张量分析

第一篇 张量分析

第一章 矢 量 §1—1 矢量表示法

物理中的位移、速度、力都是矢量。利用三维空间中的有向线段ν表示矢量是最直观的表示法，如图1-1所示。有向线段的长度v 代表矢量的大小。这种方法不依赖于坐标系的选择。

矢量的分量表示法是另一种表示方法，选定一个坐标系。比如通常的正交直线坐标系，即卡氏坐标系，然后确定矢量对于该坐标系的分量

(,,)x y z v v v ν

(1-1a)

这一有序数也可视作一个单行矩阵。 矢量也可以用基矢与其对应分量写成

x y z iv jv kv ν=++ (1-1b)

其中,,x y z iv jv kv 称为分矢量。而

i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1) (1-1c)

是单位矢量，它们组成卡氏系中的一组基矢(称为标架)。

§1-2指标符号

上面所述用分量(,,)x y z v v v 或用基矢量i,j,k 来表示矢量的方法，在推广到比三维更高的空间时就有困难了。因此，发展了另一种记法。把x 、y 、z 分别记为111,,x y z 这样，一个n 维空间的矢量(无法用直观图表示)用分量表示时为

123(,,,...,)n v v v v ν= (1-2a)

它可视为一个M 维的单行矩阵，且可写为

{}i v ν= (1,2,3,...,)i n =

同理，基矢i,j,k 可分别写为123,,e e e ，n 维空间的基矢i e (1,2,3,...,)i n =。而与式(1-1b)对应的写法为

112233n n e v e v e v e v ν=+++

+ (1-2b)

相应的分矢量为11,

,,

i i e v e v ，其中

1e =(0,…,0,1,0,…,0) (1-2c)

↑ 顺序第i 个

这里i 叫做v 的下标，也有记作j

v (如本书第三章以后章节所出现)的，这时j 称为上标。

有些量比矢量更复杂，只用一个下(或上)指标还不够，还要采用更多的指标，比如

,,,

ij ij ijk A B C ，等等。以后讨论的张量，就是这种形式的一种量。

§l-3 矢量代数

矢量代数，包括矢量与实数的乘法运算以及矢量的加、减、乘法运算。 一、矢量的加法

矢量的加(减)法运算在图形表示法中，可以采用三角形法(图1—2e)或平行四边形法(图1-2b)。

在分量表示法中，则有

(,,)x x y y z z V W v w v w v w ±=±±± (1-3)

或者用指标记法，有

112233(,,)V W v w v w v w ±=±±± (1-4)

用基矢表示为

111222333()()()V W e v w e v w e v w ±=±+±+± (1-5)

根据上述几种表示方法易见，矢量的加法满足交换律，即

V W W V ±=± (1-6)

因为实数是满足加法规律的，这一规律也成为判断一个有方向的量是否是矢量酌一个必要条件。譬如，有限转动(而不是无限小转动)虽是有方向的，但它就不遵从交换律．因此，它不是矢量。

二、矢量的标积和叉积，ij δ和ijk e 符号、并矢

矢量代数中的积可以有几种定义。总之，是从两已知矢量去定义第三个量。下定义时当然最好同已知的物理规律相联系。 1．标积和Kronecker 符号ij δ

首先是标积，从物理学知道，一个力矢量f 与一个位移矢量s,可以确定一个标量，即功W

cos W f s θ= (1-7)

记作f s ?．所以又称点积。用指标符号，则

3

1122331

i i i W f s f s f s f s ==++=

∑ (1-8)

最后一个等式在∑符号下i i f s 有两个同样的指标i 。因为这种形式的求和运算经常遇到，所以大家约定(称为爱因斯坦求和约定)可以不写出，今后．凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这对指标按全程求和。求和所得的结果，当然不再含有这一指标。如式(1-8)求和得出的功W 就是一个标量，它不再含有表示分量的指标i 。另外，又因为求和结果既然不包括所求和的指标，那么这一指标在运算中间写成什么别的指标也不会影响其结果。即

i i j j k k W f s f s f s === (1-9)

这一记法可以推广到n 维空间，即i i a b 代表1

n

i i i a b =∑，也可以推广到用指标符号表示的其它

物理量，如

ik il jm lm i j T T T αβαβββββ== (1-10)

只要注意将一对求和指标同时替换，如式(1-9)中的i 换成j,式(1-10)中将一对l 换成α，一对m 换成β，它们的含意部是相同的，即

112233n n

ij il j l il j l il j l il jm lm i l m l

T T T T T ββββββββ===+++

=∑∑ (1-11)

如上所述，一对相同指标要求和，求和结果与这对指标无关，这样的指标叫哑指标，如式(1-9)中的i 或j ，k ，又如式(1—10)中的l,m 或α, β。式(1—10)中还有两个指标i ，j 不求和，叫做自由标。与式(1-9)对应，当用基矢分别表示f,s 时，它们的点积记为

1122331122

111212121313

,()()

i j i j i j i

j

i j

W f e f e f e s e s e s e f s e e f s e e f s e e f s e e f s e e =++++=+++==∑ (1-11)

令

i j ij e e δ=

则由于123,,e e e 是相互垂直的单位矢量，由点积的定义，知

而有

112233i j ij i i W f s f s f s f s f s δ===++

ij δ称为Kronecker 符号。对于n 维向量可将i 、j 的变程扩大为i,j=1,2,…,n,于是n 维空间

的点积为

i j ij i i u v u v u v δ== (1-13)

“．v ＝KDJ 入＝M rY [1—13)

符号ij δ今后用得较多，例如式(1-1c)单位矢量i 为(1，0，0)，j 为(0，1，0)，…就可以将其分量分别写成1j δ，2j δ…。推广到n 维，而写成

显然

2．又积和置换符号

e ijk

矢量第二种积也与实际有联系。用两个矢量作为邻边，可以构成一个平行四边形，这个

平行四边形有而积，而且还可规定一个法线正方向。可以定义矢量的积就等于这样规定的平行四边形。记为v ×w ，并定义为

|v×w|＝|v||w|sinθ (1-15) 以及v ×w 矢量的方向为此平行四边形用右手螺旋法则所确定的正法线方向。这样定义的积是矢量，故叫矢积，也叫叉积。

与式(1-11)的定义点积的方式对比，当用基矢表示v 及w 时的叉积可写为

由于e1，e2，e3是互相垂直的单位矢量，由式(1-15a、b)可知

引入符号e ijk，则上面九个式子可以用一个式子概括

此式的理解是，等式右边有一对相同指标k，表示要对k求和，e ijk的值规定为

e ijk称为置换符号，利用符号e ijk，于是

u×v = u i v j e ijk e k

3．e ijk与δij的关系

由于符号e ijk与符号δij使用得较多，这里再顺便提一下它们的关系。由定义

e i×e j = e ijk e k(i, j, k=1,2,3)

左右两边点乘e k，得)

(e i×e j)·e k= e ijk(1-18) 上式左边就是矢量的混合积。它的物理意义是以e i, e j,e k为三个棱而形成的正立方体的体积。

我们知道，以a＝(a i, a j,a k)、b＝(b i, b j,b k)、c＝(c i, c j,c k)为棱的平行六面体酌体积V(注意矢量的次序)可以用行列式

给出，因此，考虑到式(1-14)e1＝(δi1, δi2,δi3)。

以上是两种定义矢量的方法(点积和叉积)。

4．并矢

欠量积还可以有别的定义方法，例如v和w直接放在一起成vw或wv。这可以叫做直接乘积或并矢，因为它们是将两个矢量并排放在一起的。但是这样定义的乘积有何意义？有何性质?就须另外探讨了(见第二章)。

总之，上面按不同的定义矢量的积得出三种不同的结果，有标量、矢量及并欠。

§1—4 坐标变换

一、三维空间坐标变换

考虑三维空间的两个正交直线坐标系(笛卡尔坐标系)，并设原坐标系为O x1 x2 x3，其基欠(标架)为e1,e2,e3。又设变换后的新坐标系为O x1’x2’x3’，其基矢(标架)为e1’ ,e2’ ,e3’。

设一矢量v，用旧坐标和新坐标系表示，分别为

v ＝e i v i ＝e i’v i’(1-21) 由此可得：将矢量分量由旧坐标变换为新坐标的变换式。为此，用e i’点乘式(1-21)．得

v j’＝e i·e i v i

记为

v j’＝βj’i v i(1-22) 式中

βj’i ＝e j’·e i ＝|e j’||e i|cosθ＝cos(j’,i)(1-23) 为新坐标轴j’对旧坐标轴i的方向余弦。利用β记号还可以写出新旧坐标的关系。比如矢径r，在新旧坐标系上表为x i’ e i’＝x j e j，左右两边点乘e k’后得

x i’δj’k’＝e k’·e j x j

再利用x i’δj’k’＝x k’，即e k’ e j＝βk’j有

x k’＝βk’j x j (1-24)

反之，欲求将矢量分量从新坐标变换为旧坐标的变换式，可用e i点乘式(1-21)，得

v i＝e i·e j v j ＝βij’v j’(1-25a) 式中

βij’＝e i·e j’ (1-25b)而用新坐标表示旧坐标的关系式与式(1-24)对应有

x i＝βij’·e j’(1-26)不难看出，对于基矢也有

e j’＝e j·e i’e i＝βj’i·e i (1-27a) 及

e i＝βij’·e j’(1-27b) 应当注意的是，此两式虽然形式上与式(1-22)、(1-25)相同，但这里式(1-27)表示的是基矢e i

变换成e j，基矢旋转一个角度。而式(1-22)、(1-25)所表示的是矢量本身没有转动，只是由于坐标系变化而改变了分量的值。

由β符号定义，显然

βj’i＝βij’(1-28) 综合式(1-22)、(1-25a)，还有

v j’＝βj’iβik’v k’

由此易得

βj’iβik’＝δjk’(1-29a)

βij’βjk’＝δjk (1-29b) 概括式(1-22)与(1-25a)，可知矢量在坐标变换前与变换后(或其逆)。只差一个β符号的因子，这是矢量的一个性质。反过来也可以说，如果具有单一指标的a t．在坐标系变换前与坐标系变换后的分量(a i与a j)之间，由式(1-22)或(1-25a)联结，则此单一指标的a t，必定是矢量。

这意思就是说，单纯从一个且有分量a t或(a1, a2,a3)并不能断定它就是矢量，只有那些其分且服从式(1-22)或(1-25a)的才是矢量。这个条件是一个矢量要满足的充分必要条件，可以作为矢量判别法则，也可以作为矢量的定义：

如果有一组有序量b i，(i＝1，2，3 …m )，在左边变换式遵从式(1-22)

b j’＝βi’j b i

则称有序量b i，(i＝1，2，3 …m )为矢量。

二、坐标变换的矩阵记法

矢量v的矩阵表示，如用行矩阵，则为

坐标变换系数．如果成矩阵形式，则式(1-23)中的βj’i为

式(1-25a)中的βij’为

式(1-29a)可写成

即两个β矩阵互为逆矩阵，而且可以看出，在现在的情况下由于式(1-28)，逆矩阵刚好是转置短阵。

§1—5 梯度、散度与旋度

将求导运算简记为

于是梯度

利用式(1-26)

x i＝βij’·x j

得

由于

代入上式，得

φ1i’＝φ1jβj’

再由式(1—22)知φ1i’是矢量。

散度

旋度

用指标记法

再利用式(1-16)。得

上式当k＝1时,e231＝-1，e321＝-1，故

即通常旋度的第一分量。其它分量也可类似得出。

第二章笛卡尔张量

§2—1 张量的概念与表示方法

一、定义

上章已说明．矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。如作闲在一点的力矢量，就

不能只用一个数值(加单位)表示．而必须或者用一个有向线段，或者引入F x，F y，F z三个分量来表示。然而自然界还有比矢量更复杂的量，如弹性体中一点的应力状态，就有正

应力σx、σy、σz和剪应力τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy共九个分量值。这样一种量，叫做张量。我们可以把它看作矢量概念的一种推广。至于它有什么性质，遵从什么规律？可以从矢量的性质和规律中得到启发。

首先回忆一下矢量v的表示方法。从有向线段的图示法出发，应用平行四边形合成法则，引进了v ＝e i v i的表示方法。或者略去基矢e i的记号，只记它在某一坐标系中的分量，用行(或列)矩阵，将矢量v记为

(v1, v2, … ,v n)

或

[v1, v2, … ,v n]T

最后，从分析方法方面，明确一个矢量在坐标变换时所遵从的法则(β因子法则)、式(1-22)及式(1-25a)。并指出后一变换法则，也可作为矢量的定义。

现在来看，在定义张量及表达张量时，上述这些方法，可以推广到什么程度?

首先，对于图示法。一个二维或者三维甚至n维的有向线段，它只能表示矢量。用这样一种简单而直观的办法来表示张量，显然是不行的。

那么，矩阵表示法呢，表示v的行矩阵式(1—2a)能不能推广成以多行多列矩阵来表示张量呢?

还有，写出分矢量之和的式(1-2b)，能不能推广用来表示张量呢?

最后，能不能将判断一组数是否构成一个矢量的判断式或定义式(1-22)加以推广，用来判断或定义一个张量呢?

下面将会看到，对这些问题的回答都是肯定的。同时在探讨过程中也能理解到，一个新概念、新方法的引入，并不是突然的。现在用一个例子来阐明张量是怎样从矢量出发推广而来的。

由式(1-26)，一个矢量v，在选定的坐标系O x1 x2 x3中可表为

v ＝e1v1十e2v2十e3v3(1-2b) 而由式(1-21)在经过变换的另一个坐标系O x1’ x2’ x3’中，则可表为

v ＝e1’v1’十e2’v2’十e3’v3’(1-21) 它们之间的关系，按式(1-22)、(1-23)，可写为

v j ＝v iβj’i ＝v i cos(i,j’)

或者按通常的写法，写为

式中cos(i,j’)表示cos(e i e j) (i，j＝1，2，3)．用这三个式子联系起来的，在O x1 x2 x3

用三个分量v1、v2、v3表示，而在O x1’ x2’ x3’中用分量v1’、v2’、v3’分表示的，正是同一矢量v。

正因为如此，§1-4种，就采用了这种变换作为矢量的定义：如果在正交直线坐标系O x1 x2 x3中的一组有序集合v1、v2、v3，当坐标变换为O x1’ x2’ x3’时，按式(2-1)变为v1’、v2’、v3’，那么那组有序量集合，就叫做“仿射正交”矢量v。

现在推广这个矢量定义，使之成为一个张量的定义；如果在正交直线坐标系O x1 x2 x3中的一组矢量集合p1、p2、p3．当坐标系变为O x1’ x2’ x3’，按下式

变为矢量p1’、p2’、p3’．那么这组矢量集合p1、p2、p3就叫做二阶仿射正交张量，记为Π。此外，与式(1-2b)对应，也可将Π记为

Π=e1 p1+e2p2+e3 p3(2-3)

但要注意并矢的次序，e p≠pe，式(2—3)的记法与p1 e1 + p2e2 + p3 e3是不同的。

二、例

这里用大家熟悉的弹性应力张量作例子来说明以上的叙述。

设M点是弹性体内的一个点。在此附近取一个四面体如图2-1。f x是位于四面体外部的弹性体部分作用在MCB外表面上的力(但不一定垂直于该面)。f y是作用在MAC外表面上

的力．同样不一定垂直于MAC面。f z是作用在MBA外表面上的力。f n是作用在ABC外表面上的力。

设作用在以外法线n为正方向的面元ABC上的应力为p n，出于应力是作用在单位面积

上的力，故面元ABC上的力为f n＝p nΔS，这里ΔS为且ABC的面积。

再看作用在面元MCB的正面(即以-x方向为正法线一对于四面体为外法线一的面元)

上的力矢量f x。由类似前面的讨论可得f x = -p xΔScos(n,i)。这里p x代表作用在以x铀为法线的单位面积上的应力矢量，ΔScos(n,i)代表以n为法线的面元ΔS在平面yz上的投影。由图可见，它恰恰等于面元MBC的面积。

同理，作用在面元ACM上的外力f y = -p yΔScos(n,j)；作用在面元AMB上的外力f z = -p zΔScos(n,k)。

根据牛顿第二定律

ma = ∑f

即

(ρΔV)a = p nΔS - p xΔScos(n,i) - p yΔScos(n,j) - p zΔScos(n,k)

式中m为四面体的质量，ρ为弹性体的密度ΔV为四面体的体积，∑f为外力之矢量和。

以ΔS除各项，并令ΔS趋于零，由于ΔV是高一阶小量，因此

p n= p x cos(n,i) + p y cos(n,j) + p z cos(n,k)(2-4)

这里n为任意方向。当我们依次取n为新坐标系O x’ y’ z’之O x’方向、O y’方向、O z’方向时，我们有

p x’ = p x cos(i, i’) + p y cos(j, i’) + p z cos(k, i’)

p y’ = p x cos(i, j’) + p y cos(j, j’) + p z cos(k, j’)

p z’ = p x cos(i, k’) + p y cos(j, k’) + p z cos(k, k’)

如果写成指标形式，则上式即式(2-2)。这就证明矢量集合p x，p y，p z是符合张量定义的，是一个二阶张量，记为Π。

三、张量的矩阵记法

现在再看看p x的意义。它表示作用于一个单位面积(此面积以O x轴为法线方向)上的

力。此力不一定在O x方向。设它有三个分量，记作p xx、p xy、p xz。这里第一个下标x表示作用于法向为x方向的那个面元，第二个下标表示是哪个方向的分量。比如入表示作用在与x轴垂直的单位面积上的力沿x方向的分量，实际上即。又比如入就表示作用在与x轴垂直的单位面积上(或以c轴

为法线的面上)的力在y方向的分量(实际上即σx)。同理p y表示作用在以y轴为法线的单位面积上的力，而p yx、p yy、p yz表示它的三个分量，其中一个比如p yz表示作用在以y轴

为法线的单位面积上的力在z方向的分量(即τyz)。

下面再从这个例子回到一般理论。

把张量Π的这个矢量集合p x、p y、p z的所有分量都写出来，并换成指标记法

还可直接将Π写成矩阵形式

并称其中p1, p2, … ,p n为张量Π的分量，而这正是矢量行矩阵表示式(1-2a)的推广。

四、张量的第二定义

前而已看到，将矢量的变换式(2-1)推广到式(2-2)，并将张量的定义建立在此变换关系式上。然而这里的变换关系，是矢量集合到矢量集合的变换关系，还不是从旧坐标系中的九个分量到新坐标系九个分星的变换关系。现在推导分量到分量的变换关系。

由式(2-5a)，可以写出

以及由式(2-6a)写出

将它们都换成i,j指标，并采用求和约定．于是式(2-5a)成为

p i= e j p ij (2-7a)式(2-6a)

Π= {p ij}(2-8a)同理写出

p i’= e j p i’j’(2-7b)

Π= {p i’j’}(2-8b)又由式(2-2)写成i、j指标形式，并回忆β因子的式(1-23)，有

p i’ = p j cos(j,i’) = p j cos(i’,j) = βi’j p j

将p i’与p j的分量式〔2-7a、b)代人上式，得

e j p i’j= βi’j p j e k p jk

左右两边点乘e k，并注意e j,·e k=δj’k和

e k·e k’=cos(k,k’)=βk’k

便得到

p i’k’ =βi’j βk’k p jk

由于j、k都是哑标，因此上式还可写成

p i’k’=βi’j βk’k p jk(2-9a) 此式的特点是右边也有两个β因子，这正是二阶张量在坐标变化时的规律，也是“二阶”

张量名词的由来。β因子的前一个下标是带撇的．后一个是不带撇的。

这就是二阶张量Π在坐标变换时的分量变换式，也可以作为二阶张量的定义：

如果有一个两指标的集合p ij，在坐标变换时变为另一两指标集合p i’j，又如果此变换

遵照两个β因子的法则(2-9a)，则称此两指标集合入为二阶张量。

不难证明，这第二个定义与用式(2-2)的第一个定义是等价的。这种方式的定义还可进一步推广。

如果有一个无指标量p，在坐标系变换时遵从零个β因子法则

p’= β0 p = p (2-9b) β0表示β的零次方，等于1。则称此量p为零阶张量，即标量。

如果有一个单一指标集合p i，在坐标变换时，遵从一个β因子法则

p i’= βi’j p j= p(2-9c)

则称此集合p i为一阶张量，即矢量。如果i的变程是从1到2，就叫做一阶二维张量。从1到3就叫做一阶三维张量。

同理，如果有一个n指标集合久p i1,i2,…in’其中每个指标i可从1，2，…变到n,当坐标变换时，遵从ｎ个β因子法则

则称集合p i1,i2,…in’为N维空间的n阶张量。

这样就得到了一个包括标量和矢量在内的广泛的张量概念。

五、张量与短阵的关系

是不是只要单一指标就一定是矢量，两个指标就一定是二阶张量呢? 不是。这里要强调β因子的变换关系。如果不遵从这种变换关系，就不是张量。

二阶矩阵与二阶张量的关系也是如此。从式(2-6a、b)中看到，二阶张量可以用分量写成矩阵的形式，于是往往容易引起初学者的误解，以为张量和矩阵是一回事。从上面的讨论知道，它们两者有关系，但本质上又有差别。

另外，可以用矩阵形式表示的张量，也只有零阶、一阶、二阶张量。最近有的学者研究了如何将三维三阶张量和四阶弹性模量用矩阵的方式表示．以便采用计算机。但看来，更高阶的张量无论如何也是无法写成矩阵形式的了。

六、用并矢表示张量

二阶张量除了用分量，用矩阵的形式表示之外，正如前面所述，还可用式(2-3)那种并矢的方法表示。它是式(1-2b)的推广。仍用前面弹性应力的例子，进一步把该式写成分量表达式。

将式(2-5a)代入式(2-3)，有

规定矢量的直积遵从分配律．于是可写

其中e的个数表示张量的阶数，i, j的变程表示张量的维数。可以证明，这样表示的张量，与前面关于张量的第一、第二定义是一致的。

为此，可写出Π在旧坐标系与新坐标系中的表达式

Π= e i’e j’p i’j’= e i e j p ij (2-11) 并规定在做点积、叉积运算时，并矢中的每个e i’或e i可以独立看待，不受旁边另一个e j’

或e j的影响。又因为e i e j≠e j e i，所以进行点积、叉积运算时．要分清是从左面还是右面乘的，并分别叫做左乘或右乘。

用e j’左点乘式(2-11)，得

(e i’·e j’) e j’ p i’j’=(e i·e j) e j p ij

即

或

再用e m’左点乘上式两边，得

即

这就证明了在所作的一系列关于e i e j的运算规定之下，表达式(2-10)也是张量。

例2-1 作为一个例子，张量

表示：在诸分量中，只有p11 ＝p22 ＝p33 ＝1，其余p ij＝0 (i≠j)，因

此

p ij ＝δij

写成矩阵形式就是

这一矩阵叫做单位矩阵。

在坐标系变化时，p i’j’＝βi’iβj’jδij，由式(1-29a)，此式等于δi’j’。这相当于在新坐标系中仍有

我们称它为单位张量。

例2-2 作为第二个例子，我们看并矢ab, a与b的分量分别为(a1 ，a2 ，a3 )和(b1 ，

b2 ，b3 )。

并矢ab用基矢表示，写出它们的直接乘积

用矩阵表示时．写为

在坐标系变化时，由矢量遵从一个犀因子的变换法则，有

因之

即并矢的分量(两个指标)遵从两个β因子的变换法则，因之写成矩阵形式(2-14a)也好，写成基矢的并矢形式(2-13a)也好，它们表示的都是张量。

要注意ba是和ab不同的张量。因为

与式(2-13a)对比，可以看出，式(2-13a)中e1e2的系数是a1b2，而式(2-13b)中e1e2的系数

却是b1a2。

将ba写成矩阵形式就是

显然，此矩阵不同于式(2-14a)，而是将式(2-14a)的行列对调了。把一个矩阵的行与列对调而产生的矩阵叫做转置矩阵。

不难证明比也是一个张量。遵从β因子的变换。

类似前面的论述，还可以用矢量的直积构造高阶张量

这里叫做多阶基矢，ｎ的个数表示张量的阶数(这时是n个)，i的变程表示张量的维数(比如三维空间i ＝1, 2, 3)。当然当阶数高于二阶时，不能写成矩阵的形式，

也不再叫并矢．而叫多重矢。但应说明，用多重矢构成的张量．是最简单的一种张量。

因为每一个矢量都代表空间一个有向线段而与坐标系无关，所以这种用并矢或多重矢(或多重矢之和)表示张量的方法，又叫绝对表示法。本书不采取这种表示法。

§2—2 张量的代数运算

所谓张量的代数运算，包括张量的加、减、乘(不包括除)等运算，其中还有一种对张量指标的置换。

一、张量的指标置换

这是张量所特有的代数运算之一，也是最简单的张量代数运

二阶张量的指标置换：T ik→T ki。这即是将原来张量矩阵第i行第k列的元素，换成张

量的第k行第i列．也就量

[T ik] = [T ki]T(2-16) 显然，进行指标置换后所得的新集合，仍是张量，称为原张量的共扼张量。如果

T ik= T ki(2-17) 即共扼张量与原张量相等T T＝T，就称该张量为对称张量。如果T ik = -T ki，则共钝张量

等于原张量反号T T＝-T，就称这种张量为反对称张量。如果张量是三维的．那么一般二阶张量是有三行三列，共九个独立分量。但是，如果是对称张量，因为还要满足三个独立方程式：T ik = T ki(i≠k)，所以只有六个独立分量。如果是二阶三维反对称张量．则因为要满足六个独立方程：T ik = -T ki(i=k时，T ik = -T ki＝0；i≠k时另有三个方程)，所以独立分量更少，只有三个，恰好和一个矢量的分量一样多。而且也不难证明，由三个分量组成的这种反对称张量，完全可以看作一个矢量．满足—个β因子变换式。

三阶或更高阶张量进行指标对调，也构成新张量。也可构成对称张员与反对称张量．这里就不讨论了。

今后，为了表示一个张量对那几个指标是对称的，我们用圆括号括出。比如T(ik)．表示i,k对调时张量不变。T(ijk)表示这三个指标任意对换，张旦仍不变。与此同时，用方话号表示哪几个指标是反对称的，它们之间对调，张量就反号。比如：T[ik]表示反对称二阶

张量，T[ijk]表示反对称三阶张量，任意对调其中两个指标，张量都反号。

容易证明．张量的对称与反对称性，在坐标变换时，能继续保持。

二、张量与常数相乘

张量与常数相乘．即每个分量乘一个常数。即如

Π= {p ij}

则

{λp ij} =λΠ

三、张量的加法与减法

张量的加法用分量的加法定义

ik ik ik q p S +=()()[]()?

????

---++=+++++=kji ikj jik kij jki ijk ijk kji ikj jik kij jki ijk ijk A A A A A A A A A A A A A A 616

1 (2-18)

式中p i k 、q ik 为两个待加张量之分量，S ik 为求得之新元素。显然，两待加张量的阶数与维数均需相同，如S ijk =p ijk +q ijk 等。对二阶张量，不难证明，求得之S ik 遵从两个β因子的变换法则，因此所得仍是二阶张量，记作S 。推而广之，对任意阶张量P 与Q ，求和S=P+Q 为新张量，其阶数与维数与原相加之张量相同。也不难看出，张量和遵从交换律

P+Q=Q+P (2-19a)

当个张量相加时，结合律也成立

(P+Q)+R=P+(Q+P) (2-19b)

此外，如果在某个坐标系中一个张量等于另外两个张量之和，则当坐标系变化之后，该张量仍等于原来两个张量之和。

张量之差的定义与和的定义完全相似。 四、张量的分解

设有一个二阶张量T={T ik }，则由

T=1/2(T ik +T ki )+1/2(T i k －T ki )≡u ik ＋v ik (2-20)

式中

u ik =1/2(T ik ＋T ki ),为对称张量之元素 v ik =1/2(T i k －T ki ),为反对称张量之元素

从而将原张量T 分解为两个张量之和。其中一个为对称张量，另一个为反对称张量。

如果张量T 是一个并矢：ab ={c ij }=a i b j ，则其对称部分为1/2(a i b j ＋b i a j )，其反对称部分为1/2(a i b j －b i a j )。回忆矢量a 与矢量b 的叉积式（1-17） a ×b=a i b j e ijk e k =(a i b j －a j b i )e k (i,j ≠k)

于是可见张量c=ab 之反对称部分，即等价于两矢量叉积（的1/2倍）。这样，就把叉积与反对称张量联系了起来。

从一个张量T 找出其对称张量的过程叫做对称化。如二阶张量T={T ik }，则对称化后，得

T (ik)=T i k ＋T ki (2-21a)

显然，T (ik)是T ik 中对称部分的两倍。

从一个张量T 找出反对称张量的过程叫做反对称化。如二阶张量T={T ik }，则反对称化后得

T [ik]=T i k －T ki

显然，T [ik]是T ik 中反对称部分的两倍。

对三阶张量A ijk 或更高阶张量，也可以对称化或反对称化，从而得出新的对称或反对称张量 (2-22)

又如对五阶张量T ijklm 中三个指标i,j,l 对称化，可得

T (ij|k|l|m|)=1/3!(T ijklm ＋T jlkim +T likjm +T jiklm +T ilkjm +T ljkim ) (2-23a)

如果对其中三个指标i,j,l 反对称化，则有

T [ij|k|l|m|]=1/3!(T ijklm +T jlkim +T likjm -T jiklm -T ilkjm -T ljkim ) (2-23b)

上两式中，都将不参与对称化或反对称化的指标k 、m 用一竖线隔开，在指标置

一 爱因斯坦求和约定 1.1指标 变量的集合： n n y y y x x x ,...,,,...,,2121 表示为： n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,== 写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。 用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。 1.2求和约定 若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。这是一个约定，称为求和约定。 例如： 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++

筒写为： i j ij b x A = ｊ——哑指标 ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。 1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号 Kronecker-δ符号定义 j i j i ij ji ≠=???==当当0 1δδ 置换符号 ijk ijk e e =定义为: ?? ? ??-==的任意二个指标任意k j,i,当021) (213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2， 1是k j,i,当1ijk ijk e e i,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式： 23123133122123321123123113322133221133 323 123222 113121 1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==

第一章 习题7： 若c a m b =+，则 2322(12)(2)(32)a c m b i j k i j k i j k m m m m m m =-=++--+=-+-+- 注意 0a b ?=，则 2(12)(2)2(32)0m m m -+--+= 29 m =- 132023999a i j k = + + 习题10： （1.2.17）式为： )1 23g g g = ? )2 31g g g = ? )3 12g g g = ? ()123g g g g =??()()2i j k i j =+-?+= 2 = ()12011101i j k g g i j k ?= =+- 则 ()1 12 g i j k =+- ()231011 10i j k g g i j k ?= =-++ ()2 12 g i j k = -++ ()311 100 11 i j k g g i j k ?==-+ ()312 g i j k =-+ 11112g g g =?= 222g = 332g =

()()12211j k i k g g = ++== ()( )1331 1j k i j g g =++ == ()()32231g i k i j g =++== 习题24： T =N N T =ΩΩ T ?=?=?u N N u N u T ?=?=-?u u u ΩΩΩ 习题34： :()():ij ji ij i j i j j i T a b T a b T a b ====N ab ba N :()():ij ji ij i j i j j i a b a b a b =Ω=-Ω=-Ω=-ab ba ΩΩ 习题36： ??=??a T b a S b 推出 ()0?-?= a T S b 对a ，b 为任意张量都成立，，则0-=T S ，即=T S 习题48： 设 s r s r u u ==u g g ()pq r pq p q r q p u u ?=Ω ?=Ωu g g g g Ω 1 :2?? ?- ? ?? ? u =u ∈Ωω ()()11:221122 11 22 12 i j k pq s pq j k i s ijk p q s ijk p q s jk i s jk ist ijk s ijk s t ist jk s s t s t jk ijk s j k k j s t st ts st pq s t s t u u u u u u u u δδδδδδδ??-∈Ω?=-∈Ω? ? ?? =-∈Ω ?= ∈Ω ∈ =-Ω=- -Ω= Ω-Ω =Ω=Ω =g g g g g g g g g g g g g g g q p u g

张量分析在弹性力学中的应用 自然界的许多问题用数学语言来描述时都需要引入坐标系，但其本质又与坐标无关。当有些自然规律用坐标形式表达后，由于复杂的方程式往往使得人们忽略了它的内在本质。张量是一种特殊的数学表达形式，它描述的结果不会因为坐标系的变化而发生变化[1]，因此可以摆脱坐标系的影响，反应事物的本质。此外通过爱因斯坦求和约定、相关记法的规定等常用的表示方法，使得张量的表达形式变得十分简洁。 弹性力学，又称弹性理论，主要是研究弹性体在外力和其它外界因素作用下产生的应力、形变和位移，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。为了求得一定边界条件下物体的应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程，即平衡微分方程、几何方程和本构方程，共15个方程[2]。由于方程数目的众多，使得我们在分析过程中往往将大部分注意力集中在了方程的形式上，从而忽略问题的本质。 如果将张量引入到物体的应力、应变和位移中，关于弹性问题的15个方程都可以用相关的符号而不是展开式来表示，一方面可以使得书写简便，更重要的是可以将大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身，从而深化对问题的分析[3,4]。 由于表达简洁、不会改变方程式的本质，张量分析得到了广泛的应用。黄勇对张量的概念做出了具体的分析[5]；林诚之利用张量的概念推导了形状比能的表达式[6]；赵超先[7]、黄晓琴[8]将张量应用于物理学中，利用应力张量对麦克斯韦磁场力进行了重新推导；明华军等利用监测得到的张量结果得到了岩体破裂面空间方位的计算方法[9]；杨天鸿等以现场岩体渗透结构面概率模型统计资料为依据，采用离散介质方法建立典型裂隙网络模型，提出计算岩体结构面网络的等效渗透系数张量方法[10]。 本文的目的并不是概述张量在工程中的应用，而是主要介绍张量在弹性力学中的应用，具体介绍弹性力学中基本方程的张量表达形式以及用张量概念推导的弹性应变能函数的表达式。 2 弹性力学中基本方程的张量表达形式[2,3,4] 2.1 用张量表示弹性力学中的基本物理量 对于空间问题，受力物体在外力作用下，物体的各个点都会长生相应的应 来表示 力、应变和位移。将受力物体上一点的应力状态用应力张量 ij

单元测评卷(六) (120分钟,120分) 一、基础(共24分) 1.根据课文默写古诗文。(10分) (1)僵卧孤村不自哀,尚思为国戍轮台。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (2)君问归期未有期,巴山夜雨涨秋池。(李商隐《夜雨寄北》) (3)正是江南好风景,落花时节又逢君。(杜甫《江南逢李龟年》) (4)求闻之若此,不若无闻也。(《穿井得一人》) (5)若屈伸呼吸,终日在天中行止,奈何忧崩坠乎?(《杞人忧天》) (6)晴空一鹤排云上,便引诗情到碧霄。(刘禹锡《秋词》) (7)夜阑卧听风吹雨,铁马冰河入梦来。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (8)河流大野犹嫌束,山入潼关不解平。(谭嗣同《潼关》) (9)李商隐《夜雨寄北》中写出对未来欢聚的向往之情的诗句是:何当共剪西窗烛,却话巴山夜雨时。 2.根据拼音写出相应的词语。(4分) (1)任何不chèn zhí(称职)的或者愚蠢得不可救药的人,都看不见这衣服。 (2)我想那piāo miǎo(缥缈)的空中,定然有美丽的街市。 (3)她就顺手从池边掘起一团黄泥,chān huo(掺和)了水,在手里揉团着。 (4)又听见“妈妈”的喊声,不由得满心欢喜,méi kāi yǎn xiào(眉开眼笑)。 3.下列加点的词语使用有误的一项是(3分) (C) A.我们无论做什么事情,都要有自己的主见,要敢于表达自己的观点,不要人云亦云,对什么问题都只 是随声附和 ．．．．。 B.××县发生了一起骇人听闻 ．．．．的持枪袭警案,四名警察英勇牺牲。 C.读书读到会心之处,我们常常会言不由衷 ．．．．地发出感叹。 D.不知道在什么时候,出现了一个神通广大 ．．．．的女神,叫作女娲。 4.下列对病句的修改不正确的一项是(3分) (B) A.通过这次语文综合性学习,让我们感受到了戏剧的魅力。(删去“通过”) B.晚会过后,她那优美的舞姿,动听的歌声,还回响在我们耳边。(把“回响”改为“回荡”) C.改革开放30年来,东莞取得了在经济改革方面巨大的成就。(“取得了”和“在经济改革方面”互换位置)

张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。

第一章 张量的概念 § 1.1 引言 什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。 有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。 在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有 ()???? ? ??σσσσσσσσσ=σzz zy zx yz yy yx xz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时， 应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。 把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。可以看出，张量是矢量概念的推广。关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。 由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。 张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。张量分析在力学领域中有广泛的应用，是力学工作者的重要数学工具。 § 1.2 符号与求和约定 一、指标 在张量分析中广泛运用指标。几个变量的集合 n 21x ,...,x ,x 可表示为

柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛

，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，

指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????

第三章 张量分析 将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。张量的协变导数是本章讨论的重点。 §3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号 求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导： j ,i i i i j ,j ,i i j ,j g V g V )g V (V x V +===?? (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。 （3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。下面分别进行讨论。 一、基矢量i g 的偏导数j ,i g 由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出 s j i s 2s i s j j ,i i x x z )i x z (x g ???=????= 这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量： k k ij k ijk j ,i g g g Γ=Γ= （3.1-2） 式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。 从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到 i j k l k i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=?Γ=? (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=?Γ=? (3.1-3b) ijk Γ称为第一类克里斯托费尔 （Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。

浅议张量分析的形成及其应用 摘要：张量分析是现代数学物理学的基础工具。从广义相对论开始，到规范场论，以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法，真正实现了非欧几何从概念到演算的革命，而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的。同时叙述了张量分析在相对论以及连续介质力学方便的应用。 关键词：张量分析；线性变换；相对论；连续介质力学 1引言 张量是向量(矢量)的自然推广。简单说，三维向量是有三个分量的矩阵函数，三维张量(也叫二阶张量)是有九个分量的矩阵函数。但是并不是只要把九个数写成矩阵形式就可以成为张量，还要必须满足线性变换形式不变这个条件。向量是一种平移不变量，在坐标系变换的时候，向量保持长度和方向不变。建立在向量基础上的微积分运算，也就是向量分析，为麦克斯韦的电磁理论提供了数学工具。不过，向量分析是笛卡儿空间中的分析，即三维直角坐标系中的向量微积分运算，它的局限性是很明显的，物理量中很多都有超过三个的分量，如果把分量理解为维数，那就需要处理高维空间中的分析的数学方法，张量分析因此有存在和发展的必要。 2张量概念的起源 2.119世纪初的非欧几何学 1826年，喀山大学的罗巴切夫斯基(H. N. Lobachevsky，1792-1856)演讲了他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，被视为非欧几何诞生的标志。罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，提出一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，假如用它与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，然后展开一系列的推理，那么在此过程中，将得出一个个在直觉上很难理解，但在逻辑上毫无矛盾的命题。罗巴切夫斯基由此提出了新的几何理论，后来被称为罗巴切夫斯基几何，这是第一个被提出的改变空间观念的非欧几何学。 从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，1832年，匈牙利数学家波尔约(Janos Bolyai，1802-1860)从第五公设证明了

《不平凡的求学生涯》阅读及答案 《不平凡的求学生涯》阅读及答案 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，

极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门

各章要点 第一章：矢量和张量 指标记法： 哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底： k i k i i x ??==?ξ?ξr g e j j i i ?=δg g i i k k x ?ξ=?g e 123 = ==g g g 张量概念 i i'i'i =βg g i'i'i i =βg g i k i k j j ''''ββ=δ i'i'i i v v =β i i 'i 'i v v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =???T g g g g 度量张量 ij i i i j i i g =?=?=?G g g g g g g ?=?=?=?=v G G v v T G G T T .j kj i ik T T g = 张量的商法则 lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk ...lm T(i,j,k,l,m)T = 置换符号 312n 1n 123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmn ijk .L .m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A = 置换张量

i j k ijk ijk i j k =ε??=ε??εg g g g g g ijk i j k ()e ε=??=g g g ijk ijk i j k ()ε=??=g g g i j k ijk ijk i j k a b a b ()::()?=ε=ε=?=?a b g g a b εεa b 广义δ符号 i i i r s t j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s t e e δδδδδδ==εε=δδδδ ijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδ ijk k ijt t 2δ=δ ijk ijk 6δ= 性质：是张量 重要矢量等式：()()()??=?-?a b c a c b a b c 第二章： 二阶张量 重要性质：T =T.u u.T 主不变量 i 1.i Tr()T ζ==T i j l m 2l m .i .j 1T T 2 ζ=δ 3det()ζ=T 1()()(())(())()?????????=ζ??T u v w +u T v w +u v T w u v w 2)[)][()(]()[()]()????????????=ξ??T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()?????=??T u T v T w T u v w 标准形 1. 特征值、特征向量 ?=λT v v ()-λ?=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形 i 12 3 i 1122 33=??=λ?+λ?+λ? N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法） 12112233(cos()sin())(sin()cos())=?+??+-?+??+?R e e e e e e e e

电力系统分块计算的意义和策略何小庆11031009 摘要：本文阐述了电力系统分块可行性和电力系统分块意义，介绍了了两种重要的分块方法：节点撕裂法和支路切割法。通过这几种方法做了比较，最后对电力系统分块做了展望。 关键字：电力系统分块，节点撕裂法，支路切割法 Abstract：This paper presents a reliability of a section algorithm of power system and the importance of this algorithm,and introduces two vital methods of a section algorithm of power system,node tearing and branch cutting .Through comparing those methods,we can conclude the future of a section algorithm of power system. Key word： a section algorithm of power system,node tearing,branch cutting 0 前言 网络分块计算最早有Kron[1]于20世纪50年代初提出，他利用张量分析的概念发展了网络分裂算法（piecewise diakoptics），其基本思想是吧电网分解成若干规模较小的子网，对每一个子网在分割的边界处分别进行等值计算，然后再求出分割边界处的协调变量，最后求出各个子网的内部电量，得到却系统的解。 1 电力系统分块可行性分析 电力系统能够分块计算具有以下几个原因： 一，现代电力系统规模庞大，节点众多，分块处理可将大系统拆分为大量小系统，最终简化分析计算过程。 二，目前的计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解交大系统的分析结果，虽然对于缩短计算时间成效不大，但对于减少内存占用意义明显。分块处理应用于多台计算机上，通过并行处理可提供比单台计算机更快的计算速度，从而缩短计算时间。 三，电力系统本身所具有的分层分区结构特别适合分块计算的应用。就信息的传送而言，每一个地区电网只能收集到本地区系统内的信息，其中重要的信息将被传送到更高一级的调度中心。调度中心根据各地区传送来德尔信息进行加工处理，将协调信息传送给各地区电力系统的调度中心。分块计算正好可以适应这一分层调度的要求。近年来，随着计算机的发展，各种并行计算机和多处理机组成的列阵机相继出现。这样的应用背景促进了人们对并行计算的兴趣，并开展了大量的研究工作，提出了各种基于网络分块的并行计算。 根据协调变量的不同，网络分块计算主要分为两类：一类是支路切割法（branch cutting），通过切割原网络中的某些支路把原网络分解；另一类是节点撕裂法（node tearing），即将原网络的部分节点“撕裂”开，把网络分解。前者的协调变量是切割电流，后者的协调变量是分裂点点位。两种方法有各自的特点，将两种方法统一起来，就产生了统一的网络分裂算法。 2 电力系统分块意义 现代电力系统规模庞大，使进行各种分析的计算量很大，以致现有计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理可以达到利用现有计算工具，大大缩短计算时间的要求。 对于电力系统，通常情况下，是在各电力公司的边界线对系统进行分割。分割理论的应用至少有二：第一种应用是，把分割法应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解较大系统的分析结果，这中方法的

华东师范大学 硕士学位论文 张量投票算法及其应用 姓名：秦菁 申请学位级别：硕士专业：基础数学 指导教师：沈纯理 20080501

摘要 本文主要介绍了一种新的数据分析算法，即张量投票算法．该算法完全利用图像数据，根据张量分析，矩阵论和几何的知识，对数据点进行编译和几何阐释，再根据心理学中的Ｇｅｓｔａｌｔ原理制定一个数据点与周围的数据点之问的信息传递规则，从而推断出一些几何结构．这种方法有诸多优点ｏ．局部性，对噪声的鲁棒性，非迭代的，可处理大量数据的，可同时表示各种几何结构类型等．本文从二维情形开始对该算法进行了详细的数学描述，并推广到高维空间． 这种算法与现在流行的基于偏微分方程的图像处理方法不同，在第三章中就该算法的应用提出了三个方面：１．图像去噪；２．图像分割；３．图像序列．其中，图像去噪是完全利用张量投票算法对数据的处理，可以看到这种算法的有效性．而对于图像中轮廓线的提取，以前也有很多基于能量泛函和偏微分方程的工作，本文从另外一个角度把张量投票算法中出现的显著性信息放到能量泛函中得到跟以前一致，并更精细的方程．限于时间，这个改进的方法没有进一步与之前的方法进行比较和分析．最后，对图像序列中研究不多的过渡图像生成的问题做一些结合张量投票算法的尝试．而这个问题在文献【２３】中并没有得到有效的解决，但我们的方法部分解决了这一问题． 关键词：张量投票算法，图像去噪，轮廓提取，图像序列分析 ２

第一章绪论 １．１张量分析的基本知识 １．１．１张量的定义和性质 假设ｙ是一个ＩＩ维的实向量空间，三（ｙ；Ｒ）表示从ｙ到实数集Ｒ的线性函数空间．可以证明己（ｙ；Ｒ）与ｙ有相同的维数ｎ．因此ｙ和Ｌ（Ｖ；Ｒ）为同构的．Ｌ（ｙ；Ｒ）也经常被称为ｙ的对偶空间，记为Ｐ． 若Ⅵ…．，Ｋ都是向量空间，一个函数Ａ：ｖ１×…×Ｋ＿÷Ｒ当满足如下条件： Ａ（Ｖｌ，ｖ２，…，ｏｉｌ‰１＋ｎ２ｉ％２，…，ｖｓ）＝耐Ａ（＂１，…，钉ｊ，…，％）＋ａｉ２Ａ（ｖ１，…，谚，…，％）， 讹ｉ，吐∈Ｒ，叫，蛾２∈Ｋ，ｉ＝１…．，８函数Ａ称为８重线性函数．若向量空间Ⅵ…．，Ｋ中要么为向量空间ｙ要么为其对偶空间Ｖ’，则称Ａ为ｙ上的一个张量．即Ｖ上的ｐ，ｑ）阶张量（Ｐ和口均为正整数）为一个ｐ＋ｇ）重线性函数： Ａ：Ｖ’×…×Ｖ’×Ｖ×…×Ｖ＿Ｒ 、－?＿＿＿—－ｖ—＿－＿一、?＿＿－＿、一．—?＿＿＿， ｐ口 当Ｐ＝ｑ＝０时定义（０，０）型张量即为Ｒ中的一个数量，仞，ｏ）型张量也称为Ｐ阶反变张量，（ｏ，口）型张量也称为ｑ阶协变张量．其余类型的张量称为混合张量，一般我们称ｐ，ｑ）型张量为Ｐ＋ｑ阶的张量．用馏表示全体ｙ上的ｐ，口）阶张量所构成的空间，它是一个矿＋ｑ维的线性空间，以 ｅｉｌ＠…ｏ ｅｉｐｏ哼ｌｏ…ｏ吃，ｉｌ，…，ｉｐ，ｊｌ，…，Ｊｑ＝１，…，Ｔｔ． 为基底．其中ｅｌ，…，ｅｎ为Ｖ的基，ｅ：，…，ｅ：为Ｖ＋中的对偶基． 例如，一阶张量就是一个线性作用将一个向量映为一个数量，从而任何一个向量与一个已知向量的内积可以看作一个一阶张量．同理，二阶张量可以定义为一个把两 １

练习题Ⅱ（金属所） 1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(?-?=??。 2. 证明 nk nj ni mk mj mi lk lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 4. 证明ijk ikj =-6。 5. 证明 ijk mik =-2δjm 。 6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。 7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明： (div M )?B =div(M ?B )-{ (B ?)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。 ???? ? ??----=211121112)(ij σ 9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交 的。 ???? ? ??=740473037)(ij σ 10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1 cx 3，u 3= bx 2+cx 3； 其中a 、b 、c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？ ???? ??????++--=3222 2111 216112226226)(x x x x x x x ij ε 12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。

张量分析在连续介质力学中的应用 薛玉洁 （中国矿业大学力学与建筑工程学院，桥梁与隧道工程，ZS13030047） 摘要：本研究将叙述张量分析在连续介质力学中的应用，Euclid空间上张量场分析、二维曲面(Riemann流形)上的张量场分析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础等。张量分析是我国著名力学家周培源先生常用的数学及力学分析方法，亦谨以此文表示为前辈诚挚的仰慕之情。 关键词：连续介质力学；Euclid空间；二维曲面；涡量与涡动力学 1引言 一般连续介质力学的理论体系，引入初始物理构形以及当前物理构形，对二者可再分别引入初始参数构形以及当前参数构形，物理构形与参数构形之间的关系即为一般曲线坐标系，数学上对应为有限维Euclid空间之间二个开集之间的微分同胚。 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响，我们对于当前物理构形引入显含时间的曲线坐标系，表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化的参数区域。如图l所示，对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场，其当前物理构形显得极其复杂，但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系，使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化。进一步将连续介质运动的控制方程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地，可基于非完整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系(非完整系)下的分量方程，也适用于按时均分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式。 以上所述，一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想及方法。本文将叙述Euclid空间上张量场分析、二维曲面(Riemann流形)上的张量场分析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础。

实用类文本阅读 一、阅读下面的文字，完成1--3小题。 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。 1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门所在的美国加州理工学院做博士后研究。由于反法西斯战争的需要，美国当时正在加紧研究火箭、导弹，精确地计算火箭导弹的弹道成了当务之急。钱伟长担起了这个重任，他经常到喷气推进研究所在地墨西哥州的白沙基地参加火箭试验，对各种型号的导弹的弹道及空气动力学性能进行了细致的分析，写出了许多保密的内部报告，并提出了有关火箭、导弹落点的理论。在第二次世界大战中，伦敦遭到德国导弹的袭击，英国首相邱吉尔很着急，向美国求援，问题转达到冯·卡门那里，钱伟长提出了一个对运行的导弹加以干扰迫使其射程减小的方案，立即得到采纳。因此战争中尽管伦敦东码头区遭到德国导弹破坏，市中心却安然无恙。邱吉尔在回忆录中提起此事，说美国青年人很厉害，但实际上应该说：中国青年人很厉害! （摘编自戴世强《钱伟长小传》） 1．下列对传记有关内容的分析和概括，最恰当的两项是（5分） A．钱伟长在清华大学入学考试中，文史成绩优异，作文和历史都拿了满分，是因为钱伟长受到良好的家庭环境的熏陶和影响，自小是看古书长大的。 B．钱伟长基于爱国的崇高理想，弃文从理，转系后读书极为用功，最终成为一名优秀的理科毕业生，这充分说明了奋发才能有为、勤学才能有识的道理。 C．多年来各学派学者对平板和壳体进行了广泛研究，但没有找到内在联系，钱伟长在前人研究的基础上建立起板壳的基本理论，与导师辛吉的研究结果相似。 D．由于反法西斯战争的需要，钱伟长在美国加州理工学院时主要从事有关火箭、导弹的研究，他提出的方案曾帮助伦敦在二战中免遭德国导弹的破坏。 E．本文用形象生动的语言，记叙了钱伟长青年时期刻苦求学的过程，展现了一代科学大师的成长历程，塑造了一个成就卓著、令人尊敬的科学家的形象。 2．本文反映了钱伟长哪些优秀的品格?请简要概括。（6分） 3．文史上极具天赋的钱伟长上大学时却弃文从理，最终在科学领域还取得了杰出的成就；而人们平时却常说扬长避短更容易取得成功。对此，你有何看法?请结合选文探究。（8分）二、阅读下面的文字，完成4--6小题 寂静钱钟书 周劼人 12月19日，寂寥的寒夜，清华园日晷旁，烛光隐隐。小提琴哀婉的曲调飘散在清冷的夜空，人们伫立无语，鞠躬，献上白菊。 偶有路人好奇：“这是在祭奠谁？” 有人低声答语：“今天是钱钟书先生辞世10周年。” 10年前，钱钟书先生安详离世。遵钱先生遗嘱，“一切从简”，连在八宝山的告别仪式也只有短短的20分钟。“如此寂静。”钱先生的一位生前好友说。那日，清华的南北主干道上飘起了一千只纸鹤，学生们用这种方式，静静地送别他们的老学长。 他的人生，本不寂静。 无论是人们熟稔的《围城》，还是近乎天书的《管锥编》，都惊讶了世人，折服了学界。《管锥编》单是书证就数万条，引述涉及四千位作家上万种著作。世人惊叹“大师风华绝代，天才卓尔不群”。 然而他却又静静地坐在书斋里，照例埋头读他的书，做他的学问。图书馆内很多冷僻线装书的借书单上，只有他一人的名字。即使是身处困境，他也只是默默地埋头书本。“文革”时他被送去干校劳动改造，能看的只有寥寥几本书，但只要抱起书本来，就能兴致盎然。第一批“大赦”回京的名单中，没有钱钟书，也没有杨绛。他们夫妻二人平静地走回窝棚，杨先生说：“给咱们这样一个棚，咱们就住下，行吗？”钱先生歪着脑袋认真的想了一下，说：“没有书。” “文革”后，对钱钟书先生的称颂日渐声高，然而钱家的书斋内一如既往地平静。他谢绝了一切记者和学者的拜访，有人将此误读为“清高孤傲，自以为是”。 他人的不解，钱先生并未在意过。杨绛先生说：“他从不侧身大师之列……他只想安安心心做学问。” “钱先生做学问是‘心在焉’,”清华大学一位老师说：“而我们今天这个社会上，今天这个校园里，有多少人则是‘心不在焉’。” 清华大学一位博士生说，他多次读《围城》，读第三遍时忽然明白，“围城不是别人给的，