概率论与数理统计教学教案第3章多维随机变量及其分布
授课序号01
图3.1
3．随机点(,)X Y 落入矩形区域1212{(,),}x y x X x y Y y <≤<≤的概率：
121222122111{,}(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+
4．联合分布函数(,)F x y 的性质：
（1）单调性：对x 或y 都是单调不减的；
（2）有界性：对任意的x 和y ，有0(,)1F x y ≤≤，并且：
(,)lim (,)0x F y F x y →-∞
-∞==， (,)lim (,)0y F x F x y →-∞
-∞==， (,)lim (,)1x y F F x y →+∞→+∞
+∞+∞==； （3）右连续：对x 或y 都是右连续的，即：(0,)(,)F x y F x y +=，(,0)(,)F x y F x y +=；
（4）对任意的11(,)x y 和22(,)x y ，其中1212,x x y y <<，有
22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥.
三．二维离散型随机变量及其分布
1．二维离散型随机变量：若二维随机变量(,)X Y 只取有限个或可列个数对(,)i j x y ，则称(,)X Y 为二维离散型随机变量，称{},,,1,2,...ij i j p P X x Y y i j ====为(,)X Y 的联合分布律或者联合概率分布，简称为分布律或者概率分布.
2．联合分布律的性质：
（1）非负性：0,,1,2,...ij p i j ≥=；
（2）正则性：1ij i j p
=∑∑.
3．二维联合分布律的表示形式：
第三章多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 §二维随机变量的分布
一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——
称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：
性质： (1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)
第三章 多维随机变量及其分布测试题三 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 2．设随机变量均服从如下分布： 且满足，则= ． 3．设相互独立，下表为的分布律及边缘分布律的部分数值，又知，试将其余值填入表中： Y X 0 1 2 1 1 4．设均服从正态分布，且，则． 5．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设和独立，都服从同一0-1分布：，则=（ ）． (A) 0； (B) ； (C) ； (D) 1． 2．设随机变量和有相同的概率分布：，并且满足，则等于（ ）． (A) 0； (B) 0.25； (C) 0.50； (D) 1． 3．设独立和之和与和服从同名概率分布，如果和都服从（ ）． (A) 均匀分布； (B) 二项分布；
(C) 指数分布； (D) 泊松分布． 4．设随机变量和都服从正态分布，则（ ）． (A) 一定服从正态分布； (B) 和不相关与独立等价； (C) 一定服从正态分布； (D) 未必服从正态分布． 5．设随机变量，Y相互独立，且X～，Y ～，则下列式子中正确的（ ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．） 1．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列(袋中各球被取机会相同)． 2．设二维随机变量（）的联合密度函数为： 求（1）分布函数；（2）（）落在由轴、轴和直线所围成的区域内的概率． 3．设二维随机变量的概率分布为： -112 -15/202/206/20 23/203/201/20 求：（1）概率分布；（2）概率分布． 4．在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回的抽取三件，用分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1）的联合分布；（2）的边缘分布；（3）判断是否相互独立；（4）相关系数．
第三讲随机变量及其分布列 1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________. 解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0
离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：
第3章 多维随机变量及其分布试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则{0}P X Y +≠=（ C ） (A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???<<-<<-=other y x c y x f ,01 1,11,),(，则常数c = （A ） (A) 41 (B) 2 1 (C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}{Y X P ==（A ） (A) (B) (C) (D) 5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e Ae y x f y x , 00 ,0,),(2，则常数A = （D ）
(A) 21 (B) 1 (C) 2 3 (D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}0{=XY P =（C ） (A) 41 (B) 125 (C) 4 3 (D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 ),(y x F 为其联合分布函数，则)3 ,3(F =（D ） (A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 4 1 8、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e e y x f y x , 00 ,0,),(，则}{Y X P ≥= （B ） (A) 41 (B) 21 (C) 32 (D) 4 3 9、设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别41，4 3 ，则}1{-=XY P =（ D ） (A) 161 (B) 163 (C) 41 (D) 8 3 10、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为),(y x F ，则),(+∞x F =（ B ） (A) 0 (B) )(x F X (C) )(y F Y (D) 1
第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲 A 组 基础关 1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X ～N (5，σ2 )，若P (X ＞10－a )＝0.4，则P (X ＞ a )＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 A 解析 因为随机变量X ～N (5，σ2 )，所以P (X ＞5)＝P (X ＜5)．因为P (X ＞10－a )＝0.4，所以P (X ＞a )＝1－P (X ＜a )＝1－0.4＝0.6.故选A. 2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B 解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2 D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B. 3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 p ＝1－16－13＝12 ， E (X )＝0×1 6＋2×12＋a ×13 ＝2?a ＝3， ∴D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2 ×13＝1. ∴D (2X －3)＝22 D (X )＝4. 4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100， σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为( ) A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 答案 C 解析 由题意可得，μ＝100，且P (80＜ξ＜120)＝0.7，
第三章 多维随机变量及其分布 作业 1．若对于所有y x ,有 ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 2．设随机变量X 和Y 是相互独立的，X 的密度函数∞<<-∞=-x e x f x ,21 )(212 π，Y 的 密度函数???<≥=-0 ,00,)(2y y e y f y ，则),(Y X 的联合密度函数),(y x f = . 3．已知随机变量)4,7(~,)4,9(~N Y N X ，且X 与Y 是相互独立，则Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z = . 4．设),(Y X 为二维随机变量，试用联合分布函数),(y x F 表示概率},{y Y x X P >>. 5．设随机变量X ，Y 是相互独立，其边缘密度函数与边缘分布函数分别为)(,)(y f x f Y X 与)(,)(y F x F Y X ，则},min{Y X N =的分布密度函数)(z f Z = . 6．设)(),(21y f x f 是两个概率密度函数，则仅当函数),(y x R 满足条件 时，函数),()()(),(21y x R y f x f y x f +=才能成为概率密度函数. 7．设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律，且X 的分布律为 2 1}1{}0{= ===X P X P ，则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 8．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为?? ???≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ，则X 与Y 中至少有一个大于2 1的概率为 . 9．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件：“两数之积大于 4 1”的概率为 . 10．设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则}0},{max{≥Y X P = .
6.4.2 随机变量及其分布 必备知识精要梳理 1.超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则 P (X=k )=C M k C N -M n -k C N n ,k=0,1,2,…,m ,其中m=min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *. 2.二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数为X ,设每次试验中事件A 发生的概率为 p ,则P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中0 第三讲 多维随机变量及其分布 考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布 （1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质 F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）; 2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1; 3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y . 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1 9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 2.3 第一课时 离散型随机变量的均值 一、课前准备 1．课时目标 (1) 理解离散型随机变量的均值的定义； (2) 能熟练应用离散型随机变量的均值公式求值； (3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的均值公式求值. 2．基础预探 1．若离散型随机变量X 的分布列为 则称_______________________为随机变量X 的均值或数学期望. 2.两点分布：若X 服从两点分布，则EX ＝__________. 3.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，则EX =___________. 4.超几何分布：若随机变量X 服从N ，M ，n 的超几何分布，故EX =___________. 二、学习引领 1.随机变量的均值与样本的平均值的关系 随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2.求随机变量的均值的步骤 ①分析随机变量的特点，若为两点分布、二项分布、超几何分布模型，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求解． 3. 试验次数对随机变量的均值有没有影响 假设随机试验进行了ｎ次，其中1x 出现了1p n 次， 2x 出现了2p n 次，…，n x 出现了 n p n 次；故X 出现的总值为1p n 1x ＋2p n 2x ＋…＋n p n n x .因此ｎ次试验中，X 出现的均值 1122n n p nx p nx p nx EX n ++ += ，即EX ＝1122n n p x p x p x +++.由此可以看出，试验 次数对随机变量的均值没有影响. 三、典例导析 题型一 离散型随机变量的数学期望 例1 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. 第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量 第一课时 思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化． 定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？ 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，…. 思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？ 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量： ?? ≥?0，寿命<1000小时； Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易． 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验 § 2.1.1离散型随机变量及其分布列导学案 、学习目标: 1. 会熟练说出离散型随机变量的概念、分布列的表示方法； 2. 能够熟练写出离散型随机变量的分布列。 二、预习课本自主掌握以下概念和原理： 1. 随机变量 (1) 定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示. 在 这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化. 像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2) 表示法：随机变量常用字母 X , Y , ￡ n ,表示. 2. 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 3. 随机变量和函数的关系 随机变量和函数都是一种 映射，随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.在 这两种映射之间，试验结果的范围相当于 函数的定义域，随机变量的 取值范围 相当于函数的值域?我 们把随机变量的取值范围叫做 随机变量的值域 . 4. 分布列的定义 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X j , x 2, , , x i , , , x n , X 取每一个值X j (i = 1,2, , , n)的概 率P(X = x i ) = p i ,以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量 5. 分布列的性质 (1) Pi_A 0 , 1 2 = 1,3,3, n (2)、P i =」 i = 1 6. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即_ P( -X k ) =P( =X k ) P( =X ki ) 一 三、基础自测： 2 .下列变量中，不是随机变量的是 ( ) A .一射击手射击一次命中的环数 B .标准状态下，水沸腾时的温度 C .抛掷两颗骰子，所得点数之和 D .某电话总机在时间区间(0, T)内收到的呼叫次数 n ; 的分布列. 第二章 随机变量及其分布 章末复习提升课 , 超几何分布 [问题展示] (选修2-3 P50习题2.1B 组T1)老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 【解】 (1)他能背诵的课文的数量X 的可能取值为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝C 06C 3 4C 310＝1 30， P (X ＝1)＝C 16C 2 4C 10＝3 10 ， C 102P (X ＝3)＝C 36C 0 4C 310＝1 6， 所以X 的分布列为 (2)他能及格的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝3 . 某位同学记住了10个数学公式中的m 个(m ≤10)，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为1 2. (1)求m 的值； (2)分别求他记住的数学公式的个数X 与没记住的数学公式的个数Y 的数学期望E (X )与 E (Y )，比较E (X )与E (Y )的关系，并加以说明． 【解】 (1)P (X ＝2)＝C 2m C 1 10－m C 310＝1 2， 即m (m －1)(10－m )＝120，且m ≥2. 因为120＝2×5×12＝4×5×6＝3×5×8＝2×4×15＝2×2×30. 而m 与m －1一定是相邻正整数． 所以?????m －1＝4，m ＝5，10－m ＝6或???? ?m －1＝5，m ＝6，10－m ＝4 解得m ＝6. (2)由原问题知，E (X )＝0× 130＋1×310＋2×12＋3×16＝9 5 ， 没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y 的可能取值为0，1，2，3. P (Y ＝0)＝C 04C 3 6C 310＝1 6， P (Y ＝1)＝C 14C 26C 310＝1 2， P (Y ＝2)＝C 24C 16C 310＝3 10 ， 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?. X ＝ai P(X ＝ ai) X 012P 0.3 0.4 0.5 X x 1x 2x 3P 0.3 －1 0.8 X 1 2 3 P X x 1 x 2 x 3 P 随机变量及其分布学案 基础梳理一 1．离散型随机变量 我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个 ．随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．连续型随机变量 离散型随机变量的取值是可以一一列举的，但在实际应用中，有的随机变量可以取 ，这样的随机变量我们称为连续型随机变量．3．离散型随机变量的分布列 (1)定义：我们设离散型随机变量X 的取值为a1，a2，…，随机变量X 取ai 的概率为pi(i ＝1,2，…)记作： ，或把上式列 成表： （2）离散型随机变量分布列的性质① ② 质疑探究：如何求离散型随机变量的分布列？ 首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一值对应的概率，最后列成表格 自我检测 1、 下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是（ ） (A) (B) (C) (D) 2、设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值为( ) (A)1 (B) (C) (D) 3．已知袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五个编号，任意 抽取两个球，其号码之和为 X，则X的所有可能取值的个数为( B ) (A)6个 (B)7个 (C)10个 (D)25个 4．下列变量中属于离散型随机变量的是________． ①某大桥一天经过的车辆数为X； ②一天内某地的温度为X； ③某地16岁孩子的身高为X； ④某射手对目标进行射击，击中得1分，不击中得0分，在一次射击 中的得分为X. 基础梳理二 1．超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N) 件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝ (其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则 称 的超几何分布． 2．条件概率与独立事件 (1)条件概率：已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A 发生的条件概率， 记为 且P(B)>0时，P(A|B)＝，P(B|A)叫作A发生时B发生 的条件概率，且P(A)>0时，P(B|A)＝. (2)独立事件：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称 A，B相互独立．同时A与 ，与B，与也相互独立．相互独立可以推 广至有限个，即A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝ 3．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件 ①每次试验只有，可以分别称为“成功”和“失败”； ②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为； 2．2.1 条件概率 [学习目标] 1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法． 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． [知识链接] 1．3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？ 答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 3，不比其他同学小． 2．若事件A ，B 互斥，则P (B |A )是多少？ 答 A 与B 互斥，即A ，B 不同时发生． ∴P (AB )＝0， ∴P (B |A )＝0. [预习导引] 1．条件概率的概念 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P （AB ） P （A ） 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率． P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P (B |A )∈[0，1]． (2)如果B 与C 是两个互斥事件，则 P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 要点一 条件概率 例1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率． 解 法一 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B . 显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为 P (AB )＝ 6×410×9＝4 15 . 由条件概率的计算公式，得 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4 15610 ＝4 9 . 法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率是4 9 . 规律方法 (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数． (2)条件概率的定义揭示了P (A )，P (AB )及P (B |A )三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系． 跟踪演练1 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求：(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解 设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则 (1)因为100件产品中有70件一等品，P (B )＝70100＝710 . (2)法一 因为95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，∴AB ＝B ，∴P (B |A )＝7095＝1419 . 法二 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝70 10095100＝14 19 . 要点二 条件概率的综合应用 例2 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 解 设事件A 为“该考生6道题全答对”，第三讲多维随机变量及其分布
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