E D A
C
D
平谷区2010～2011学年度第二学期初三第二次统一练习
数 学 试 卷（120分钟）
考生须知
1.试卷分为试题和答题卡两部分，共12页，所有试题均在答题卡上．．．．．．作答。
2.答题前，在答题卡上考生务必将自己的考试编号、姓名填写清楚。
3.把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B 铅笔。
4.修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液。请保持卡面清洁，不要折叠。
一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．－5的绝对值是 A ．5
B ．－5
C ．5±
D ．5
1-
2．目前国内规划中的第一高楼上海中心大厦，总投入约14 800 000 000元．14 800 000 000用科学记数法表示为 A ．11
1.4810? B ．9
0.14810? C ．10
1.4810? D ．9
14.810?
3．如图1，在△ABC 中，D 是AB 中点，作DE ∥BC ， 交AC 于点E ，如果DE =4，那么BC 的长为 A ．2
4．如图2中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌， 图1 其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块 木牌中奖的概率为
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
5．若一个多边形的每一个外角都等于40o
，则这个多边形的边数是
6．在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁四名运动员射击的平均环数均相同，而方差分别 为，，，，则这四人中，射击成绩最稳定的是
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 7．若x m n y m n =
=，xy 的值是
A ．m n -
B ．m n +
C ．n
D ．2m
8．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，
沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是 A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 40cm 二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，□ABCD 的周长是16，则AB+AD= . 10．已知,2x y ,10y x ==+那么2
2y x + = ．
11．一个圆锥的母线长为3cm ，侧面展开图是圆心角为120o
的扇形，
则圆锥的侧面积是
2cm ．
12．如图，将连续的正整数1,2,3,4……依次标在下列三角形中，那么2011这个数在第 个 三角形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）．
2 3 图2
1 4
5
6
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：6)430tan 180
o --+π+
（ 14. 已知06x 3x 2
=--，求
x
x 1
x 3x 12
++--的值.
15. 已知：如图，在Rt ABC △中，∠BAC =90°，AB =AC ，
D 是BC 边上一点，45AD
E ∠=o ，AD =DE .
求证：BD=EC
16．列方程或方程组解应用题：
在平谷区桃花节来临之际，某中学团委从八年级学生中派出160人参加街道清洁工作，除八年级团员全部参加外，还派出一些非团员参加．已知派出的非团员人数是团员人数的2倍还多10人．求参加清洁工作的团员和非团员各多少人
17．如图，平面直角坐标系中，直线b kx y +=与x 轴交于点A （2，0）， 与y 轴交于点B , 且tan ∠BAO =3． （1） 求直线的解析式；
（2） 将直线b kx y +=绕点B 旋转60°，求旋转后的直线解析式
18．已知一元二次方程0k x 4x
2
=+-有两个不相等的实数根，
（1）求k 的取值范围；
（2）如果k 是符合条件的最大整数，且关于x 的方程0k x 4x 2
=+-与01mx x 2
=--有一个相同的根，求此时m
的值.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 已知：如图，∠ACB =90°，AC =BC , AD = BE , ∠CAD =∠CBE . （1）判断△DCE 的形状，并说明你的理由；
（2）当BD :CD =1:2时，∠BDC =135°时，求sin ∠BED 的值.
20．如图，在ABC △中，AB AC ，以AB 为直径的O ⊙交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ．
（1）求证DE 是O ⊙的切线；
（2）若∠BAC =120°，AB =2，求△DEC 的面积．
21．甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图12-1、图12-2的统计图．
（1）在图12-2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况； （2）已知甲队五场比赛成绩的平均分甲x =90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分乙x ；
（3）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩
22．在长方形中画出5条线，把它分成的块数与画线的方式有直接关系.按如图1的方式画线，可以把它分成10块.
(1)请你在图2中画出5条线，使得把这个长方形分成的块数最少（重合的线只看做一条），最少可分成块；（2）请你在图2中画出5条线，使得把这个长方形分成的块数最多，最多可分成块.
(画出图形不写画法和理由)
五、解答题(共22分,其中23题7分、24题7分，25题8分)
23．如图，在直角坐标平面内，函数
m
y
x
=（0
x>，m是常数）
的图象经过(14)
A，，()
B a b
，，其中1
a>．过点A作x轴垂线，
垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．
（1）若ABD
△的面积为4，求点B的坐标；
（2）若DC AB
∥，当AD BC
=时，求直线AB的函数的解析式．
得分/分
80
110
86 9091 87
95
83
98
80
??甲、乙两球队比赛成绩条形统计图
图12-1
场次/场
??甲、乙两球队比赛成绩折线统计图
图12-2
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
得分/分
甲
110
场次/场
24. 已知：如图①，正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，
过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）
25.如图，在平面直角坐标系中，直线1
(0)2
y x b b =-
+>分别交x 轴，y 轴于A B ，两点，以OA OB ，为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以(40)M ，
，(80)N ，为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与PMN △重叠部分的面积为S ． （1）求点P 的坐标； （2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；
（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使 OQM ∠等于90o
，请直接写出．．．．b 的取值范围；
（3） 在b 值的变化过程中，若PCD △为等腰三角形，且 A B C D
y O
M P N B
A
E
PC=PD，请直接写出
．．．．b的值．
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数学试卷参考答案及评分参考
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 13．解： 6)430tan 180
o --+π+
（ = ……….…………………………………………………….4分
= 1 …………………………………..………………………………………………5分 14．解：x
x 1
x 3x 12
++-- ?++--=
)
1x (x 1
x 3x 1 ……………………………………………………………….1分 x
1
3x 1--= ………………………………………………………………………2分 )
3x (x 3
x )3x (x x ----=
……………………………………………………………3分
.x
3x 3
2-=
…………………………………………………………………………4分
因为 06x 3x 2=--，所以 .6x 3x 2
=-所以 原式.21= …………………5分
15．证明：∵ ∠BAC =90°，AB =AC ，
∴ ∠B =∠C =45°. ……………………………∴ ∠BAD +∠ADB =135°. ∵ 45ADE ∠=o
， ∴ ∠ADB +∠EDC =135°
∴ ∠BAD =∠EDC . ……………………………………………………………2分 ∵ AD=DE ，…………………………………………………………………..3分 ∴ △ABD ≌ △DCE . ………………………………………………………….4分
∴ AD =DE .……………………………………………………………………………………………5分 16．解：设参加清洁工作的团员有x 人，非团员有y 人． ………………………1分
依题意，得 ?
??+==+.10x 2y ,
160y x ……………………………………………………………3分
解这个方程组，得??
?==.
110y ,
50x ……………………………………………………………4分
613
3
23-+?
E
答：参加清洁工作的团员有50人，非团员有110人．………………………………5分 17．解：（1）依题意可知，B (0，32).
所以，b=32. …………………………………………………1分
所以，y = kx +32,把x =2 , y =0代入，得 0=322+k ， 解得，3-=k ……………………………………………..2分 所以，.323+-=x y …………………………………….3分
(2)设当直线AB 绕点B 顺时针旋转60°时，得到直线1y =kx+32,与x 轴交于点'A
则)0,2('
-A ，所以 32x 3y 1+=
. …………………………………………………..4分
设当直线AB 绕点B 逆时针旋转60°时，得到直线2y ，依题意知，直线2y 平行x 轴， 所以，2y =32.…………………………………..…………………………….……….5分 18．解：（1）0k 4)4(2
>--=?
解得 .4k < ……………………………………………………………………………….1分
（2）依题意，得
.3k =............................................................2 把3k =代入方程0k x 4x 2
=+-， 得 .0342
=+-x x
解这个方程，得 3x =或1x = ……………………………………………………………3分 当3x =时，有 01m 332
=--，解得.3
8
m =
…………………………………………...4分 当1x =时，有01m 12
=--，解得 .0m = 所以 3
8
m =
或.0m = …………………………….……………………………………….5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：(1)∵ AC =BC , AD = BE , ∠CAD =∠CBE ,
∴ △ADC ≌△BEC ……………………………………..1分 ∴ DC =EC ,∠1=∠2. ……………………………………2分 ∵ ∠1+∠BCD =90°， ∴ ∠2+∠BCD =90°. 所以 △DCE 是等腰直角三角形…………………………..3分
(2) ∵ △DCE 是等腰直角三角形. ∴ ∠CDE =45°. ∵ ∠BDC =135°，
∴ ∠BDE =90°……………………………………………………………………………….4分 ∵ BD :CD =1:2,
图3
图
2设BD =x ，则CD =2x ，DE =x 22，BE =3x. ∴.3
1
sin ==
∠BE BD BED …………………………………………………………………….5 20.（1）证明：连接OD ．………………………….1分 ∵ OD = OB ， ∴ ∠B =∠ODB .
∵ AB AC =，
∴ B C ∠=∠． ∴ ∠ODB =∠C . ∴ OD ∥AC ．………………………………………2分 ∵ DE ⊥ AC ， ∴ OD ⊥DE .
∴DE 是O ⊙的切线．………………………………………………………………………3分 (2) 解：连接AD , ∵ AB 为直径， ∴ ∠ADB =90°．
∵120AB AC BAC =∠=，°， ∴ 30B C ∠=∠=°. ∴ AD =
12
1
=AB ． ∵ 在Rt △AED 中，DE ⊥ AC ,∠DAE =60°， ∴ AE =
2
1
21=AD ，DE =23．…………………………………………………………….4分 ∴ EC =.2
3
212=-
∴ .8
33232321S =??=?DEC ……………………………………………………………..5分
21. 解：（1）如图2；…………………………2分
（2）乙x =90（分）； …………………4分 （3）选派甲队参赛更能取得好成绩．…………5分
22．解：
（1）如图（2）最少可分成6块（画法不唯一，5条线只要不相交即可）…………2分 （2）如图（3）最多可分成16块（画法不唯一，使5条线多地相交即可）………5分
图2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
甲、乙两球队比赛成绩折线统计图
110
场
图3
图2
五、解答题 （本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.（1）解：Q 函数(0m
y x x
=
>，m 是常数）图象经过(14)A ，，4m ∴=．……..1分 设BD AC ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ?? ???，，D 点的坐标为40a ??
???
，，
E 点的坐标为41a ??
???
，，………………………………….2分
1a >Q ，DB a ∴=，4
4AE a =-．
由ABD △的面积为4，即14442a a ??
-= ???，………..3分
得3a =，∴点B 的坐标为433??
???
，．…………………4分
（2）解：DC AB Q ∥，∴当AD BC =时，有两种情况：
①当AD BC ∥时，四边形ADCB 是平行四边形， 由AE=CE ，BE=DE ，得，
1BE AE
a DE CE
==-，11a ∴-=，得2a =． ∴点B 的坐标是（2，2）． ························· 5分 设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入， 得422k b k b =+??=+?，解得26.
k b =-??=?， ∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． ··················· 6分
②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则BD AC =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）．
设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，
得414.k b k b =+??
=+?，解得15
k b =-??=?，
∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+． ··················· 7分
综上所述，
所求直线AB 的函数解析式是 26y x =-+或5y x =-+．
24．解：（1）证明：如图①，在Rt △FCD 中，
∵ G 为DF 的中点，
∴ CG =
1
2
FD ．…………………………………………..1分 同理，在Rt △DEF 中，EG =1
2
FD ．
∴ CG =EG ．…………………………………………….2分 （2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．…………….3分
F
B
A D
C
E
G
图①
证法一：如图②(一)，连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中， ∵ AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ，
∴ △DAG ≌△DCG ．
∴ AG =CG ．…………………………………………………..4分 在△DMG 与△FNG 中，
∵ ∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ， ∴ △DMG ≌△FNG ．
∴ MG =NG ………………………………………………5分
在矩形AENM 中，AM =EN ． 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，
∵ AM =EN ， MG =NG ，
∴ △AMG ≌△ENG ． ∴ AG =EG ．
∴ EG =CG ． …………………………………………………… 6分 证法二：如图②(二)，延长CG 至M ，使MG =CG ，
连接MF ，ME ，EC ，
在△DCG 与△FMG 中，
∵ FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ，
∴ △DCG ≌△FMG ．
∴ MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ． ………………………………..4分 ∴ MF ∥CD ∥AB ． ∴ EF MF ⊥．
在Rt △MFE 与Rt △CBE 中，……………………………………….5分 ∵ MF =CB ，EF =BE ， ∴ △MFE ≌△CBE ．. ∴ MEF CEB ∠=∠．
∴ ∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． ∴ △MEC 为直角三角形．
∵ MG = CG ，∴ EG =2
1
MC ．
∴ EG CG =．……………………………………………6分 （3）如图③，（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．
其他的结论还有：EG ⊥CG ． ………………………..7分
25.解：（1）作PK ⊥MN 于K ，则1
22
PK KM NM ==
=． ∴ KO =6，(62)P ∴，．………………………….2分 （2）当02b <≤时，如图①，0S =．……..3分 当23b <≤时，如图②， 设AC 交PM 于H ．设,0b 0b x 2
1
）（>=+-
得.b 2x =
∵ 24AM HA b ==-．
图①
F
A D C
E
图③
G
F B A D C E G
M N
图 ②（一）
F
B A D
C E G M
图 ②（二）
∴ .)4b 2(2
1
S 2-=
即2
2(2)S b =-．或2
288S b b =-+．………………4分 当34b <<时，如图③， 设AC 交PN 于H ． 82NA HA b ==-．
22(4)4S b ∴=--+，或221628S b b =-+-．….5分
当4b ≥时，如图④，
4S =．…………………………………………………6分 （此问不画图不扣分）
（3）01b <． ……………………………………………………………..7分 （提示：如图⑤，以OM 为直径作圆，当直线1
(0)2
y x b b =-+>
与此圆相切时，1b =．）
（4）b 的值为4．………………………………………………………………..…. 8分
图②
图③ 图⑤