第二章 离散型随机变量
2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)????
??2.03.05.0531 (2) ???
? ??1.01.07.0321
(3) ????? ?
???? ????? ????? ?? n n 31213121312121
210
2 (4)????
?
????? ????? ?? 2221212121
n 解 （1）是
（2）11.01.07.0≠++，所以它不是随机变量的分布列。
（3）4
3312131213121212=+??? ??++??? ??+??? ??+ n
,所以它不是随机变量的分布列。
（4）,021>??? ??n n 为自然数，且1211=??
? ??∑∞=n n
，所以它是随机变量的分布列。 2.2 设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15
)(==
=k k
k P ξ，求(1))21(==ξξ或P ; (2)2
5
21(
<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。 解 (1) 5
1152151)21(=+=
==ξξ或P ; (2) 5
1)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P ;
(3) )21(≤≤ξP 5
1
)2()1(==+==ξξP P .
2.3 解 设随机变量ξ的分布列为3,2,1,32)(=??
? ???==i C i P i
ξ。求C 的值。 解 1
32323232=???
????
???? ??+??
? ??+C ，所以3827=C 。
2.4 随机变量ξ只取正整数N ，且)(N P =ξ
与2N 成反比，求ξ的分布列。
解 根据题意知2)(N
C N P ==ξ，其中常数C 待定。由于16212
=?=∑∞
=πC N C N ，所以26π
=C ，即ξ的分布列为
2
26)(N N P πξ=
=，N 取正整数。
2.5 一个口袋中装有m 个白球、m n -个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。
解 设“k =ξ”表示前k 次取出白球，第1+k 次取出黑球，则ξ的分布列为：
.,,1,0,)
()1()
)(1()1()(m k k n n n m n k m m m k P =---+--=
=ξ
2.6 设某批电子管的合格品率为4
3，不合格品率为
4
1，现在对该批电子管进行测试，设第ξ次为首次测到合格品，求ξ的分
布列。
解 .,2,1,4
3
41)(1
=??
? ??==-k k P k ξ 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。
解 .5,4,3,3521)(=???
? ??????
??-==k k k P ξ
2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p )10(<
的
分布列。
解 ,3,2,)(11=+==--k q p p q k P k k ξ
，其中p q -=1。
2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。
解 设ξ，η表示第二名队员的投篮次数，则
4.04.06.0)(11--==k k k P ξ+6.04.06.01-k k ,2,1,24.076.01=?=-k k ； 6.04.06.0)(1-==k k k P η4.04.06.0k k + ,2,1,4.06.076.01=?=-k k k 。 2.10 设随机变量ξ服从普哇松分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP 。
解
,2,1,0)0(!
)(=>=
=-k e k k P k
λλξλ。由于,
2
2
λλ
λλ--=
e e
得
,21=λ0
2=λ（不合要求）。所以
2
243
2!42)4(--===e e P ξ。
2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不
脱销的概率为0.999。
解 设ξ为该种商品当月销售数，x 为该种商品每月进货数，则999.0)(≥≤x P ξ
。查普哇松分布的数值表，得16≥x 。
2.12 如果在时间t （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t 成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。
解 设ξ为时间t 内通过交叉路口的汽车数，则
,2,1,0),0(!
)()(=>==-k e k t k P t
k λλξλ
1=t 时，2.0)0(===-λξe P ，所以5ln =λ；2=t 时，5ln 2=t λ，因而 =>)1(ξP -=-)0(1ξP ==)1(ξP 83.025/)25ln 24(≈-。
2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
解 在指定的一页上出现某一个错误的概率
500
1
=
p ，因而，至少出现三个错误的概率为 k k k k -=??? ????? ?????? ??∑50050035004995001500k k k k -=?
?? ????? ?
????? ??-=∑5002
050049950015001 利用普哇松定理求近似值，取1500
1
500=?==np λ，于是上式右端等于 080301
.025
1!1112
≈-=--=∑e e k k 2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么
每箱至少应装多少个产品？
解 设每箱至少装x +100个产品，其中有k 个次品，则要求x ,使 k x k x
k k x -+=∑???
? ??+≤
100097.003.01009.0， 利用普哇松分布定理求近似值，取303.0)100(≈?+=x λ，于是上式相当于3
0!
39.0-=∑≤e k x
k k ，查普哇松分布数值表，得5=x 。
2.15 设二维随机变量),(ηξ的联合分布列为：
)10,0()
!(!)1(),(<<>--=
==--p e m n m p p m n P m
n m n λληξλ
,2,1,0,,1,0==n n
m
求边际分布列。
解 ∑=====n
m m n P n P 0
),()(ηξξ
m n m
n
m n p p
m n m n n e -=---=
∑)1()!(!!
!
λ
λ
,2,1,0!
==
-n n e n λ
λ
∑
∞
=====0
),()(n m n P m P ηξηm n m
m
n m p p
m n m n m e p -∞
=---=
∑)1()!(!!
!λ
,2,1,0!
)(==
-m m e p p m λλ。
2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为ξ、η、ζ，求),,(ζηξ的联合分布列与各自的边际分布列。
解 k n m k n m k n m P 2.03.05.0!
!!!
4),,(=
===ζηξ
，.44,3,2,1,0,,=++=k n m k n m
m m m m P -???
? ??==45
.05.04)(ξ ，
4,3,2,1,0=m ； n
n n n P -???
? ??==47.03.04)(η ，4,3,2,1,0=n ；
k
k k k P -???
? ??==48.02.04)(ζ ，4,3,2,1,0=k 。
2.18 抛掷三次均匀的硬币，以ξ表示出现正面的次数，以η表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求),(ηξ的联合分布列及边际分布列。
2.21 设随机变量ξ与η独立，且)1(=ξP 0)1(>===p P η，
又)0(=ξP 01)0(>-===p P η，定义??
?++=为奇数
若为偶数若ηξηξζ01，问p 取什么值时ξ与ζ独立？
解)1()1()0()0()1(==+====ηξηξζ
P P P P P =22)1(p p +-
)1()0()1()0()0(==+====ηξηξζP P P P P )1(2p p -=
而)1,1(==ζξP 2)1,1(p P ====ηξ，由)1,1(==ζξP )1()1(===ζξP P 得2
1=p
2.22 设随机变量ξ与η独立，且)1(±=ξ
P 2
1
)1(=
±==ηP ，定义ξηζ=，证明ηξζ,,两两独立，但不相互独立。 证明21
)1()1()1()1()1(=-=-=+====ηξηξζP P P P P
2
1
)1()1()1()1()1(==-=+-===-=ηξηξζP P P P P
因为4
1
)1,1()1,1(======ηξζξP P )1)1(===ζξP P 41
)1,1()1,1(=-===-==ηξζξP P )1)1(-==ζξP P
41
)1,1()1,1(=-=-===-=ηξζξP P )1()1(=-=ζξP P
4
1
)1,1()1,1(==-==-=-=ηξζξP P )1()1(-=-=ζξP P
所以ξζ,相互独立。同理η与ζ相互独立。
但是)1()1()1()1,1,1(===≠===ζηξζηξP P P P ，因而ηξζ,,不相互独立。
2.23设随机变量ξ与η独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明ηξ+不服从均匀分（即不可能有
12,,3,2,11
1
)( ===+k k P ηξ。）
证明 设,)(k p k P ==ξ6,,2,1,)( ===k q k P k η。
若12,,3,2,11
1
)( ===+k k P ηξ，则 11
1
)2(11===+q p P ηξ )1(
11
1
)7(165261=+++==+q p q p q p P ηξ )2(
11
1
)12(66===+q p P ηξ )3(
将（2）式减去（1）式，得：0)(116
<-q p p ，于是16p p <。同理16q q <。因此11
1
1166=
2.24 已知随机变量ξ的分布列为???? ? ? ??412 14 120 ππ ，求23 2 +=ξη 与ξζcos =的分布列。 解 η分布列为41)2(= =η P ，21)32(=+=πηP ，41 )322(=+ =πηP ； ζ的分布列为41)1(=-=ζP ，21)0(==ζP ，4 1 )1(==ζP 。 2.25 已知离散型随机变量ξ的分布列为? ??? ??--301115151615 1 31012，求2 ξη=的分布列。 解51)0(= =η P , 307)1(==ηP , 51)4(==ηP , 30 11 )9(==ηP 2.26 设离散型随机变量ηξ与的分布列为ξ：? ?? ? ??818321310 ， η ：???? ??323110，且ηξ与相互独立，求ηξζ+=的分 布列。 解 ? ?? ? ??12124141241161 43210 2.27 设独立随机变量ηξ与分别服从二项分布：), ;(1p n k b 与),;(2p n k b ，求ηξ+的分布列。 解 设ξ为1n 重贝努里试验中事件A 发生的次数（在每次试验中p A P =)(），η为2n 重贝努里试验中事件A 发生的次数（在每次试验中p A P =)(），而ηξ与相互独立，所以ηξ+为21n n +重贝努里试验中事件A 发生的次数，因而 ,,,1,0,)(2121 =??? ? ??+==+-+k q p k n n k P k n n k ηξ21n n +。 2.28 设ηξ与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 ,2,1,2 1 )()(=====n n P n P n ηξ 求ηξ+的分布列。 解n k n n k k n k n k n P k P n P 21 212 1)()()(1 111-=?=-====+--=-=∑∑ηξηξ 2.29 设随机变量ξ具有分布：5,4,3,2,1,5 1)(===k k P ξ，求ξE 、2 ξE 及2)2(+ξE 。 解，3)54321(51=++++=ξE ，11)54321(5 12 22222=++++=ξE =+2)2(ξE 2 ξE +4ξE +4=27 2.30设随机变量ξ具有分布： ,2,1,2 1 )(===k k P k ξ，求ξE 及ξD 。 解 2212121 11=??? ??==-∞=∞ =∑∑k k k k k k E ξ，621212 1 12122 =? ?? ??==-∞=∞=∑∑k k k k k k E ξ 2)(2 2=-=ξξξE E D 2.31设离散型随机变量ξ的分布列为： ,2,1,2 1 ]2)1([==-=k k P k k k ξ，问ξ是否有数学期望？ 解 ∑∑∞=∞==?-11121|2)1(|k k k k k k k ，因为级数∑∞ =11k k 发散，所以ξ没有数学期望。 2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克，现有三组 砝码： （甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克） 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？ 解 设1ξ、2ξ、3ξ分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1ξ 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2ξ 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 3ξ 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是 8.1)1332212211(10 1 1=+++++++++= ξE 7.1)1332221111(101 2 =+++++++++= ξE 2)1432213211(10 1 3=+++++++++=ξE 所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, 10±米的概率各是0.16， 20 ±米的概率各是0.08，30±米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。 解 设 场 地 面 积 为 2米S ，边长的误差为ξ米，则2)500(+=ξS 且 0=ξE 186)05.03008.02016.010(22222=?+?+?=ξE 所以)(2501862500001000)500(222米=++=+=ξξξE E E ES 2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为1p 、2p 、3p 。试证发生故障的仪器数的数学1p +2p +3p 。 证 令3,2,101=???=i i i i 架仪器未发生故障 第架仪器发生故障第ξ ξ为发生故障的仪器数，则3,2,1,)1(====i p P E i i i ξξ， 所以=++=321ξξξξE E E E 1p +2p +3p 。 2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。 解 设， 则i η的分布列为??? ? ??151415101，因而151 =i E η。设ξ为查得的不合格品数，则 ∑==150 1 i i ηξ，所以10150 1 ==∑=i i E E ηξ 。 2.38 从数字0，1，…，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。 解 设ξ为所选两个数字之差的绝对值，则n k n k n k P ,,2,1,211 )( =??? ? ??++-= =ξ ， 于是32])1[()1(22111 2 1+=-++=??? ? ??++-=∑∑==n k k n n n n k n k E n k n k ξ。 2.39 把数字n ,,2,1 任意在排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。 解 设???=个位置上不在第数字个位置上出现在第数字k k k k k 01ξ则k ξ的分布列为：???? ??-n n 111 01 于是n P E k k 1 )1(===ξξ，设匹配数为ξ，则∑==n k k 1ξξ，因而11 ==∑=n k k E E ξξ。 2.40 设ξ为取非负整数值的随机变量，证明： (1) ∑∞ =≥=1 )(n n P E ξξ ; (2) ).1()(21 +-≥=∑∞ =ξξξξ E E n nP D n 证明 (1)由于∑∞ ===0 )(n n nP E ξξ 存在，所以该级数绝对收敛。从而 = ==∑∞ =1 )(n n nP E ξξ∑∑∑∑ ∞=∞=∞=====111 )()(i i n n n i n P n P ξξ∑∞ =≥=1 )(i i P ξ。 (2) ξD 存在，所以级数∑∞ ===0 22 )(n n P n E ξξ 也绝对收敛，从而 )1(2 +-+=ξξξξξE E E E D ∑∞ =+-=+=1 )1()()1(n E E n P n n ξξξ )1()(2)1()(2111+-==+-==∑∑∑∑∞=∞ =∞==ξξξξξξE E n iP E E n P i i i n n n i ).1()(21+-≥=∑∞ =ξξξE E n nP n 2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为 p ，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。 解 设成功与失败均出现时的试验次数为ξ，则 1)1(=≥ξP ，)1(,3,2,)(11p q n q p n P n n -==+=≥-- ξ 利用上题的结论，=ξ E )1(≥ξP +∑∞=≥2 )(n n P ξ=1+)(112 --∞ =+∑n n n q p ) 1(1 1112p p p p q q p p -+-= -+-+= 2.42 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对 这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。 解 略。 2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第0n 件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第0n 件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p ，问平均每批要检 查多少件？ 解 略。 2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p ，当生产出k 个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产 品总数的数学期望与方差。 解 设第1-i 个不合格出现后到第i 个不合格品出现时的产品数为i ξ，.,,2,1k i =又在两次检修之间产品总数为ξ，则 .1 ∑==k i i ξξ 因i ξ独立同分布，)1(,2,1,)(1p q j p q j P j i -====- ξ，由此得： p p jq E j j i 11 1 = = ∑ ∞ =-ξ，2 1 122 2p p p q j E j j i -= =∑∞ =-ξ， 2221)(p p E E D i i i -= -=ξξξ。 p k E E k i i ==∑=1ξξ，2 1 )1(p p k D D k i i -==∑=ξξ。 2.46 设随机变量ξ与η独立，且方差存在，则有 22)()()(ηξηξηξξηE D D E D D D ?+?+?=（由此并可得ηξξηD D D ?≥)(） 证明 222)()(ξηηξξηE E D -=2 222)()(ηξηξE E E E -= 22222222)()()()(ηξηξηξηξE E E E E E E E -+-= ξηηξD E D E 22)(-=2 2)()(ηξηξηξE D D E D D ?+?+?= 2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为ξ和η：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在)90(≤≤=k k η的条件下ξ的分布列。 解 (1) 9,,1,010 1)|( == ==i k i P ηξ. (2) ),9,,1,0(9 1)|(k i i k i P ≠==== ηξ , 0)|(===k k P ηξ 2.49 在n 次贝努里试验中，事件 A 出现的概率为p ，令 n i A i A i i ,,2,101 =?? ?=不出现 次试验中在第出现 次试验中在第ξ 求在)0(21 n r r n ≤≤=+++ξξξ 的条件下，)0(n i i ≤≤ξ的分布列。 解 ) (),0()|0(2111121 n n i i i n i P r P r P ξξξξξξξξξξξξ+++=+++++===+++=+- n r n q p r n q p q n q r n r r n r -= ??? ? ?????? ??-=---11 )|1(21r P n i =+++=ξξξξ n r n r n =-- =1。 2.50 设随机变量1ξ，2ξ相互独立，分别服从参数为1λ与2λ的普哇松分布，试证： k n k k n n k P -???? ??+-???? ??+???? ??==+=211211211)|(1λλλλλλξξξ 证明 ) () ,()|(21211211n P n k P n k P =+=+===+=ξξξξξξξξ ) ()()(2121n P k n P k P =+-===ξξξξ 由普哇松分布的可加性知1ξ+2ξ服从参数为1λ+2λ的普哇松分布，所以 ) (2121 21 212 1 1! )()!(!)|(λλλλλλλλξξξ +----+-? = =+=e n e k n e k n k P n k n k k n k k n -? ??? ? ?+-? ?? ? ??+???? ??=2112111λλλλλλ 2.51 设 1 ξ， 2ξ，…， r ξ为 r 个相互独立随机变量，且 )1(r i i ≤≤ξ服从同一几何分布，即有 p q r i k qp k P k i -=≤≤===-1),1(,,2,1,)(1其中 ξ。 试证明在n r =+++ξξξ 21 的条件下，),,,(21 r ξξξ 的分布是均匀分布，即 ??? ? ??--= =+++==111 |,,(2111r n n n n P r r r ξξξξξ ，其中n n n n r =+++ 21 . 证明 =+++==r r r n n P ξξξξξ 211 1|,,() (),,,(1111n P n n n P r r r r =++=++==ξξξξξξ ) (),,(111n P n n P r r r =++=== ξξξξ 由于1ξ，2ξ，…，r ξ相互独立且服从同一几何分布，所以 r n r r i k n k k r i k r p q r n p q n P i r i -===++=-??? ? ??--=?= =+++∑∏11)()(,,1,2,111 211 ξξξ。 从而)|,,(2111 n n n P r r r =+++==ξξξξξ r n r r n r p q r n p q --??? ? ??--=11???? ??--= 111r n 。 《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得 （1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码． 动物学五次作业 一、[填空题] 1、哺乳动物的肾单位由肾小体和肾小管组成。 2、鸟类的视力调节既能调节晶状体的凸度，也能调节角膜的凸度，所以称为双重调节。 3、鲫鱼的脊椎骨的椎体类型是双凹型。 4、两栖纲动物的脊椎出现了颈椎和荐椎的分化。 5、白鳍豚是终生生活于淡水中的哺乳纲动物。 6、原生动物分为 5 个纲，分别为鞭毛纲、肉足纲、孢子虫纲、丝孢子虫纲、纤毛纲。 7、爬行纲动物的排泄物以尿酸为主。 8、植物细胞和动物细胞结构的最大区别在于细胞膜外是否还有细胞壁。 9、淡水中生活的水螅和桃花水母属于水螅纲。 10、蝴蝶的变态方式为完全变态。 11、具有完全消化系统的无脊椎动物，其消化道从前向后一般可分为三部分，分别为前肠、中肠、后肠。 12、家蝇和按蚊在动物界的分类地位属于节肢动物门、昆虫纲双翅目。 13、软体动物的贝壳由外向内依次分为角质层、棱柱层和珍珠层。 14、水沟系是海绵动物特有的水流动系统，根据水沟系统的复杂程度，可将其分为单沟型、双沟型和复沟型。 15、领细胞为海绵动物所特有。 16、河蚌是瓣鳃纲的代表动物。 17、七星瓢虫和金龟子在动物界的分类地位属于节肢动物门、昆虫纲鞘翅目。 18、动物的受精卵是由卵子和精子结合而成。 19、原生动物中以自养方式获得营养的代表动物是绿眼虫。 20、动物分类的基本单位是物种。 21、生物的五界系统包括植物界、动物界、真菌界和原核生物界，单细胞的原生动物属于原生生物界。 22、人的胎盘为盘状胎盘。 23、腺垂体调节甲状腺功能的主要激素是促甲状腺素。 24、脊椎动物最主要的排泄器官是肾。 25、最开始出现三胚层的动物是扁形动物。 26 哺乳动物的心脏是由_右心房, 右心室,左心房，左心室?所组成。 27、哺乳类皮肤腺的类型有皮脂腺，汗腺，乳腺，气味腺四种。 28、哺乳动物具有高度发达的神经系统和感觉器官，能协调复杂的机能活动和适应多变的环境条件。 29、哺乳类脊椎分颈椎、胸椎、腰椎、荐椎、尾椎五部分。 30、与鸟类不同,哺乳动物具左体动脉弓。 31、刺细胞为腔肠动物所特有。 32、爬行类的血液循环方式为不完全双循环动物。 33、脊椎动物最主要的排泄器官是肾脏。 34、线虫动物门的代表动物是蛔虫。 35、原生动物的营养方式包括植物性营养、动物性营养和腐生性营养（渗透性营养）。 36、中胚层的产生是动物由水生进化到陆生的基本条件之一。 37、马氏管位于消化系统的中肠和后肠交界处。 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ; 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(． 《物理化学》 第一次 1.形成胶束的最低浓度称为临界胶束浓度，表面活性物质 的HLB 值表示表面活性物质的亲水性。 2.设N2和O2皆为理想气体，它们的温度、压力相同，均为298K、pθ，则这两种气体的化学势应该 A：相等 B：不一定相等 C：与物质的量有关 D：不可比较 参考答案：D 3：[单选题]区域熔炼技术主要是应用于 A：制备低共熔混合物 B：提纯 C：制备不稳定化合物 D：获得固熔体 参考答案：B 4.[单选题] 在25℃时,电池Pb(Hg)(a1)|Pb(NO3)2(aq)|Pb(Hg)(a2)中a1>a2,则其电动势E（B）A：<0 B：>0 C：=0 D：无法比较 5.[单选题] 在恒温抽空的玻璃罩中封入两杯液面相同的糖水(A)和纯水(B)。经历若干时间后，两杯液面的高度将是（A） A：A杯高B杯B：A杯等于B杯C：A杯低于B 杯D：视温度而定 6.[单选题]恒温下，在反应2NO2(g) = N2O4(g) 达到平衡后的体系中加入惰性气体，则 A: 平衡向右移动； B:平衡向左移动； C: 条件不充分，无法判断； D: 平衡不移动。 参考答案：C 7.[单选题]关于反应速率r，表达不正确的是 A：与体系的大小无关而与浓度大小有关 B：与各物质浓度标度选择有关C：可为正值也可为负值 D：与反应方程式写法无关 参考答案：C 8.[单选题] 下列说法中不正确的是（C） A：任何液面都存在表面张力B：平面液体没有附加压力C：弯曲液面的表面张力方向指向曲率中心D：弯曲液面的附加压力指向曲率中心 9.[单选题]某反应速率常数k = 2.31 × 10-2mol-1?dm3?s-1，反应起始浓度为1.0 mol?dm-3，则其反应半衰期为： A: 43.29 s ； B:15 s ； C: 30 s ； D:21.65 s 。 参考答案：A 10.[单选题]某同位素蜕变的半衰期为12h，则36h后，它的浓度为起始浓度的（C）A：1/2 B：1/4 C：1/8 D：1/16 11.[单选题]关于电极电势，下列说法中正确的是（A） A：还原电极电势越高，该电极氧化态物质得到电子的能力越强B：电极电势是指电极与溶液之间的界面电位差，它可由实验测出C：电极电势只与电极材料有关，与温度无关D：电极电势就是标准电极电势 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 生活中的 DNA 科学 51、 DNA 测序 DNA 测序： DNA测序是指分析特定DNA 片段的碱基序列，也就是腺嘌呤(A) 、胸腺嘧啶 (T) 、胞嘧啶 (C) 与鸟嘌呤的 (G) 排列方式。 52、染色质重塑 染色质重塑：基因表达的复制和重组等过程中，染色质的包装状态、核小体中组蛋白以及对应 DNA 分子会发生改变的分子机理。 53、隔裂基因 隔裂基因：真核类基因的编码顺序由若干非编码区域隔开，使阅读框不连续，这种基因称为隔裂 基因，或者说真核类基因的外显子被不能表达的内含子一一隔开，这样的基因称为隔裂基因。 54、野生型 野生型：在生物之自然族群中以最高频率存在的表现型，或指具有这种表现型的系统、个体或遗传基因。 55、启动子 启动子： DNA 分子可以与 RNA 聚合酶特异结合的部位，也是转录开始的部位。在基因的表达调控中， 转录的起始是关键。常常某个基因是否表达决定于特定的启动子起始过程。 56、什么是转录组和转录组学 转录组是特定组织或细胞在某一发育阶段或功能状态下转录出来的所有RNA 的集合，是研究细胞表型和功能的一个重要手段。 转录组学是一门在整体水平上研究细胞中基因转录的情况及转录调控规律的学科。简而言之，转录组学是从RNA 水平研究基因表达的情况。 57、简述 RT-PCR 技术的概念及其原理。 RT-PCR 是将 RNA 的反转录（ RT）和 cDNA 的聚合酶链式扩增（ PCR ）相结合的技术。首先经反转 录酶的作用从 RNA 合成 cDNA ，再以 cDNA 为模板，扩增合成目的片段。 58、简述探针的种类。 （1）cDNA 探针：通过逆转录获取 cDNA 后，将其克隆与适当的载体，通过扩增重组质粒使 cDNA 得到大量扩增。提取质粒后分离纯化作为探针使用。它是目前应用最为广泛的一类探针。 （2）基因组探针：从基因组文库里筛选到一个特定的基因或基因片段的克隆后，大量扩增纯化，切取插入片段，分离纯化为探针。 （3 ）寡核苷酸探针：根据已知的核酸顺序，采用DNA 合成仪合成一定长度的寡核苷酸片段作 为探针。 （4 ） RNA 探针：采用基因克隆和体外转录的方法可以得到RNA 或反义 RNA 作为探针。 59、简述突变类型及其遗传效应？ 1、突变类型： A. 点突变： DNA 大分子上一个碱基的变异。分为转换和颠换。 B. 缺失：一个碱基或一段核苷酸链从DNA 大分子上消失。 C. 插入：一个原来没有的碱基或一段原来没有的核苷酸链插入到DNA 大分子中间。 D. 倒位： DNA 链内重组，使其中一段方向倒置。 .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 第2章条件概率与独立性 一、大纲要求 <1）理解条件概率的定义. <2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. <3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算. <4）了解独立重复实验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 为2这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理设12,, ,n A A A 为任意n 个事件<2n ≥），且121()0n P A A A ->，则有 12112131212 1()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --= 3．全概率公式 定理设12,,B B 为一列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1 i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一事件A ，有1 ()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑. 4.贝叶斯公式 定理设12,,B B 为一系列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一具有正概率的事件A ，有 1()(|) (|)()(|)k k k j j j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性 定义若两事件A B 、满足，则称A B 、<或B A 、）相互独立，简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、； 、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤成 立： ()()()i j i j P A A P A P A =<共2n C 个） ()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A =<共3n C 个） 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =<共n n C 个） 则称12,,n A A A 相互独立. 定理设n 个事件12,, n A A A 相互独立，那么，把其中任意m <1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立. 6. 重复独立实验，而且这些重复实验具备：<1）每次实验条件都相同，因此各次实验中同一个事件的出现概率相同；<2）各次实验结果相互独立；满足这两 1、关于PowerPoint2010保存格式说法错误的是（ 4 ） 1. pptx格式是演示文稿的默认格式，一般在制作课件时都保存为此格 式 2. .ppsx格式是演示文稿的放映格式，双击该类型演示文稿文件，将直 接进入放映状态 格式是启用宏的演示文稿文件，如果演示文稿中有宏编秤程，则需要用此格式 格式是演示文稿的放映格式，双击该类型演示文稿文件，将直接进入放映状态 2、欲为幻灯片中的文本添加链接，可以用（ 2 ）菜单中的“超级链接”命令。1，文件 2，插入 3. 编辑 1. 视图 3、下列关于幻灯片放映的说法正确的是（ 1 ） 1，幻灯片放映过程中可以通过鼠标对幻灯片进行标注说明。 2. 如果设置了/排练计时，则幻灯片放映的吋候只能通过排练计时自动 放映 3.幻灯放映中途，不能提前结束放映 4.幻灯片只能全屏幕放映 4、关十PowerPoint中声音开始播放方式的设置下列说法正确的是（ 3 ） 1.自动表示单击幻灯片上的声音图标时开始播放，当前幻灯片之后停止播放 2.单击时表示在放映当前幻灯片时开始播放，当前幻灯片之后停止播放 3.跨幻灯片播放表示在切换到下—张幻灯片时播放声音直到演示文稿结束 4.跨幻灯片播放表示在切换到卜一张幻灯片吋播放声音直到下一张幻灯片放完 5、根据科学性要求，在开发多媒体课件时不可以使用字符是（ 1 ） 1. 繁体字 2. 简化字 3. 国标文字 4. 以上均不正确 6、根据评价主体的不同，由有关部门组织，专家构成专门小组，进行的具有较高权威性的多媒体课件评价属于（ 2 ) 1.非正式评价 2.正式评价 3.形成性评价 4.总结性评 7、关于PowerPoint中“添加音频”文件，下列说法不正确的是（ 4 ） 1.可以通过计算机上的文件添加音频 2.可以通过网络或“剪贴画”任务窗格添加音频 3.可以通过自己录制音频的方式添加音频 4.不可以通过自己录制音频的方式添加音频 8、以下方法不能用于创建演示文稿的是（ 3 ） 1.根裾主题 2.根据模板 3.根据母版 )B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件 8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ? .习题 1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随 机变量，并求η的分布函数． 证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξ η e =也是随机变量． η的分布函数为 }{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη 当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η； 当 >y 时 ， ) (ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<= 因此，η的分布函数为 ???≤>=00 ),(ln )(y y y F y F ξ η． 3．假定一硬币抛出正面的概率为 (01)p p <<，反复抛这 枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率． 解：（1）}{k =ξ 表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出 现反(正)面，据题意知， p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ，Λ ,4,3,2=k 所以，抛掷次数ξ的密度阵为 22112322(1)(1)k k k p p p p p p p p --?? ? ?---+-? ? L L K K (2) 恰好抛掷偶数次的概率为： Λ Λ+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ Λ++++++++ =--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533 ) 1()1(4242ΛΛ+++++++=q q qp p p pq 2 211 11q qp p pq -? +-?= ) 1(1 )1(1q p qp q p pq +? ++? = q q p p +++= 11 4．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}3 2{R P > ξ ．解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为 }{)(x P x F <=ξ 当0x ≤时，φξ =<}{x ，()0F x =； 当0x R <<时，22 2 2}{)(R x R x x P x F ==<=ππξ； 当x R ≥ 时， ()1F x = 故ξ的分布函数为 ???????≥<<≤=R x R x R x x x F , 10,0, 0)(22． 95 941)3/2(1)32(1}32{2 2=-=-=-=>R R R F R P ξ． 5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度ξ的分布函数． 解：当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =； 当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为 ()(){}{}1arccos(1,1122R x F x F P R ππξππ --=-∞=<= ==； 当裂纹距离地面高度为x ()01x <<时，分布函数为 1 = 1x = R 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL概率论第一章课后习题答案
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