绝对值几何意义应用 一、几何意义类型: 类型一、0
-=a a
:表示数轴上的点a 到原点０的距离；
类型二、 a
b b a -=-：表示数轴上的点a 到点b 的距离(或点b 到点a 的距
离)；
类型三、)(b a b a --=+)
(a b --=:表示数轴上的点a 到点b -的距离（点b 到
点a -的距离);
类型四、a x -：表示数轴上的点x 到点a 的距离； 类型五、)
(a x a
x --=+：表示数轴上的点x 到点a -的距离.
二、例题应用:
例1.（１)、4-x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离,若4-x =2，则 =x .
（２）、3+x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离,若13=+x ，则 =x ．
（3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m 、n 、ｐ、q.若15
=-q m ，
8
10=-=-m p n q ，,则
=
-p n ;若
15
=-q m ,
，，q n n p m p -=
-=-31
8
则=-p n .
（4）、不相等的有理数c b a ，，在数轴上的对应点为A ，Ｂ,C ,如果
c
a c
b b a -=---,
则点A ，B ，C 在数轴上的位置关
系 .
拓展：已知d c b a 、、、均为有理数,25
169=+--≤-≤-d c b a d
c b a 且，
，求
.的值c d a b ---
解析：()25169)(=+≤-+-≤---d c b a d c b a .
25=+--d c b a 且
169=-=-∴d c b a ，
.
7169-=-=---∴c d a b
例２.（1）、①当 =
x 时，
3
+x 取最小值;②当 =x
时,32+-x 取最大值，最大 值为 .
（2）、①已知
7
23=++-x x ,利用绝对值在数轴上的几何意义得
=x
;
②已知5
23=++-x x ,利用绝对值在数轴上的几何意
义得 ;
③已知423=++-x x ，利用绝对值在数轴上的几何意义得 ；
拓展：若
8
1272=-++a a ,则整数
a
的个数是
4 .
④当x 满足 条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义2
3++
-x x 取得最小值，
这个最小值是 ．
由上题③图可知，532≥-++x x ，故而当32≤≤-x 时，最小值是5.
⑤若a x x =++-23时，探究a 为何值，方程有解?无实数解？ 档案:5≥a ;a ＜5.
特别要注意的是:当x 在32≤≤-x 这个范围内任取一个数时,都有
5
23=++-x x .
例题拓展：①若23++-x x >a 恒成立,则a 满足什么条件？答案：a <５. ②若2
3++-x x ＜a 无实数解，则a 满足什么条件?答
案:a ≤５.
③若23+--x x >a 恒成立，则a 满足什么条件?答案:a ＜
5-.
由上图当x ≤2-时,2
3+--x x 5=;当x ≥３时，23+--x x 5-=；当
2- 5-＜23+--x x ＜5,所以5-≤23+--x x ≤5.则a ＜ 5-. ④若23+--x x 5. 拓展应用:已知()()()36 131221=++-++--++z z y y x x ,求z y x 32++的最大 值和最小值. 解析:3 21≥-+ +x x ，3 12≥++ -y y ,13++-z z 4≥ ()()()36 131221≥++-++--++∴z z y y x x , 3 21=-++∴x x , 3 12=++-y y ,413=++-z z 312121≤≤-≤≤-≤≤-∴z y x ，， 933422≤≤-≤≤-∴z y ， 15326≤++≤-∴y y x ． （3）、当x 满足 条件时，3 12-+-++x x x 取最小值，这 个最小值是 ． 由以上图形可知：当x ＝ 1 时， 312-+-++x x x 5 =，其他范围内 3 12-+-++x x x ﹥5， 故而312-+-++x x x 5 ≥,这个最小值是 5 . （4)、当x 满足 条件时，5 312-+-+-++x x x x 取最小值,这 个最小值是 . 由以上图形可知:当 31≤≤x 时，5312-+-+-++x x x x 11 =，其他范围 内5 312-+-+-+ +x x x x ﹥11,故而5312-+-+-++x x x x 11 ≥，这个最小值 是 11 ． 特别要注意的是:当x 在31≤≤x 这个范围内任取一个数时，都有 5312-+-+-++x x x x 11 =. (5）、当x 满足 条件时,5312-+-+-+ +x x x x 7 -+x 取最小值, 这个最小值是 ． 由以上图形可知:当x = ３ 时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 13 =，其 他范围内 5312-+-+-++x x x x 7 -+x ﹥1３,故而5312-+-+-++x x x x 7-+x 13 ≥， 这个最小值是 1３. （6)、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 8 -+x 取最小值， 这个最小值是 . 由以上图形可知：当 5 3≤≤x 时，5 312-+-+-++x x x x 7-+x 8 -+x 18 =，其他范 围 内 5312-+-+-++x x x x 7-+x 8 -+x ﹥18, 故而5312-+-+-++x x x x 7-+x 8-+x 18 ≥，这个最小值是 18． 小结:有1a ，2a ，3a ，…， 12+n a (12+n )个正数,且 满足1a ＜2a ＜3a <…＜12+n a . １.求1 2321+-++-+-+-n a x a x a x a x 的最小值,以及取得这个 最小值 所对应的x 的值或范围； 答案是：当 x = 1+n a 时,1 2321+-++-+-+-n a x a x a x a x 取得 最小值, 这个最小值是1 21312111+++++-++-+-+-n n n n n a a a a a a a a ． ２．求n a x a x a x a x 2321-++-+-+- 的最小值,以及取得这个 最小值 所对应的x 的值或范围; 答案是：当1+≤≤n n a x a 时,n a x a x a x a x 2321-++-+-+- 取得最小 值, 这个最小值是n n n n n a a a a a a a a 2321-++-+-+- 或 者 n n n n n a a a a a a a a 21312111-++-+-+-++++ . 三、判断方程根的个数 例３、 方程199＋２｜＝１9９６共有（ ）个解. A ．．4； B ． 3； C ． ２; D ．１ 解:当x 在-９９~-1之间（包括这两个端点)取值时，由绝对值的几何意义知，1９9|=98,+2|<98．此时，１99+２|<1９96，故19９＋2|=１996时，x 必在-99～-1之外取值，故方程有２个解,选（Ｃ). 四、综合应用 例4、（第１５届江苏省竞赛题,初一)已知+２1-＝9--5|－|1，求 y 最大值与最小值. 解:原方程变形得+2－1－51＝9， ∵ ＋2-1|≥3，－5１｜≥6,而＋2-１－5１|＝9, ∴+２－1|=3，-51|=6，∴－2≤x ≤1,-１≤y ≤5, 故 y 的最大值与最小值分别为6和－3. 五、练习巩固 1、若 a ＜ b d ，问当 x 满足 条件时， d x c x b x a x -+-+-+-取得最小值. 2、若 a ＜ b < c < d ＜ e ，问当x 满足 条件 时,d x c x b x a x -+-+-+-e x -+ 取得最小值. 3、如图所示,在一条笔直的公路上有９个村庄,期中A 、B 、C 、D 、F 、G 、 H 、K 到城市的距 离分别为３、6、10、１5、1７、19、２0、２3千米，而村庄E 正好是的中点．现要在某个村庄建 一个活动中心,使各村到活动中心的路程之和最短,则活动中心应建在什么位置？ 4、设x 是实数,1 1++-= x x y 下列四个结论: ①.y 没有最小值；②.只有一个x 使y 取到最小值； ③.有有限多个x （不只一个)使y 取到最小值; ④.有无穷多个x 使y 取到最小值。 其中正确的是（ )． A ．① Ｂ.② Ｃ．③ D.④ 5、试求2003321-++-+-+-x x x x 的最小值.
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