度 班级姓名 1、如图所示，有一均匀带电的无穷长直导线，其电荷线密度为λ。试求空间任意一点的电 场强度，该点与直导线间垂直距离为r。 2、如图所示，电量Q均匀分布在一个半径为R的细圆环上，求圆环轴上与环心相距为x 的点电荷q所受的力的大小。 3、如图所示，一根均匀带电细线，总电量为Q，弯成半径为R的缺口圆环，在细线的两端处留有很小的长为△L的空隙，求圆环中心处的场强。 4、均匀带电的半圆弧，（电荷线密度为λ）半径为R，圆心处的电场强度。
5、一根无限长均匀带电细线弯成如图所示的平面图形，期中AB 是半径为R 的半圆弧，AA ’平行于BB ’，试求圆心O 处的电场强度。 6、有一均匀带电的无限大平面，电荷面密度为σ，试求离该平面R 处的电场强度。 7、半径为R 的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。 8、一半径为R 的球壳，均匀带电Q ，试求距离球心r 处的电场强度。 O A B A ’ B ’
9、一半径为R 的球体，均匀带电Q ，试求距离球心r 处的电场强度。 10、．如图所示，两根均匀带电的半无穷长平行直导线，端点联线LN 垂直于这两直导线， 如图所示.LN 的长度为2R.试求在LN 的中点O 处的电场强度. （它们的电荷线密度为λ） 11、均匀带异种电的半圆弧，（电荷线密度为λ）半径为R ，圆心处的电场强度。 12、有一个均匀的带电球体，球心在O 点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个 N
球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，O O = a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。
高中物理竞赛热学教程 第五讲机械振动和机械波 第一讲 温度和气体分子运动论 第一讲 温度和气体分子运动论 §1。1 温度 1．1．1、平衡态、状态参量 温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。 热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。 系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P 、V 、T 就是气体的状态参量。 气体的体积V 是指盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m 3 。 1m 3 =103L=106 cm 3 气体的压强P 是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是p a 。 1atm=76cmHg=1.013?105 p a 1mmHg=133.3p a 1．1．2、 温标 温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是： 1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。 2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0℃，汽点为100℃，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K 。这样0℃与冰点，100℃与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。 3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。 1．1．3、理想气体温标 定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。 T(P)=αP α是比例系数，对水的三相点有 T 3= αP 3=273.16K P 3是273.16K 时定容测温泡内气体的压强。于是 T(P)=273.16K 3P P (1) 同样，对于定压气体温度计有 T(V)=273.16K 3V V (2) 3V 是273.16K 时定压测温泡内气体的体积。 用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有)()(V T P T ≠。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K ，定义式为 T=lim 0 →p T(V)=lim 0 →p T(P) =273.16K lim →p 3V V =273.16K lim 0→p 3P P (3) 1．1．4、热力学温标 理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K ～1000℃)，T ＜1K ，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。 国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。 国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是： t=T-273.15o (4) 这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为5?108 -K ， 但是绝对零度是不可能达到的。 例1、定义温标t *与测温参量X 之间的关系式为t * =ln(kX),k 为常数 试求：(1)设X 为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点 16.273*3=T ，试确定t *与热力学温标之间的关系。(2)在温标t * 中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t * 中，是否存在零度？ 解：(1)设在水三相点时，X 之值是3X ，则有273．16o =In(kX 3)将K 值代入温标t * 定义式，有 3316.273*16.273X X In X X e In t +=? ???? ?= (2) 热力学温标可采用理想气体温标定义式，X 是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有 30 lim 16.273X X K T x →= (3) 因测温物质是定容稀薄气体，故满足X →0的要求，因而(2)式可写成 ) lim ln(16.273lim 30 *X X t x x →→+= (4) 16.27316.273*T In t += 这是温标* t 与温标T 之间关系式。 (2)在热力学温标中，冰点K T i 15.273=，汽点K T s 15.373=。在温标* t 中其值分别为 16.27316.27315 .27316.273*=+=In t 47.27315.27315 .37316.273*=+=In t (3)在温标*t 中是否存在零度？令* t =0，有 K e T 116.27316.273<<=- 低于1K 任何气体都早已液化了，这种温标中* t =0的温度是没有物理意义的。 §1-2 气体实验定律 1．2．1、玻意耳定律
《全国中学生物理竞赛大纲2020版》 (2020年4月修订，2020年开始实行) 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过，并决定从2020年开始实行。修订后的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。 力学 1.运动学 参考系 坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程速度加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解抛体运动圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径角速度和※角加速度 相对运动伽里略速度变换 2．动力学 重力弹性力摩擦力惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3．物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4．动量 冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质量体系的运动 5．机械能 功和功率
动能和动能定理※质心动能定理 重力势能引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6．※角动量 冲量矩角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7．有心运动 在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8．※刚体 刚体的平动刚体的定轴转动 绕轴的转动惯量 平行轴定理正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动9．流体力学 静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10．振动 简谐振动振幅频率和周期相位 振动的图像 参考圆简谐振动的速度 （线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 11．波动 横波和纵波 波长频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉※驻波波的衍射(定性) 声波 声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声
§1、5 静电场的能量 1．5．1、 带电导体的能量 一带电体的电量为Q ，电容为C ，则其电势C Q U =。我们不妨设想带电体上 的电量Q ，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功，就是带电 体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的函数关系如 图1-5-1所示，斜率为C 1 。设每次都搬运极少量的电荷 Q ?，此过程可认为导体上的电势不变，设为i U ，该过程中搬运电荷所做的功为Q U W i i ?=，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过程中，带电导体储存的能量为 ∑∑?==Q U W W i i 其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若Q ?取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。 2 221221CU C Q QU Q U W i ===?=∑ 上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。 1．5．2、 电场的能量 由公式2 21CU W =，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在 电荷上的。其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量 的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究 图1-5-1
竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。 k Sd E d E kd S CU W πεπε8421212222=?== 单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用ω来表示 k E V W πεω82 == 上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。 1．5．3、电容器的充电 如图1-5-2所示，一电动势为U 的电源对一电容为C 的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量 CU Q = 电容器所带能量 2 21CU W = 而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为 W CU QU W 22===' 也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。 例7、用N 节电动势为ε的电池对某个电容器充电，头一次用N 节电池串联后对电容器充电；第二次先用一节电池对电容器充电，再用两节串联再充一次，
高中物理《竞赛辅导》力学部分 目录 ：力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算． 在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若
以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线 的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。 【典型例题】 【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方 向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？ 【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起 来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面 上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑 动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。 【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ
第五讲 机械振动和机械波 §5．1简谐振动 5．1．1、简谐振动的动力学特点 如果一个物体受到的回复力回F 与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比，方向相反。即满足： K F -=回的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动。根据牛顿第二定律，物体的加速度m K m F a -== 回x ，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大 小成正比，方何相反。 现有一劲度系数为k 的轻质弹簧，上端固定在P 点，下端固定一个质量为m 的物体，物体平衡时的位置记作O 点。现把物体拉离O 点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。 当物体运动到离O 点距离为x 处时，有 mg x x k mg F F -+=-=)(0回 式中 0x 为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有mg kx =0，因此 kx F =回 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。因回复力指向平衡位置O ，而位移x 总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。 5．1．2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O 为圆心，以振幅A 为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度ω作匀速圆周运动，它在开始时与O 的连线跟x 轴夹角为0?,那么在时刻t ，参考圆上的质点与O 的连线跟 x 的夹角就成为 0?ω?+=t ，它在x 轴上的投影点的坐标 )cos(0?ω+=t A x （2） 这就是简谐振动方程，式中0?是t=0时的相位，称为初相：0?ω+t 是t 时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为ωA ，其方向与参考圆相切，这个线速度在x 轴上的投影是 0cos(? ωω+-=t A v ） （3） 这也就是简谐振动的速度 参考圆上的质点的加速度为2 ωA ，其方向指向圆心，它在x 轴上的投影是 02 cos(?ωω+-=t A a ） （4） 这也就是简谐振动的加速度 由公式（2）、（4）可得 x a 2ω-= 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为 x m k m F a -== 因此有 m k = 2ω （5） 简谐振动的周期T 也就是参考圆上质点的运动周期，所以 图5-1-1 图5-1-2
普通物理的数学基础 选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。 §1．函数及其图形 1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量 1．2函数的图象 1．3物理学中函数的实例 §2．导数 2．1极限 如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f（x）的极限值，并记作 （A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A．17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”。 极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。 求极限公式
（2） （3） （4） 等价无穷小量代换 sinx～x; tan～x; 2．2极限的物理意义 （1）瞬时速度 对于匀变速直线运动来说， 这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A．5）。 （2）瞬时加速度 时的极限，这就是物体在t＝t0时刻的瞬时加速度a： （3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A-5），于是各处渠底的高度h便是x的函数：
11.6静电场例题 例1、在惯性系S中有匀强电场E，其方向如图所示．在电场中与E平行的一条几何直线上，有两个静止的小球A和B．两小球的质量均为m，A球所带电量为Q(Q>0)，B球不带电，开始时两球相距为l．在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生弹性正碰撞，从而使B球也参与运动.设在各次碰撞过程中，A、B球之间并无电量的转移，设万有引力可略去不计．试证明A、B球相邻的两次碰撞之间的时间间隔相同，并求出该时间间隔T. 例2、半径为R的带电金属球被沿与球心相距为h的平面分成两部分(图)．求这两 部分排斥力．球的总电量为Q． 例3、如图所示，A'ACBB'是一根无限长的均匀带电细线．其中ACB是半径为R半圆弧，AA’平行于BB'，AA'、BB'水平,而且整个线框置于竖直平面内．O是一个质量为m、带电量为q的小球(可视为点电荷)，它在四根伸直的、互相垂直的绝缘细线的约束下静止于圆弧ACB的圆心处．已知A'ACBB'带电总量为Q，求
四根约束O球的绝缘线上的张力最小值． 和R3，内有同心放置的半径 例4、一带电量为Q的金属球壳，其内外半径分别为R 为R1的接地导体球．(1)求小球的带电量q；(2)讨论Q为正电荷时q的正负，并求出此时球壳与小球间的电势差；(3)导体球壳与同心接地导体球的电容为多少?若R2=R3=R．则情况又如何? 例5、半径为R的均匀带电半球面，电荷面密度为σ。求球心处的电场强度．
例6、如图所示，两个同心导体半球面，相对共底面的半径R1>R2，R1面均匀带电密度为σ1，R2面均匀带电密度为σ2，问大半球底面的直径AOB上电势是如何分布的? 例7、如图所示，正四面体ABCD各面均为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四个面的静电势分别为φ1、φ2、φ 和φ4，求四面体中心O点的电势φ．
高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任
第一讲电场 §1、1 库仑定律和电场强度 1．1．1、电荷守恒定律 大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持 k 数， 0ε q F E = 式中q 是引入电场中的检验电荷的电量，F 是q 受到的电场力。 借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为 2 2r Q k q r Qq k q F E === 式中r 为该点到场源电荷的距离，Q 为场源电荷的电量。
1．1．4、场强的叠加原理 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强，等于每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。 原则上讲，有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 例1、如图1-1-1（a ）所示，在半径为R 、体电荷密度 为ρ的均匀带电球体内部挖去半径为R '的一个小球，小球球心O '与大球球心O 相距为a ，试求O '的电场强度，并证明空腔内电场均匀。 ρ,R O 1．1．5．电通量、高斯定理、 （1）磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数，其大小为θsin BS =Φ，其中θ 为截面与磁感线的夹角。与此相似，电通量是指穿过某一截面的电场线的条数，其大小为 θ?sin ES = θ为截面与电场线的夹角。 高斯定量：在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为 ∑=i q k π?4 （ 041πε= k ） Nm C /1085.82120-?=ε为真空介电常 数 O O ' P B r a ）
式中k是静电常量，∑i q为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少高等数学知识，因此选取的高斯面即闭合曲面，往往和电场线垂直或平行，这样便于电通 量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求，但笔者认为简单了解高斯定律的内容，并 利用高斯定律推导几种特殊电场，这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。 （2）利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ①无限长均匀带电直线的电场 一无限长直线均匀带电，电荷线密度为η，如图1-1-2（a）所示。考察点P到直线的 距离为r。由于带电直线无限长且均匀带电，因此直线周围的电场在竖直方向分量为零， 即径向分布，且关于直线对称。取以长直线为主轴，半径为r，长为l的圆柱面为高斯面， E 图1-1-5
高中物理竞赛辅导讲义 第1篇 静力学 【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力） （2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M =FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。 4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件：
3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中α（悬线与竖直线的夹角）与β（球心连线与竖直线的夹角）的关系。 面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计） R
第二节电场和电场强度 【知识要点】 从电场的观点看，电荷间的相互作用可分为两个基本问题：电荷产生电场和电场对电荷的作用． 电场强度，简称场强，是指放人电场中某一点电荷受到的电场力 F 跟它的电量q 的比值．数学表达式为 q为检验电荷， F 为q在场中受到的力．场强的方向规定为正电荷的受力方向． 只要有电荷存在，在电荷的周围就存在着电场．静止电荷在其周围的真空中产生电场，叫静电场，该电荷称为真空中静电场的场源电荷，电场对放人场中的电荷有力的作用． 在点电荷组成的电场里、任一点的场强等于各个点电荷单独存在时各自在该点产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理． 几种典型电场的场强： ( 1 ）点电荷电场：由场强的定义和库仑定律可得，真空中点电荷的场 强分布为 ( 2 ）均匀带电球壳的电场设有带电量为Q ，半径为R 的均匀带电球壳．由电场线的分布可知，只要球壳内没有电荷，壳内就没有电场线分 为0 布，即内部的场强 E 内 对于球壳外，电场线分布与点电荷Q 在球心处的电场线一样．因此 壳外的场强 E 外为 ( 3 ）匀强电场 设有电荷面密度为δ的无限大带电平板，求其两侧的场强．根据场强叠加原理，空间某一点的场强，应是板上所有点电荷在该点产生场的叠加．由于平板是无穷大，根据对称性，板两侧的电场方向如图9 一 2 一 1 所示，且是匀强电场，但用叠加原理求场强的 大小要用到高等数学． 下面我们用不很严密的方法介绍一个定理，并根据它 求上述场强，先考虑点电荷，设一电量为Q 的点电荷， 则空间的场分布为
现取以Q 为球心，R 为半径作一球面，则Q 发出的电场线全部穿过这个面．像这样穿过一个面的电场线总数叫做穿过这个面的电通量，用 符号Φ表示．对于点电荷 由上式可知电通量与所取的面无关，即取任一面，只要这个面内包含Q ，通过此面的电通量为4πk Q . 推论 1 若所取的面不包含Q ，则通过此面的电通量为零． 推论 2 通过任意一个闭合曲线的电通量等于该面所包围的电荷电量的代数和的 4 π倍． 推论2通常叫高斯定理，利用高斯定理可以很方便地求出许多对称场的场强分布．如无限大平板，我们可以取关于板对称的圆柱体面，如图所示，设圆柱面的横截面半径为r ，高为l ，则 因此，电荷面密度为，的无限大带电平板两侧的场强为 E = 2πkδ 【例题分析】 例 1 如图9 一 2 论所示，电荷均匀分布在半球面上， 它在这半球面的中心O 处的电场强度等于E0，( l ）证明 半球面底部的平面是等势面；( 2 ）两个平面通过同一直径， 夹角为 a ，从半球中分出一部分球面．试求所分出的这部分球面上的电荷在O 处的电场强度 E . 分析与解 （l ）证明一个平面是等势面一般有以下两条思路： a ．根据电势叠加原理求出各点的电势，判断是否相等； b ．根据场强叠加原理求出各点的场强，判断场强方向是否垂直平面． 设想有另一个完全相同的半球面与此半球面构成完整的球壳，则球壳及其内部各点电势都相等．根据对称性可知上、下两个半球壳分别在底面上各点引起的电势是相等的，再由电势叠加原理可知，当只有半球壳存在时，半球壳在底面上各点引起的电势也是相等的，而且电势是两个球壳的一半．场强是矢量，场强叠加比电势叠加要复杂．此题直接在底面上计算场 强较困难．我们可用反证法来说明场强方向一定垂直底面．假 定半球壳在底面产生的场强不垂直底面，则当把半球壳补完 整时，两半球壳在底面产生的合场强也不垂直底面，这与球 壳是等势体相矛盾．因此，假设不成立． ( 2 ）由对称可知，E0的方向如图9 一 2 一 3 所示， 同样我们可知分出两部分的电场强度E1、E2，由矢量图可 得
静电场的能量 一、电容器的静电能 研究电容器的充电过程。 一开始电容器的电势差很小，搬运电荷需要做的功也很小， 充电后两板间电势差增加，搬运电荷越来越困难，需要做的功变 多。可以看成是一个变力（变电势差）做功问题。 图像法用面积表示做功。 画Q -U 图像还是U -Q 图像？ 2 2111222Q E QU CU C === 电容器充电过程中，电荷和能量均由电源提供。 在电源内部，可以看成是正电荷从负极移动到正极。由于电源电动势（即电压）不变，克服电场力做功为： W QU = 在电容器充电过程中电源消耗的能量和电容器增加的静电能不相等！ 思考：两者是否一定是两倍的关系？ 多余的电能消耗在电路中（定性解释） 例1、极板相同的两个平行板电容器充以相同的电量，第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间，并使所有极板都相互平行，问系统的静电能如何改变。 例2、平行板电容器C 接在如图所示电路中，接通电源充电，当电压达到稳定值U 0时，就下列两种情况回答，将电容C 的两极板的距离从d 拉到2d ，电容器的能量变化为多少?外力做功各是多少?并说明做功的正负 (1)断开电源开关． (2)闭合电源开关．
例3、图中所示ad为一平行板电容器的两个极板，bc是一块长宽都与a 板相同的厚导体板，平行地插在a、d之间，导体板的厚度bc=ab=cd.极板a、d与内阻可忽略电动势为E的蓄电池以及电阻R相连如图．已知在没有导体板bc时电容器a、d的电容为C0 ,现将导体板bc抽走，设已知抽走导体板bc的过程中所做的功为A，求该过程中电阻R上消耗的电能． 例4、如图所示，电容器C可用两种不同的方法使其充电到 电压U=NE。（1）开关倒向B位置，依次由1至2至3?????? 至N。（2）开关倒向A位置一次充电使电容C的电压达到 NE。试求两种方式充电的电容器最后储能和电路上损失的 总能量。（电源内阻不计）
原 子 物 理 自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。 §1.1 原子 1．1．1、原子的核式结构 1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。 1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm 以下。 1、1． 2、氢原子的玻尔理论 1、核式结论模型的局限性 通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。由此可得两点结论： ①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统； ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。 为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。 2、玻尔理论的内容： 一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。 二、原子从一种定态（设能量为E 2）跃迁到另一种定态（设能量为E 1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即 γh =E 2-E 1 三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r 和运动初速率v 需满足下述关系： π2h n rmv =，n=1、2…… 其中m 为电子质量，h 为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连
第四讲 基本粒子 §4、1、基本粒子 4．1．1、 什么是基本粒子 在古代就有一些哲学家认为物质是由原子组成的，原子是组成物质的最小颗粒，不可再分。有基本的涵义，可称为基本粒子。自19世纪初，英国科学家道尔顿以化学反应为依据，提出物质是由原子组成的学说以来，人们相继发现了电子、质子、中子、正电子、中微子、介子等大量的基本粒子，基本粒子数目的大量增加，使人们认识到它们也不可能是最基本的组分，所以有“基本料子不基本”的说法。 中微子的发现，中子不是稳定粒子，它衰变为质子和电子：e P n 01111 -+→,实验发现此衰变中动量不守恒。经不断实验发现，中子衰变的正确反应应为v e P n ++→-01111 0。v 为中微子的符号,v 为v 反粒子的符号。 4．1．2、 粒子的自旋 到本世纪30年代末，加上在宇宙射线中发现的μ子，人们认为，电子、质子、中子、中微子、μ子和光子都是基本粒子。除中子和μ子是不稳定粒子外，其余都是稳定的。基本粒子的主要特征除质量的电荷外，还有自旋，这是一个量子力学概念，表征粒子的内部属性，相当于经典物概念是微粒的自转。它遵从量子力学的规律，以π2h 为单位，只能取整数0、1、2……，或半整数1/2、3/2……。上述6种粒子，除光子自旋为1外，其余都是自旋为1/2的粒子。自旋为整数的粒子又称为玻色子；自旋为半整数的粒子又称为费米子。 4．1．3、 粒子和反粒子 经实验发现，每一种粒子都存在相应的反粒子。反粒子和粒子的质量、自旋都相同，电量相同而符号相反。对不带电
的粒子，粒子和反粒子有其它的区分标志，这里不具体描述。在粒子的符号上加一横，代表反粒子，如v 是反中微子。也有的粒子的反粒子就是自身，而无区别，如光子。1932年安得森发现了正电子，使反粒子的存在第一次得到了证实。其他反粒子也先后被发现。如反质子和反中子分别是1955年和1956年在加速器中发现的。粒子和反粒子是互为反粒子的，只是当初称呼电子、质子等为粒子而已。我们这个世界是由粒子组成的，而不是由反粒子组成的。 4．1．4、 强子——介子和重子 本世纪40年代到50年代，从宇宙射线中又发现了一批粒子。比如发现了π介子和K 介子，它们的自旋为零；又发现了与核子（质子和中子）属于同一类而质量更大的粒子，称为超子，有Λ超子、∑超子和Ξ超子，它们都是不稳定粒子。核子和超子统称为重子。介子和重子又统称为强子。因为它们之间的相互作用强大。 4．1．5、 粒子的奇异性 仔细地分析新发现的各种粒子的衰变反应，以及它们参与的其它反应，发现K 介子和超子具有产生快，衰变慢和同时产生两个或多个粒子的新特性，与π介子和核子所有的性质不同，当时认为有些奇异，引入了一个称为奇异数的量子数来标志这种奇异性。 + K 介子 和0K 介子的奇异数为1;+-∑∑∑Λ,0,1,0超子的奇异数为-1;0,ΞΞ-超子的奇异数为-2。具有奇异数的粒子，如其奇异数为s ，则其反粒子的奇异数为-s 。π介子和核子的奇异数为0。在强相互作用中，奇异数守恒。 4．1．6、 基本粒子分类 按照基本粒子之间的相互作用可分为三类： ①强子：凡是参与强相互作用的粒子，分为重子和介子两类。 ②轻子：都不参与强相互作用，质量一般较小。 ③光子：静质量为零，是传递电磁相互作用的粒子。