偏最小二乘法(PLS)简介
偏最小二乘法(PLS)简介
简介
偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法,它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。近几十年来,它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
偏最小二乘法
长期以来,模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了,在一个算法下,可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面:
偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法,还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息,然后用于预测变量Y的值。这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量,噪音将被消除,从而达到改善预测模型质量的目的。但是,主成分回归仍然有一定的缺陷,当一些有用变量的相关性很小时,我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉,使得最终的预测模型可靠性下降,如果我们对每一个成分进行挑选,那样又太困难了。
偏最小二乘回归可以解决这个问题。它采用对变量X和Y都进行分解的方法,从变量X和Y中同时提取成分(通常称为因子),再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。现在,我们要建立一个模型,我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了
基本概念
偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展,在其最简单的形式中,只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp
在方程中,b0是截距,bi的值是数据点1到p的回归系数。
例如,我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数,并且从各自的样本点中估计出回归系数,之后,我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。对许多的数据分析方法来说,最大的问题莫过于准确的描述观测数据并且对新的观测数据作出合理的预测。
多元线性回归模型为了处理更复杂的数据分析问题,扩展了一些其他算法,象判别式分析,主成分回归,相关性分析等等,都是以多元线性回归模型为基础的多元统计方法。这些多元统计方法有两点重要特点,即对数据的约束性:
变量X和变量Y的因子都必须分别从X'X和Y'Y矩阵中提取,这些因子就无法同时表示变量X和Y的相关性。
预测方程的数量永远不能多于变量Y跟变量X的数量。
偏最小二乘回归从多元线性回归扩展而来时却不需要这些对数据的约束。在偏最小二乘回归中,预测方程将由从矩阵Y'XX'Y中提取出来的因子来描述;为了更具有代表性,提取出来的预测方程的数量可能大于变量X与Y的最大数。
简而言之,偏最小二乘回归可能是所有多元校正方法里对变量约束最少的方法,这种灵活性让它适用于传统的多元校正方法所不适用的许多场合,例如一些观测数据少于预测变量数时。并且,偏最小二乘回归可以作为一种探索性的分析工具,在使用传统的线性回归模型之前,先对所需的合适的变量数进行预测并去除噪音干扰。
因此,偏最小二乘回归被广泛用于许多领域来进行建模,象化学,经济学,医药,心理学和制药科学等等,尤其是它可以根据需要而任意设置变量这个优点更加突出。在化学计量学上,偏最小二乘回归已作为一种标准的多元建模工具。
计算过程
基本模型
作为一个多元线性回归方法,偏最小二乘回归的主要目的是要建立一个线性模型:Y=XB+E,其中Y是具有m个变量、n个样本点的响应矩阵,X是具有p个变量、n 个样本点的预测矩阵,B是回归系数矩阵,E为噪音校正模型,与Y具有相同的维数。在通常情况下,变量X 和Y被标准化后再用于计算,即减去它们的平均值并除以标
准偏差。
偏最小二乘回归和主成分回归一样,都采用得分因子作为原始预测变量线性组合的依据,所以用于建立预测模型的得分因子之间必须线性无关。例如:假如我们现在有一组响应变量Y(矩阵形式)和大量的预测变量X(矩阵形式),其中有些变量严重线性相关,我们使用提取因子的方法从这组数据中提取因子,用于计算得分因子矩阵:T=XW,最后再求出合适的权重矩阵W,并建立线性回归模型:Y=TQ+E,其中Q是矩
阵T的回归系数矩阵,E为误差矩阵。一旦Q计算出来后,前面的方程就等价于
Y=XB+E,其中B=WQ,它可直接作为预测
回归模型。
偏最小二乘回归与主成分回归的不同之处在于得分因子的提取方法不同,简而言之,主成分回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X之间的协方差,偏最小二乘回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X与响应变量Y之间的协方差。
在建模当中,偏最小二乘回归产生了pxc的权重矩阵W,矩阵W的列向量用于计算变量X 的列向量的nxc的得分矩阵T。不断的计算这些权重使得响应与其相应的得分因子之间的协方差达到最大。普通最小二乘回归在计算Y在T上的回归时产生矩阵Q,即矩阵Y的载荷因子(或称权重),用于建立回归方程:Y=TQ+E。一旦计算出Q,我们就可以得出方程: Y=XB+E,其中B=WQ,最终的预测模型也就建立起来了。
非线性迭代偏最小二乘法
用于计算偏最小二乘回归的一种标准算法是非线性迭代偏最小二乘法(NIPALS),在这种算法中有许多变量,有些被规范化了,有些却没有。下面提到的算法被认为是非线性迭代偏最小二乘法中最有效的一种。
对h=1...c,且A0=X'Y, M0=X'X, C0=I,变量c已知。
计算qh,Ah'Ah的主特征向量。
wh=GhAhqh, wh=wh/||wh||,并将wh作为W的列向量。
ph=Mhwh, ch=wh'Mhwh, ph=ph/ch,并将ph作为P的列向量。
qh=Ah'wh/ch,并将qh作为Q的列向量。
Ah+1=Ah - chphqh',Bh+1=Mh - chphph'
Ch+1=Ch - whph'
得分因子矩阵T可以计算出来:T=XW,偏最小二乘回归系数B也可由公式B=WQ 计算出。
SIMPLS算法
还有一种对偏最小二乘回归组分的估计方法,被称为SIMPLS算法。
对h=1...c,且A0=X'Y, M0=X'X, C0=I,变量c已知。
计算qh,Ah'Ah的主特征向量。
wh=Ahqh, ch=wh'Mhwh, wh=wh/sqrt(ch),并将wh作为W的列向量。
ph=Mhwh,并将ph作为P的列向量。
qh=Ah'wh,并将qh作为Q的列向量。
vh=Chph,vh=vh/||vh||
Ch+1=Ch - vhvh',Mh+1=Mh - phph'
Ah+1=ChAh
与NIPALS相同,SIMPLS的T由公式T=XW计算出,B由公式B=WQ'计算。
相关文献
许禄,《化学计量学方法》,科学出版社,北京,1995。
王惠文,《偏最小二乘回归方法及应用》,国防科技出版社,北京,1996。
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Fornell, C. (Ed.) (1982). A Second Generation Of Multivariate Analysis, V olume 1: Methods. New York: Praeger.
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）
最小二乘法原理 1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 2. 原理 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 是偏差绝对值最小 11min (x )y m m i i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小 min max (x )y i i i i φδ?=- 3. 是偏差平方和最小 2211min ((x )y )m m i i i i i φδ?===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 01...k k y a a x a x =+++ 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 2 2 011(...)m k i i k i i R y a a x a x =??=-+++??∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了： 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x =??--+++=??∑ 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑
…….. 0112( 0 k k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ 4. 将等式简化一下，得到下面的式子 01111...n n n k i k i i i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 2 1011111...n n n n k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ …… 12011111...n n n n k k k k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵： 11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====??????????????????????=?????????????????????? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到： 0111122 21...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ??????????????????=????????????????????
普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即
0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成
最小二乘法的原理及其应用 一、研究背景 在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。 其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。 二、最小二乘法的原理 人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。 通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。 其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。 确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 0 2 =[]∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线)(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法. 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
毕业论文文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。
最小二乘法 最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法公式： 设拟合直线的公式为 , 其中：拟合直线的斜率为： ；计算出斜率后，根据 和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。 令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的个数
该方程的参数估计步骤如下： 取n 组观测值n i x x x y ki i i i ,,2,1),,,,(211 =代入上式中可得下列形式： ?????????++??+++=++??+++=++??+++=m mk k m m m k k k k u x x x y u x x x y u x x x y ββββββββββββ2211022222211021 112211101 （2） (2)的矩阵表达形式为： U B X y += （3） 对于模型（3），如果模型的参数估计值已经得到，则有： ^^B X y = （4） 那么，被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为： ∑∑==--==-==n i i i n i i B X Y B X Y e e y y e Q 1 ^ '^'2^12)()()( （5） 根据最小二乘法原理，参数估计值应该是下列方程： 0)()(^' ^^=--??B X Y B X Y B （6） 的解。于是，参数的最小二乘估计值为： Y X X X B '1'^)(-= （ 7）
多变量预测模型是以多元线性回归方程为基础，其一般形式为： i ki k i i i u x x x y +++++=ββββ 22110 （8） 其中：k n i ;,,2,1 =为解释变量的数目；k x x x ,,,21 为解释变量，)1(+k 为解释变量的数目；k βββ ,,21为待估参数；u 为随机干扰项；i 为观测值下标。 统计检验是依据统计理论来检验模型参数估计值的可靠性。主要包括方程显著性检验（F 检验）和变量显著性检验（F 检验）。前者计算出F 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查F 分布表，得到一个临界值),1,(--k n k F α当)1,(-->k n k F F α时，通过F 检验。后者计算出t 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查t 分布表，得到一个临界值)1(2/--k n t α，当)1(||2/-->k n t t α时，通过t 检验。
最小二乘拟合 在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。 一、最小二乘法原理 在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x ，而把所有的误差只认为是y 的误差。设x 和y 的函数关系由理论公式 y ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-1） 给出，其中c 1，c 2，……c m 是m 个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（x i ，y i ）i ＝1，2，……，N 。都对应于xy 平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确 落在理论曲线上。只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组 y i ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-2） 式中i ＝1，2，……，m.求m 个方程的联立解即得m 个参数的数值。显然N
毕业论文开题报告 数学与应用数学 最小二乘法的原理和应用 一、选题的意义 最小二乘法在很多领域都的到了广泛的应用。在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程。简单的说，最小二乘法思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小。这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。从计算角度看，最小二乘法与插值法类似，都是处理数据的算法。但从创设的思想看，二者却有本质的不同，前者寻求一条曲线，使其与观测数据“最接近”，目的是代表观测数据的趋势；后者则是使曲线严格通过给定的观测数据，其目的是通过来自函数模型的数据来接近近似刻画函数。在观测数据带有测量误差的情况下，就会使得这些观测数据偏离函数曲线，结果使得观测数据保持一致的插值法不如最小二乘法得到的曲线更符合客观实际。 最小二乘法能在统计学中得到应用，也是因为测量误差的存在。事实上，在高斯等人创立了测量误差理论，对最小二乘法进行了分析后，这种方法才在统计界获得了合法地位，正式成为了一张统计方法。最小二乘法逐步渗入到统计数据分析领域，对统计学的发展产生了重大影响。 二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。用最小二乘法估计参数时，要求观测值的偏差的加权平方和为最小。由于直线参数的估计值是根据由误差的观测数据点计算出来的，他们不可避免地存在着偏差。 三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） 研究（工作）步骤： 1．2010.12.15－2010.12.31 根据选题，广泛查阅资料，填写任务书有关事项，明确任务要求，初步形成研究方向。 2．2011.1.1－2011.3.6利用课余时间、假期仔细研读参考文献，初步拟定论文提纲，收集所要翻译的外文资料，完成两篇外文翻译，以及撰写开题报告和文献综述。 3．2011.3.6－2011.3.12修改开题报告、文献综述和外文翻译，进一步整理论文大纲。 4．2011.3.13－2011.3.16根据论文大纲翻阅相关详细资料。 5．2011.3.17－2011.3.26整理收集的相关材料，开始写论文工作。 6．2011.3.27－2011.4.10撰写论文初稿，上交论文、译文、开题报告、指导记录、中期检查表。 7．2011.4.11－2011.4.25修改论文，上交所有相关材料。 8．2011.4.26－2011.5.18补充必要的内容，论文打印、定稿。 9. 2011.5.19－2011.5.28准备毕业论文答辩。 方法及措施：主要采用举例分析、探讨的方法。 四、毕业论文（设计）提纲 1. 最小二乘法的引入 1.1最小二乘法及其证明 1.2最小二乘法的简单运用
最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方 和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误 差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类 中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 = 从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 （图6-1）。函数称 为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法. 6—1 二多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即 (3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把 称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。
开题报告 信息与计算科学 浅谈最小二乘法的原理及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 最小二乘法（Least Square Method ）是提供“观测组合”主要工具之一, 它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式. 如已知两变量为线性关系, 对其进行次观测而获得对数据. 若将这对数据代入方程求y a bx =+(2)n n >n n 解的值则无确定解, 而最小二乘法提供了一个求解方法, 其基本思想是寻找“最接,a b 近”这个观测点的直线. n 最小二乘法创立与十九世纪初, 是当时最重要的统计方法, 在长期的发展中, 人们一直处于不断的研究中, 在传统最小二乘法的基础上, 出现了许多更为科学先进的方法, 如移动最小二乘法、加权最小二乘法、偏最小二乘法、模糊最小二乘法和全最小二乘法等, 使得最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等纵多领域都有着广泛的应用. 相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础, 所以最小二乘法被称之为数理统计学的灵魂. 正如美国统计学家斯蒂格勒（S. M. Stigler ）所说, “最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”. 因此对最小二乘法的研究就显得意义重大. 国内外的学者们一直在对传统最小二乘法做进一步的研究. 勒让德（A. M. Legender ）于1805年发表了论著《计算彗星轨道的新方法》, 在书中勒让德描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点, 他认为: 赋予误差的平方和为极小, 则意味着在这些误差间建立了一种均衡性, 它阻止了极端情形所施加的过分影响. 1809年高斯 （C. F. Gauss ）在著作《天体沿圆锥截面围绕太阳运动的理论》中发表有关最小二乘法的理论, 随后在1826年的著作中阐述了最小二乘法的全部内容. 统计学者对最小二乘法做了进一步的研究探讨, 1970年, 由霍尔（A. E. Horel ）和肯纳德（R. W. Kennard ）提出的岭估计（Ridge Estimate ）, 用取代, ()()11?n i i i k S kI x y β -==+∑?β有效的降低了原方法的病态性.
最小二乘法（也称为最小二乘法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差平方和来找到数据的最佳函数匹配。使用最小二乘法，可以容易地获得未知数据，并且可以最小化这些获得的数据与实际数据之间的误差平方和。最小二乘法也可以用于曲线拟合。其他优化问题也可以通过最小二乘法通过最小化能量或最大化熵来表达。 801年，意大利天文学家Giuseppe Piazi发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观察，皮亚齐失去了谷神星的位置，因为谷神星移到了太阳后面。此后，全世界的科学家开始使用Piazi的观测数据来搜索Ceres，但是根据大多数人的计算结果，搜索Ceres并没有结果。高斯，然后24，也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·阿尔伯斯（Heinrich Albers）根据高斯计算出的轨道重新发现了谷神星。 高斯使用的最小二乘方法发表于1809年的《天体运动理论》一书中。法国科学家让·德（Jean de）于1806年独立发明了“最小二乘法”，但它尚不为人所知，因为它是全世界所不知道的。勒让德（Legendre）与高斯（Gauss）有争议，他是谁首先提出了最小二乘法原理。 1829年，高斯证明最小二乘法的优化效果优于其他方法，因此被称为高斯-马尔可夫定理。最小二乘法由最简单的一维线性模型解释。什么是线性模型？在监督学习中，如果预测变量是离散的，则称其为
分类（例如决策树，支持向量机等），如果预测变量是连续的，则称其为Return。在收益分析中，如果仅包含一个自变量和一个因变量，并且它们之间的关系可以近似地由一条直线表示，则该收益分析称为一维线性收益分析。如果收益分析包括两个或多个自变量，并且因变量和自变量之间存在线性关系，则称为多元线性收益分析。对于二维空间，线性是一条直线；对于三维空间线性度是一个平面，对于多维空间线性度是一个超平面。
题目:最小二乘法的综述及算例 院系：航天学院自动化 班级： 学号： 学生签名： 指导教师签名： 日期：2011年12月6日 目录 1．综述 (3) 2．概念 (3) 3．原理 (4) 4．算例 (6) 5．总结 (10) 参考文献 (10) 1．综述 最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由
于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。 最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。比如说，我们引入等效时间的概念,根据Arrhenius 函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化,最后采用最小二乘法回归分析试验数据,确定绝热温升和等效时间的关系式。 为了更好地掌握最小二乘法，我们引入以下两个问题： (1)假设已知一组二维数据（i i y x ,），（i=1,2,3···n ），怎样确定它的拟合曲线y=f(x)（假 设为多项式形式f(x)=n n x a x a a +++...10）,使得这些点与曲线总体来说尽量接近？ (2)若拟合模型为非多项式形式bx ae y =，怎样根据已知的二维数据用最小二乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？ 怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。 2．概念 在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数（i i y x ,）（i=1,2,3···m ）中寻找自变量x 与y 之间的函数关系y=F(x).由于观测数据往往不准确，此时不要求y=F(x)经过所有点（i i y x ,），而只要求在给定i x 上误差i δ=F （i x ）i y -（i=1,2,3···m ）按某种标准最小。 若记δ=()δδδm T 2,1,就是要求向量δ的范数δ最小。如果用最大范数，计算上困难较大，通常就采用Euclid 范数2δ作为误差度量的标准。 关于最小二乘法的一般提法是：对于给定的一组数据（i i y x ,） (i=0,1,…m)要求在函数空间Φ=span{ n ???,....,,10}中找一个函数S*(x)，使加权的误差平方和22δ=2 0))()((i i m i i y x S x -∑=ω最小，其中，0)(>=i x ω是[a,b]上的权函数，它表示反应数据（i i y x ,） 在实验中所占数据的比重。 我们说，S(x)=)()()(1100x a x a x a n n ???+++ (n 第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1— 范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方， 因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据(i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 = 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法. 6—1 二多项式拟合 假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即 (3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我 们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； 曲线拟合( curve-fitting )：工程实践中，用测量到的一些离散的数据 {( X, yj,i 0,1,2,...m}求一个近似的函数(x)来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势(即使(x)最好地逼近f x，而不必满足插值原则。因此没必要取(X)=y i，只要使i (X i) y i尽可能地小)。 原理： 给定数据点{( x i,y i),i 0 ,1 , 2, . . . m} 。求近似曲线( x) 。并且使得近似曲线与f x 的偏差最小。 近似曲线在该点处的偏差i(x i ) y i，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 使偏差绝对值之和最小 2. 使偏差绝对值最大的最小 3. 使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3?问题转化为求待定系数a0...a k对等式右边求q偏导数，因而我们得到了： 4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到： 6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB 实现： MATLAB 提供了polyfit ()函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p。x 必须是单调的。矩阵s包括R (对x进行QR分解的三角元素)、df(自由度)、 normr(残差)用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) 在拟合过程中，首先对x 进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。polyval( ) 为多项式曲线求值函数，调用格式：y=polyval(p,x) ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最小二乘法拟合原理 最小二乘法拟合原理最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。 根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。 这类问题通常有两种情况： 一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。 后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。 一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是 y 的误差。 设 x 和 y的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。 对于每组观测数据（xi，yi） i＝1， 2，， N。 都对应于 xy 平面上一个点。 若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。 1 / 12 只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组 yi ＝f（x； c1， c2， cm）（0-0-2）式中 i＝1， 2，， m. 求m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。 显然 Nm 时，参数不能确定。 在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。 设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y 的观测值 yi 围绕着期望值 f（x； c1， c2， cm）摆动，其分布为正态分布，则yi 的概率密度为 p yi 1 yi f xi; c1, c2, . . . . . . , cm exp 2 2i2i 2 , 式中 i 是分布的标准误差。 为简便起见，下面用 C 代表（c1， c2， cm）。 考虑各次测量是相互独立的，故观测值（y1， y2， cN）的似然函数 L 1 1exp 2 N 2 N N 1 2. . . i 1 yi N 2 f x; C 2 i . 取似然函数 L 最大来估计参数 C，应使y i 1 2 i 1 i f xi; C min 2 （0-0-3）取最小值： 对于 y 的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。 若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。 三、最小二乘法 最小二乘法是根据最小二乘准则，利用样本数据估计回归方程的一种方法。 （一）残差 设是被解释变量的第次样本观测值，是相应的第次样本估计值。将与 之间的偏差记作 称为第次样本观测值的残差。 （二）最小二乘准则 使全部样本观测值的残差平方和达到最小，即 来确定未知参数估计量的准则，称为最小二乘准则。 （三）最小二乘估计量 未知参数的最小二乘估计量 的计算公式为 最小二乘估计量的推导 设残差平方和 其中 它是阶残差列向量。 为了得到最小二乘估计量，我们对上式进行极小化 移项后，得正规方程组 根据基本假定5.，存在，用左乘正规方程组两边，得的最小二乘估 计量式 （四）的无偏估计量 随机误差项的方差的无偏估计量为 称作回归估计的均方误差，而 称作回归估计的标准误差。 （五）的方差 其中，，于是每个的方差为 ，而是矩阵对角线上对 应的第个元素，。 （六）方差的估计量 方差的估计量为 则每个方差的估计量为 ， 标准差的估计量为 ， 四、拟合优度检验 拟合优度检验是样本回归方程对样本观测值 拟合程度的检验。 （一）总离差平方和的分解公式 其中 —总离差平方和， —回归平方和， —残差平方和。 于是，可以将平方和的分解公式写成离差形式 （二）多元样本决定系数 1.多元样本决定系数 所谓多元样本决定系数，也称多元样本判定系数或多元样本可决系数，是指被解释 变量中的变异性能被样本回归方程解释的比例，即 2. 修正的样本决定系数 与有如下关系： 在样本容量一定的情形下，可以看出有性质： (1)，； （2）可能出现负值。例如，，，时，。显然负 的拟合优度没有任何意义，在这种情形时，我们取。 （三）三个平方和的计算公式 于是有最小二乘法原理
最小二乘法曲线拟合原理及maab实现
最小二乘法拟合原理
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