《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》的学习笔记
放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。
史宁中教授的思考：（1）课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？（2）数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质？（3）思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？（4）培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？
基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。
判定数学基本思想的准则：（1）数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；（2）学习过数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。
数学基本思想：抽象、推理、模型。
基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和证明的能力。
对教师的更高要求：除了“双基”之外，（1）还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；（2）引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；（3）引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。
数学的本质：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
分数：虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是整数的比例关系。
数量是对现实生活中事物量的抽象。例如：一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。
数量关系的本质是多与少。
数的关系的本质是大与小。
认识自然数的两种方法：
（1）基于对应的方法。
首先利用图形对应表示事物数量的多少；
然后再对图形的多少进行命名；
最后把命名了的东西符号化。
模式：能够认识或者解决一类数学问题的方法称为模式。
形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词；
实质上，自然数去掉了数量所依赖的实际背景。
数学不是研究某一个有具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性的东西，反过来，人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物，这就体现了数学的价值。
（2）基于定义的方法。
后继。（书中第6页）
在现实世界中，抽象了的数是不存在的，存在的只是数所对应的数量。（也称作抽象的存在，见书中第7页）
表示自然数的关键是十个符号和数位。
分类的核心是建构一个标准。
最早提到负数并给出正负数加减运算法则的是中国汉朝的数学著作《九章算术》。
小数：人们对小数的认识要比分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。
小数产生的原因：1、现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示6.75元；2、为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数，从而进行无理数的运算。（书中第16页）
十大核心概念：可以认为这些核心概念是认识一类数学问题的模式，也就是说，可以用这些核心概念指导对一类数学问题的理解。
数感：主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表达具体情境中的数量关系。
抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。（书中第18页）
精算在本质上是对于数的运算，主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区域有明显的重叠，有利于培养学生的抽象能力；估算的本质上是对于数量的运算，主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切，有利于培养学生的直观能力。
估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入；估算也不是估计，因为估算也是需要算的。
首先需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲；
其次得到上界或者下界。
“=”的本质含义：符号两边的量相等。
数学研究的不是数学概念本身，而是数学概念之间的关系。
自然数集合上的乘法是加法的简便运算；整数集合上的乘法不是加法的简便计算。
算理理解为运算的本质，即运算与算理的等价。
所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。用括号表示大故事所包含的小故事，用加法表示并列的故事。
符号意识：符号意识包括两个方面（1）概念的符号（2）关系的符号。
能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
方程的本质是描述现实世界中的等量关系。方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知的量；这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。（列方程的基本原则）
技能表现于一般性，技巧表现于特殊性。一题一解的教学方法教的是技巧而不是技能。
基本活动经验：包括思维的经验和实践的经验。
解方程的本质：字母可以参与四则运算。
解方程的过程：把字母移到方程的左边，把数字移到方程的右边，然后进行四则运算。
模式：模式关心的是数学内部，是解决一类数学问题的方法。
模型:模型关心的是数学外部，是解决一类现实问题的方法。《课标》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事；强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。
是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
（1）总量模型（2）路程模型（3）植树模型（4）工程模型
（见书中第42页）
探索模型的过程是帮助学生积累数学活动经验的有效方法。
发现问题的前提是勤于思考、敢于质疑，因此与培养学生的创新意识关系密切；
提出问题则要求能用数学的语言阐明问题，因此与培养学生的创新能力关系密切。提出问题分为两个层次：一个层次是用语言表述，另一个层次是用符号表达。
空间观念：是对空间中物体的位置以及位置之间关系的感性认识。
主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和互相之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形。
空间观念的本质是空间想象能力。这个想象力既包括从现实物体到平面图形的抽象，也包括从平面图形到现实世界的想象。
几何直观：是指能够利用图形描述和分析问题，是指借助图形对事物的直接判断。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的策略，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。
几何直观这个核心概念不局限于“图形与几何”的内容。
直观：是对事物的直接判断，是经验层面的，是不经过逻辑分析的。
直观能力的养成依赖本人参与其中的思维活动或者实践活动，是一种经验的积累，而不是依靠他人的传授。
几何学是研究如何构建空间度量方法的学科。包括：欧几里得几何、希尔伯特几何、黎曼几何等。（书中第54页）
点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念。
角：欧几里得定义角为相交直线的倾斜度。
认识图形不仅仅是为了让学生知道哪一种图形叫什么名字，学会区别图形，更重要的是让学生学会对图形分类。在分类的过程中可以让学生感悟如何合理地制定分类标准，学会如何遵循标准合理地进行分类。分类的过程还能培养学生的抽象能力。（书中第57页）
动手操作只是培养学生的直观能力，只有通过叙述才能培养学生的思考能力。
长度：是对一维空间图形的度量；
面积：是对二维空间图形的度量；
体积：是对三维空间图形的度量。
度量的基础：两点间的直线距离。
平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”的内容更中最为生动的部分，是在“图形的运动”这个标题下给出的。既然是运动，就不仅要知道运动的结果，还需要想象运动的过程。这类运动有一个共同的特点，就是运动之后保持任意两点间直线距离不变。
平移：参照物是一条射线。称图形上的所有点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。
旋转：参照物是一条射线。称图形上的所有点到射线原点距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动为旋转。
轴对称：参照物是一条直线。称图形翻转到直线的另一侧，对应点到直线距离相等、对应点连线与直线垂直的运动为轴对称。
数据分析大体上分为两种情况：
一种情况不考虑数据的随机性，称为描述统计——针对调查了的数据本身进行表述；（书中第65页）
一种考虑数据的随机性，称为推断统计——推断调查了数据以外的信息。
推断统计的核心就是通过经验过的事物推断未曾经验的事物，或者说，是通过样本推断总体。
概率：是一个非负的、不大于1的数。
统计学研究的基础是数据，是通过对数据的分析得到产生数据背景的信息。
数据分析观念：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据，可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
统计图只有“好坏”之分而无“对错”之分。
随机性与不确定性有所区别。（书中第69页）
平均数：书中第70页。
古典概型：事件发生的可能性结果是有限的，发生每种结果可能性的大小是一样的。