关于积分对称性定理
1、 定积分:
设)(x f 在[],a a -上连续,则
()()()()-00,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ??=????
?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分:
若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则
(1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分
()()()()1
0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ??=???????为的奇函数,为的偶函数.
其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()20,,,d d 2,d d ,,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ??=???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
(3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即
),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分
()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ??=???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D
D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称性)
(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有
10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-??=?--=??????当时当时
利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
3、三重积分:
(1)若()z y x f ,,为闭区域Ω上的连续函数,空间有界闭区域Ω关于xoy 坐标面对称,1Ω为Ω位于xoy 坐标面上侧0≥z 的部分区域,则有
()()()()1
0,,,,,d d d 2,,d d d ,,,f x y z z f x y z x y z f x y z x y z f x y z z ΩΩ??=?????????为的奇函数,为的偶函数.
注:),,(z y x f 是z 的奇函数:),,(),(z y x f z y x f -=-
),,(z y x f 是z 的偶函数:),,(),(z y x f z y x f =-
同样,对于空间闭区域Ω关于yoz xoz ,坐标面对称也有类似的性质。
4、 曲线积分(第一类)
(1)若分段光滑平面曲线L 关于y 轴对称,且()y x f ,在L 上为连续函数,1L 为L 位于y 轴右侧的弧段,则
()()()()1
0,,,d 2,d ,,L L f x y x f x y s f x y s f x y x ??=?????为的奇函数,为的偶函数. (2)若分段光滑平面曲线L 关于x 轴对称,且()y x f ,在L 上为连续函数,1L 为L 位于x 轴上侧的弧段,则
()()()()1
0,,,d 2,d ,,L L f x y y f x y s f x y s f x y y ??=?????为的奇函数,为的偶函数. (3)若L 关于直线x y =对称,则
ds x y f ds y x f L L ??=),(),(
其中(3)式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。 5、第二类曲线积分
(1)设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,且L 在x 轴的上半部分1L 与在下半部分的2L 方向相反,
则
()()()()1
0,,,d 2,d ,,L L P x y y P x y x P x y x P x y y ??=?????是关于的偶函数,是关于的奇函数.
(2)设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,且L 在y 轴的右半部分1L 与在左半部分的2L 方向相反
则
()()()()1
0,,,d 2,d ,,L L P x y x P x y x P x y x P x y x ??=?????是关于的偶函数,是关于的奇函数. 对于积分(),L
Q x y dy ?也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情形. 6、 第一类曲面积分:
若曲面∑关于xoy 坐标面对称,()z y x f ,,为∑上的连续函数,1∑为∑
位于xoy 上侧0≥z 的部分曲面,则
()()()()1
0,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑??=???????为的奇函数,为的偶函数.
曲面关于xoz yoz ,坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数),,(,),,(,),,(z y x R z y x Q z y x P 在分片光滑的曲面∑上连续,
(1)设分片光滑的曲面∑关于xoy 坐标面对称,且∑在xoy 上半空间的部分曲面1∑取上侧,在xoy 下半空间的部分曲面2∑取定下侧,则
()()()()1
0,,,,,d d 2,,d d ,,,R x y z z R x y z x y R x y z x y R x y z z ∑∑??=???????关于是偶函数,关于是奇函数.
(2)设分片光滑的曲面∑关于yoz 坐标面对称,且∑在yoz 前半空间的部分曲面1∑取前侧,在yoz 后半空间的部分曲面2∑取后侧,则
()()()()1
0,,,,,d d 2,,d d ,,,P x y z x P x y z x y P x y z y z P x y z x ∑∑??=???????关于是偶函数,关于是奇函数.
(3)设分片光滑的曲面∑关于xoz 坐标面对称,且∑在xoz 右半空间的部分曲面1∑取右侧,在xoz 左半空间的部分曲面2∑取左侧,则
()()()()1
0,,,,,d d 2,,d d ,,,Q x y z y Q x y z x y Q x y z y z Q x y z y ∑∑??=???????关于是偶函数,关于是奇函数.
(4)若积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性,则
()()()()()(),,d d ,,d d ,,d d 1,,d d ,,d d ,,d d 3P x y z y z P y z x z x P z x y x y P x y z y z P y z x z x P z x y x y ∑∑∑
∑
===++????????
对称性模型 由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中,应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些规律,而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题,这种思维方法在物理学中为对称法,利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的实质,出奇制胜,快捷简便地解决问题。 对称法作为一种具体的解题方法,虽然高考命题没有单独正面考查,但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为一种重要的物理思想和方法,相信在今后的高考命题中必将有所体现。 在高中物理模型中,有很多运动模型有对称性,如(类)竖直上抛运动的对称性,简谐运动中的对称性,电路中的对称性,带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时,振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的(位移、回复力、加速度的方向相反,速度动量的方向不确定)。运动时间也具有对称性,即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等). 现将对称模型分为空间对称模型和时间对称模型 1、空间对称模型 例1:如图1所示:在离地高度是h,离竖直光滑的墙是 s处,有一个弹性小 1 球以初速度 v正对着墙水平抛出,与墙发生弹性碰撞后落到地面上,求小球落地 点与墙的距离。 【解析】:小球与墙的碰撞是弹性碰撞,碰撞前后 的动量对于墙面的的法线是对称的。如墙的另一面同一高 度有一个弹性小球以相同的速度与墙碰撞,由于对称性, 它的轨迹与小球的实际轨迹是对称的。因此碰前的轨迹与碰
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.预备知识 (1) 2.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要:本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法,给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题. 关键词:对称性;积分区城;被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract :It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords :Symmetry; Integral region; Integrated function 前言 利用对称性计算二重积分,不但可以使计算简化,有时还可以避免错误.在一般情况下,必须是积分区域D 具有对称性,而且被积函数对于区域D 也具有对称性,才能利用对称性来计算.在特殊情况下,虽然积分区域D 没有对称性,或者关于对称区域D 被积函数没有对称性,但经过技巧性的处理,化为能用对称性来简化计算的积分.这些都是很值得我们探讨的问题. 1 预备知识 对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在 定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论: 当()f x 在区间上为连续的奇函数时,()0a a f x dx -=?. 当()f x 在区间上为连续的偶函数时,0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??. 这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分. 在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的.下面,我们将此结论类似地推广到二重积分. 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足
4.群表示的理论基础和分子对称性 教学目标与学习指导 1.本章第1节讨论分子对称性。要求掌握五种对称元素和对称操作的乘积的概念。 2.本章第2节介绍群的基本知识。要求对群的基本知识有一般的了解。3.本章第3节讨论分子点群。要求掌握分子点群的确定。 4.本章第4节讨论分子对称操作的矩阵表示。要求掌握五种对称操作的矩阵表示法。 5.本章第5节讨论群表示的基及群的表示。要求对群表示的一般性质有所了解。要求掌握不可约表示和可约表示的概念以及可约表示的约化,了解特征标表。 4-1分子对称性 4-2群的基本知识 4-3分子对称操作群 4-4分子对称操作的矩阵表示(选修) 4-5群表示的基及群的表示(选修)
RPbPbR的键合性质 Y u Chen,Michael Hartmann,Michael Diedenhofen,and Gernot Frenking* Angew.Chem.Int.Ed.2001,40,No.11,2052 群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的数学。但把它的基本理论与物质结构的具体对称性相结合之后,群论就成为研究物质微粒运动规律的一种有力工具。在有关基本粒子、核结构、原子结构、分子结
构以及晶体结构等问题的理论研究和计算中经常用到群论方法。由于自然学科彼此间的交叉、渗透,在近代化学领域内,研究化学键理论和分子动力学,应用各种波谱技术等方面,群论已成为重要的工具。4-1分子对称性 对称性是物体所具有的,实施对称操作之前后不可分辨的性质。通过研究分子的对称性,一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有关性质;另一方面,也可借助于分子对称性,使求解薛定谔方程的过程大为简化。原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性,是电子运动状态及分子结构特点的内在反映。 4-1-1对称操作与对称元素 4-1-2对称操作的乘积 4-1-1对称操作与对称元素 对称操作:每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。也就是,当一个操作作用于一个分子上,所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。
对称性在积分中的应用 摘要:对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化,把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用,并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决,反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性,往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果. 关键词:积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录 一、引言 二、相关对称的定义 (一)区域对称的定义 (二)函数对称性定义 (三)轮换对称的定义 三、重积分的对称性 (一)定积分中的对称性定理及应用(二)二重积分中的对称性定理及应用(三)三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性 (一)第一曲线积分的对称性定理及应用(二)第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性 (一)第一曲面积分的对称性定理及应用(二)第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结 参考文献 谢词
一、 引言 积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义. 二、相关的定义 定义1: 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对 称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称,称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称(显然 当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称). 定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称, 称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈,则D 关于直线z y ±=对称. 注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称;平面曲线关于平行于坐标轴的直线 对称;平面曲面以平行于坐标面对称,也有以上类似的定义. 空间对称区域. 定义3:(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对 称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性. (2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同 的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性. (3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有 轮换对称性. 定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于 a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称 性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特