分式函数值域问题分类导析
求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法．
首先我们给出分式函数的定义：形如)
()
()(x q x p x f =的函数叫做分式函
数，其中)(x p 、)(x q 是既约整式且)(x q 的次数不低于一次．下面就)(x p 、
)(x q 的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．
1. 一次分式函数
)(x p 、)(x q 的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如
0,,)(≠∈++=c A x d
cx b ax x f 的函数．
一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成)(1y f x -=，由于
A x ∈，则A y f ∈-)(1，解出y 的取值范围，即函数f(x)的值域．
例1． 求函数23
2-+=x x y ，]8,3[∈x 的值域．
解：改写成232-+=y y x ，因为]8,3[∈x ，所以823
23≤-+≤
y y ，解得96
19
≤≤y ，即原函数的值域是]9,619[．
２．二次分式函数
)(x p 、)(x q 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如不全为零、d a A x f
ex dx c
bx ax x f ,,)(2
2∈++++=的函数． 若A=｝
｛0|2≠++f ex dx x ，则可采用根的判别式法求值域．
例２．求函数4
45
422++++=x x x x y 的值域．
解：化为关于x 的方程054)1(4)1(2=-+-+-y x y x y ．若ｙ＝１，则方程无解，即1≠y ．因为R x ∈，所以0≥?，解得1≥y ，即原函数的值域是（+∞,1）．
若A ｝｛0|2≠++?f ex dx x ，则再分类讨论． 2.1．形如f
ex dx c
x f ++=
2
)(，0,≠∈d A x 且0≠c 的函数． 先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数)(x f 的值域．
例３．求函数]5,3[,3
21
)(2
-∈--=
x x x x f 的值域． 解：令]5,3[,4)1(32)(22-∈--=--=x x x x x g ，
则]12,4[)(-=x g ，所以函数)x (f 的值域是),12
1
[]41,(+∞?--∞．
2.2．形如f
ex dx c
bx x f +++=2)(，0,≠∈d A x 且0≠b (*)
或f
ex c
bx ax x f +++=2)(，0,≠∈a A x 且0≠e 的分式函数．
下面就形式(*)讨论解法．
2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得)(x f ＝e
x
f dx b
++．只要讨论
函数A x x
f
dx x g ∈+=,)(且0≠x 的值域．
不妨设0>d ．若0
0(d f 和)0,[d
f -上分别是减函数，在
),[+∞d
f 和],(d f
--∞上分别是增函数．这样利用函数)(x g 的单调性，先求出)(x g 的值域，从而求出函数)(x f 的值域．
例４．求函数),1[,42)(2
+∞∈++=
x x x x
x f 的值域． 解：1,241)(≥++=
x x x x f ．令1,4
)(≥+=x x x x g ，则4)(≥x g ，所以函数)x (f 的值域是]6
1
,0(．
2.2.2．若0c ≠，则换元，令c bx t +=，转化为２.２.1．形式的分式函数．
例５．求函数)3,1(,3
21
)(2-∈-++=x x x x x f 的值域．
解：令1+=x t ，则)4,0(,41
4
2
∈-=-=t t
t t t y ． 因为)3,(4-∞∈-t t ，所以函数)x (f 的值域是),3
1
()0,(+∞?-∞．
2.3．形如0,,)(2
2≠∈++++=a A x f
ex dx c
bx ax x f 且0≠d 的分式函数． 2.3.1．若0==c b 或0==f e ，则分子分母同除以2
x ，转化为求关于x
1
的
二次函数的值域，从而求出函数)(x f 的值域．
例６．求函数]1,31
[,14)(22∈+-=x x x x x f 的值域．
解：]3,1[1
,3)21(11411)(2
2∈--=+-=
x x
x x x f ．因为函数 ]3,1[1,3)21()(2
∈--=x
x x g 的值域是]2,3[--，所以函数)(x f 的值域是
]3
1
,21[--．
2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设
0,,)()(22
≠∈+++=a A x f
ex dx m x a x f 且0≠d ，则可令m x t +=，转化为 2.3.1
形式的分式函数．
例７．求函数]0,1[,5
44
4)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域．
解：令2+=x t ，则]1,21
[1,11112
22∈+=+=t t
t t y ．因为
]2,45[112∈+t ，所以函数)x (f 的值域是]5
4,21[． 2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即
f
ex dx d af
c x
d a
e b d a x
f ++-+-+=2)()(，转化为2.2形式的分式函数． 例８．求函数]2,0[,3454)(22∈++++=x x x x x x f 的值域．
解：]2,0[,1
)2(2
13421)(2
2∈-++=+++=x x x x x f ，所以函数)x (f 的值域是]3
5
,1517[
． 3．分式函数值域在解析几何中的运用
解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方
例９．已知直线1l ：x y 4=与点)4,6(P 1l 上求一点Q ，使直线PQ 与直线1l ，以及x 1l 在第一象限内围成的三角形面积最小．
解：设)4,(00x x Q ，直线PQ 的方程
是6
6
44400--=--x x x y ，直线PQ 交x 轴于点
)0,1
5(00
-x x A ．根据题意
10>x ，所以4
1)211(10
1
1041521||2120020000
+--=-=?-?=?=?x x x x x x y OA S Q OAQ
，
10>x ，当20=x 时，OAQ S ?的最小值为40，)8,2(Q ∴．
此题的解法是将OAQ ?的面积S 表示为Q 的横坐标0x 的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值．
例10．设F 1、F 2是椭圆62322=+y x 的两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，试求△ABF 2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB 弦的位置．
解：设AB 弦所在的直线方程是
1+=kx y ，),(11y x A ，),(22y x B ，则
||||||2
1
2121212
x x x x F F S ABF
-=-?=?． 由方程组???=++=6
231
2
2y x kx y ，消去y ， 得044)32(2
2
=--+kx x k ，则32
221+=+k x x 3
2221+k 2
22222212
212)
32()1(483244)324(4)(2
++=+-?-+-=-+=∴?k k k k k x x x x S ABF ， 令),3[,322+∞∈+=t k t ，
3
1
10],41)211([24)1(2422
2
2
≤<+--=-=?t t t t S ABF
， 当t=3时，
2
ABF S ?有最大值3
3
4，此时k=0，即AB 弦过焦点F 1且平行于x 轴．
此题的解法是将△ABF 2面积的平方表示为2k 的二次分式函数，从而求出最大值．
分式型函数求值域的方法总结 一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。 解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。 例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。
x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时， 对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常 其图像 例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。 解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。 例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥-
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
分数函数的值域 这里说的是二次即二次以下分式函数的值域，由于高二学了一阶导数，笔者见到不少学生学了导数之后，看到分式函数想都不想就直接求导做，毫无疑问是可以做出来的，但是，对于分式的导数，比原函数还要麻烦，如果函数很简单，用导数似乎有些大材小用，如果函数很复杂，求导之后就更加复杂，做起来也比较麻烦，因此，对于此类分式函数题目求最值，轻易莫求导！！！ 下面进入正题，这里说的分式函数大致以下几种形式：y=， y=，y=，y=其中y=与y= 基本一致 对于这个问题，一般来说可能会用到三个方法：分离常数、均值不等式、几何法（构造斜率）、反函数法、判别式法。反函数法和判别式法这里不再赘述，以下我们分别讨论 首先，对于最简单的分式线性函数y=，反函数法在此不再赘述，即是反解出x，利用定义域求值域，这里说下分离常数法，这个方法很重要，要谨记 例1：若x∈[-1,2)求函数y=的值域 解一（分离常数法）：y= =
=2+ 由x∈[-1,2)则y∈(-∞，1] 分离常数的目的是为了将自变量“挤”到分母或分子，则函数单调性、值域显而易见 解二（构造斜率法）：原式可看作点A（2,1）到点P（x，2x）的斜率，其中P在直线y=2x(x∈[-1,2))上，作出图像即可得到答案构造斜率法运用时要注意，若定点与动点连线中有x轴的垂线，则垂线应画成虚线，它是正、负无穷的分界线（斜率k=tanθ） 反函数法略 然后是分子或分母中出现二次，无论是在分子还是在分母，处理方法基本一致。同样用到类似分离常数的配凑方法，对于功底不好的同学，可以对一次式换元， 例2求函数y==，x∈[0，2] 解一：令t=x+2（t∈[2，4]），则x=t-2 则y== 分子分母同除以t后得，y=t+-6≥2-6（当且仅当t=时“=”成立）
分式函数值域的求法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域 函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数2 2221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。 一、若21a a ，同时为零，则函数2 2221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。 例１ 求函数3 12+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：3 7237)3(2+-=+-+=x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ： 解法２：（求反函数法） 函数312+-=x x y 的反函数为132 x y x -=-所以原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。 二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。 例２ 求函数2 312+--=x x x y 的值域 解：可先将函数变为)2)(1(1)(---= =x x x x f y 。 约分后函数变为2 1)(-= x x g 。 所以0)(≠x g
约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2 312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。 例３求函数2 652-+-=x x x y 的值域 解：函数可变形为32 )3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。 三、若21a a ，不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数法、基本不等式法求函数的值域。 例４函数221 x x y x x -=-+的值域． 解法1：(判别式法) 将221 x x y x x -=-+转化为关于x 的一元二次方程（y 看作参数）： (这是一个必有解的方程。讨论使上方程有解的参数y 的范围，恰为函数221 x x y x x -=-+的值域） ①若1=y ，则10=矛盾 ②由1≠y ，这时由0≥?解得1113y y -≤≤≠且；13y =-时，12 x =。 ∴综上所述知原函数的值域为1[,1)3 -． 解法2：(分离常数法) 221x x y x x -=-+＝2111x x --+＝21113()24 x --+ 设213()()24g x x =-+，则()g x 的值域是3[,)4 +∞ 所以，原函数值域为1[,1)3 -。
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
二次分式函数值域的求法 甘肃 王新宏 一 定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法 解题步骤：1 把函数转化为关于x 的二次方程 2 方程有实根，△≥0 3 求的函数值域 1：求y =2 2222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立 由y =2 2222+++-x x x x 得， （y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0 ①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R ②当y-2≠0时，即y ≠2时, ∵x ∈R ∴方程（y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根 ∴△=(y+1)2 -(y-2) ×(y-2) ≥0 ∴3y 2-18y+15≤0 ∴1≤y ≤5 ∴函数值域为[]5,1 练习1：求y =432+x x 的值域 ?? ????-43,43 二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。 先来学习“√”函数。 形如y =x+ x k (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 图像
单调性：在x ∈[] k ,0时，单调递减。在x ∈[] +∞,k 时，单调递减。 值域：[]+∞,2k 解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围 ②把原函数化为关于t 的函数 ③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域 例2 求y =12122-+-x x x （32 1≤ 分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。 分析：此类函数中，当0a 时， 对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)(' 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 高中函数值域的12种求法 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 函数的值域专题 第I 类：简单的复合函数 引例1：241x y --=；)4(log 22x y -=；124++=x x y ；1sin sin 2++=x x y 第II 类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法） 引例2：直接写出函数=y x x 3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________； 根据以上结论直接写出函数的值域：)2,0(sin 31sin 21?? ????∈+-=πx x x y ；[])1,0(3121∈+-=x x x y 引例3：求函数1 32+-=x x y 的值域 变式：求函数312-+= x x y 的值域 变式：求函数x x x x y cos sin 2cos sin ++=（?? ????∈2,0πx ）的值域 引例4：求函数1 58522+++=x x x y 的值域 变式：若已知函数)(1 3)(22R x x n x mx x g ∈++-=的值域为[]8,2，求实数n m ,的值 解答： 练：若已知函数)(1 8)(22R x x n x mx x g ∈+++=值域为[]9,1，求实数n m ,的值 第III 类：带根式的复合函数 引例5：求函数x x y 21--=的值域； 思考：根式函数)0(≠+++=AC D Cx B Ax y 的值域如何研究？ 引例6：求函数x x x f 211)(--+=的值域； 变式1：求函数x x x f 21)(-=的值域； 变式2：求函数x x y -++=31的值域； 高一数学函数解析式的七种求 法(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得672---=x x y 分 式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域 函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数2 2221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。 一、若21a a ，同时为零，则函数2 2221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。 例１ 求函数3 12+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：37237)3(2+-=+-+= x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ： 解法２：（求反函数法） 函数 312+-=x x y 的反函数为132 x y x -=- 所以 原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。 二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。 例２ 求函数2 312+--=x x x y 的值域 解：可先将函数变为)2)(1(1)(---= =x x x x f y 。 约分后函数变为2 1)(-= x x g 。 所以 0)(≠x g 约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2 312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。 例３求函数2 652-+-=x x x y 的值域 求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向 摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问 题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数 值域 方法. 1 引言 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?， 因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-， 所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞. 例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+， 因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34， 所以34- ≤21 01 x x -<-+， 故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①， 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以?≥0， 即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7， 又当1y =时，0x =， 故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0， 高考数学函数求值域的十二种方法 出国留学高考网为大家提供高考数学函数求值域的十二种方法，更多高考资讯请关注我们网站的更新! 高考数学函数求值域的十二种方法 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函数的值域为{y∣y≥3｝. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝) 二.反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定 义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域 为{y∣y1｝) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利 用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时- x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值 域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注 意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x- 5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判 别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,由 Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2当y=2时,方程(*)无解。 ∴函数的值域为2点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于 方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应 于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时 ， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。分式函数求值域
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
高中函数值域的12种求法
一次分式函数最值问题
高中函数值域的经典例题 12种求法
人教版高考数学专题复习：解析几何专题
函数的值域专题
高一数学函数解析式的七种求法
分式函数值域的求法
求分式函数值域的几种方法-精品
高考数学函数求值域的十二种方法
高考数学专题训练解析几何
相关主题
文本预览