角平分线也来了
下面就以五种情况进行专题研究
1. 如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形；
2. 如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F 是GH 的中点(三线合一)；
3. 如图3，角平分线定理；
4. 补半角成倍角，或分倍角为半角；
5. 角平分线与圆.
D
C E
B
A O
H
F G O
C B
A
K
N
M
Q
P
O
A C B
图1 图2 图3
一、 角平分线遇平行找等腰三角形
1 . 探究1 如图①，AD 为等边△ABC 的内角平分线，显然有
AC CD AB
DB
=
.
探究2 如图 ②，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角平分线，
AC
CD
AB DB
=
一定成立吗？证明你的判断.
应用：如图③，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E 为AB 上一点且AE=15，CE 交其内角平分线
AD 于F. 试求DF
FA
的值.
C
A B
D
A
B D
C
A E
B
C
D
F
① ②③
2. 如图 1 ，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则（ ） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+
F E O
A
B
C
E
D A
B C
图1 图2
3. 如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=5，连接BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为.
4. 如图3，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP. 设BP=y，PE=x.
（1）当
1
3
CQ CE
=时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当
1
CQ CE
n
=（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式.
Q
P F
E
A
B C
D
图3
5.（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与CD相交于F点. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
A
B E
F
C
D D
C
F
E
B
A
图①图②
（2）如图②，当F在DC的延长线上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.
二、遇垂直角平分线找等腰三角形 (角平分线遇垂直，补全成三线合一)
6 . 在△ABC 中，点D 是BC 边的中点，AM 是△ABC 的角平分线，CE ⊥AM ，垂足为E ，连接DE. （1）当AB AC >时（如图①），求证：2AB AC DE -=；
M
A
B
C
D E
M A
B
C
D
E
A
B
D
M
E
C
图① 图② 图③
（2）当AB AC <时（如图②），请你写出AB 、AC 与DE 之间的数量关系：；
（3）如果改AM 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变（如图③），请写出AB 、AC 与DE 之间的数量
关系：.
7. 如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于D ，过C 作BE 的垂线交BE 于E ， 求证：BD=2CE.
A
B
D
C
E
8.（1）如图①，已知BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD 于F ，AG ⊥CE 于G ，连接FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交于M 、N. 则FG 与△ABC 三边具有的数量关系是：.
N
M
G
A
B
C
D E F
F
A
D B
C
G E
图①图②
（2）如图②，若BD 为△ABC 的内角平分线，其他条件不变，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请证明你的猜想.
三、遇倍角或半角
见半角补成倍角或等分倍角；见倍角等分之或造半角的等腰三角形
14 . 在△ABC 中，∠A=90°，点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE 于E ，DE 交AB 于点F. （1）如图①，当AB=AC 时，1）∠EBF=；2）探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当AB=k AC 时，求BE
FD
的值（用含k 的式子表示）.
A
B
C D
E F E
A
B
C
D
F
图① 图②
15 . 阅读材料：如图①，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°. 小明通过以下计算：
由题意知∠B=30°，∠C=90°，2c b =，3a b =，得：22222()23a b b b b bc -=-==，即2
2a b bc -=.
于是小明猜想：对于任意的△ABC ，当∠A=2∠B 时，关系式2
2a b bc -=都成立.
b c
a
b c
a
c
b a A
B
C
A
B
C
A B
C
图① 图 ② 图③
（1）如图 ②，请你用等腰Rt △进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程； （2）如图③，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由； （3）若某三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B ，请直接写出这个三角形三边的长.
四、见角平分线用性质(角关于角平分线所在直线对称，依角的对称性找（或造）全等)
16 . 如图1，在△ABC 中，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E. （1）当∠B=47°，则∠AEC=；（2）当∠B=α时，∠AEC=.
A
C B E
F
D E
D C
B A
M F
N A 2
A 1
A
B
C D
图1 图2 图3
17 . 如图2，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，∠EBC 的平分线交CD 于点F ，将△DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N. 有下列四个结论：① DF=CF ；② BF ⊥EN ；③△BEN 是等边三角形；④ S △BEF =3S △DEF . 其中，结论正确的是（填序号）
18 . 如图3，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n-1BC 的平分线与∠A n-1CD 的平分线交于点A n . 设∠A=θ. 则（1）∠A 1=；（2）∠A n =.
19 . 已知，直线MA ∥NB ，∠MAB 与∠NBA 的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA 、NB 分别相交于点D 、E.
（1）如图①，当直线l 与直线MA 垂直时，线段AD 、BE 、AB 满足怎样的数量关系，请证明之；
N
M
l B
A
C
D E E D
C
A
B
l M
N
图① 图 ②
（2）如图②，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D 、E 都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
五、两角平分线相交用内切圆
三角形内切圆是其三个内角平分线的交点，在Rt △中，内切圆半径r 与三边a 、b 、c （a b c ≤<）的关系为1
()2
r a b c =+-.
20 . 如图1，已知Rt △ABC 中，AC=24，斜边AB=25，半径为1的⊙P 在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当 P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（ ）
A. 563
B. 25
C. 1123
D. 56
P
A
B
C
A B
C
D
E F
图1 图2
21 . 如图2，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F. 求证：1
2
EF AC AB
+=
初三数学圆周角教学计划 初三数学圆周角教学计划 圆周角最初叫詹妮特角（Jeanit），因为它的顶点在圆周上，于是就将其更名为圆周角。接下来我们一起来看看初三数学圆周角教学计划模板。 课题圆周角课型新授第(2)课时 知识与技能.知识与技能：掌握直径(或半圆)所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题 过程与方法经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力 情感态度与价值观激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活. 教材分析教学重点圆周角的性质学习 教学难点圆周角性质的应用 相关准备课件 教学程序及教学内容二级备课 过程教师活动学生活动 1.如图，在⊙O中，△ABC是 等边三角形，AD是直径，
则∠ADB=°,∠DAB=°. 2.如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：BD=CD. 第2题 1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则 (1)∠BOC=°,理由是; ( 第1题 2.如图，在△ABC中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.知知识梳理 1.两条性质： 教师活动学生活动二级备课 一、小组交流、生生互动： 1)这里所对的角、90°的角必须是圆周角; (2)直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重 二、师生互动、归纳点拨： 如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD =∠EAB,AE是⊙O的直径吗为什么 【解析】利用90°的圆周角所对的弦是直径. 如 1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角为什么 (引导学生探究问题的解法)
4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A
在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展
数学教案-角的平分线 八年级数学教案 3.9角的平分线 教学目标 1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用. 2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题. 3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点. 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1,复习引入课题. (1)提问关于直角三角形全等的判定定理.
(2)让学生用量角器画出图3-86中的/ AOB的角
平分线oc. 2.画图探索角平分线的性质并证明之. (1)在图3- 86中，让学生在角平分线OC上任取一 点P,并分别作出表示P点到/ AOB两边的距离的线段 PD, PE (2)这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理. (3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理. (1)让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2――角平分线的判定定理. (2)教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2. (3)教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程. 4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.
(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性). (2)在角的内部，至U角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置，渗透集合的完备性). 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 二、应用举例、变式练习 练习1填空：如图3-86 (1) v OC平分/AOB,点P在射线0C上， PD丄OA于D PE丄OB于E.「. ----- (角平分线的性质定理). (2) v PD丄OA, PEL OB, -------- 二0P平分/AOB ( --------- ) 例1已知：如图3-87 (a), ABC的角平分线BD和CE交于F. (1)求证：F到AB, BC和AC边的距离相等； (2)求证：AF平分/ BAC; (3)求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等； (4)怎样找△ ABC内到三边距离相等的点?
一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB 的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD, ∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°- 1 2 (180°-∠ A)=90°+1 2 ∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S △DCE =S △DBF ，求证： AD平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥ AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC. 【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即 1 2 CE·DN= 1 2 BF·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD 平分∠BAC. 例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是 AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=1 2 BD.求证：BD是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可. 【证明】延长AE、BC交于点F. ∵AE⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC与△AFC中，
第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质教学设计 教材分析 本节内容是全等三角形知识的运用延伸，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等，角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。 教学目标 1．会使用尺规作一个已知角的平分线； 2．掌握角的平分线的性质和判定； 3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题． 教学重点及难点 重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用． 难点：1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离” 2.角的平分线的性质及判定定理的运用. 教学用具 直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件 教学过程 (一)导入新课 问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？ 师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示． 问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？ 师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．（二）探索新知
浙教版初三数学圆周角教学计划模板_课题研究 圆周角最初叫詹妮特角（Jeanit），因为它的顶点在圆周上，于是就将其更名为圆周角。接下来我们一起来看看初三数学圆周角教学计划模板。 浙教版初三数学圆周角教学计划模板 学科：数学主备人：刘佳珍授课时间 课题圆周角课型新授第( 2 )课时 知识与技能.知识与技能：掌握直径(或半圆)所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题 过程与方法经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力 情感态度与价值观激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活. 教材分析教学重点圆周角的性质学习 教学难点圆周角性质的应用 相关准备课件 教学程序及教学内容二级备课 过程教师活动学生活动 1.如图，在⊙O中，⊙ABC是 等边三角形，AD是直径， 则⊙ADB= °,⊙DAB= °. 2. 如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：BD=CD. 第2题 1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，若⊙BAC=40°，则 (1)⊙BOC= °,理由是; ( 第1题 2.如图，在⊙ABC中，OA=OB=OC,则⊙ACB= °.知知识梳理 1.两条性质： 教师活动学生活动二级备课 一、小组交流、生生互动： 1)这里所对的角、90°的角必须是圆周角; (2)直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重 二、师生互动、归纳点拨： 如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是⊙ABC的高，⊙CAD =⊙EAB,AE是⊙O的直径吗?为什么? 【解析】利用90°的圆周角所对的弦是直径. 如 1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角?为什么? (引导学生探究问题的解法) 2.如图，在⊙O中，圆周角⊙BAC=90°，弦BC经过圆心吗?为什么? 强调辅助线 教师活动学生活动二级备课
E 12.3 《角的平分线的性质》（第1课时） 一、教学目标 1、知识与技能： （1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 （2）理解角的平分线的性质并能初步运用。 2、过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 3、情感与态度： 充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 二、、教学重点、难点 教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 三、教学方法 引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习 四、教学过程 一、创设情景 生活中的数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 探索体验 探索1：如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将点A 放在角的顶点,AB,CD 沿着角的两边入放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗 ?
从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。 观察领悟作法，探索思考证明方法 画法： 以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N ． 分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． 作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 教师先在黑板上示范作图，再利用多媒体演示作图过程及画法，加深印象，并强调尺规作图的规范性。 想一想：为什么OC 是角平分线呢？ 利用三角形全等证明角平分线，进一步 明确命题的题设与结论，熟悉几何证明 过程。 已知：OM=ON ，MC=NC 。 求证：OC 平分∠AOB 。 证明：在△OMC 和△ONC 中， OM=ON ， MC=NC ， OC=OC ， ∴ △OMC ≌ △ONC （SSS ） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC 平分∠AOB 探索2： 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一
角的平分线的画法 数学课上，探讨角平分线的作法时，黎老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON． ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P． ③作射线OP．则OP为∠AOB的平分线． 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线． 根据以上情境，解决下列问题： (1)黎老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_______．
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由． (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法． （要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明） 试题分析： （1）根据三角形全等的判定方法“SSS”解答. （2）利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，根据全等三角形对应边相等解答. （3）利用刻度尺作出PM=PN，再利用“SSS”证明两三角形全等，即可得解： 在△MOP和△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（SSS）.∴∠MOP=∠NOP.∴OP 是∠AOB的平分线. 试题解析： （1）黎老师用到的三角形全等的方法是“SSS”. （2）小聪的作法正确。理由如下： 在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP.∴OP是∠AOB的平分线. （3）如图： ①利用刻度尺上的刻度，在OA和OB上分别画点M、N，使OM=ON； ②用两个刻度尺作出MP=NP，交于点P；
③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线. 考点:1. 全等三角形的应用;2.作图（基本作图）.
角的平分线的性质 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线
A F C B E AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB =FC ． E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1
全国100份试卷分类汇编 角平分线 1、（?雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．100° 考点：平行线的性质；角平分线的定义． 分析：根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠D，从而得到∠CAD=∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠D， ∴∠CAD=∠D， 在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°， ∴80°+∠D+∠D=180°， 解得∠D=50°． 故选A． 点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 2、（?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1B．2C．3D．4 考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的 度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质 可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形 的面积之比． 解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°． 故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD：AC?AD=1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质． 3、（?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
角的平分线(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识结构 重点与难点分析： 本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。 本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。 教法建议： 整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与
学融为一体。具体说明如下： （1）做好铺垫 新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。 （2）主动获取 利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。 （3）激荡思维 在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。
12.3 角的平分线的性质(1) 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理． 教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重点难点 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 教具准备 投影仪、制作如课本图11．3─1的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察：
已知：∠AOB． 求法：∠AOB的平分线． 作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心， 大于1 2 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC?即为所求（课 本图11．3─2）． 【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本P19练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下： 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）求证：PD=PE． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中， , , , PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ?
12.3 角的平分线的性质 第1课时角平分线的性质 一、教学目标 （一）知识与技能 1.会作已知角的平分线； 2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质； 3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的性质的证明及应用； 难点：角的平分线的性质的探究. 三、教法学法 三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式. 四、教与学互动设计 （一）激情导课 如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？ （二）民主导学 1、探究一：角的平分线的作法 Ⅰ、议一议 问题1 请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线. 问题2 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB 和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗? 问题3 通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流. 已知：∠ MAN
A B BD 2 1 求作：∠MAN的角平分线. 作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于 D. （2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两 弧在∠MAN的内部交于点C. （3）画射线AC. ∴射线AC即为所求. Ⅱ、练一练 平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线 CD.直线CD与直线AB是什么关系？ 思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你 的方法。 2、探究二：角的平分线的性质 Ⅰ、做一做 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然 后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论. （1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （2）角的平分线性质的证明步骤： ①明确命题中的已知和求证; 已知:一个点在一个角的平分线上. 结论:这个点到这个角两边的距离相等. ②M根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证; 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分 别为点D、E. 求证: PD=PE. ③M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知) ∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠AOC= ∠BOC （已证） B P O A C E D
角平分线练习 一、填空题 1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF . 7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________. 8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32cm ，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为__________cm . 二、选择题 11．三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、4处 B 、3处 C 、2处 D 、1处 第4题 第5题 第6题 第7题
山东省烟台市郭城一中八年级数学上册《角的平分线》导学案新人教版 一．学习目标： 1.能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。 2.通过例题进一步理解和巩固证明的方法和要求。 3.通过学习活动，进一步提高推理证明能力和推理证明的意识，培养抽象概括能力。 4.通过交流合作、独立思考等活动，进一步提高分析问题，解决问题的技巧。 5在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯。 二．重点: （1）三角形三条角平分线位置关系定理及其证明；（2）综合运用。 三．难点 三角形三条角平分线位置关系定理的证明。 四．学习过程 （一）自主探究。 1.知识回顾1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为______度. 。2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________ 3．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm. 第4题第5题 2.探究新知. (1)问题:如图在?ABC中，∠A的平分线和∠B的平分线相交于点I，如图所示，I在∠C的平分线上吗？同学们,你知道满足什么条件的点在角的平分线上吗 ① ② 。 分析题意你可以发现本题我们应该用的方法是 因此我们应该怎样添加辅助线啊 写出你的证明过程 ② 由此可以得到三角形的三条角平分线相交于点，并且这一点到三角形的三条边的距离相等。（2）如图，在△ABC中 AC=BC ∠C=900AD 是角平分线，DE⊥AB 垂足为点E。①已知CD=4，求AC 的长 求证：AB=AC+CD ①的分析： ①的证明过程
圆心角和圆周角及之间的关系 A C B 看 看 型，圆周角的概念和圆周角定理的证明，理解圆周角定理的证明中的分类证明思想。 重难点（考点）分析： 要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题 内容（课题）：圆心角和圆周角及之间的关系 教学目的：1、了解圆周角的概念。 教学过程： 一、圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个基本特征： （1）顶点在圆上； ⑵两边都和圆相交。 圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征 练习判 断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由 有没有圆周角？/ BAC 有没有圆心角？/ BOC 4、培养学生的合作交流意识和数学交流能力。 2、理解圆周角定理的证明。 3、通过圆周角定理的证明，培养学生对数学的逻辑严密性的体验，树立正确的数学学习观。
它们有什么共同的特点? 它们都对着同一条弧 BC 三、猜想归纳：请画出弧 BC 所对的圆周角?若按圆心O 与这个圆周角的位置关系来分类 ，我们可以分成几类？圆 1、首先考虑一种特殊情况： 当圆心（O ）在圆周角（/ BAC ）的一边（AB ）上时,圆周角/ BAC 与圆心角/ BOC 的大小关系? ???/ BOO A ACC 的外角 ???/ BOC M C+Z A ?/ OA=OC ? Z A=Z C ? Z BOC=Z A 即 Z BAC = 1/2 Z BOC 2、如果圆心不在圆周角的一边上 ，结果会怎样？ 当圆心（O ）在圆周角（Z ABC ）的内部时，圆周角Z ABC 与圆心角Z AOC 勺大小关系会怎样？ 思考：能否转化成1中的情况？ 证明：过点A 作直径AD.由1可得： vZ BAD = 1/2 Z BOD Z CAD = 1/2 Z COD ? Z BAC = 1/2 Z BOC. 3、当圆心（O ）在圆周角（Z ABC ）的外部时，圆周角 Z ABC 与圆心角 Z AOC 的大小关系会怎样？ 周角的度数与什么有关系？动手量 曰. 量 BOC 与/ BAC 有何数量关系? A
角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在 _____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B