练 习 一
1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）
i i
i i 524321----； 解：i i
i
i 524321--
-- =
i 2582516+ z
k k Argz z z z ∈+==
=
=π
22
1
arctan 255825
8
Im 2516Re
（2）3
)
231(i +
解： 3)
231(i + z
k k Argz z z z e i i
∈+===-=-==+=π
ππ
π
π
210Im 1Re 1
][)3
sin
3(cos
333
2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31-
)35sin 35(cos
2ππi +=
（2）i i
+12
解：i i +12 )
4sin
4
(cos
21π
π
i i +=+=
3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i 2332++-
解：i i 2332++- 2sin
2
cos
π
π
i i +==
（2）4
22i +-
解：4
22i +-41
)]43sin 43(cos 22[π
πi +=
3,2,1,0]
1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283
8
3=+++=+++=k k i k k i k ππππππ
4．.设
321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位
圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0
则,
321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又
,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量
211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π
，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π
，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶
点。
5．解方程013
=+z
i i z i z i
i z k k i k z z 2
32135sin 35cos
1sin cos 2
3
213sin 3cos 2
,1,03
2sin 32cos
1:3213-=+=-=+=+=+==+++=?-=πππππππ
πππ解
6．试证：当1
,1<=βα时，则1
1=--βαβ
α。
证：
1
1
1==--=-?-=--α
βααβαβαααβαβαβα
7．设θθ,0(cos 21≠=+-z z z 是Z 的辐角），求证.cos 2θn z z n n =+-
证：01cos 2cos 221
=+?-?=+-z z z
z θθ
则 θθsin cos i z ±=
当θθsin cos i z +=时 θθsin cos 1
i z -=-
θθθθθn n i n i n z z n n cos 2)]sin()[cos()sin (cos =-+-++=+-
故 θn z z n
n cos 2=+-
当θθsin cos i z -=时，同理可证。
*8 .思考题：
（1）复数为什么不能比较大小？
答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。 （2）是否任意复数都有辐角？
答：否，0 z 是模为零，辐角无定义的复数。
练 习 二
1．指出满足下列各式的点Z 的轨迹是什么曲线？ （1）
4)arg(π
=
-i z
解：设iy x z += 则
4)]1(arg[)arg(π
=
-+=-y i x i z
???
??-=>->∴1010y x y x 则点Z 的轨迹为：
（2）
)
Re(b z a z -=-，其中b a ,为实数常数；
解：设iy x z += 则：)Re()(iy b x iy a x +-=+-
??
?≥--=+-∴0
)()(222b x b x y a x 则：????
?
?
?≥+--=-+-=b x b a x b a a b x b a y )2)((2)(22
22
若：b a = 则轨迹为： 0=y 若：b a >
则b
b
a x >+≥
2
轨迹：
)
2)((22b
a x
b a y +--= 若：b a < 则
,
2b a x +≤无意义
（3）0=+++b z a z a z z ，其中为a 复数b 为实常数。 解：由题设可知：
))((2
=-+++a b a z a z
即：b
a a z -=+2
2
若：b a =2
，则Z 的轨迹为一点-a ，
若：
b
a >2
，则Z 的轨迹为圆，圆心在-a 2．用复参数方程表示曲线，连接i +1与i 41--解：10)]1()41[()1(≤≤+---=+-t t i i i z
则)0()52()1(≤≤+-+=t t i i z
3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。 （1）
21Re ,1≤
解：由1 21Re ≤z ，得21≤ x 有界，单连域 （2）1Re 2 解：令 iy x z += 由11Re 2 2 2 <-? 2 ->x y 无界，单连域 （3）2 11 ≤+-z z 解：令iy x z += 则： 2 22)34 ()35(≥++y x 4．对于函数0Im :,)(>==z D iz z f ω，描出当z 在区域D 内变化时，w 的变化范围。 解：令iy x z += 则ix y iy x i iz z f w +-=+===)()( ,0Im >z 则0>y ,0Re <-=y w w ∴的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴 5.试证z z z Re lim 0→不存在。 证： z z z Re lim 0→= iy x x y x +→→00lim 令kx y = 则：上述极限为ki +11 不确定，因而极限不存在。 *6.思考题 （1）怎样理解复变函数)(z f w =？ 答：设)(,,z f w iy x z iv u w =+=+=则就是 ),(),()(y x iv y x u iy x f iv u +=+=+ 即 ?? ?==),(),(y x v v y x u u 因此，一个复变函数)(z f 与两个实变函数),(y x u 和),(y x v 相对应，从 几何意义上来说，复变函数可以看作是z 平面上的点集D 到w 平面上的点集G 上的映射。 （2）设复变函数)(z f 当0z z →时的极限存在，此极限值与z 趋于0z 所采取的方式（取的路径）有无关系？ 答：没有关系，z 以任意方式趋于0z 时，极限值都是相同的，反过来说，若令z 沿两条不同的曲线趋于0z 时极限值不相等，则说明)(z f 在0z 没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x 只能从左、右以任何方式趋于0x ，而这里可以从四面八方任意趋于0z 。 练 习 三 1．用导数定义，求z z z f Re )(=的导数。 解：z z z z z z z z z f z z f z z ?-?+?+=?-?+→?→?Re )Re()(lim )()(lim 00 )(Re lim )Re (Re lim ) Re Re (Re lim Re Re Re lim 00000y i x x z z z z z z z z z z z z z z z z z y x z z z ?+???+=??+=??+?+=???+?+?=→?→?→?→?→? 当0≠z 时，导数不存在， 当0=z 时，导数为0。 2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？ （1） z z f 1)(= 解：) ,(),(1)(2 222y x iv y x u y x y i iy x x z z z z f +=+++=== 222 2 22 22 2 22222 22)()(2)(2)(y x y x v y x xy v y x xy u y x x y u y x y x +-=+-=+- =+-= 当且仅当y x =时， )(z f 满足R C -条件，故当y x =时)(z f 可导，但在复平面不解析。 （2） )3(3)(3 223y y x i xy x z f -+-= 解：令)(),()(xy iv y x u z f += 则 2 22 2336633y x v xy u xy v y x u y y x x -==-=-= 因)(z f 在复平面上处处满足R C -条件，且偏导数连续，故)(z f 可导且解析。 3．设)(2 3 2 3 lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。 解：由R C -条件可知： lxy nxy 22=所以 l n = 又 2 2 2 2 33ly x nx my --=+所以 3,3-=-=n l m 且 即 ?? ?-===31l n m 4.设)(z f 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的。 （1）)(z f =常数； （2）0)(='z f ； （3）=)(Re z f 常数 （2）=)(Im z f 常数； （5）)(z f 解析； （6）=)(z f 常数。 证:由于)(z f 在且域D 内解析，则可得R C -方程成立，即 y v x u ??=??且x v y u ??-=?? 1）→2）由c z f ≡)(则0)(='='c z f 在D 内成立，故（2）显然成立， 2）→3）由 ),(00)(y x u y u x u y u i y v x v i x u z f ?=??=???=??-??=??+??= '是常数 即 =)(Re z f 常数 3）→4） ≡u 常数0 =??=???y u x u 由R C -条件 ) ,(00y x v x v y v ???????????=??=??是常数 =?)(Im z f 常数 4）→5）若,)(,)(,)(Im 1ic u z f ic u z f c z f -=+==因)(z f 在D 内解析 0,0=??-=??-=??=??=??=??∴ x c x v y u y c y v x u 即 x c y u y c x u ?-?- =???-?=??)(,)( 一阶偏导连续且满足R C -条件)(z f ?在D 内解析 5）→6） iv u z f z g iv u z f -==+=)()(,)( 因)(z g 解析，则由R C -条件 x v y u y v x u ??-=????-=??,， 对)(z f 在D 内解析， )(00,z f v x v y u v x v y u x v y u y v x u ?? ?????? ????=??=???=??=?????-=????-=??为常数为常数为常数 6）→1） =)(z f 常数 2 ) (z f ?=常数，令c v u =+2 2 分别对y x ,求偏导数得 ???? ???=??+=??+??????? ?=??+??=??-??0 )(0)(002222y u v u x u v u y u u x u v y u v x u u 若02 2=+v u 则0)(,0===z f v u ，因而得证 若02 2≠+v u ，则0=??-??y u i x u ，故=u 常数，由R C -条件v y v x v ?=??=??,0为常数 =?)(z f 常数 *5.思考题： （1）复变函数)(z f 在一点0z 可导与在0z 解析有什么区别？ 答：)(z f 在 0z 解析则必在0z 可导，反之不对。这是因为)(z f 在0z 解析，不但要求)(z f 在 0z 可导，而且要求)(z f 在0z 的某个邻域内可导，因此，)(z f 在0z 解析比)(z f 在0z 可导的 要求高得多，如 2 )(z z f =在 0z =0处可导，但在00=z 处不解析。 （2）函数)(z f 在区域D 内解析与)(z f 在区域D 内可导有无区别？ 答：无，（两者等价）。 （3）用R C -条件判断),(),()(y x iv y x u z f +=解析时应注意些什么？ 答：),(),,(y x v y x u 是否可微。 （4）判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。 答：一是定义。 二是充要条件。 三是可导（解析）函数的和、差、积、商与复合仍可导（解析）函数 练 习 四 1．由下列条件求解析函数iv u z f +=)(： （1）i f y x u -=-=)2(,)1(2 解：由)(z f 解析可知：x y y x v u v u -== 而) 1(22-==x u y u y x 则 y u v x u v x y y x 2),1(2==--=-= 所以 ) (2),(2x y ydy dy v y x v y ?+===?? )()1(2x v x x ?'==-- ?+--=--=∴c x dx x x 2 )1()1(2)(? 由i f -=)2(可知0=c )12()1(2)(22-+-+-=∴x x y i y x z f （2） .0,>=x x y arctg v 解：因 2 2 y x y v x +-= 2 2 y x x v y +-=由)(z f 解析 可知：2 2y x x v u y x +== 22y x y v u x y +=-= )()ln(21),(2 22 2y y x dx y x x dx u y x u x ?++=+==?? 2222)(y x y y y x y u y +='++=? c y x y x u ++=∴)ln(21),(22 即 x y iarctg c y x z f +++=)ln(21)(22 2．设y e v px sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(。 解：要使),(y x v 为调和函数，有： =+=?yy xx v v v ，即：0sin sin 2 =-y e y e p px px 1±=∴p 时，v 为调和函数，要使)(z f 解析，则x y y x v u v u -==, )(cos 1cos ),(y y e p ydx e dy v dx u y x u px px y x ?+====??? y pe y y e p u px px y sin )(sin 1-='+= ? y e p p y px sin )1()(-='∴? c y e p p y px +-=∴cos )1 ()(? 即：c y pe y x u px +=cos ),( ?????-=+-=++=+=++=∴--1)sin (cos 1 )sin (cos )(p c e c y i y e p c e c y i y e z f z x z x 3．如果iv u z f +=)(为解析函数，试证u -是v 的共轭调和函数。 证：因)(z f 解析，有： x y y x v u v u v u -===?=?,,0,0 所以，v u ,均为调和函数， 且u -亦为调和函数 ?????? ? ?-?==?-?=-=x u u v y u u v x y y x )()( 故u -是v 的共轭调和函数 4．如果iv u z f +=)(是一解函数，试证：)(z f i 也是解析函数。 证：因)(z f 解析，则x y y x v u v u -==, 且v u ,均可微，从而u -也可微。 而 )()(u i v iu v z f i -+=-= 可知：y u u v y x ?-?= -=) ( x u u v x y ?-?= -=) ( 即满足R C -条件 )(z if ∴也是解析函数。 5．试解方程： （1）i e z 31+= 解： z k e e i e k i n k i z ∈==+=+=+++) 3 2(21) 23 (2)3sin 3(cos 231π πππ π π z k k i z ∈++=∴)32(2ln π π （2）0cos sin =+z z 解：由题设可知：i e z i -=2 z k k z ∈- =∴,4 π π 6．求下列各式的值： （1）)43(i Ln +- 解：)43(i Ln +- ) 34 2(5ln )43arg(5ln aratg k i i i -++=+-+=ππ （2）i -33 解：i Ln -33 )] 3sin(ln )3[cos(ln 2727272733223ln )23(ln 33i e e e e k k i k i i iLn i -==?=?=?=+-+---πππ （3）i e +2 解：i e +212??=i e e )1sin 1(cos 2i e += *7.思考题 （1）为什么复变指数函数是周期函数，而实变指数函数没有周期？ 答：由于实数是复数的特例，因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时，要使定义的各种复变初等函数当z 取实数x 时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变，但不能保持所有的性质不变。 复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数z ，一般没有0>z e 。而 复变指数函数的周期性，仅当周期是复数（i k π2）时才显现出来。所谓实变指数函数x e 没有周期，是指其没有实的周期。 （2）实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同？ 答：两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的，而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。 最大的区别是，实变三角函数中，正弦函数与余弦函数都是有界函数，但在复变三角函数中， 1 sin ≤z 与 1 cos ≤z 不再成立。因为 y y iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e z -=-≥ -=-=----21 212 1 2sin 当+∞→y 时， +∞→→-y y e e ,0。故.sin +∞→z （3）怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同？并理解复变对数函数的运算性质。 答：因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数， . ln iArgz z Lnz += Lnz 的主值即z i z z arg ln ln +=，是单值函数，当x z =，而0>x 时，z ln 就与高等数学中的x ln 值一致了。 在复变对数函数的运算性质中，注意到等式 ,ln ln )/ln(ln ln )ln(21212121z z z z z z z z -=+=与 要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的，但在复变指数函数中，例如， ). ()(212121z z iArg z z Ln z z Ln += , ln ln ,ln ln 222111iArgz z z iArgz z z +=+= 而 2 121ln ln ln z z z z +=， 2121)(Argz Argz z z Arg += 应理解为：任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值，左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的（即不能只考虑某一单值支）。后一式也同样理解，但对等式 )(n z Ln nLnz =和 ,1 Lnz n z Ln n = 它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对n Lnz nLnz =，取2=n 时，设? i re z =，得 ,2,1,0).42(ln 22±±=++=k k i r Lnz πθ而从θ 222i e r z =，得 ,2,1,0),22(ln )(2 2±±=++=m m i r z Ln πθ 两者的实部是相同的，但虚部的可取值不完全相同。 （4）调和函数与解析函数有什么关系？ 答：如果iv u z f +=)(是区域D 内的解析函数，则它的实部u 和虚部v 的二阶偏导数必连续，从而满足拉普拉斯方程，所以是调和函数。 由于解析函数的导函数仍是解析函数，所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是)(z f 的相应阶导数的实部和虚部，所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出：u 、v 的任意阶偏导数仍是调和函数。 （5）若v 是u 的共轭调和函数，可以说u 是v 的共轭调和函数吗？ 答：不行，两者的地位不能颠倒。因为，若v 是u 的共轭调和函数，则应有 ;,y u x v y v x u ??-=????=??而u 是v 的共轭调和函数，要求,,y v x u y u x v ??-=????=??两者一般不能同 时成立，所能推知的是u -是v 的共轭调和函数。 练 习 五 1．计算积分 ? ++-i dz ix y x 10 2])[(，积分路径：自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i 。 解： ?++-i dz ix y x 10 2])[( i dy i y i dx ix x dz ix y x dz ix y x 6521)1()()])[(])[(1 10 2)0,1() 0,0(2) 0,1() 0,0(2+-=+-++=+-++-=??? ? 2．计算积分 dz z z c ? 的值，其中C 为（1） ; 2=z （2） . 4=z 解：令θ i re z = 则 ri d ri e r re dz z z i i r z πθθπθ220==?? -= 当2=r 时，为i π4 当4=r 时，为i π8 3．求积分dz z e c z ?的值，其中C 为由正向圆周2=z 1=z 解：???==-=12z z c z z z dz z e dz z e dz z e 022=-=i i ππ 4．计算dz z z c ?-21 ，其中C 为圆周.2=z 解：dz z z c ?-21 ???===--=-=2221 )1(1)1(1z z z dz z dz z dz z z 022=-=i i ππ 5．计算下列积分值： （1） ?i zdz π0 sin 解：? i zdz π0 sin 0cos i z π-=i πcos 1-= （2） ? +i z dz ze 11 解：? +i z dz ze 11i i z z z ie i e ze zde ++=+-==?111 1 1)( 6．当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明： ? -≤+i i dz iy x 2 )(22 证： ??--+≤+i i i i dz iy x dz iy x )()(222222.12=≤≤?-ds y i i *7.思考题 （1）在积分的定义中为什么要强调积分)(z f “沿曲线C 由α到β的积分”？它与“沿曲线C 由β到α的积分”有什么区别？ 答：在定积分中已有 ? ?-=b a a b dx x f dx x f )()(，即积分是与区间的方向有关的，这里 )(z f w =在C 上的积分也与C 的方向有关。这从积分和式 ∑=?=n k k k n z f s 1 )(ξ中的因子 1--=?k k k z z z 可直接看出，若改变C 的方向，即)(z f 是沿曲线C 由β到α积分，则积分 与原积分反号： ? ?- -=C C dz z f dz z f )()( 其中1 -C 表示C 的反向曲线。 （2）复函数)(z f 的积分与实一元函数定积分是否一致？ 答：若C 是实轴上的区间],[βα，由定义知 ??=C dx x f dz z f β α, )()( 即为一个实函数的积分，如果)(x f 是实值的，则为一元实函数的定积分，因而这样定义复变函数积分是合理的，而且可以把高等数学中的一元实函数的定积分当作复积分的特例看待。 应当注意的是，一般不能把起点为α，终点为β 的函数)(z f 的积分记作?β αdz z f )(，因 为这是一个线积分，要受积分路线的限制，必须记作?C dz z f . )( （3）应用柯西——古萨定理应注意些什么？ 答：必须注意定理的条件“单连域”，被积函数虽然在B 内处处解析，但只要B 不是单连 的，定理的结论就不成立。例如 z z f 1)(= 在圆环域：23 21< 中心的正向圆周，但i dz z C π21 =??，就是因为不满足“单连域”这个条件。 还要注意定理不能反过来用，即不能因为有 ?=C dz z f 0 )(，而说)(z f 在C 内处处解析， 例如 01 12=??=dz z z ,但 21 )(z z f = 在1=z 内并不处处解析。 练 习 六 1．计算下列积分 （1）dz z z z z ?=-+-2211 2 解：1=z 为奇点： i z z z i dz z z z z ππ41)12(2112222==+-=-+-?= （2）dz z e z z ?=1100 解：!9920!992i z e i z ππ= = （3） dz z z z ? =-2 2 )2 (sin π 解：dz z z z ? =-2 2 ) 2 (sin π 2 )(sin 2ππ= ' =z z i 2cos 2π π= =z z i =0 （4）?+=213 cos c c c dz z z ，其中3:;2:21==z C z C 为负向。 解：?+=213cos c c c dz z z dz z z dz z c c ??+=213 3cos cos 0)(cos )!2cos !2cos (==''?-=z z z z 或 ??????=+=-?=2 2 1 1 2 1 c c c c c c 2．若)(z f 是区域G 内的非常数解析函数，且)(z f 在G 内无零点，则)(z f 不能在G 内取到它的最小模。 证：设=)(z g )(1 z f ， 因)(z f 为非常数解析函数，且0)(≠∈?z f G z 则)(z g 为非常数解析函数 所以)(z g 在G 内不能取得最大模 即)(z f 不能在G 内取得最小模 3.设)(z f 在1≤z 上解析，且在1=z 上有,)(z z z f <-试证8 )21 (<'f 。 证：因 z z z f z z f ≤-≤-)()( （在 1=z 上） 所以 ) 1(,2)(=≤z z f ? ? ==-+-≤-+-≤ '∴1 2 21 ) 21()(21 )2 1()(21)21(z z dz z z z z f dz z z z z f i f ππ ds z z z ? =- ≤1 21221π 8411 1 1=≤?=ds z π 1 ),(,414114121(222=≥+-=+-+=-z y x x x y x z 在上 4．设)(z f 与)(z g 在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D ，如果)(z f =)(z g 在C 上所有点处成立，试证在C 内所有的点处)(z f =)(z g 也成立。 证：设)()()(z g z f z F -=，因)(),(z g z f 均在D 内解析，所以)(z F 在D 内解析。 在C 上，)(,0)(c z z F ∈=，c z ∈?0有： ?=-= c dz z z z F i z F 0 ) (21)(0 0π 所以 )()(00z g z f = 由0z 的任意性可知：在C 内)()(z g z f = *5．思考题 （1）复合闭路定理在积分计算中有什么用处？要注意什么问题？ 答：由复合闭路定理，可以把沿区域外边界线的回路积分转化为沿区域内边界线的积分，从而便于计算。特别地，如果积分回路的内域中含有被积函数的有限个奇点，我们就可以挖去包含这些点的足够小的圆域（包括边界），函数在剩下的复连域解析，由复合闭路定理，就可以将大回路的积分换成分别沿这些小圆周的回路积分。 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法。 使用复合闭路定理时，要注意曲线的方向，边界曲线C 由 n C C C C ,,,,210 所围， ? =C dz z f 0 )(，即 ?- -++=n C C C dz z f 100 )(，这时0C 取逆时针方向，而- --n C C C ,,,21 取顺时针方 向，而公式 dz z f dz z f C C C C n )()(0 21??++= 中 n C C C ,,,10 都取逆时针方向。 （2）柯西积分公式成立的条件是什么？柯西积分公式说明了什么问题？ 答：柯西积分公式是建立在柯西积分定理基础上的，以柯西定理成立为前提条件，因此柯 西定理的条件也是柯西积分公式成立的条件。即函数)(z f 在以C 为边界的闭区域G 上解析，当然也可以放宽到)(z f 在G 内解析，在C 上连续。 柯西积分公式反映了解析函数值之间很强的内在联系，)(z f 在区域内点α的值)(αf ，可以用)(z f 在边界C 上的值通过积分来表达。这就是说，函数)(z f 在区域中任一点的值，完全由它在区域边界C 上的值所确定，这是实变量的可微函数所不具有的。 （3）解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同？ 答：高阶导数公式说明，函数)(z f 只要在闭区域G 中处处可微，它就一定处处无限次可微，并且它的各阶导数均为闭区域G 上的解析函数。这一点与实变量函数有本质的区别。我们知道，对于实函数)(x f y =而言，即使它在某一区间上一次可导，导数)(x f '不一定仍然可导，甚至可能是不连续的。 练 习 七 1．序列 n n n i n n z != 是否有极限？若有，求出其极限。 解：因1 ]111[lim )1()!1(!lim lim 1111 11 <=-+=--=---∞→--∞→-∞→e n n n n i n z z n n n n n n n n n n 故级数∑n z 收敛，则其通项)(,0∞→→n z n 即序列n z 有极限，亦即 0!lim lim ==∞→∞ →n n n n n i n n z 2.级数∑ ∞ =1!n n n i 是否收敛？是否绝对收敛？ 解：因∑ ∑∞ =∞ ==11! 1!n n n n n i 收敛，因而绝对收敛，故原级数收敛。 3．试确定下列幂级数的收敛半径。 （1）∑∞ =0 )cos(n n z in 解： )1(cos cos lim lim 1 +==∞→+∞→n i in C C R n n n n 2 2lim )1(1)1((++--∞→++=n n n n n e e e e e e e e e n n n n n 1 lim ) 1()1(=++=++--∞→ （2）∑∞ =+0 )(n n n z a n 解：1 )1(lim +∞→+++=n n n a n a n R 4．将下列各函数展开为z 的幂级数，并指出其收敛区域。 （1）2 )1(1z - 解：2)1(1z -∑∑∞=-∞=?='='-=01 0)()11(n n n n n z z z ).1()1(0<+=∑∞=z z n n n R=1，收敛域为 1 （2）1 -z z e 解：1 1 .)(--==z z z z e e e z g ，令1 )(-=z z e z f ，则 2)1(1) ()(--='z z f z f 0)()()1(2 =+'-z f z f z 对此求导 0)()1()()1(2='-+''-z f zz z f z 0)(2)()34()()1(2 ='+''-+'''-z f z f z z f z 1 111)0(,)0(,)0(,)0(-----='''-=''-='=e f e f e f e f 1)4()0(-=e f 习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-? (3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解： 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是 （ ） A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1-i 2．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于 （ ） A ． i B ．-i C ．1 D ．-1 3．方程232= -+i z 所代表的曲线是 （ ） A ．中心为i 32-，半径为2的圆周 B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 D ．中心为i 32-，半径为2的圆周 4．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数为 （ ） A ． 2 B ．i 31+ C ．i -3 D ．i +3 5．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即非充分也非必要条件 6．设2 2)(y i x z f ?+=，则=+')1(i f （ ） A ． 2 B ．2 i C ．1 + i D ．2 + 2 i 7．设C 为正向圆周|z|=2，则 ()dz z z c ?-2 1cos （ ） A ．1sin - B ．sin1 C ．1sin 2i ?-π D ．1sin 2i ?π 8．设c 是t i z )1(+=，t 从1到2线段，则=? zdz c arg （ ） A ． 4π B ．4πi C ．4 π (1+ i ) D ．1 + i 9．幂级数∑ ∞ =+-1 n 22z )1n (n )2(在点z=41 处 （ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．不绝对收敛 10．幂级数n n z n ??? ??∑∞ =22sin 1 π的收敛半径R = （ ） 得分 评卷人 复查人 海南大学2015-2016学年度第1学期试卷 科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷) 学院： 专业班级： 姓名： 学 号： 成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写） 阅卷教师： 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷考试。 一、 判断题(每题1分，共5分) （说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。） （ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。 （ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。 （ ）3、如果 ，则z =0。 （ ）4、z =0是 的一级极点。 （ ）5、如果 在区域D 内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。 二、 填空题(每题3分，共15分) 1、 。 2、设f(z)=z cos z ，则 。 )('z f =)0()2016(f 0=z e =?dz z z 2 0sin )1 sin()(z z f = 3、 的收敛半径= 。 4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。 5、 。 三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。） 1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 2、求 3、求).31(i Ln - 4、求函数?????≥<≤<≤=.3, 0,31, 2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分） 1、计算积分 dz z z z z C ?++-) 4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算 其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分） 3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。 (10分) 4、设函数 (1)把函数 f(z) 在 内展开成洛朗级数。 （10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数， =?+∞∞ dt )(-t δn n n z i ∑∞ =+0)43(.522 i i i -+. )33(31i ++∞<<||1z . )(3||dz z f z ?=,1 )/1sin()(-=z z z z f ).()()(4 4 t f t y t y dt d =+?+-C dz z z z ，) 1()1(34 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=?? ? ???0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为 解析函数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示 2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ） ；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 命题方式：独立命题 佛山科学技术学院2010—2011学年第1学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试题A答案 专业、班级：机械工程与自动化1、2、3班姓名：学号： 题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分 1)题目一：下面正确的是（ ）B A B C D 1122122212||||z z z z z z z z =+1122||||||z z z z =112221||||z z z i z z z =+111||z i z =+2)题目二：函数的可导性为（ C ）2()||f z z =A 处处可导 B 处处不可导 C 在z=0处可导 D 无法确定3)题目三：如果在区域D 内，则F (z )是f (z )的（A ）。'()()F z f z =A 原函数 B 反函数 C 像函数 D 原像函数4)题目四：设在简单正向曲线C 及其所围的区域D 内出处解析且,()f z 0z D ∈那么与积分相关的概念是：（B ）01()2c f z dz i z z π-?A 留数 B 柯西公式 C 线积分 D 泰勒级数5)题目五：是级数的：（ 01()()n n n S z c z z ∞==-∑000()...()...k c k c c z z c z z +-++-+C ）A 和 B 部分函数 C 和函数 D 调和函数6)题目六：0是的：(C) sin z z -A 孤立奇点 B 本性奇点 C 零点 D 原点7)题目七：级数：（C ）0 cos 2n n in ∞=∑A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 既不收敛又不发散、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． 复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数综合测试题（二） 一、填空题 1、设b a z a z =++?||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。 2、设6 cos 6 sin π π i z ??=，则z 的三角表示式为__________________。 3、若函数()f z 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内_________。 4、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=∫dz z f C 。 5、若z 0是()f z 的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 6、函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为__________。7、函数)6(sin 6)(633?+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。8、设a 为函数) () ()(z z z f ψ?= 的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠′=≠a a a ψψ?，则_________ __________)(Re ==z f s a z 9、设1 ()sin f z z = ，则)(z f 的定义域为__________。10、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则A z f z z =→)(lim 0 的充要条件是___________________________。二、选择题 1、函数()f z z =在z 平面上（） A．不连续B．连续且可导C．连续但处处不可导D．以上答案都不对 2、下列点集哪些是区域（） A．Im Re(1) z i >+B．0arg 4 z π <≤ C．1Im 2 z < 复变函数与积分变换重 要知识点归纳 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-
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