题目（中文）：浅谈行列式的计算方法
（外文）： The Calculation Methoud
Of Determinant
学科部：理工学科部
专业：数学与应用数学
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目录
摘要 1
1. 引言 1
2. 常见行列式的计算方法 1
2.1二阶行列式的计算方法 2
2.2三阶行列式的计算方法 3
2.3N阶行列式计算方法 4
3.行列式的定义及性质 5
3.1行列式的定义 5
3.2行列式的性质 6
4. 行列式的计算方法 7
4.1化三角形法 7
4.2递推公式法 8
4.3降阶法 8
4.4范德蒙行列式 9
4.5数学归纳法 10
4.6加边法 10
4.7拆项法 11
4.8析因子法 12
5. 结束语 13
参考文献 14
浅谈行列式的计算方法
摘要：行列式是高等代数研究过程中的一个重要的数学工具，它已被广泛应用于科学研究，工程技术和经济等活动中,懂得如何去计算行列式也十分重要。本文主要是从行列式的定义及其性质出发，通过一些典型的例题总结出了行列式的8种计算方法。再根据不同类型行列式的特点给出了几种常见行列式相应的计算方法，这样归纳总结，具有一定的理论意义及应用价值。
关键词：行列式；化三角形法；范德蒙行列式；递推法；
1. 引言
行列式可以说是数学当中的一个函数：他定义了一个行列式矩阵A，取一个标
量值并写出det(A)或。不管它涉及线性代数，多项式理论还是微积分（例如在
元积分方法中），决定因素作为基本的数学工具都具有非常重要的应用。决定
因素可以被视为定向领域的一个概念。在学习过程中常常会遇到有关特殊行列
式的计算题目，如果不能掌握正确的计算方式和思维方式，解题的时候会遇到
困难。这不是学习线性方程的基本工具，但它可以说是讨论向量的矩阵和二次
形式的重要工具之一，并已经被广泛应用于科学技术等领域中。因此，行列式
显然起着重要的作用，但行列式决定因素的解决方案无法取代它。本文将总结
和归纳出了计算行列式的各种各样的方法。通过讨论这些规则，我们将深入理
解与数学相关的更多的知识点。并非所有的解决方案都必须包含在这些方法中。根据知识的发展，可能会有更好的解决决定性问题的新方法。
2. 常见行列式的计算方法
行列式的思想最初是用方程的解决方法开发的。确定性提案可以追溯到17世纪。第一个原型是由日本数学家管晓鹤和德国数学家戈特弗里德·博斯特奈特斯绘
制的。它是大学数学学习的一个重要内容，是求解线性方程组，求逆矩阵及求
矩阵特征值的基础。而它的应用并不止局限于代数的范围，它也是许多其他学
科研究的重要工具，如行列式经常被用于涉及到的电子工程，控制论，数学物
理方程的研究等。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，综合式的计算
过程中，不同特征的行列式适用不同的方法，每一种方法都有他们各自的优点
及其独特之处，因此具有非常重要的研究价值。下面我介绍的是二阶行列式，
三阶行列式和N阶行列式的计算方法及它们的一些主要法则。
2.1二阶行列式
二阶行列式是四个数排成两行两列，用一种称为对角线法则计算出来的数，它
来源于二元和三元线性方程组解的公式。二阶行列式将从左上角到右下角的元
素互相相乘，并取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，主对角线相乘，然后再减去两条对角线相乘得到的值就是二阶行列式的值。
二阶行列式满足行列式的运算法则。
= 。
讨论二元线性方程组的解法
引入负号
D是一个阶为二的行列式（（1.2.1）的系数行列式），这个代表的是一个数字，并且把它记为D=det ,这个当中数字指的是行列式D的第i和第j列里面的元素。当时，求得方程组（1.2.1）的解为
按照阶为二的行列式的定义，方程组（1.2.1）当的解都用阶为二的行列式表示
出来。如果我们记为。
其中表示将D中第j列换成（1.2.1）有唯一解：
例1：计算二阶行列式
解：= 。
2.2三阶行列式
求解三元一次方程组
引入符号称为三阶行列式（(1.2.2)的系数行列式）。
= 如果行列式的时候，三元一次方程组（1.2.2）只有一个解，这当中
，，。
三阶行列式的对角线法则：
= 。
三阶行列式具有以下特点：
2.2.1三阶行列式中除去符号，每项的三个元素按他们在行列式中的行的顺序排成，，这个里面第一个的下标都是按照一个顺序排列而成123。
2.2.2 因1,2,3共有6个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和。因此，三阶行列式可以写成
。
上式里面t指的是排列p1,p2,p3的逆序，所以表示了对1,2,3这三个数的排列
p1,p2,p3求和。
例2：用对角线展开法计算：。
从上面的二阶行列式和三阶行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一
些乘积的代数和，而且每一项乘积都是由行列式中位于不同的行不同的列中的
元素组成，并且所以的展开式恰好是由所有这种可能的乘积组成。每一项乘积
所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的（当排列的逆序数为偶排列是，在三阶行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数为奇排列时，
在三阶行列式的展开式定义中，该项带有正号）。
2.3 N阶行列式
有了上面的准备工作，我们可以对于二阶和三阶行列式做进一步的研究，已经
得出了它们的计算结构规律。我们要根据这个规律，可以定义阶为n的一个行
列式。
阶为n的一个行列式就等于全部的位于不同的行不同的列的n个元素的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。这样，我们按照
二阶和三阶行列式含有怎样的项以及每一项取怎样的符号的规律，来定义n阶
行列式。等于全部取行与列不相同的n个元素的乘积的和，在这里指的是1，2，3，…,n中的一个排列，每一个项全部要按照下面的规则必须带有一个符号：如果指的是偶排列的时侯必须要带个正号，如果是奇排列的时侯带有负号。这个定义可写成
这在上面的式子当中表示的是对全部n阶排列的求和，表示的是排列的一个
逆的序数。根据这个定义我们可以看出来，阶为n的一个行列式是由n!项所组
成的。
3. 行列式的定义及性质
行列式的定义和性质可以说是计算行列式的基础。行列式在高等代数课程中的
重要性及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式的性质和定义进行较深入
的认识，因此本文主要要介绍与行列式有关的知识点。
3.1行列式的定义
行列式不同于于我们常用的矩阵，它本身有个确定的值，它是所有不同的行，
不同的列的每一个数的乘积的和差，这些数字的乘积符号与它们的倒数之和有
关系，倒数和偶数是整数的符号以及倒数是奇数的符号都是负数有关。
n阶行列式：
设D=
是由排成n阶方阵形式的个数aij(i,j=1,2, ,n)确定的一个数，其值为n!项之和
D=
上式中的k1,k2,…,kn是我们把序列1,2，…,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，表示的是对k1,k2,…,kn中取1,2，…,n的所有排列的求和，那么我们把
未数D被称为n阶方阵的一个行列式。比如，一个四阶行列式是4！个形式的
所有项的和，并且这个当中都对应于k=3，所以这个项前面所对应的符号应为。例3：计算行列式
解：中不为零的项一般表示为
！，
该项列标排列的逆序数t(n-1.n-2,…,1n)等于，所以
！
例4：计算行列式：。
已知的是一个阶为四的行列式，在它的展开式当中应该有4！=24的一个项，但是因为这个地方出现的零非常多，所以这个当中不等于零的项的数目就非常的降低。这个式子中的项的形式一般是。明确，若，则，因此该项就等于零。所以我们一定要考虑到的这个项，同样，就要考虑的有些项，这说明，这个行列式里面不为零的项仅有，，该项的符号为正的。所以可得：
= =
3.2行列式的性质
高等代数是数学专业必修的基础课程，而行列式知识是其中的重要内容之一，在高等代数教材中给出了求行列式值的基本方法，并且探讨了行列式的相关性质。能够熟练掌握和运用行列式的相关性质有着非常重要的作用和意义。
行列式有如下基本性质：
1.2.1行列式的行列互换，行列式的值不变；
1.2.2行列式于它的转置行列式相等；
1.2.3互换行列式中的某两行或者某两列，行列式变号；
1.2.4行列式中某一行乘以一个数k，那么整个行列式等于乘以这个数k；
1.2.5行列式中某行或者某列式乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式的值不变；
1.2.6行列式的某两行或者某两列成比例，那么这个行列式的值等于零；
1.2.7行列式的某一行或者某一列的元素都是两列或两行的和时，行
列式可拆成两个行列式的和；
例5 : 。
解：= 或
= + 。
例6：计算行列式：。
解：设所以f（x）有因子x-1，x+1,x-2,x+2.令x=0代入上式两端，可算出A=3，故
D=-3（x-1）（x+1）（x-2）（x+2）
主：中的特定常数A可确定如下:
D里面包含的含有的项应该为，因此我们知道的前面的系数是-3。
4. 行列式的计算方法
行列式起源于解二，三元线性方程组，然而它的应用早已超过代数的范围，成
为研究数学领域各分支的基本工具。行列式经常被用于科学和工具计算中，如
涉及到的电子工程，控制论，数学物理方程及数学研究等都离不开行列式。其
中最基本的就是行列式的计算。它是学习高等代数的基石，它是求解线性方程组，求逆矩阵及求矩阵特征值得基础。但行列式的计算方法很多，综合性较强
在行列式计算中需要我们多观察总结，便于我们能熟练地计算行列式的值。目
前常用计算行列式的方法包括以下内容：化三角形法，降阶法，递推公式，数
学归纳法，范德蒙行列式法，拆项法，加边法，析因子法等等。在这章我主要
介绍计算行列式的这八种方法。
4.1化三角形法
化三角形法是一种方法，其中原始行列式被计算为上（下）三角洲行列式或对
角线行列式，这是计算行列式的重要方法之一，因为它很容易通过使用行列式
的定义来得到行列式的上（下）或行列式，很容易获得上（下）行列式或三角
形对，行列式的定义很容易由上（下）决定因素的决定因素或对角决定因素的
决定因素。
原则上，每个行列式可以使用行列式的性质作为三角行列式，然而对于高阶行列式来说，计算往往比较复杂，因此在很多情况下行列式的性质总是用来作为一种对冲然后它转换成三角行列式。
例7：计算行列式。
4.2递推公式法
递推公式法基于行列式的结构特征，无论是在初等数学还是高等数学中，它都有非常广泛的应用：使用行列式的性质，表达一个n阶行列式的行列式作为具有相同结果（例如n-1序列或n-1序列和n-2次序等）线性关系的较低阶的行列式，这种关系被称为递归关系。运用递推法逐层降阶，最终将计算出行列式的值。
例8：计算行列式。
解：按第一行展开得：
而
由以上两式解得:
先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D的值。
4.3降阶法
在行列式的计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，在进行计算，因此熟悉和掌握这些特殊行列式及其计算公式对提供计算行列式的技巧和效率是非常重要的。降阶法方法与行（列）的行列式非常类似。首先，我们将行列式的行（或列）转换为仅一个非零元素，并将行（列）扩展为较低的行。序列的决定因素一直持续到得到直接或立方的行列式结果。
例9:计算行列式。
解：
4.4范德蒙行列式
行列式的计算是线性代数学习中的一个重点，也是一个难点。同时又是研究生入学考试中的必出现的一类题，行列式的计算方法多种多样，灵活多变。其中范德蒙行列式是一种重要的行列式，行列式的计算中起着不可低估的作用，在
行列式的计算中可以把一些特殊的或类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式来计算，而这是行列式计算过程中一种不易掌握的方法。范德蒙行列式展开公式的证明在教材上一般介绍的都是数学归纳法，范德蒙行列式展开公式的证明还可以用递推法及余式定理来证明。
例10：计算行列式。
解：我们将第一行的（-1）倍再加到第二行的元素，然后把新得到的第二行的（-1）倍加到第三行的元素中，根据这个类推直到我们把新得到的第n-1行的（-1）倍加到第n行的元素，就可以得到范德蒙行列式
其中“”表示连称号。
4.5数学归纳法
首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式。数学归纳法还通常应用于确定表达式在自然数范围内是否为真或者用于确定替换形式在无限序列中是否为真这个地方。
例11：计算n阶行列式
解：我们把将行列式的性质与行列式本身的规律相结合，可以使用数学减法来求解该行列式。
当n=2时，
假设n=k是，有
则当n=k+1时，把按第一列展开，得
由此,对任意的正整数n，有
。
4.6加边法
加边方法是逐行添加行列来进行计算的。一旦增加了优点，行列式的值必须保持不变，并且最终的新行列式值应该被容易地计算。加法方法发生在行（列）具有相同字母的情况下，并且还可以在列元素行是n-1个元素的倍数。
例12：计算行列式
解：给原行列式加边
4.7拆项法
上面叙述了行列式的定义，性质及行列式的几种计算方法问题，下面利用拆项法求行列式的问题进行进一步地讨论。高等代数是数学专业必修的基础课程，而行列式知识是其中的重要内容之一，在高等代数教材中给出了求行列式值的基本方法，并且探讨了行列式的相关性质。能够熟练掌握和运用行列式的相关性质有着非常重要的作用和意义。下面主要研究可拆项的行列式的结构特征，指明了什么样的行列式可采用拆项方法来计算的问题。在拆除方法中，我们把给定行列式的行（列）元素被视为两个元素的总和，原行列式被视为两个行列式的总和，并且复行列式被设置为2，解决一个简单的行列式。
例13：计算行列式。
解：
很明确地知道D就是这个行列式 f(x)中的元素的一个余子式，所以，又根据f(x)的表达式和根与系数之间的关系可以知到，f(x)中的系数为：
即
4.8析因子法
所谓的析因子法，就是当行列式的值等于零时，求得方程的根，从而将行列式转化为其因子和积，这样会大大减少计算量。该方法适用于主对角线上含有X 多项式的题型。
例14：计算行列式
解：由行列式D定义知为x的4次多项式。
又，当时，1,2行相同，有D=0，所以为D的根。
当时，3,4行相同，有D=0，所以为D的根。
故D有4个一次因式：x+1,x-1,x+2,x-2。
设令x=0,则
即
所以a=-3。
所以。
5. 结束语
行列式的计算方法灵活多变，但万变不离其宗，在计算时一定要仔细观察其类型特点，恰当运用行列式计算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解选择行列式的计算方法最主要的还是看行列式的元素分布的规律。在实际计算中，不同
的方法适用于不同的行列式，但行列式通常用于更多行列式，使用的性质是直接使用和确定性三角决定因子这将分成。排序方法主要用于在行（列）中展开表达式，通常在行或列中有很多零元素，每种方法都有自己的优点和唯一性，所以矩阵表达的解决方案的意义非常重要。了解更多练习和更多摘要，以更好地掌握确定性的计算。
参考文献
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Abstract:Dterminant is one of the most important tools in the study of higher algebra.It has a wide range of applications in scientific activities.It is also very important to know how to calculate the determinant.Based on the definition and properties of determinants,this paper sums up 8calculation methods of travel columns through some typical examples.According to the characteristics of determinants of different types,the corresponding calculation methods of sever common determinants are given.This further generalization has definite theoretical significance and application value.
Key Words:Determinant；Triangulation method；Van Redmond determinant；Recursive hair method
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！ 项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
行列式的计算方法综述 目录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考） 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.定义法 由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。 例1.算上三角行列式 解：展开式的一般项为 同样，可以计算下三角行列式的值。 2.化三角形法 画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上
第 １ 页 （下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。 例2.计算 解：各行加到第一行中 把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有 3.逐行（列）相减法 有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。 例3.计算n 级行列式 解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有 上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上 4.升降法（加边法） 升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。 例4.计算n 级行列式
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算
Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation
目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
行列式计算7种技巧7种手段 【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 1111121111121221 222 22212221 1 2 1 2 n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111 22 1 2121 2 1 2 1 2 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 00100 200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()1 2323111100 1 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000 000 n n n a a a a D a a ?? -- - ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
1 行列式的概念及性质 1.1 行列式的概念 n 级行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。这一定义可写成 ， 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列的求和。 1.2 行列式的性质[1] 性质1 行列互换，行列式值不变，即 =nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a 212 22121 2111 性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外， 即 =nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 2 1 2111211nn n n in i i n a a a a a a a a a k 21 21 11211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个 n n n nj j j j j j r j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a 21212121) (2 1 2222111211) 1(∑-=
数乘以此行列式。 事实上， nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a + nn n n in i i n a a a a a a a a a k 2121 11211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。 性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即 ),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。 即 nn nj n n j n j nn nj n n j n j nn nj nj n n j j n j j a c a a c a a c a a b a a b a a b a a c b a a c b a a c b a 12221111112221111112222111111+ =+++ 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是 说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。 性质6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k 后加到另一行（列）的对 应元素上去，则行列式不变。 性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 2 行列式的计算方法 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n ！项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应
中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005
指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日
中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)
行列式计算的若干方法 摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1( 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积. 其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 32 2311332112312213a a a a a a a a a 32 21133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D （1
即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=d c b a =ad-bc , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ,交换i,j 两列记作C i C j 。 性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值 等于零。 性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ） 推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行 列式符号的前面。 推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行 列式值等于零。 推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列 式值等于零。 性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行 列 式 D 等 于 两 个 行 列 式 D 1 和 D 2 的 和 。
行列式的计算方法 摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。 关键词：行列式矩阵降阶 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples. Keywords:determinant matrix reduction. 1．引言 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,