第2讲等差数列及其前n项和
一、知识梳理
1．等差数列与等差中项
(1)定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
②符号语言：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)
2d＝
n(a1＋a n)
2．
3．等差数列的性质
已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和．
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 常用结论
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．
(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋????a 1－d
2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n
a n ＋1
；
②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n
n －1.
(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1
T 2n －1＝a n
b n .
二、教材衍化
1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：487
2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．
解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.
答案：180
3．已知等差数列5，427，34
7
，…，则前n 项和S n ＝________．
解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝1
14(75n －5n 2)．
答案：1
14
(75n －5n 2)
4．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8＝________．
解析：由已知可得?
????a 1＋5d ＝2，
5a 1＋10d ＝30，
解得???a 1＝263
，
d ＝－4
3，
所以S 8
＝8a 1
＋8×7
2d ＝32.
答案：32
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )
(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )
(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× 二、易错纠偏
常见误区| (1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数； (2)错用公式致误； (3)错用性质致误．
1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1
2(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．
解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为1
2的等差数列，
故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×1
2
＝9＋18＝27.
答案：27
2．首项为30的等差数列{a n }，从第8项开始为负数，则公差d 的取值范围是________．
解析：由题意知a 1＝30，a 8＜0，a 7≥0.即?
????30＋7d ＜0，30＋6d ≥0，解得－5≤d ＜－30
7
.
答案：?
???－5，－30
7 3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.
答案：130
考点一 等差数列的基本运算(基础型)
复习指导| 探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．
核心素养：数学运算
(1)(2020·福州市质量检测)已知数列{a n }
中，a 3＝2，a 7＝1.若数列????
??
1a n 为等差数列，则a 9＝( )
A ．1
2
B ．54
C ．45
D ．－45
(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( )
A ．a n ＝2n －5
B ．a n ＝3n －10
C ．S n ＝2n 2－8n
D ．S n ＝1
2
n 2－2n
【解析】 (1)因为数列????
??
1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，
所以数列??????1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝4
5，故
选C ．
(2)法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
因为???S 4＝0，a 5＝5，所以?????4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得?????a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －
1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d ＝n 2－4n .故选A ．
法二：设等差数列{a n }的公差为d ，
因为?????S 4＝0，a 5＝5，所以?????4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得?????a 1＝－3，
d ＝2.
选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；
选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；
选项D ，S 1＝12－2＝－3
2，排除D ．故选A ．
【答案】 (1)C (2)A
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．(一题多解)(2020·惠州市第二次调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3
＋a 4＝15，a 7＝13，则S 5＝( )
A ．28
B ．25
C ．20
D ．18
解析：选B ．法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得???
??a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝15，a 1＋6d ＝13，解得?????a 1＝1，d ＝2，
所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×1＋5×4
2
×2＝25，故选B ．
法二：由{a n }是等差数列，可得a 2＋a 4＝2a 3，所以a 3＝5，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝
25，故选B ．
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9
D ．10
解析：选D ．因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝(22－4a 2)
2＝3，a 1＝a 2－d ＝4
－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，得n ＝10.
考点二 等差数列的判定与证明(基础型)
复习指导| 理解等差数列的概念．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系． 核心素养：逻辑推理
已知数列{a n }中，a 1＝1
4
，其前n 项和
为S n ，且满足a n ＝2S 2n
2S n －1
(n ≥2)．
(1)求证：数列????
??
1S n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
【解】 (1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n
2S n －1.
整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1. 两边同时除以S n S n －1，得1S n －1
S n －1
＝2.
又1S 1＝1a 1＝4，所以????
??
1S n 是以4为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)可得数列??????1S n 的通项公式为1S n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，所以S n ＝12(n ＋1)
.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(n ＋1)－1
2n ＝－12n (n ＋1).
当n ＝1时，a 1＝1
4
，不适合上式．
所以a n
＝?
????1
4
，n ＝1，－12n (n ＋1)，n ≥2.
【迁移探究】 (变条件)本例的条件变为：a 1＝14，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，证明??????
1S n 是等差
数列．
证明：因为S n ＝S n －1
2S n －1＋1，所以2S n －1S n ＋S n ＝S n －1，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，故1S n －
1
S n －1＝2(n ≥2)，
又1S 1＝1a 1＝4，因此数列????
??
1S n 是首项为4，公差为2的等差数列．
等差数列的判定与证明的常用方法
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数，n ∈N *)或a n －a n －1＝d (d 是常数，n ∈N *，n ≥2)?{a n }为等差数列．
(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)?{a n }为等差数列． (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)?{a n }为等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)?{a n }为等差数列．
[提示] 若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2，使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1，且b n ＝1
a n ，n ∈N *.求证：数列{
b n }为等差数
列．
证明：因为b n ＝1a n ，且a n ＋1＝a n a n ＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1
＝a n ＋1a n ＝1＋1
a n ＝1＋
b n ，故b n ＋1
－b n ＝1.又b 1＝1
a 1
＝1，
所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．
2．(2020·贵州省适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3的值；
(2)证明数列????
??
a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．
解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，
得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15. (2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n
＝2，
所以数列????
??a n n 是首项a 1
1＝1，公差d ＝2的等差数列．
则a n
n
＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .
考点三 等差数列的性质及应用(综合型)
复习指导| 了解等差数列与一次函数的关系．并能用等差数列的有关知识解决相应问题．
核心素养：数学运算
角度一 等差数列项性质的应用
(1)(一题多解)在公差不为0的等差数
列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则1
5
a 4＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________．
【解析】 (1)通解：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以1
5a 4＝1，故选
C ．
优解一：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5
＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以1
5
a 4＝1，故选C ．
优解二：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3
＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以1
5
a 4＝1，故选C ．
(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，公差为d .
由已知条件，得?????S 奇＋S 偶＝354，
S 偶∶S 奇＝32∶27，
解得?????S 偶＝192，
S 奇＝162.
又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.
【答案】 (1)C (2)5
角度二 等差数列前n 项和性质的应用
(1)已知等差数列{a n }的前10项和为
30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A ．100
B ．120
C ．390
D ．540
(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10＝2，则S 2 018的值等
于( )
A ．－2 018
B ．－2 016
C ．－2 019
D ．－2 017
【解析】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，
又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.
(2)由题意知，数列????
??S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018
＋2 017＝－1.
所以S 2 018＝－2 018. 【答案】 (1)A (2)A
角度三 等差数列的前n 项和的最值
(一题多解)(2020·广东省七校联考)已
知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，???
??a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，
a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得?
????a 1＝15，
d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，
故选D ．
法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，?????a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得
?
????a 1＝15，
d ＝－2，则S n ＝15n ＋n (n －1)2
×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D ．
(1)等差数列前n 项和的性质
在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ；
③当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S
偶＝n ∶(n －1)．
(2)求数列前n 项和的最值的方法
①通项法：〈1〉若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组???a n ≥0，
a n ＋1
≤0来确定；
〈2〉若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组?
??a n ≤0，
a n ＋1≥0来确定．
②二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋????a 1－d
2n ，故可用二次函数求最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．
③不等式组法：借助S n 最大时，有?????S n ≥S n －1，
S n ≥S n ＋1
(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n 的
范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．
1．(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( ) A ．82 B ．97 C ．100
D ．115
解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由?????a 8－a 5＝9，
S 8－S 5＝66，得
???
??(a 1＋7d )－(a 1＋4d )＝9，(8a 1＋28d )－(5a 1＋10d )＝66，解得?
????d ＝3，
a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100，故选C ． 优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8－a 5＝9，得3d ＝9，即d ＝3.由S 8－S 5＝66，得a 6＋a 7＋a 8＝66，结合等差数列的性质知3a 7＝66，即a 7＝22，所以a 33＝a 7＋(33－7)×d ＝22＋26×3＝100，故选C ．
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8
D ．S 15
解析：选C ．由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C ．
3．两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋2
n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15
＝________．
解析：因为数列{a n }和{b n }均为等差数列，所以a 2＋a 20b 7＋b 15＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝(a 1＋a 21)×21
2(b 1＋b 21)×212＝S 21
T 21
＝
7×21＋221＋3
＝149
24. 答案：149
24
[基础题组练]
1．(2020·长春市质量监测(二))等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选C ．由题意，知?????a 1＋d ＋a 1＋2d ＝10，6a 1＋6×5
2d ＝54，
解得?????a 1＝－1，d ＝4，故选C ． 2．(2020·重庆市七校联合考试)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝55，S 3＝3，则a 5等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．9
解析：选C ．设数列{a n }的公差为d ，因为数列{a n }是等差数列，所以a 3＋a 5＋a 7＋a 9
＋a 11＝5a 7＝55，所以a 7＝11，又S 3＝3，所以?????a 7＝a 1＋6d ＝11，S 3＝3a 1＋3d ＝3，解得?????a 1＝－1，
d ＝2，
所以a 5＝
7.故选C ．
3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23
D ．24
解析：选C ．3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1＝a n －23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－2
3
n .因为a k ·a k
＋1＜0，所以
????473－23k ????453－23k ＜0，所以452＜k ＜472
，所以k ＝23.
4．(多选)已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6＜S 7，且S 7＞S 8，则( ) A ．在数列{a n }中，a 1最大 B ．在数列{a n }中，a 3或a 4最大 C ．S 3＝S 10
D ．当n ≥8时，a n ＜0
解析：选AD ．由于S 6＜S 7，S 7＞S 8，所以S 7－S 6＝a 7＞0，S 8－S 7＝a 8＜0，所以数列{a n }是递减的等差数列，最大项为a 1，所以A 正确，B 错，D 正确；S 10－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 10＝7a 7＞0，故C 错误．
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1
＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )
A ．a 9＝17
B ．a 10＝18
C ．S 9＝81
D ．S 10＝90
解析：选B ．因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， 所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.
所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，
则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×7
2×2＝73，S 10＝1＋9×2＋
9×8
2
×2＝91.故选B ． 6．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝____________．
解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得?????a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得?
????a 1＝1，d ＝2，所
以S 10＝10×1＋10×9
2
×2＝100.
优解：由题意，得公差d ＝1
4(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝
5(a 4＋a 7)＝100.
答案：100
7．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
解析：设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1
＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20(a 1＋a 20)2＝20×(22＋60)
2
＝820.
答案：820
8．(2020·福建龙岩期末改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为________，S 21的值为________．
解析：将n ＝1代入a n ＋a n ＋1＝2n ＋1中得a 2＝3－1＝2. 由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1①，得a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3②.
②－①，得a n ＋2－a n ＝2，所以数列{a n }的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列， 则a 21＝1＋10×2＝21，a 20＝2＋9×2＝20，所以S 21＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4
＋a 6＋…＋a 20)＝(1＋21)×112＋(2＋20)×10
2
＝231.
答案：20 231
9．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；
(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0， 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4， 于是a 1＝8，d ＝－2.
因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .
(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d
2
.
由a 1＞0知d ＜0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．
10．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；
(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n
n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .
解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)
2×2＝k 2＋k .
由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，
解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )
2＝n (n ＋1)，
则b n ＝S n
n
＝n ＋1，
故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，
即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)
2
.
[综合题组练]
1．(创新型)(2020·石家庄市第一次模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )
A ．－200
B ．－100
C ．－50
D ．0
解析：选B ．因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)
2
＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B ． 2．(创新型)已知定义：在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称
{a n }为等方差数列．下列命题正确的是( )
A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列
B ．{(－1)n }是等方差数列
C ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)不可能还是等方差数列
D ．若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
解析：选ABD ．若{a n }是等方差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，故{a 2n }是等差数列，故A 正确；当a n ＝(－1)n 时，a 2n －a 2n －1＝(－1)2n －(－1)2(n －1)＝0，故B 正确；若{a n }是等方差数列，则由A 知{a 2n }是等差数列，从而{a 2kn }(k ∈N *，k 为常数)是等差数列，设其公差为d ，则有a 2kn －a 2k (n －1)
＝d .由定义知{a kn }是等方差数列，故C 不正确；若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则
a 2n －a 2n －1＝p ，a n －a n －1＝d ，所以a 2n －a 2
n －1＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝d (a n ＋a n －1)＝p ，若d ≠0，
则a n ＋a n －1＝p d .又a n －a n －1＝d ，解得a n ＝12????
p d ＋d ，{a n }为常数列；若d ＝0，该数列也为常数列，故D 正确．
3．(2020·广东揭阳期末改编)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n
8a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝
________，数列{a n }中最大项的值为________．
解析：由题意知a n ≠0，由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1
a n
＝8，
即数列??????1a n 是公差为8的等差数列，故1a n ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝1
8n －17
.当n ＝
1，2时，a n ＜0；当n ≥3时，a n ＞0，则数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝1
7
.
答案：
18n －17 1
7
4．(创新型)(2020·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
S 2n
为常数，则称数
列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为________．
解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由
S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋1
2
n (n －1)d ＝k ???
?2n ＋1
2×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以?
????d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14
，所以数
等差数列的前n项和 1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点) 2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点) [基础·初探] 教材整理等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和公式 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式S n＝n a1＋a n 2S n＝na1＋ n n－1 2d 2.等差数列前n项和公式的函数特点 S n＝na1＋n n－1 2d＝ d 2n2＋? ? ? ? ? a1－ d 2n. d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．() (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.() (3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．() 【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式． (2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式． (3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√
[小组合作型] 与S n 有关的基本量的计算 (1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1 2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4； (3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换． 【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1 2·? ?? ?? －12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×? ???? －12＝－4. (2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋ 5×5－1 2 d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24 5， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48 5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ， 又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以????? 1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1 2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得
第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37
解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________.
2．3 等差数列的前n 项和 一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。 二、基础知识 1、数列前n 项和公式： 一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则 ＝m m b a _____________。 三、典例分析 例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。 解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等
2.2 等差数列的前n项和 第一课时等差数列前n项和公式及性质 【选题明细表】 基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31
解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A.
§2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时） 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美. 重点：等差数列前n 项和公式及其应用. 难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得. 复习回顾 1.数列{}n a 的前n 项和的概念： 一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和， 用n S 表示，即=n S 2.n S 与n a 的关系：(1)(2) n n a n =?=?≥? 3.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ...... 问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。 这个V 形架上共放着多少支铅笔？ 思考： (1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？ (2) (3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？
问题二：?n 321S n =+?+++=（小组讨论，总结方法） 高斯算法： 倒序相加法： 探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？ 问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？ 新知：等差数列前n 项和公式： 公式一： 公式二： 问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？ 公式一： 公式二： 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？
《等差数列的前n项和公式》教学设计 职业技术学校刘老师 大纲分析： 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。 教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。 学生分析： 数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。 教学目标： 知识与技能目标： 掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 过程与方法目标： 培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标： 体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 教学用具：ppt 整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段 探究发现阶段 公式应用阶段 问题呈现1： 首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道 这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100) 紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。 200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时， 10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050 【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。 问题呈现2： 图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质： 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥??
（2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量． 【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ． （62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（）
等差数列的前n 项和（1） 学习目标1．理解数列前n 项和的概念；2．会推导等差数列前n 项和的公式； 3．会应用等差数列前n 项和公式解题。 学习重点和难点 1．重点：等差数列通项公式的推导及应用； 2．难点：等差数列公式的推导。 学习过程：一．自学、思考 （一）问题导引 等差数列前n 项和n S =1a +2a +…+1-n a +n a . n S =n a +1-n a +…+2a +1a . 由倒序相加法可得 2n S = 即n S = 如果带入等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=，n S 也可以用首项1a 与公差d 表示，即 n S =＿ ＿＿还可以写成n S =＿＿ ＿ （二）知识的应用 例1．已知等差数列{}n a 中184,18a a =-=-，求8S ； 练习：根据下列条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数： （1）120a =，54n a =，999n S =，求d 及n ；（2）1 3 d =，37n =，629n S =，求1a 及n a ； （3）156a =，1 6 d =-，5n S =-，求n 及n a ；（4）2d =，15n =，10n a =-，求1a 及n S . 例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 练习1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； 练习2.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若734 a a ?=2a , 832S =,求10S . 练习3.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.
等差数列的前n项和（第一课时）教学设计 【教学目标】 一、知识与技能 1 ?掌握等差数列前n项和公式； 2?体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3?会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1?通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法； 2.通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务：
前n 和呢，于数列{a n } :ai, a 2, as, a n ,…我 称ai+且2+23+…+a n 数列{a n } 的前n 和，用Sn 表不，Sn=ai+a2+a3+…+a 如 , Si =ax S 7 =ai+a 24-a 3+ +a 7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前 n 项 和。 二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人 与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 即:Sioo=l+2+3+ ? +100=? 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同 学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为 相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办 呢？ — ...... .... 探索与发现1：假如让你计算从第一人到第21人的钱数，高斯 的首尾配对法行吗？ 即计算S2F1+2+3+?+21的值，在这个过程中让学生发现当 项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助 学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 特点： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: 1+ 100 = 101, 2 + 99 =101, 3+98 =101, 50+ 51 = 101, 101 X 50 = 5050。 5050 第50项与倒数第50项的和: 于是所求的和是： 1 + 2+3+ ? +100 二 101X50
第2讲等差数列及其前n项和 一、选择题 1． {a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 B．20 C．22 D．24 解析由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B 2．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以S n＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当S n取得最小值时，n＝6. 答案 A 3．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()．A．－1 B．1 C．3 D．7 解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1. 答案B 4．在等差数列{a n}中，S15>0，S16<0，则使a n>0成立的n的最大值为 ()． A．6 B．7 C．8 D．9 解析依题意得S15＝15(a1＋a15) 2 ＝15a8>0，即a8>0；S16＝ 16(a1＋a16) 2 ＝8(a1 ＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使a n>0成立的n的最大值是8，选C. 答案C
5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 解析 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3，则 使得a n b n 为整数的正整数的个数是 ( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需 7n ＋19n ＋1 ＝7＋ 12 n ＋1 为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 答案 D 二、填空题 7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则 k ＝________. 解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋ k k －1 2 ×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3. 答案 3 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3 9＝1，则公差为________． 解析 依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×2 2d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d 9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 6 9．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小
《等差数列的前n项和》教学设计 一、设计理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 二、背景分析 本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 三、学情分析 1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。 2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭
§2.3 等差数列的前n 项和(一) 学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路(重点)；2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个(重、难点). 预习教材P42－43完成下列问题： 知识点一 数列a n 与前n 项和S n 的关系 1.数列的前n 项和的概念 一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . 2.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系 当n ≥2时，有S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1，所以S n －S n －1＝a n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1. 综上可得a n ＝???S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 【预习评价】 1.利用数列的前n 项和S n 求数列的通项公式时，能不能直接运用S n －S n －1＝a n 求解？ 提示 不能.因为当n ＝1时，S 1－S 0没有意义. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n? 提示 a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.
知识点二 等差数列的前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式 2.两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n ＝na 1＋n （n －1） 2d . 【预习评价】 1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？ 提示 不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1， ∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1） 2 . 2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？ 提示 由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；
§2.3 等差数列的前 n 项和 授课类型：新授课 （第1课时） 一、教学目标 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。 二、教学重点 等差数列n 项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点 灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程 1、课题导入 “小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。” 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101； 2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规 律性的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 2、讲授新课 （1）等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ② ①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2 )(1n n a a n S +=
2.2.3等差数列的前n 项的和（1） 【学习目标】 1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程． 2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 【学习过程】 预习书本第39-41页 【问题1】等差数列的前n 项和公式 如何推导此公式？ 【问题2】例1、在等差数列｛a n ｝中， （１）已知31=a ，10150=a ，求50S ； （２）已知31=a ，2 1=d ，求10S ( 3 )已知21=d ，23=n a ，2 15-=n S ，求1a 及n . 【点评】: 在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有1a ，ｄ，ｎ，n a ，n S 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量． 练习：)在等差数列｛a n ｝中， ⑴已知1a =7，4310-=a ，求10S ⑵已知1001=a ，2-=d ，
求50S ． （3）已知1015-=a ，2=d ，求20S （4）已知5a =8，249=a ，求n n S a , 【问题3】例2、在等差数列｛a n ｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和． 【思考】：在例2中，你能否发现10S ,20301020,S S S S --这三者之间有何关系？并将这一结论推广至一般情形？ 若数列｛a n ｝是等差数列,前n 项和是n S ,那么 仍成等差数列,公差为 练习：在等差数列｛a n ｝中，已知S 392,100168==S ,求24S 【数学应用】 1、在等差数列｛a n ｝中， （1）已知,6,294-==S S 求n S （2）已知12+=n a n ，求n S 2、求等差数列1，5，9，…，401的各项的和。
122等差数列前n项和 教学目标 1.掌握等差数列前《项和的公式，并能运用公式解决简单的问题 (1)了解等差数列前《项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前？!项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式; (2)用方程思想认识等差数列前《项和的公式，利用公式求儿卫1/卫； 等差数列通项公式与前?项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值; (3)会利用等差数列通项公式与前《项和的公式研究q的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特 殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中 的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用， 难点：获得推导公式的思路. 教学方法:讲授法. 教学建议 (1)知识结构 本节内容是等差数列前《项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前《项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题. (2)重点、难点分析 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上. (3)教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用, 一节侧重于通项公式与前《项
和公式综合运用. ②前《项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活 ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法 ④补充等差数列前《项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前?项和公式. 教学过程：一.新课引入 提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？ 问题就是（板书）“ 1 + 2 + 3 + 4 +…+100 = ? ” 这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的 （由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101, 50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发? .讲解新课：（板书）等差数列前《项和公式 1.公式推导（板书）问题：设等差数列｛%｝的首项为"1,公差为d， E广勺+勺+偽+…+ a广?由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的 指导意义. 思路一：运用基本量思想，将各项用衍和d表示，得 儿 + 十d）+ （a] + 2d）+（逐 +〃）+ ?? +仙+0-2同|+国+（旷1）引，有以下等式冷+d）+M +（旷2）d] = @1 +2d）+国+伙-加]二…，问题是一共有多少个 +国+也~1同，似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
编制人： 张进锋 审核人：冯王林 日期：2013年10月28日 编号： 班级： 姓名： 组别： 评价： 太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？ 今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。 等差数列及其前n 项和（1） 【学习目标】 利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式解决等差数列的问题． 【重点难点】 通项公式与前n 项和公式解决等差数列的问题. 基础知识梳理 1．等差数列的定义 (1)如果一个数列从第 项起，每一项与前一项的差是 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数为等差数列的 ，公差通常用字母 表示． (2)数学语言表达式： ，d 为常数． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 3．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝ ，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝ . 4．等差数列及前n 项和的性质 (1)如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝ . (2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ （n ，m ∈N +)． (3)若{a n }为等差数列，当m ＋n ＝p ＋q ， (m ，n ，p ，q ∈N +)． 复习自测 1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( )． A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 2．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1 2，S 4＝20，则S 6＝( )． A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )． A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝kn －3，并且它的第8项是－7，则它的第14项是________． 探究案 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 7＋a 12＝12，a 2·a 7·a 12＝28，求数列{a n }的通项公式． 我的收获：
等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一） （2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二） 二、对于等差数列前n 项和公式的应用 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项． 解 依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，
再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而 直接去求，所列方程组化简后可得 ＋ ＋ 相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和． 解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为
第五篇数列及其应用 专题5.2 等差数列及其前n 项和 【考试要求】 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.体会等差数列与一次函数的关系.【知识梳理】1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2 .2.等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ） 2 .3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n .【微点提醒】 1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p . 2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.