【数据库原理】关系代数篇——除法讲解
陈宇超编辑总结: 除法运算的一般形式示意图
如何计算R÷S呢，首先我们引进”象集”的概念，具体意义看下面的陈述即可理解
关系R和关系S拥有共同的属性B、C , R÷S得到的属性值就是关系R包含而关系S不包含的属性，即A属性
在R关系中A属性的值可以取{ a1，a2，a3，a4 }
a1值对应的象集为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }
a2值对应的象集为{ (b3,c7) , (b2,c3) }
a3值对应的象集为{ (b4,c6) }
a4值对应的象集为{ (b6,c6) }
关系S在B、C上的投影为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }
只有a1值对应的象集包含关系S的投影集，所以只有a1应该包含在A属性中为
【例题一】为了更好的理解除法的实际作用，请看下面的例题
设有教学数据库有3个关系(以下四小问均用除法的思想解决)
学生信息关系student（sno，sname，age，sex）
学生选课关系sc（sno，cno，score）
学校课程关系course（cno，cname）
SQL语言中没有全称量词，具体实现时可以把带有全称量词的谓词转换为等价的带有存在量词的谓词。
解决这类的除法问题一般采用双嵌套not exists来实现带全称量词的查询 解决所谓forall的问题。
(1)检索所学课程包含了C002课程的学生学号
解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C002’ (course) )
Sql语句
从略
(2)求至少选择了C001和C003两门课程的学生学号
解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C001’ or cno=’C003’(course) )
Sql语句
select distinct sno from sc A where not exists
(
select*from course B where cno in('C002','C003')and
not exists
(
select*from sc C where A.sno=C.sno and https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o=https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o )
)
也可以采用自连接
select s1.sno
from (select*from sc where cno='C001')as s1, (select*from sc where cno='C003')as s2
where s1.sno=s2.sno
(3)求至少学习了学生S003所学课程的学生学号
解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σsno=’S003’ (sc) )
select distinct sno from sc A where not exists
(
select*from sc B where sno='S003'and not exists (
select*from sc C where A.sno=C.sno and https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o=https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o )
)
(4)求选择了全部课程的学生的学号
解此例的等价自然语义是，输出这样的学号，不存在某门课程在他的选课记录里没有选这门课
关系代数表达式：∏sno (sc÷∏cno(course) )
Sql语句
select distinct sno from sc A where not exists (
select cno from course B where not exists
(
select*from sc C where C.sno=A.sno and
https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o=https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o
)
)
(5)求选择了全部课程的学生的学号和姓名
解关系代数表达式：∏sno,sname((student∞sc)÷∏cno(course) )
Sql语句
select sno,sname from student A where not exists
(
select cno from course B where not exists
(
select*from sc C where C.sno=A.sno and
https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o=https://www.doczj.com/doc/e412814607.html,o
)
)
以上小问用group by结合count语句也是可以实现的，也更好理解一些。
例如
求选择了全部课程的学生学号
SELECT sno FROM (SELECT COUNT(*)cnt,Sno
FROM SC
GROUP BY sno)T
WHERE cnt>=(SELECT COUNT(Cno)
FROM COURSE)
求至少选择了C002和C003两门课程的学生学号
select sno from sc where cno in('C002','C003')group by sno having COUNT(cno)=2
但该方法对于一个学生多次选修一门课程的情况无法处理，需要对其中的 SC 关系用distinct进行一定预处理，所以group by +count有一定的局限性
第4部分关系数据库理论 复习习题与讲解资料 【主讲教师：钱哨】 一．考试大纲考点要求 1 了解关系模式设计中可能出现的问题及其产生原因以及解决的途径。 2 掌握函数依赖、完全函数依赖、部分函数依赖、传递函数依赖的定义，能计算属性的封闭集，并由此得到关系的候选键。 3 掌握第一范式（ 1NF ）、第二范式（ 2NF ）和第三范式（ 3NF ）的定义，能判别关系模式的范式等级。 4 掌握关系模式的分解（规范到 3NF ）的步骤、分解的原则和分解的方法。 二．单项选择题 1. 为了设计出性能较优的关系模式，必须进行规范化，规范化主要的理论依据是（）。 A. 关系规范化理论 B. 关系代数理论 C．数理逻辑 D. 关系运算理论 2. 规范化理论是关系数据库进行逻辑设计的理论依据，根据这个理论，关系数据库中的关系必须满足：每一个属性都是（）。 A. 长度不变的 B. 不可分解的 C．互相关联的 D. 互不相关的 3. 已知关系模式R（A，B，C，D，E）及其上的函数相关性集合F＝{A→D，B→C ，E→ A }，该关系模式的候选关键字是（）。 A.AB B. BE C.CD D. DE
4. 设学生关系S（SNO，SNAME，SSEX，SAGE，SDPART）的主键为SNO，学生选课关系SC（SNO，CNO，SCORE）的主键为SNO和CNO，则关系R（SNO，CNO，SSEX，SAGE，SDPART，SCORE）的主键为SNO和CNO，其满足（）。 A. 1NF B.2NF C. 3NF D. BCNF 5. 设有关系模式W（C，P，S，G，T，R），其中各属性的含义是：C表示课程，P表示教师，S表示学生，G表示成绩，T表示时间，R表示教室，根据语义有如下数据依赖集：D={ C →P，（S，C）→G，（T，R）→C，（T，P）→R，（T，S）→R }，关系模式W的一个关键字是（）。 A. （S，C） B. （T，R） C. （T，P） D. （T，S） 6. 关系模式中，满足2NF的模式（）。 A. 可能是1NF B. 必定是1NF C. 必定是3NF D. 必定是BCNF 7. 关系模式R中的属性全是主属性，则R的最高范式必定是（）。 A. 1NF B. 2NF C. 3NF D. BCNF 8. 消除了部分函数依赖的1NF的关系模式，必定是（）。 A. 1NF B. 2NF C. 3NF D. BCNF 9. 如果A－>B ,那么属性A和属性B的联系是（）。 A. 一对多 B. 多对一 C．多对多 D. 以上都不是 10. 关系模式的候选关键字可以有1个或多个，而主关键字有（）。 A. 多个 B. 0个 C. 1个 D. 1个或多个 11. 候选关键字的属性可以有（）。 A. 多个 B. 0个 C. 1个 D. 1个或多个 12. 关系模式的任何属性（）。 A. 不可再分 B. 可以再分 C. 命名在关系模式上可以不唯一 D. 以上都不是 13. 设有关系模式W（C，P，S，G，T，R），其中各属性的含义是：C表示课程，P表示教师，S表示学生，G表示成绩，T表示时间，R表示教室，根据语义有如下数据依赖集：D={ C →P，（S，C）→G，（T，R）→C，（T，P）→R，（T，S）→R }，若将关系模式W分解为三个关系模式W1（C，P），W2（S，C，G），W2（S，T，R，C），则W1的规范化程序最
关系代数表达式： 由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。 这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。 关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用 1：设教学数据库中有3个关系： 学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。 (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。 πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 πSNO，SNAME(σCNO='C2'(S SC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。
此查询亦可等价地写成： πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))） 这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。 （3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(S SC C)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。 πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索选修课程号为C2和C4的学生学号。 π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）) 这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果关系中的属性序号。 比较这一题与上一题的差别。 （6）检索不学C2课的学生姓名与年龄。 πSNAME，AGE（S）－πSNAME，AGE(σCNO='C2'（S SC）)
目录 一 Codd的RDBMS12法则——RDBMS的起源 二关系型数据库设计阶段 三设计原则 四命名规则 数据库设计，一个软件项目成功的基石。很多从业人员都认为，数据库设计其实不那么重要。现实中的情景也相当雷同，开发人员的数量是数据库设计人员的数倍。多数人使用数据库中的一部分，所以也会把数据库设计想的如此简单。其实不然，数据库设计也是门学问。 从笔者的经历看来，笔者更赞成在项目早期由开发者进行数据库设计（后期调优需要DBA）。根据笔者的项目经验，一个精通OOP和ORM的开发者，设计的数据库往往更为合理，更能适应需求的变化，如果追其原因，笔者个人猜测是因为数据库的规范化，与OO的部分思想雷同（如内聚）。而DBA，设计的数据库的优势是能将DBMS的能力发挥到极致，能够使用SQL和DBMS实现很多程序实现的逻辑，与开发者相比，DBA优化过的数据库更为高效和稳定。如标题所示，本文旨在分享一名开发者的数据库设计经验，并不涉及复杂的SQL语句或DBMS使用，因此也不会局限到某种DBMS产品上。真切地希望这篇文章对开发者能有所帮助，也希望读者能帮助笔者查漏补缺。 一?Codd的RDBMS12法则——RDBMS的起源 Edgar Frank Codd（埃德加·弗兰克·科德）被誉为“关系数据库之父”，并因为在数据库管理系统的理论和实践方面的杰出贡献于1981年获图灵奖。在1985年，Codd 博士发布了12条规则，这些规则简明的定义出一个关系型数据库的理念，它们被作为所有关系数据库系统的设计指导性方针。 1.信息法则?关系数据库中的所有信息都用唯一的一种方式表示——表中的值。 2.保证访问法则?依靠表名、主键值和列名的组合，保证能访问每个数据项。 3.空值的系统化处理?支持空值（NULL），以系统化的方式处理空值，空值不依赖于数据类型。 4.基于关系模型的动态联机目录?数据库的描述应该是自描述的，在逻辑级别上和普通数据采用同样 的表示方式，即数据库必须含有描述该数据库结构的系统表或者数据库描述信息应该包含在用 户可以访问的表中。 5.统一的数据子语言法则?一个关系数据库系统可以支持几种语言和多种终端使用方式，但必须至少 有一种语言，它的语句能够一某种定义良好的语法表示为字符串，并能全面地支持以下所有规 则：数据定义、视图定义、数据操作、约束、授权以及事务。（这种语言就是SQL) 6.视图更新法则?所有理论上可以更新的视图也可以由系统更新。 7.高级的插入、更新和删除操作?把一个基础关系或派生关系作为单个操作对象处理的能力不仅适应 于数据的检索，还适用于数据的插入、修改个删除，即在插入、修改和删除操作中数据行被视 作集合。 8.数据的物理独立性?不管数据库的数据在存储表示或访问方式上怎么变化，应用程序和终端活动都 保持着逻辑上的不变性。 9.数据的逻辑独立性?当对表做了理论上不会损害信息的改变时，应用程序和终端活动都会保持逻辑 上的不变性。 10.数据完整性的独立性?专用于某个关系型数据库的完整性约束必须可以用关系数据库子语言定 义，而且可以存储在数据目录中，而非程序中。
数据库关系代数表达式学习 关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础 一、关系代数的9种操作： 关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。 五个基本操作： 并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π) 四个组合操作： 交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷) 注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列 二、关系代数表达式： 由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。 三、举例说明： 设教学数据库中有3个关系： 学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩 ------------------------------------ SELECT SNO,GRADE FROM SC WHERE CNO='C2' ------------------------------------ π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC)) ************************************ (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 ------------------------------------ SELECT SC.SNO,S.SNAME
关系代数 关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。 关系代数的9种操作： 并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。 五个基本操作： 并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择(π) 四个组合操作： 交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷) 关系代数表达式： 由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。 关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。 关系代数表达式举例 用关系代数表示数据查询的典型例子 [例]设教学数据库中有3个关系： 学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。 (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。 πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。 此查询亦可等价地写成： πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))） 这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。 （3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。 πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。 π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）) 这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果
2.现有关系数据库如下： 学生(学号，姓名，性别，专业，奖学金)。 课程(课程号，名称，学分)。 学习(学号，课程号，分数)。 用关系代数表达式实现下列1-4小题： 1. 检索"英语"专业学生所学课程的信息，包括学号、姓名、课程名和分数。 П学号，姓名，课程名，分数(σ专业='英语'(学生∞学习∞课程))。 2. 检索"数据库原理"课程成绩高于90分的所有学生的学号、姓名、专业和分数。 П学号，姓名，专业，分数(σ分数>90∧名称='数据库原理'(学生∞学习∞课程))。 3. 检索不学课程号为"C135"课程的学生信息，包括学号，姓名和专业。 П学号，姓名，专业(学生)-П学号，姓名，专业(σ课程号='C135'(学生∞学习))。 4. 检索没有任何一门课程成绩不及格的所有学生的信息，包括学号、姓名和专业。 П学号，姓名，专业(学生)-П学号，姓名，专业(σ分数<60(学生∞学习))。 5.检索选修全部课程的学生姓名 6.检索至少选修了李强同学所选修的全部课程的学生姓名。
3.现有关系数据库如下： 学生(学号，姓名，性别，专业、奖学金)。 课程(课程号，名称，学分)。 学习(学号，课程号，分数)。 用关系代数表达式实现下列1—4小题： 1. 检索“国际贸易”专业中获得奖学金的学生信息，包括学号、姓名、课程名和分数。 Π学号，姓名，课程名，分数(σ奖学金>0∧专业=国际贸易(学生∞学习∞课程))。 2. 检索学生成绩得过满分(100分)的课程的课程号、名称和学分。 Π课程号，名称，学分(σ分数=100(学习∞课程))。 3. 检索没有获得奖学金、同时至少有一门课程成绩在95分以上的学生信息，包括学号、姓名和专业。 Π学号，姓名，专业(σ奖学金<=0∧分数>95(学生∞学习))。 4. 检索没有任何一门课程成绩在80分以下的学生的信息，包括学号、姓名和专业。 Π学号，姓名，专业(学生)-Π学号，姓名，专业(σ分数<80(学生∞学习))。 4．设有关系S、SC和C，试用关系代数表达式完成下列操作。 S（snum,sname,age,sex）,例：（1，“李强”，23，‘男’）是一条数据记录。SC(snum,cnum,score)，例：（1，“C1”，83）是一条数据记录。C(cnum,cname,teacher) 例：（“C1”，“数据库原理”，“王华”）是一条数据记录。
第二章关系代数 教学目的： 本章实际上研究的是关系的运算。 学习目的： 关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。 通过本章学习，应重点掌握： (1)关系数据库的基本概念； (2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题； (3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题； (4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题； (5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。 了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义； 掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义； 掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。 教学重点： 关系的实体完整性和参照完整性的定义； 关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。 教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。 教学方法：实例法 教学内容：如下： 关系模型 关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。 1．关系模型组成 关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点 关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。 关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ； (2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。 3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域 定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。 （2）笛卡尔积 定义 设D 1，D 2，D 3，…，D n ，为任意集合，定义D l ，D 2，D 3，…，D n 的笛卡尔积为 D 1×D 2×D 3×…×D n ＝{(d1，d2，d3，…dn)[di ∈Di ，i ＝1，2，3…，n] 其中每一个元素(dl ，d2，d3，…，dn ，)叫做一个n 元组(n 一tuple)或简称为元组(Tuple)，每一个值di 叫做一个分量(Component)，若Di(i ＝l ，2，…n)为有限集，其基数(Cardinal number)为mi(i=l ，2，3，…，n)， 则D 1×D 2×D 3×…×D n 的基数M 为 M ＝ ∏=n i 1 mi
数据库关系代数除法讲解 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.
【数据库原理】关系代数篇——除法讲解 陈宇超编辑总结: 除法运算的一般形式示意图 如何计算R÷S呢，首先我们引进”象集”的概念，具体意义看下面的陈述即可理解 关系R和关系S拥有共同的属性B、C , R÷S得到的属性值就是关系R包含而关系S不包含的属性，即A属性 在R关系中A属性的值可以取{ a1，a2，a3，a4 } a1值对应的象集为 { (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) } a2值对应的象集为 { (b3,c7) , (b2,c3) } a3值对应的象集为 { (b4,c6) } a4值对应的象集为 { (b6,c6) } 关系S在B、C上的投影为 { (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) } 只有a1值对应的象集包含关系S的投影集，所以只有a1应该包含在A属性中为 设有教学数据库有3个关系(以下四小问均用除法的思想解决) 学生信息关系student（sno，sname，age，sex） 学生选课关系 sc（sno，cno，score） 学校课程关系 course（cno，cname）
S003C00269 S005C00277 S005C00398 有存在量词的谓词。 解决这类的除法问题一般采用双嵌套not exists来实现带全称量词的查询解决所谓forall的问题。 (1)检索所学课程包含了C002课程的学生学号 解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C002’ (course) ) Sql语句 从略 (2)求至少选择了C001和C003两门课程的学生学号 解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C001’ or cno=’C003’(course) ) Sql语句 select distinct sno from sc A where not exists ( select*from course B where cno in('C002','C003')and not exists ( select*from sc C where=and= ) ) 也可以采用自连接 select from (select*from sc where cno='C001')as s1, (select*from sc where cno='C003')as s2 where= (3)求至少学习了学生S003所学课程的学生学号 解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σsno=’S003’ (sc) ) select distinct sno from sc A where not exists ( select*from sc B where sno='S003'and not exists ( select*from sc C where=and= ) ) (4)求选择了全部课程的学生的学号 解此例的等价自然语义是，输出这样的学号，不存在某门课程在他的选课记录里没有选这门课 关系代数表达式：∏sno (sc÷∏cno(course) ) Sql语句 select distinct sno from sc A where not exists
第6章关系数据库设计理论 本章主要讲解在关系数据库的设计过程中，如何减少数据冗余，避免出现异常，该如何对数据库模式进行中心设计。 1．深入理解函数依赖和键码的概念。学会计算属性的封闭集。 2．模式设计是本章的重点。了解数据冗余和更新异常产生的根源；理解关系模式规范化的途径；准确理解第一范式、第二范式、第三范式和BC范式的含义、联系与区别； 深入理解模式分解的原则；熟练掌握模式分解的方法，能正确而熟练的将一个关系模式分解成属于第三范式或BC范式的模式。 3.了解多值依赖和第四范式的概念，掌握把关系模式分解成属于第四范式的模式的方法。 本章主要的知识点包括： 知识点1 函数依赖 知识点2 模式设计 知识点3 多值依赖 学习要点1、函数依赖 1.1函数依赖的定义 如果关系R的两个元组在属性A1，A2，… An上一致（也就是，两个元组在这些属性所对应的各个分量具有相同的值），则它们在另一个属性B上也一致。那么，我们就说在关系R中属性B函数依赖于属性A1A2…An。记做A1A2…An ，也可以说“A1，A2，…，An函数决定B”。A1A2…An称为决定因素。 举例： 在这个关系中，学号确定后，学生的姓名及所在的系就都确定了。属性中的这种依赖关系就是函数依赖。在本例中存在下列函数依赖。 ?Sno SN ame ?Sno S dept ?S dept Mname ?Sno C name Grade 1.2 关系的键码如一个或多个属性的集合{A1，…，An}满足如下条件，称该集合为关系R的键码： 1. 这些属性函数决定该关系的所有其它属性。 2. {A1，…，An}的任何真子集都不能函数决定R的所有其它属性，键码必须是最小的。 1.3 超键码包含键码的属性集称为“超键码” 。
3.简述如下概念，并说明它们之间的联系与区别:。 （1）域，笛卡尔积，关系，元组，属性 答：域：域是一组具有相同数据类型的值的集合。 笛卡尔积：给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。这组域的笛卡尔积为：D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di?Di，i＝1，2，…，n ｝其中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组（Tuple）。元素中的每一个值di叫作一个分量（Component）。 关系：在域D1，D2，…，Dn上笛卡尔积D1×D2×…×Dn的子集称为关系，表示为 R（D1，D2，…，Dn） 元组：关系中的每个元素是关系中的元组。 属性：关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。由于域可以相同，为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）。 （2）超码，主码，候选码，外码 答：超码：对于关系r的一个或多个属性的集合A，如果属性集A可以唯一地标识关系r中的一个元组，则称属性集A为关系r的一个超码 (superkey) 。 候选码：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码（Candidate key）。 主码：若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）。 外码：设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码，如果F与基本关系S 的主码Ks相对应，则称F是基本关系R的外码（Foreign key），简称外码。 基本关系R称为参照关系（Referencing relation），基本关系S称为被参照关系（Referenced relation）或目标关系（Target relation）。关系R和S可以是相同的关系。 (3)关系模式，关系，关系数据库 答：关系模式：关系的描述称为关系模式（Relation Schema）。它可以形式化地表示为：R（U，D，dom，F） 其中R为关系名，U为组成该关系的属性名集合，D为属性组U中属性所来自的域，dom 为属性向域的映象集合，F为属性间数据的依赖关系集合。 关系：在域D1，D2，…，Dn上笛卡尔积D1×D2×…×Dn的子集称为关系，表示为 R（D1，D2，…，Dn） 关系是关系模式在某一时刻的状态或内容。关系模式是静态的、稳定的，而关系是动态的、随时间不断变化的，因为关系操作在不断地更新着数据库中的数据。 关系数据库：关系数据库也有型和值之分。关系数据库的型也称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述，它包括若干域的定义以及在这些域上定义的若干关系模式。关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常就称为关系数据库。 2.3.为什么需要空值null？ 答：引入空值，可以方便于数据库的维护和建立，数字或者字符有时并不能解决想要解决的问题，毕竟它们是真实的存在，有了空值，那么有些操作，比如查询，插入，删除都可以更加方便，比如公司的部门，新增的部门，信息是不存在的，是之后数据库人员进行添加之后才有的，所以让它为空，比给它0更加贴近实际。空值是所有可能的域的一个取值，表明值未知或不存在。 2.3.关系模型的完整性规则有哪些？ 答：关系模型的完整性规则是对关系的某种约束条件。关系模型中可以有三类完整性约束：实体完整性、参照完整性和用户定义的完整性。 其中实体完整性和参照完整性是关系模型必须满足的完整性约束条件，被称作是关系的
【数据库原理】关系代数篇——除法讲解 陈宇超编辑总结: 除法运算的一般形式示意图 如何计算R÷S呢，首先我们引进”象集”的概念，具体意义看下面的陈述即可理解 关系R和关系S拥有共同的属性B、C , R÷S得到的属性值就是关系R包含而关系S不包含的属性，即A属性 在R关系中A属性的值可以取{ a1，a2，a3，a4 } a1值对应的象集为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) } a2值对应的象集为{ (b3,c7) , (b2,c3) } a3值对应的象集为{ (b4,c6) } a4值对应的象集为{ (b6,c6) } 关系S在B、C上的投影为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) } 只有a1值对应的象集包含关系S的投影集，所以只有a1应该包含在A属性中为 【例题一】为了更好的理解除法的实际作用，请看下面的例题 设有教学数据库有3个关系(以下四小问均用除法的思想解决)
学生信息关系student（sno，sname，age，sex） 学生选课关系sc（sno，cno，score） 学校课程关系course（cno，cname） SQL语言中没有全称量词，具体实现时可以把带有全称量词的谓词转换为等价的带有存在量词的谓词。 解决这类的除法问题一般采用双嵌套not exists 解决所谓forall的问题。 (1)检索所学课程包含了C002课程的学生学号 解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C002’ (course) ) Sql语句 从略 (2)求至少选择了C001和C003两门课程的学生学号 解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C001’ or cno=’C003’(course) ) Sql语句 select distinct sno from sc A where not exists ( select*from course B where cno in('C002','C003')and
关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询，作为研究关系数据语言的数学工具。 关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符 比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的，所以按照运算符的不同，主要将关系代数分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。 传统的集合运算是二目运算，包括并、交、差、广义笛卡尔积四种运算。 ⒈并（Union） 设关系R和关系S具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的并由属于R或属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作： R∪S={t|t∈R∨t∈S} ⒉差（Difference） 设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作： R－S={t|t∈R∧t?S} ⒊交（Intersection Referential integrity） 设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，
则关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作： R∩S={t|t∈R∧t∈S} ⒋广义笛卡尔积（Extended cartesian product） 两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个(n+m)列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m 列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组。
关系数据库理论
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第４部分关系数据库理论 复习习题与讲解资料 【主讲教师:钱哨】 一.考试大纲考点要求 １了解关系模式设计中可能出现的问题及其产生原因以及解决的途径。 2 掌握函数依赖、完全函数依赖、部分函数依赖、传递函数依赖的定义,能计算属性的封闭集，并由此得到关系的候选键。 3 掌握第一范式（1NF )、第二范式( 2ＮF )和第三范式（3NF ）的定义,能判别关系模式的范式等级。 4 掌握关系模式的分解(规范到3ＮF )的步骤、分解的原则和分解的方法。 二．单项选择题 １．为了设计出性能较优的关系模式，必须进行规范化，规范化主要的理论依据是( ) 。A. 关系规范化理论 B. 关系代数理论 C．数理逻辑D. 关系运算理论 2. 规范化理论是关系数据库进行逻辑设计的理论依据，根据这个理论,关系数据库中的关系必须满足：每一个属性都是( ) 。 A. 长度不变的Ｂ. 不可分解的 C.互相关联的 D. 互不相关的 ３．已知关系模式Ｒ（A，Ｂ,Ｃ,D,Ｅ）及其上的函数相关性集合Ｆ={A→D，Ｂ→C ,E→A }，该关系模式的候选关键字是( ) 。 Ａ.AB B. BE C．CＤD．DE
4．设学生关系Ｓ（SNＯ,SＮAME,SSEＸ，SAGE，SDPAＲT）的主键为ＳＮＯ，学生选课关系ＳC（SNO,CＮO,SCORE)的主键为SNO和CNO，则关系R（SＮO,CNO，SSEX，SA ＧE，SDPＡRT，SＣOＲE）的主键为ＳNO和CＮO,其满足( ）。 A．1NF Ｂ．2ＮF C．3NＦ D. ＢＣＮF 5. 设有关系模式W(C，P，Ｓ，G,T，Ｒ)，其中各属性的含义是:C表示课程，P表示教师，S表示学生，G表示成绩，T表示时间，R表示教室，根据语义有如下数据依赖集：D={C →P，(S，C）→G,（T，R）→Ｃ,（Ｔ,P）→R，(T,S)→R },关系模式Ｗ的一个关键字是（）。 A.(Ｓ,C)Ｂ. (T，R） Ｃ．（T,P) Ｄ. (T,S) 6.关系模式中,满足2NF的模式( ) 。 A. 可能是1NF B. 必定是１ＮF C. 必定是3NF D. 必定是BCNF 7.关系模式R中的属性全是主属性,则R的最高范式必定是（）。 A. 1ＮＦ B. ２NF C. 3ＮF D. BCＮF ８. 消除了部分函数依赖的1ＮＦ的关系模式,必定是(）。 A．1NF B．2NF C.3NＦ D. BＣNF 9.如果A->B ,那么属性Ａ和属性B的联系是( ) 。 A．一对多Ｂ. 多对一 C.多对多Ｄ. 以上都不是 １0. 关系模式的候选关键字可以有1个或多个，而主关键字有( ）。 A．多个Ｂ.0个 C．１个D．1个或多个 11．候选关键字的属性可以有（）。 Ａ. 多个B. 0个 C．1个D. １个或多个 12. 关系模式的任何属性（）。 A．不可再分 B. 可以再分C. 命名在关系模式上可以不唯一D．以上都不是 13. 设有关系模式W(Ｃ，P，S，G,T,R）,其中各属性的含义是:C表示课程,P表示教师，Ｓ表示学生，G表示成绩,T表示时间，R表示教室,根据语义有如下数据依赖集：D={ C→P，（S，C）→Ｇ，(Ｔ,R）→Ｃ，（T，P）→R,(Ｔ,S)→R },若将关系模式Ｗ分解为三个关系模式W1（C，P）,W2(Ｓ，C,G)，W2（S,T，R,C),则W１的规范化程序最高达到( ）。 Ａ.1NＦＢ.２NF C．３NＦＤ. BＣNF
第二章关系数据库基本原理 一、选择题 1.关系数据表的关键字可由（）字段组成。 A、一个 B、两个 C、多个 D、一个或多个 2.下列关于关系数据库叙述错误的是（）。 A、关系数据库的结构一般保持不变，但也可根据需要进行修改 B、一个数据表组成一个关系数据库，多种不同的数据则需要创建多个数据库 C、关系数据表中的所有记录的关键字字段的值互不相同 D、关系数据表中的外部关键字不能用于区别该表中的记录 3.参照完整性规则：表的（）必须是另一个表的主键的有效值，或者是空值。 A、候选键 B、外键 C、主键 D、主属性 4.关系数据库规范化是为了解决关系数据库中的（）问题而引入的。 A、插入、删除和数据冗余 B、提高查询速度 C、减少数据操作的复杂性 D、保证数据的安全性和完整性 5.关系数据库是若干（）的集合。 A、表（关系） B、视图 C、列 D、行 6.在关系模式中，实现“关系中不允许出现相同的元组”的约束是（）约束。 A、候选键 B、主键 C、键 D、超键 7.约束“年龄限制在18~30岁之间”属于DBMS的（）功能。 A、安全性 B、完整性 C、并发控制 D、恢复 8.反映现实世界中实体及实体间联系的信息模型是（）。 A、关系模型 B、层次模型 C、网状模型 D、E-R模型 9.关系数据模型的3个组成部分中，不包括（）。 A、完整性规则 B、数据结构 C、数据操作 D、并发控制 10.如何构造出一个合适的数据逻辑结构是（）主要解决的问题。 A、关系数据库优化 B、数据字典 C、关系数据库规范化理论 D、关系数据库查询 11.学生社团可以接纳多名学生参加，但每个学生只能参加一个社团，从社团到学生之间的 联系类型是（）。 A、多对多 B、一对一 C、多对一 D、一对多 12.关系模式的任何属性（）。 A、不可再分 B、可以再分 C、命名在关系模式上可以不唯一 D、以上都不是 13.一个m：n联系转换为一个关系模式。关系的关键字为（）。 A、某个实体的关键字 B、各实体关键字的组合 C、n端实体的关键字 D、任意一个实体的关键字 14.候选关键字的属性可以有（）。 A、多个 B、0个 C、1个 D、1个或多个 15.关系模型中有三类完整性约束：实体完整性、参照完整性和域完整性。定义外部关键字 实体的是哪一类完整性（）？ A、实体完整性 B、域完整性 C、参照完整性 D、实体完整性、参照完整性和域完整性 16.设已知F={C→A，CG→D，CG→B，CE→A，ACD→B}，从中去掉哪些函数依赖关系后得到 的新的函数依赖集合F1与F是等价的（）。
关系代数表达式总结 一、并 例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。 分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号。本例也可以使用或条件来表示。 πSno(σCno=’1’(SC))∪πSno(σCno=’2’(SC)) 或πSno(σCno=’1’∨Cno=’2’(SC)) 二、交 例2 检索至少选修课程号为2和3的课程的学生学号。 分析： 方法一：只涉及到一个表，但不能直接用∧（为什么？） 特别注意，本例不能写为： πSno(σCno=’2’∧Cno=’3’(SC)) 因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2，又为3。 第一步：转换（SC×SC） 笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。
选修课程号为2和3的学生： σ1=4∧2=’2’∧5=’3’(SC×SC) 最后取出学生的学号： π1(σ1=4∧2=’2’∧5=’3’(SC×SC)) 方法二：πSno(σCno=’2’(SC))∩πSno(σCno=’3’(SC)) 三、差 例3 将学生信息(‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。 分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。 因此，该删除操作可表示为： Student-{‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’} 注意：但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了，就要用到差操作或除操作。 例4 求没有选修课程号为2的课程的学生学号。 分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学生学号，就得出没有选修课程号为2的学生学号。由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的，故应当先投影，再进行差运算。 πSno(Student)- πSno(σCno=’2’(SC)) 特别注意，本题不能写为：πSno(σCno≠’2’(SC))。因为，选择运算为行运算，并且SC 表中包含的只是选修了课程的学生学号，对那些没选任何课程的学生学号，在SC中找不到。根据题意，要查询没有选修课程号为‘2’课程的学生学号，显然包括没选任何课程的学生学号。 当查询涉及到针对“否定”特征含义的查询要求，如“不”、“没有”等字眼，一般要
因为关系被解释为某个谓词的外延，关系代数的每个运算在谓词演算中都有对应者。例如，自然连接是逻辑AND()的对应者。如果关系R和S分别表示谓词p1和p2的外延，则R和S的自然连接(R S)是表示谓词p1p2的外延的关系。 认识到 Codd 的代数事实上关于一阶逻辑不完备是很重要的。实现它会引起不可
R S = {r s| r R, s S} 主条目：投影 (关系代数) 投影是写为的一元运算，这里的是属性名字的集合。这种投影的结果定义为当所有在中的元组被限制为集合的时候所获得的集合。
广义选择是写为 的一元运算，这里的 是由正常选择中所允许的原子 和逻辑算子 (与)、(或) 和 (非)构成的命题公式。这种选择选出 中使 成立的所有元组。 主条目：重命名 (关系代数) 重命名是写为 的一元运算，这里的结果同一于 ，除了在所有元组中 的 字段被重命名为 字段之外。它被简单的用来重命名关系的属性或关系自身。 连接和类似连接的运算 自然连接 (?) 自然连接是写为 (R ? S ) 的二元运算，这里的 R 和 S 是关系。[1]自然连接的结果是在 R 和 S 中的在它们的公共属性名字上相等的所有元组的组合。例如下面是表格“雇员”和“部门”和它们的自然连接: 雇员 Name EmpI d DeptNa me Harry 3415 财务 Sally 2241 销售 George 3401 财务 Harrie t 2202 销售 部门 DeptNa me Manage r 财务 George 销售 Harrie t 生产 Charle s 雇员 ? 部门 Name EmpI d DeptNa me Manage r Harry 3415 财务 George Sally 2241 销售 Harrie t George 3401 财务 George Harrie t 2202 销售 Harrie t
1.关系模式设计不规范会带来一系列的问题 数据冗余 更新异常 插入异常 删除异常 因此需要一个标准的模式来解决这些问题，引入模式分解来解决存在问题。 2.无损连接的概念比较好懂，就是要保证模式分解后仍然可以根据分解后的关系回退回分解前。这可以保证分解过程没有丢失信息，不会破坏和更改已经存在的。 而检验无损连接的方法分为两种： ①当R分解为两个关系模式R1和R2时，有一种简便的方法可以测试无损连接性 p＝{R1,R2} p是无损连接的分解当且仅当下面之一满足 （R1 ∩R2）→（R1－R2） （R1 ∩R2）→（R2－R1） 其中R1 ∩R2指模式的交，返回公共属性 R2－R1表示模式的差集，返回属于R2但不属于R1的属性集 也可以理解为R1∩R2的结果是R的超码，即该结果可以推出全部R属性。 ②当R分解为多个关系模式时，可以使用chase算法：
举个栗子 R(A,B,C,D,E) R1(A,D), R2(A,B), R3(B,E), R4(C,D,E), R5(A,E) F={A→C, B→C, C→D, DE→C, CE→A} 判断R分解为p＝{R1,R2,R3,R4,R5}是否是无损连接的分解？第一步，构造初始表。
第二步，处理表 A→C：将b23，b53改为b13 B→C：将b33改为b13 C→D：将b24，b34，b54改为a4 DE→C：将第3行和第5行的C改为a3 CE→A：将第3行和第4行的A改为a1 处理后BE行将全变为a，证明为无损连接。 3.函数依赖（FD）的表现形式是x→y,可以根据函数的概念理解,当x属性的值相同时，可以断定y也一定相同。在实际关系模式中，x与y会存在逻辑上的相关性，如一个学号会对应一个姓名。要理解函数依赖是关系模式的内涵，保持函数依赖才能保持关系模式中存在的关系。 举个栗子： R(city, street, zip), F={(city,street)→zip, zip→city} 分解为p={R1(street,zip),R2(city,zip)} 在R1中插入（’a’,’100081’）和（’a’,’100082’）
数据库中多对多的关系设计 数据库设计多对多关系的几种形态 前言：多对多关系至少需要3个表，我们把一个表叫做主表，一个叫做关系表，另外一个叫做字典表或者副表（字典表是纪录比较少，而且基本稳定的，例如：版块名称；副表是内容比较多，内容变化的，例如）。 按照数据库的增删查改操作，多对多关系的查找都可以用inner join或者select * from 主表where id in (select 主表id from 关系表) 1，角色任命型 特点：关系表两外键组合无重复纪录，关系表一般不需要时间字段和主键，有一个表是字典类型的表。 界面特点：显示主表，用checkbox或多选select设置多选关系。 例如：任命版主（用户表-关系表-版块名称表），角色权限控制等，用户是5个版块版主，只要关系表5行纪录就可以确立，关系表的两个外键具有联合主键性质。 增加关系：如果没有组合纪录，insert之。 删除关系：如果有组合纪录，删除之。 2，集合分组型 特点：同角色任命型类似，关系表两外键组合无重复纪录，关系表一般不需要时间字段和主
键。区别是主副表都不是字典表，可能都很大不固定。 界面特点：显示主表，用搜索代替简单的checkbox或多选select，或者一条一条的添加。例如：歌曲专集（专集表-关系表-歌曲表）。手机分组（分组表-关系表-手机表）。用户圈子（圈子表-关系表-用户表）。文章标签（文章表-关系表-标签表） 增加关系：同版主任命型。 删除关系：同版主任命型。 3，明细帐型 特点：关系表可以有重复纪录，关系表一般有时间字段，有主键，可能还有文字型的字段用来说明每次发生关系的原因（消费）。 界面特点：显示关系表，用radio或下拉设置单选关系。 例如：现金消费明细帐或订单（用户表-订单表-消费原因表），用户可能多次在同一事情上重复消费。积分变化纪录也属于这类。 增加关系：不管有没有组合纪录，insert之，纪录时间。 删除关系：根据关系表PK删除。 4，评论回复型 特点：同明细帐型关系表一般有时间字段，有主键，区别是重点在文字型的字段用来说明每次发生关系的内容（评论回复）。 界面特点：回复文本框。