2019届高三数学9月月考试题理(含解析) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）
A. 第二象限
B. 第一象限
C. 第四象限
D. 第三象限
【答案】C
【解析】
，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.
2.已知，函数的定义域为，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求函数定义域得集合M，N后，再判断．
【详解】由题意，，∴．
故选A．
【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
3.已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，3a]上的偶函数，那么a+b的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由定义域关于原点对称求出a的值，再由f（﹣x）=f（x）求得b的值，则答案可求．
【详解】由f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，3a]上的偶函数，得a﹣1=﹣3a，解得：a=．再由f（﹣x）=f（x），得a（﹣x）2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．
则a+b=．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，函数是偶函数或奇函数，其定义域关于原点对称，是基础题．
4.设，则不等式f（x）＜f（﹣1）的解集是（）
A. （﹣3，﹣1）∪（3，+∞）
B. （﹣3，﹣1）∪（2，+∞）
C. （﹣3，+∞）
D. （﹣∞，﹣3）（﹣1，3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式，分别讨论x的范围进行求解即可．
【详解】由函数的解析式得f（﹣1）=1﹣4+6=3，
则不等式等价为f（x）＜3，
若x＞0得﹣x+6＜3，得x＞3，
若x≤0，则不等式等价为x2+4x+6＜3，
即x2+4x+3＜0，得﹣3＜x＜﹣1，
综上不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（3，+∞），
故选：A．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关键．
5.已知命题：,，命题：,，则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2?2x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【详解】命题p：?x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；
命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2?2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，所以，所以函数是增函数，又因为，根据零点存在定理可知函数的零点所在的区间是，故选B.
考点：1、函数的单调性；2、零点存在定理.
【方法点睛】本题是一个关于函数的单调性与函数零点问题的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先根据题目条件判断出实数的取值范围，再根据此范围判断出函数在其定义域上的单调性，最后再应用零点存在定理，即可得到函数的零点所在的区间，从而使问题得到解决.
7.已知函数，则的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，再给函数求导判断单调性，最后代入特殊点判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，排除B选项，
求导：，所以函数单调递增，故排除C选项，
令，则，故排除D.
故选A.
【点睛】本题考查函数图像的判断，由对称性可知可以先由奇偶性判断，由其图像趋势可知可以利用单调性判断，最后对比两图像可以用代入特殊点的方式判断，一般要根据函数图像的差别代入相应的点.
8.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出函数的单调性示意图，由不等式xf（x）＜0可得，x与f（x）的符号相反，数形结合求得不等式的解集．
【详解】由题意可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
且f（﹣3）=﹣f（3）=0，
函数的单调性示意图如图所示：
由不等式xf（x）＜0可得，x与f（x）的符号相反，
结合函数f（x）的图象可得，
不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3），
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．
9.已知函数,则在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为函数f（x）=ax2﹣4ax﹣lnx与x轴在（1，3）有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．
【详解】f′（x）=2ax﹣4a﹣=，
若f（x）在（1，3）上不单调，
令g（x）=2ax2﹣4ax﹣1，
则函数g（x）=2ax2﹣4ax﹣l与x轴在（1，3）有交点，
a=0时，显然不成立，
a≠0时，只需，
解得：a＞，
故选：C
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
10.若函数的最大值为，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
讨论x＜0时，运用基本不等式可得最大值f（﹣1）=a，求得x＞0的函数的导数，讨论a=0显然成立；a＞0，求得单调性，可得最大值，可令最大值小于等于a，解不等式可得所求范围．【详解】当x＜0时，f（x）=x++a+2≤﹣2+a+2=a，
当且仅当x=﹣1，即f（﹣1）取得最大值a，
当x＞0时，f（x）=alnx﹣x2，导数为f′（x）=﹣2x，
若a=0时，f（x）=﹣x2＜0，显然成立；
若a＞0，则可得f（x）在（0，）递增，（，+∞）递减，
可得f（）取得极大值，且为最大值aln﹣，
由题意可得aln﹣≤a，
解得0＜a≤2e3，
综上可得0≤a≤2e3，
故选：C．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和函数的导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题．
11.已知函数，若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先利用数形结合得到，判断函数的单调性，得到函数
在为增函数，从而可得结果.
时，，
所以函数，在为增函数，
通过平移可得，在为增函数，
作出与的图象，
，可得，
故，故选C.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；
2、求参数的取值范围；
3、求不等式的解集；
4、研究函数性质．
12.已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得函数y=f（x）的图象与直线y=m（x+1）的交点个数至少为2个，分别作出y=f（x）的图象和直线y=m（x+1），分别求得直线与x＜0的曲线相切，以及x＞1的曲线相切的m的值，和经过点（1，
）时m的值，结合图象可得m的范围．
【详解】函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m的图象与x轴的交点个数不少于2个，
即为函数y=f（x）的图象与直线y=m（x+1）的交点个数至少为2个，
分别作出y=f（x）的图象和直线y=m（x+1），
当直线与曲线在x＜0相切时，设切点为（s，t），
由y=（）x的导数为y′=﹣（）x ln2，
可得m=﹣（）s ln2，t=（）s=m（s+1），
解得m=﹣2eln2，
由x＞1时，联立直线y=m（x+1）和y=﹣x2+4x﹣，
可得﹣x2+（4﹣m）x﹣m﹣=0，
由相切条件可得△=（4﹣m）2﹣4（m+）=0，
解得m=6﹣（6+舍去），
由直线经过点（1，），可得m=，
则由图象可得m的范围是[，6﹣]∪（﹣∞，﹣2eln2]．
故选：D．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查分类讨论思想方法和方程思想、以及数形结合思想方法，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知幂函数的图象过点，则的值为__________．
【答案】
【解析】
设幂函数，把点代入函数，得，解得，则，，故答案为.
14.已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，，
则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用函数的周期为2，且函数为奇函数，得到f（）+lg14=f（）+lg14=f（﹣）+lg14=﹣f（）+lg14，再利用当x∈（0，1]时，f（x）=lg（x+1），能求出结果．
【详解】∵函数f（x）是定义在实数集R上周期为2的奇函数，
当x∈（0，1]时，f（x）=lg（x+1），
∴f（）+lg14=f（）+lg14=f（﹣）+lg14
=﹣f（）+lg14
=﹣lg+lg14
=lg（14×）
=lg10=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15.若函数f（x）=+m在区间[a，b]上的值域为[，]（b＞a≥1），则实数m的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，即+m=在[1，+∞）上有2个不等实数根，故函数y=的
图象和直线y=﹣m 在[1，+∞）上有2个交点，数形结合求得m的范围．
【详解】由于函数f（x）=+m在区间[a，b]上有意义且是增函数，
值域为[，]，b＞a≥1，故有，
∴+m=在[1，+∞）上有2个不等实数根，
故函数y=的图象和直线y=﹣m 在[1，+∞）上
有2个交点．
如图所示：当m=0时，函数y=的图象（红线）和
直线y=﹣m （虚的蓝线）相切于点（2，1）．
当直线y=﹣m（实蓝线）经过点（1，0）时，
由0=﹣m，求得m=，数形结合可得m的范围是（0，]，
故答案为：（0，]．
【点睛】本题主要考查求函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，求得，是解题的关键，属于中档题．
16.已知函数，(e是自然对数的底数)，对任意的R，存在，有，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
问题转化为f（x）max≤g（x）max，分别求出f（x）和g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
【详解】对任意的x1∈R，存在x2∈[，2]，有f（x1）≤g（x2），
故f（x）max≤g（x）max，
f′（x）=，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故f（x）max=f（e）=，
g′（x）=﹣2ex+a，
①a≤0时，g′（x）≤0，g（x）在[，2]递减，g（x）max=g（）=﹣e?+a≥，
解得：a≥+（舍），
②a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=，
（i）≤即a≤时，g（x）在[，2]递减，
结合①，不合题意，舍，
（ii）＜＜2即＜a＜4e时，
g（x）在[，）递增，在（，2]递减，
故g（x）max=g（）=≥，
解得：a≥2；
（iii）≥2即a≥4e时，
g（x）在[，2]递增，
g（x）max=g（2）=﹣4e+2a≥，
解得：a≥2e+，
综上，a≥2，
故答案为：[2，+∞）．
【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据充分不必要条件的定义进行求解即可．
（2）根据复合命题真假关系，进行求解即可．
【详解】（1）由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤4，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，
p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥4．
（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，
①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，
解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的判断，利用定义法是解决本题的关键．
18.已知函数，是否存在实数，使函数有三个不同的零点，若存在，求出
的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】.
【解析】
【分析】
要使函数有三个不同的零点，即使函数的图象与轴的正半轴有三个不同的交点
【详解】∵，
∴，．
令，则或，当时，，单调递增；当时，，
单调递减；当时，，单调递增；
∴，，
当充分接近0时，，当充分大时，，要使函数有三个不同的零点，即使函数的图象与轴的正半轴有三个不同的交点；
故应有，解得，
∴存在实数，使函数有三个不同的零点，所以的取值范围是．
【点睛】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．
19.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为．
【解析】
【分析】
（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.
【详解】（1），由，解得；由，解得．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）可知：
①当时，即，在上是增函数，所以此时；
②当，时，即，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时
；
③当时，在上是减函数，所以此时．
综上，函数在区间上的最大值；
当时，为；当时，为；当时，为．
【点睛】函数的最值
(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
20.已知函数u（x）=）
（Ⅰ）若曲线u（x）与直线y=0相切，求a的值．
（Ⅱ）若e+1＜a＜2e，设f（x）=|u（x）|﹣，求证：f（x）有两个不同的零点x1，x2，且|x2﹣x1|＜e．（e为自然对数的底数）
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】