初中数学《一元二次方程》压轴题精选试卷
一．选择题（共10小题，满分60分，每小题6分）
1．（6分）（2013?武汉模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）
A．4 B．C．D．
2．（6分）（2015?广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
3．（6分）（2004?临沂）若x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，且x12+x22=7．那么b的值是（）
A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣1
4．（6分）（2011?河南模拟）某商场购进一批运动服用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动服所用的钱数，则这批运动服有（）
A．10件B．90件C．110件D．150件
5．（6分）（2005?漳州）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两根为x1，x2，那么代数式+的值为（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
6．（6分）（2005?云南）若x1、x2是方程x2+3x+2=0的两个根，那么x12+x22的值等于（）A．3 B．5 C．﹣7 D．13
7．（6分）（2002?聊城）如果关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则a+β
的取值范围是（）
A．α+β≥1 B．α+β≤1 C．α+β≥D．α+β≤
8．（6分）（2000?河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是（）
A．B．C．5 D．2
9．（6分）（2000?内江）一元二次方程：x2﹣2（a+1）x+a2+4=0的两根是x1，x2，且|x1﹣x2|=2，则a的值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（6分）（1999?烟台）若a，b，c为三角形三边，则关于的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0
的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（5分）（2013?新疆）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是．
12．（5分）（2013?攀枝花）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为．
13．（5分）（2013?曲靖模拟）定义新运算“*”，规则：，如1*2=2，
．若x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1*x2=．
14．（5分）（2013?瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是．
15．（5分）（2012?岳阳）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是．
16．（5分）（2012?淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数．
三．解答题（共7小题，满分61分）
17．（8分）（2008?安顺）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保留根号）
18．（8分）（2012秋?南通校级期中）如图，AE是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，直线BP交⊙O于A、B两点且垂直于CD，垂足为点D，
（1）求证：AC平分∠PAE；
（2）若AD+DC=6，AB=8，求⊙O的半径．
19．（9分）（2005?宁德）已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O 于点C，过A点作⊙O的直径AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．
20．（8分）（2014?亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
21．（8分）（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．
∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
22．（12分）（2013?合肥模拟）实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正方体．
（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为cm2；
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为cm2；
（3）如果把（1）、（2）中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm（a≠1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118cm2？如果能，求出a，如果不能，请说明理由．
23．（8分）（2011?安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店20XX年春节期间的各项商品销售收入中，家用电器类收入为600万元，占春节销售总收入的40%，该旗舰店预计20XX年春节期间各项商品销售总收入要达到2160万元，且计划从20XX年到20XX年，每年经营收入的年增长率相同，问该旗舰店预计20XX年春节期间各项商品销售总收入为多少万元？
初中数学《一元一次方程》压轴题精选试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分60分，每小题6分）
1．（6分）（2013?武汉模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）
A．4 B．C．D．
【考点】切线的性质；矩形的性质．
【分析】当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；
【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切线，
∴DP垂直与切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴OA=，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴=，
∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴DM=，
∴PM=PD+DM=1+=，
∴△AOP的最大面积=OA?PM=××=，
故选D．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；
2．（6分）（2015?广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
3．（6分）（2004?临沂）若x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，且x12+x22=7．那么b的值是（）
A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣1
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2代入数值列出方程解即可．
【解答】解：x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，
得x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3b．
又x12+x22=7，则（x1+x2）2﹣2x1x2=b2+6b=7，解得b=﹣7或1，
当b=﹣7时，△=49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b=1．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．
4．（6分）（2011?河南模拟）某商场购进一批运动服用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动服所用的钱数，则这批运动服有（）
A．10件B．90件C．110件D．150件
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．
【专题】销售问题；压轴题．
【分析】等量关系为：总售价﹣成本1000=1件的成本×11，把相关数值代入求正整数解即可．【解答】解：设有x件运动服．
10x﹣1000=×11，
10x2﹣1000x=11000，即x2﹣100x﹣1100=0，
（x﹣110）（x+10）=0，
解得x1=110，x2=﹣10（不合题意，舍去），
经检验x=110是原方程的解．
故选C．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到利润的等量关系是解决本题的关键．
5．（6分）（2005?漳州）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两根为x1，x2，那么代数式+的值为（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
【考点】根与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由根与系数的关系得到：x1+x2=﹣=2，x1?x2==﹣4，然后把所求代数式化成根
与系数相关的代数式，再代入其值即可求出代数式的值．
【解答】解：∵x的一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=2，x1?x2==﹣4，
则==﹣．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=．
6．（6分）（2005?云南）若x1、x2是方程x2+3x+2=0的两个根，那么x12+x22的值等于（）A．3 B．5 C．﹣7 D．13
【考点】根与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．
根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2即可求解．
【解答】解：根据题意x1+x2=﹣3，x1x2=2，
所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣4=5，
故选B
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合是经常使用的一种解题方法．
7．（6分）（2002?聊城）如果关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则a+β
的取值范围是（）
A．α+β≥1 B．α+β≤1 C．α+β≥D．α+β≤
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】由于关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则判别式△≥0，由此可以确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+β的取值范围．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2（1﹣k），c=k2，
∴△=b2﹣4ac=[﹣2（1﹣k）]2﹣4×1×k2≥0，
∴k≤，
∵a+β=2（1﹣k）=2﹣2k，
而k≤，
∴α+β≥1．
故选A．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8．（6分）（2000?河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是（）
A．B．C．5 D．2
【考点】根与系数的关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】由于a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，由根与系数的关系可知：a+b=7，ab=c+7；由勾股定理可知：a2+b2=c2，则（a+b）2﹣2ab=c2，即49﹣2（c+7）=c2，由此求出c，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．
【解答】解：∵a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，
∴根与系数的关系可知：a+b=7，ab=c+7；
由直角三角形的三边关系可知：a2+b2=c2，
则（a+b）2﹣2ab=c2，
即49﹣2（c+7）=c2，
解得c=5或﹣7（舍去），
再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为．
答案：AB边上的中线长是．
故选B．
【点评】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系．
9．（6分）（2000?内江）一元二次方程：x2﹣2（a+1）x+a2+4=0的两根是x1，x2，且|x1﹣x2|=2，则a的值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】根与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由根与系数的关系，求出两根的和与两根的积，再由|x1﹣x2|等于（x1+x2）2﹣4x1?x2的算术平方根进行计算．
【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=2（a+1），x1?x2=a2+4．
由|x1﹣x2|=2，得（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1?x2=4．
则4（a+1）2﹣4（a2+4）=4，解得a=2．
故选C．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，记住关系式是解本题的关键．
10．（6分）（1999?烟台）若a，b，c为三角形三边，则关于的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0
的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【考点】根的判别式；三角形三边关系．
【专题】压轴题．
【分析】先求出△=b2﹣4ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况．
【解答】解：∵x2+（a﹣b）x+c2=0，
∴△=b2﹣4ac==（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）
∵a，b，c为三角形三边，
∴b+c＞a，a+c＞b
∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0
∴（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，
即二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0无实数根．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（5分）（2013?新疆）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是k≤4．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：根据题意得：△=16﹣4k≥0，
解得：k≤4．
故答案为：k≤4．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
12．（5分）（2013?攀枝花）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为﹣．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
则原式=====﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
13．（5分）（2013?曲靖模拟）定义新运算“*”，规则：，如1*2=2，
．若x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1*x2=1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；实数的运算．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】首先利用因式分解法求得x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，然后根据
，即可求得x1*x2的值．
【解答】解：∵x2+2x﹣3=0，
∴（x+3）（x﹣1）=0，
∵x1＜x2，
∴x1=﹣3，x2=1，
∵，
∴x1*x2=1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法．此题属于新定义题，难度适中，解题的关键是理解新定义的运算法则．
14．（5分）（2013?瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是12或6或15．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可．
【解答】解：方程x2﹣7x+10=0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，
解得：x=2或x=5，
三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，
则周长为12或6或15．
故答案为：12或6或15
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
15．（5分）（2012?岳阳）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≥﹣，且k≠0．
【考点】根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，
∴△=4（k+1）2﹣4×k×（k﹣1）=3k+1≥0，
解得：k≥﹣，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0．
故本题答案为：k≥﹣，且k≠0．
【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）一元二次方程的二次项系数不为0．
16．（5分）（2012?淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数此题答案不唯一，如101，110，202，220等．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】首先设此三位数为：100x+10y+z，则根据题意得：x2+y2+z2=2xy或x2+y2+z2=2xz 或x2+y2+z2=2yz，由配方的知识易求得：x﹣y=z或x﹣z=y或y﹣z=x，然后可得此题答案不唯一，举出符合条件的数即可．
【解答】解：设此三位数为：100x+10y+z，
根据题意得：x2+y2+z2=2xy或x2+y2+z2=2xz或x2+y2+z2=2yz，
即x2+y2﹣2xy=﹣z2或x2﹣2xz+z2=﹣y2或y2+z2﹣2yz=﹣x2，
则（x﹣y）2=﹣z2或（x﹣z）2=﹣y2或（y﹣z）2=﹣x2，
故x﹣y=z或x﹣z=y或y﹣z=x，
故此题答案不唯一，如101，110，202，220等，只要是两个相同的数学和0构成的三位数就行．
故答案为：此题答案不唯一，如101，110，202，220等．
【点评】此题考查了配方法的应用．此题难度适中，属于开放题，注意掌握配方法的知识是解此题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
17．（8分）（2008?安顺）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保留根号）
【考点】切线的判定；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．
【解答】解：（1）DF与⊙O相切．
证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF=30°．
∵OB=OD，∠DBO=60°，
∴∠BDO=60°．（3分）
∴∠ODF=180°﹣∠BDO﹣∠ADF=90°．
∴DF是⊙O的切线．（5分）
（2）∵△BOD、△ABC是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC，
∵O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=BD=2，
又∵∠ADF=90°﹣60°=30°，
∴AF=1．
∴FC=AC﹣AF=3．（7分）
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
在Rt△FHC中，sin∠FCH=，
∴FH=FC?sin60°=．
即FH的长为．（10分）
【点评】判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
18．（8分）（2012秋?南通校级期中）如图，AE是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，直线BP交⊙O于A、B两点且垂直于CD，垂足为点D，
（1）求证：AC平分∠PAE；
（2）若AD+DC=6，AB=8，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则有OC∥BP，根据平行线的性质得∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，所以AC平分∠PAE；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=4，设⊙O的半径为r，由
四边形OHDC为矩形得到DH=OC=r，OH=CD，则DA=r﹣4，CD=10﹣r，所以OH=10﹣r，然后在Rt△OAH中利用勾股定理得到∴42+（10﹣r）2=r2，再解方程求出r即可．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵BP⊥CD，
∴OC∥BP，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AC平分∠PAE；
（2）解：作OH⊥AB于H，如图，则AH=BH=AB=4，
设⊙O的半径为r，易得四边形OHDC为矩形，
∴DH=OC=r，OH=CD，
∴DA=r﹣4，
而AD+CD=6，
∴CD=6﹣（r﹣4）=10﹣r，
∴OH=10﹣r，
在Rt△OAH中，∵AH2+OH2=OA2，
∴42+（10﹣r）2=r2，解得r=，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和勾股定理．
19．（9分）（2005?宁德）已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O 于点C，过A点作⊙O的直径AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．
【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由弦切角定理知，∠DCA=∠B，故Rt△ADC∽Rt△ACB，则有∠DAC=∠CAB；（2）由勾股定理求得AC的值后，由（1）中Rt△ADC∽Rt△ACB得=，即可求得
AB的值．
【解答】（1）证明：方法一：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC切⊙O于C点，
∴∠DCA=∠B，
∵DC⊥PE，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；
方法二：连接CO，
因为DC与⊙O相切，
所以DC⊥CO，
又因为PA⊥CD，
所以CO∥PE，
所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB
（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，
∴AC==2，
由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴=，
即AB===10，
∴⊙O的直径为10．
【点评】本题的解法不唯一，可利用弦切角定理，直径对的圆周角是直角，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．
20．（8分）（2014?亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；压轴题．
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1）300+100×，
（1﹣m）（300+100×）．
（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．
化简得，100m2﹣70m+12=0．
即，m2﹣0.7m+0.12=0．
解得m=0.4或m=0.3．
可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．
答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
21．（8分）（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．
∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】压轴题．
【分析】根据材料内容，可将原函数转换为（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，继而根据△≥0，可得出y的最小值．
【解答】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，
∵x为实数，
∴△=（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）=16y﹣23≥0，
∴y≥，
因此y的最小值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，这样的信息题，一定要熟读材料，套用材料的解题模式进行解答．
22．（12分）（2013?合肥模拟）实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正方体．
（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为110cm2；
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为118cm2；
（3）如果把（1）、（2）中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm（a≠1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118cm2？如果能，求出a，如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积﹣小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积．
（2）打孔后的表面积=图①中的表面积﹣4个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小矩形的面积．
（3）根据（1）（2）中的面积计算方法，用a表示出图①和图②的面积．然后让用得出的图②的表面积=118计算出a的值．
【解答】解：（1）表面积S1=96﹣2+4×4=110（cm2），故填110；
（2）表面积S2=S1﹣4+4×1.5×2=118（cm2），故填118；
（3）能使橡皮泥块的表面积为118cm2，理由为：
∵S1=96﹣2a2+4a×4，S2=S1﹣4a2+4×4a﹣4a2
∴96﹣2a2+16a﹣8a2+16a=118
96﹣10a2+32a=118
5a2﹣16a+11=0
∴a1=，a2=1
∵a≠1，＜4
∴当边长改为cm时，表面积为118cm2．
【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．
23．（8分）（2011?安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店20XX年春节期间的各项商品销售收入中，家用电器类收入为600万元，占春节销售总收入的40%，该旗舰店预计20XX年春节期间各项商品销售总收入要达到2160万元，且计划从20XX年到20XX年，每年经营收入的年增长率相同，问该旗舰店预计20XX年春节期间各项商品销售总收入为多少万元？【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】先计算出20XX年的销售收入为1500元，设增长率为x，则根据起始量为1500，终止量2160，中间的时间间隔为2年可列出方程，解出即可．
【解答】解：20XX年的经营总收入为：600÷40%=1500（万元）．
设年增长率为x，依题意得：1500（1+x）2=2160，
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，故舍去），
即增长率为20%，
故可得20XX年春节期间各项商品销售总收入为：1500（1+x）=1500×1.2=1800（万元）．答：20XX年预计经营总收入为1800万元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．