2017—2018年度第一学期
高三文科数学期末考试
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合,，则等于
A ．
B ．
C ．
D ．[0，5]
2. 已知 0.3
0.3a =， 1.3
0.3b =，0.3
1.3
c =，则它们的大小关系是
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．b c a >>
D ．a b c >> 3. 复数41i
z i
-=
+的共轭复数的虚部为 A ． 52i -
B ．52-
C ．52i
D ．52
4. 已知命题p ：“?x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：“?x 0∈R ，x 2
0＋4x 0＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是
A ．(4，＋∞)
B ．[1,4]
C ．[e,4]
D ．(－∞，1]
5. 将函数()sin(2)6
f x x π
=-
的图象向左平移
3
π
个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程可以是x = A ．4
π
-
B ．
2π C ．6π- D ．3
π
6. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为
123451
,1024
n S a a a a a =
，且243,,a a a 成等差数列，则5S =
A ．
33
16
B ．3116
C ．23
D ．1116
7. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填
A ．60i >
B ．70i >
C ．80i >
D ．90i > 8. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则
A ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥
B ．若,,m n αββα??⊥，则m n ⊥
C ．“直线m 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m 与平面α垂直”的充分不必要条件
D ．若,,m n n m βα⊥⊥⊥，则αβ⊥
9. 已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3
:2
l x =-
，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率3AF k =-，则AFM ?的面积为 A ．33 B ．63 C ．93 D ．123
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则
该几何体的体积为 A ．
248
3π+ B ．88π+ C ．
3283π+ D ．3224
3
π+ 11、函数23
ln(44)
()(2)
x x f x x -+=-的图象可能是
（A ） （B ） （C ） （D ）
12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=， (){|0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”
，若函数()ln(1)2f x x x =-+-与2()8g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是
A.179,42???
??? B.94,2??
???? C. 7,33??????
D. []2,4 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知在长方形ABCD 中，24AB AD ==,点E 是边AB 上的中点，则BD CE ?=u u u r u u u r ．
14. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱
一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“已知甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 钱（所得结果四舍五入，保留整数）．
15. 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0
DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为
16. 已知实数,x y 满足22222x y
x y x y +≥??
-≤??+≤?
，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =-> 的
最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （12分）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，已知cos (1)2C a += . （1）求C ； （2
）若c =
ABC ?的面积S 取到最大值时a 的值.
18. （10分）在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度
y 与析出银的光学密度x 由公式
()0b
x
y Ae b =<表示，现测得试验数据如下：
i x 0．05 0．06 0．25 0．31 0．07 0．10 0．38 0．43 0．14 0．20 i y
0．10 0．14 1．00 1．12 0．23 0．37 1．19 1．25 0．59 0．79
试求y 对x 的回归方程。 参考数据：
① 由最小二乘法可得线性回归方程
中,
,
② 设1u x
=
，，有下表：
i u 20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
2.632
2.326
7.143
5.000
i v
-2.303 -1.966 0.000 0.113 -1.470 -0.994 0.174 0.223 -0.528 -0.236
③ 设 , , 则有
④
19.（12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，
12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.
（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.
20.（12分） 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长是短轴长的355倍，A 是椭圆C 的左顶
点，F 是椭圆C 的右焦点，点0000(,)(0,0),M x y x y N >>都在椭圆C 上.
（1
）若点(D -在椭圆C 上，求NF 的最大值； （2）若2(OM AN O =u u u u r u u u r
为坐标原点），求直线AN 的斜率.
21.（14分） 已知函数()(2)x
f x x e =-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若2
()()2x
g x f x e ax =+-，()h x x =，且1x ?，()20,x ∈+∞ ，
[][]1122()()()()0g x h x g x h x -->，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （10分）已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l
的参数方程为121122
x y t ?=+????=+??（t 为参数），点A
的极坐标为)24
π
，设直线l 与圆C 交于点,P Q 。 （I ）写出圆C 的直角坐标方程； （II ）求||||AP AQ ?的值.
23.（10分）已知函数()414f x x x a =+-+ . （1）若2a =，解关于x 的不等式()0f x x +<； （2）若x R ?∈，使()5f x ≤-，求a 的取值范围.
高三文数期末考试卷答案
一、选择题
CADCB DBDCA CB
二、填空题
13. 4 14. 17 15. 8 16. 6- 三、解答题
17.解：（1
）因为cos sin cos sin (1)sin (1)2222
C A C C A
a A +
=?+=， 在ABC ?中，sin 0A >
1cos 12C C -=，从而sin()16
C π
-=， 因为0C π<<，所以56
6
6C π
π
π-
<-
<
，所以2623
C C πππ
-=?=. （2）由（1）知23
C π
=
，所以sin 2C =
，所以1sin 24S ab C ab ==
， 因为222
22cos 62a b c C a b ab ab
+-=
?+=-， 因为22
2a b ab +≥，所以2ab ≤，
所以42
S =≤
，当且仅当a b ==.
18. 解：由题意可知，对于给定的公式()0b
x
y Ae
b =<两边取自然对数，得ln ln b
y A x
=+
。 取1
u x
=
，ln ,ln v y a A ==，就有 v a bu =+，
由参考数据可得 0.14,0.548b a =-=，
∴?0.5480.146v
u =-，
把u 和v 置换回来可得 0.146
?ln 0.548y
x
=-， ∴0.146
0.1460.1460.5480.548
? 1.73x
x
x
y
e e e e -
--==?=，
∴回归曲线方程为0.146
? 1.73x
y
e -
=。
19. 解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .
在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. ∵点D 为AB 的中点， ∴1OD AC ∥.
又OD ?平面1B CD ，1AC ?平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD .
（2）∵AC BC =，AD BD =， ∴CD AB ⊥.
在三棱柱111ABC A B C -中，
由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =. ∴CD ⊥平面11ABB A .
∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin
24
CD AC ==π
∴1111111
3
A CD
B
C A DB A DB V V S C
D --?==
? 1111132A B AA CD =????=14222263
?=.
20. 解：（1
）依题意，a b =，则22
22159
x y a a +
=
，将(1,3D -代入， 解得2
9a =，故(2,0)F ， 设11(,)N x y
，则1[3,3]NF x =
=
=∈-， 故当13x =-时，NF 有最大值为5.
（2）由（1）知，
a b =，所以椭圆的方程为22
22159
x y a a +=，即222595x y a +=， 设直线OM 的方程为11(0),(,)x my m N x y =>，
由222
595x my x y a
=??+=?，得2222222559559a m y y a y m +=?=+， 因为00y >
，所以0y =
，
因为2//OM AN AN OM =?u u u u r u u u r
，所以直线AN 的方程为x my a =-，
由222
595x my a x y a
=-??+=?，得22
(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =
+，得1
21059
am
y m =+， 因为2OM AN =u u u u r u u u r
，所以0011(,)(22,2)x y x a y =+，于是012y y =，
2
20(0)59
am
m m =
>+
，所以5m =， 所以直线AN
的斜率为
13
m =.
21.解：解：（1）依题意，'()(2)(1)x x x
f x e x e x e =+-=-， 令'()0f x >，解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞． （2）当11()()0
g x
h x ->，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x ->； 当11()()0g x h x -<时，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x -<；
故()()0g x h x ->对(0,)x ∈+∞恒成立，或()()0g x h x -<对(0,)x ∈+∞恒成立， 而()()(1)x
g x h x x e ax -=--，设函数()1x
p x e ax =--，(0,)x ∈+∞．
则()0p x >对(0,)x ∈+∞恒成立，或()0p x <对(0,)x ∈+∞恒成立，'()x
p x e a =-， ①当1a ≤时，∵(0,)x ∈+∞,∴1x
e >，∴'()0p x >恒成立， ∴()p x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，(0)0p =， 故()0p x >在(0,)+∞上恒成立，符合题意．
②当1a >时，令'()0p x =，得ln x a =，令'()0p x <，得0ln x a <<， 故()p x 在(0,ln )a 上单调递减，所以(ln )(0)0p a p <=， 而2
()1a
p a e a =--，设函数2
()1a
a e a ?=--，(1,)a ∈+∞，
则'()2a
a e a ?=-，令()2a
H a e a =-，则'()2a
H a e =->（(1,)a ∈+∞）恒成立，
∴'()a ?在(1,)+∞上单调递增，∴'()'(1)20a e ??>=->恒成立， ∴()a ?在(1,)+∞上单调递增，∴()a ?(1)20e ?>=->恒成立， 即()0p a >，而(ln )0p a <，不合题意． 综上，故实数a 的取值范围为(,1]-∞.
22. （I ）（II ）
23.解：（1）若2a =，则不等式化为()41420f x x x x =+--+<， 若14x <-
，则41420x x x --+-+<，解得3x <，故1
4
x <-； 若1142x -
≤≤，则41420x x x ++-+<，解得19x <，故1149x -≤≤； 若1
2
x >
，则41420x x x +-++<，解得3x <-，故无解，
综上所述，关于x 的不等式()0f x x +<的解集为1(,)9
-∞， （2）x R ?∈，使()5f x ≤-等价于()min []5f x ≤-， 因为()414(41)(4)1f x x x a x x a a =+--≤+--=-， 所以()11a f x a --≤≤-，所以()f x 的最小值为1a --， 所以15a --≤-，得4a ≥或6a ≤- 所以a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞U .