第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答
4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5
π?=
rad ，并且当运动开始时，角
0=?，求尺上D 点的运动方程和轨迹。
解： 已知t π?2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π=
消去时间t 得到点D 的轨迹方程为
11002002
222=+D
D y x （椭圆）
4-2 图示AB 杆长l ，以t ω?=的规律绕B 点转动，
ω为常量。而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。
解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为?sin l s x += ，?cos l y -=，即
()t l b a x ωsin ++= t l y ωc o s -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为：
2
2
2
2()1()x a y b l l
-+=+.（椭圆）
4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑
轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++=
+t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套
A 的速度和加速度为
2
20d d l x x
v t x v A +-==， 32
20d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。
4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ω?=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。
解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得
2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-??
其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式
题 4-1图
题4-2图
题4-3图
可以得到 0cos 22
2B 2
B =-+-R e t ey y ω， 解出
2
)
(4)cos 2(cos 2222B R e t e t e y --+=ωω
t e R t e ωω2
22sin cos -+= )sin 22sin (sin d d 222t
e R t
e t e t y v B B ωωωω-+-==
))sin (4sin sin 2cos (cos d d 2
322222222t e R t
e e R t e t e t v a B B ωωωωωω-+-+-==.
4-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M ，其余条件不变。试求物块上B 点的运动方程、
速度和加速度。 解：由右图所示
t e R y B ωcos +=，
t e dt
dy v B
B ωωsin -==
， t e dt
dv a B
B ωωcos 2==
. 4-6 图示a 、b 、c 三种机构，已知机构尺寸h 和杆OA
与铅直线的夹角
t ω?=，其中ω为常量，分析并比较它们的运动：
1）穿过小环M 的杆OA 绕O 轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。
2）绕O 轴转动的杆OA ，推动物块M 沿水平面滑动，求物块M 上一点的速度和加速度。 3）杆OA 绕O 轴转动时，通过套在杆上的套筒M 带动杆MN 沿水平轨道运动，求MN 上一点的速度和加速度。
a) b) c)
题 4-6图
解：经分析图a)、b) 、c) 中M 点速度和加速度相同。以O 为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴。对图在a)、 b) 、c) 中M 点都有
t h h x ω?tg
tg ?=?=，
t
h x v ωω
2
c o s == ， t t h x a ωωω32cos sin 2== .
题4-4图
题4-5图
4-7 图示滑道连杆机构。已知10.BO =m ；10.OA =m ，滑道连杆BC 绕轴B 按t 10=?的规律转动（?以rad 计）。试求滑块A 的速度和加速度。
解： 如右图所示。以B 为极点和BO 为极轴建立极坐标系，则A 点的运动方程为
()t OA 10cos 2??=ρ ， t 10=?. A 点的速度为
()t OA dt d v 10sin 20??-==
ρρ，()t OA dt
d v 10cos 20??==?ρ?， s m 22022
2==+=OA v v v ?ρ.
A 点的加速度为
()t OA t
t a 10cos 400)d d (d d 222??-=-=?
ρρρ，
()t OA t
t a 10sin 4)d d (d d 12??-==?
ρρ?. s m 4022=+=
?ρa a a .
也可以用直角坐标法求解，并求出A 点地切向和法向加速度。
4-8 如图所示，一直杆以t 0ω?=绕其固定端O 转动，其中0ω为常量。沿此杆有一滑块以匀速0v 滑动。设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O 点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）。 解： 以O 为极点，水平方向为极轴，点M 的运动方程为
t v 0=ρ， t 0ω?=
消去时间t ，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为
?ωρ0
v =
.
4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为
()m 3
2sin
t
x π
=
()m 3
4sin
4t
y π
+=，
设0=t 时，0=s ；坐标s 的起点和0=t 时点的位置一致，s 的正方向相当于x 增大的方向。试求轨迹的直角坐标方程)( x f y =、点沿轨迹运动的方程)( g t s =、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。
解：由运动方程消去t ，得轨迹方程：
42+=x y ，（22<<-x ）
题4-7图
题4-8图
0=t 时，由 t t
y x s d 3
cos
203
d d d 2
2ππ
??=
+=，积分得点的运动方程
t s 3s i n 472.4π
=；
点的速度和加速度在轨迹切线上的投影为：
()s m 3
cos 683.4t
s
v π
== ， t v
a t 3
sin 904.4π
-== ()2s m . 4-10 点沿平面曲线轨迹x
e y =向x 、y 增大的方向运动，其中x 、y 的单位皆为m ，速度大小为常量m/s 12=v 。求动点经过m 1=y 处时，其速度和加速度在坐标轴上的投影。
解：点的切向加速度和法向加速度为
0==dt
dv
a t ， ρ2v a n =； 式中 y
y '''+=2
3
2)1(ρ， x
e x y y ==d d ， x e x y y ==2
2d d 当1=y 时， 0=x ，1=y ，1=y
有 22=ρ， o
y 45arctan '
==θ，2362
==
ρ
v a n s m
∴ 当m y 1=时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为：
2
x y v v m s === 2s m 362
2
-=-
=n x a a ，
2m 362
2
==
n y a a 4-11 如图所示，曲柄CB 以等角速度0ω
绕C 轴转动，其转动方程为t 0ω?=。通过滑块B 带动摇杆OA 转动。设h OC =
，
r CB =。求摇杆转动方程。
解：由题图所示：
()θ??tan cos sin r h r -=
由此解出杆的转动方程为 t
r h t
r 00c o s s i n a r c t a n
ωωθ-=
4-12 已知图示机构的尺寸如下：m 2021.r AM B O A O ====；AB O O =21。如轮1
O 按t π15=?（?单位为rad ）的规律转动，求当50.=t s 时，杆AB 上的点M 的速度和加速度。
解： 点M 与点A 有相同的速度和加速度， 即
m 42.92.015=?===πωr v v M A 222m 15.4442.0)15(=?===πωr a a M A
题4-11图
4-13 机构如图所示，假设AB 杆以匀速u 运动，开始时0=?。试求当4
π
?=时，摇杆
OC 的角速度和角加速度。 解：
OC 杆转角?满足l
vt
=
?tan ， 对时间t 求导得 ??
2cos l v = ，??? 2sin l
v -= 将 4
π
?=
代入得
2v
l
ω=， 222v l α=-.
负号表示α与?方向相反。
4-14 纸盘由厚度为a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v 拉纸条。求纸盘的角加速度（以半径r 的函数表示）。
解： 设纸盘在t=0时刻的初始半径为R ，则在t 时 刻纸盘减少的面积为
a v t r R =-2
2
ππ ωr v = 将以上两式分别对时间求导，得
av dt dr
r
=-π2 dt
d r
dt dr ω
ω+=0 纸盘的角加速度 3
2
2r av dt d πωα==.
4-15 图示滚子传送带，已知滚子的直径0.2m =d ，转速为50r/min =n 。求钢板在滚子上无滑动运动的速度和加速度，并求在滚子上与钢板接触点的加速度。 解：
设钢板上的'
M 点与滚子上的M 点接触，钢板平动速度
s m nd
v v v M M /524.060
22'=?=
==π 钢板加速度 0==dt
dv
a
滚子上M 点的加速度
0M =τ
a ， 22n M
s m 74222/.d
m v a
==
题4-13图
题4-14图
题4-15图
4-16 图示机构中，杆AC 以匀速0v 沿水平导槽向右运动，通过滑块A 使杆OB 绕O 轴转动。已知O 轴与导槽相距h 。试求杆OB 的角速度和角加速度。
解： OA 杆转角?满足h
t
v 0tan =?， 对时间t 求导得
??
20cos h v = ，??
2sin 0h
v
-= ? 其中
2
2
02
2
2
cos t v h h +=?
，
2
202022sin t
v h ht
v +=
?
∴ 22020
t v h hv +==?ω ， 2
220
230)(2t v h t
hv +=α.
4-17 小环A 沿半径为R 的固定圆环以匀速0v 运动，带动穿过小环的摆杆OB 绕O 轴转动。试求OB 的角速度和角加速度。若l OB =，试求B 点的速度和加速度。
解： 设角ADC 为θ，由题义知
R v ?=θ
0，R v 0=θ 因D 为圆心，有角AOC =1
2
ADC ，设角AOC 为?，则OB 杆
的角速度为
0==22v
R
θ
ω?=
角加速度0=α
以O 为原点取直角坐标系，B 坐标为
??sin y ,cos x B B l l ==
B 点的速度为
l R v v R
v
l R v l 2y x 2cos y
,2sin -x
2B 2B 0B 0B =
+=?=?= ??
B 点的加速度为
l R
v a R v l R v l 2
202
B 2B 2
2
B 220B 4y x 4sin -y ,4cos -x =+=?=?=
??
题4-16图
题4-17图
4-18 长度为l OA =的细杆可绕O 轴转动，其端点A 紧靠在物块B 的侧面上。若B 以匀速0v 向右运动，试求杆OA 的角速度和角加速度。 解：
设初始位置OA 杆为垂直位置，在t 时刻OA 杆与水平线
夹角为?，由图示几何关系有 l
t
v 0cos =? 对上式求导得
,sin -0
l
v =?
? 2
1
22020
0)-(-sin - t v l v l v ==??
再求导得角加速度为
3
03
2
222
()
v t
l v t α=
-
4-19 提升重物的绞车机构如图。主动轴Ⅰ转动时，通过齿轮传动使轴Ⅱ转动而提升重物P 。如小齿轮和大齿轮的齿数分别是1z 和2z ，鼓轮的半径是R ，主动轴Ⅰ的转动方程是
21πt =?rad ，其中t 以s 为单位。试求重物的运动方程、速度和加速度。
解： 由于 1221
z z ??= 2
1t ?π=
1212
z
z ??=
将2
1t ?π=代入上式可以得到
2
122
z t z ?π=
由于2S R ?= ，得到重物的运动方程
2
12
z z R t S π=
重物的速度和加速度分别为
122z = =
z R t v S π 1
2
2=RZ a S Z
π=
题4-19图
题4-18图
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v
吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案 一、基本概念 1．连续介质假设适用条件： 在研究流体的宏观运动时，如果所研究问题的空间尺度远远大于分子平均间距，例如研究河流、空气流动等；或者在研究流体与其他物体（固体）的相互作用时，物体的尺度要远远大于分子平均间距，例如水绕流桥墩、飞机在空中的飞行（空气绕流飞机）。 若不满足上述要求，连续介质假设不再适用。如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作用时，飞行器尺度与空气分子平均自由程尺度相当。此时单个分子运动的微观行为对宏观运动有直接的影响，分子运动论才是解决问题的正确方法。 2．（1）不可；（2）可以，因为地球直径远大于稀薄空气分子平均间距，同时与地球发生相互作用的是大量空气分子。 3．流体密度在压强和温度变化时会发生改变，这个性质被称作流体的可压缩性。流体力学中谈到流体可压缩还是不可压缩一般要结合具体流动。如果流动过程中，压力和温度变化较小，流体密度的变化可以忽略，就可以认为流体不可压缩。随高度的增加而减少只能说明密 度的空间分布非均匀。判断流体是否不可压缩要看速度场的散度V ?? 。空气上升运动属可 压缩流动，小区域内的水平运动一般是不可压缩运动。 4．没有， 没有， 不是。 5 三个式子的物理意义分别是：流体加速度为零；流动是定常的；流动是均匀的。 6 欧拉观点： (),0d r t dt ρ= ，拉格朗日观点： () ,,,0a b c t t ρ?=? 7 1）0=?ρ，2）const =ρ，3) 0=??t ρ 8 不能。要想由()t r a , 唯一确定()t r v , 还需要速度场的边界条件和初始条件。 9 物理意义分别为：初始坐标为(,)a b 的质点在任意时刻的速度；任意时刻场内任意点(,)x y 处的速度。 10 1）V s ?? ，3）V V V ?? 11 见讲义。 12 分别是迹线和脉线。 13 两者皆不是。该曲线可视为从某点流出的质点在某一时刻的位置连线，即脉线。 14 同一时刻刚体上各点的角速度相同，但流体内各涡度一般不同。 该流动流体为团的角速度：1 122k ij k j v V ayk x ωε?=??==-? 二 流线与迹线，加速度 1（1）()()121212cos sin cos sin cos sin x x y y V c t c t c t c t i c t c t j ωωωωωω=+=+++
大学物理 第3章刚体和流体 选择题 一、选择题 1.一飞轮从静止开始作匀加速转动时,飞轮边缘上一点的法向加速度n a 和切向加速度ιa 的值怎样? [](A)n a 不变,ιa 为0 (B)n a 不变,ιa 不变(C)n a 增大,ιa 为0 (D)n a 增大,ιa 不变2.当飞轮作加速转动时,飞轮上到轮心距离不等的二点的切向加速度ιa 和法向加速度n a 是否相同? [](A)ιa 相同,n a 相同 (B)ιa 相同,n a 不同(C)ιa 不同,n a 相同 (D)ιa 不同,n a 不同3.下列各因素中,不影响刚体转动惯量的是[](A)外力矩(B)刚体质量 (C)刚体质量的分布(D)转轴的位置 4.关于刚体的转动惯量,以下说法中错误的是 [](A)转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 (B)转动惯量是刚体的固有属性,具有不变的量值 (C)转动惯量是标量,对于给定的转轴,刚体顺时针转动和逆时针转动时,其转动惯 量的数值相同 (D)转动惯量是相对量,随转轴的选取不同而不同 5.两个质量分布均匀的圆盘A 和B 的密度分别为A 和B ,如果有A ＞B ,但两圆盘的总质量和厚度相同．设两圆盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B ,则有: [](A)J A ＞J B (B)J A ＜J B (C)J A ＝J B (D)不能确定J A 、J B 哪个大 6.如图3-1-6所示，一均匀圆环质量为m ,内半径为R 1,外半径 为R 2,圆环绕过中心且垂直于圆环面的转轴的转动惯量是 [](A))(212122R R m -(B))(212122R R m +1R 2 R
《流体力学》习题三 一选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分） 1．温度升高，空气的黏度系数：( B ) A．减小 B．变大 C．不变 2．流体黏度系数的国际单位：( D ) A．m2/s B．N/m2 C．kg/m D．N?s/m2 3．通过一个曲面上的体积流量与( B )有关。 A．切向速度 B．法向速度 C．密度分布 D．压强 4．恒定流是：( B ) A．流动随时间按一定规律变化 B．各空间点上的要素不随时间变化C．各过流断面的速度分布相同 D．迁移加速度为零 5．一维流动限于：( C ) A．运动参数不随时间变化的流动 B．速度分布按直线分布C．运动参数可视为一维空间坐标和时间坐标的函数 D．流线是直线6．一维流动的连续性方程VA=C成立的必要条件：( D ) A．理想流体 B．黏性流体 C．可压缩流体 D．不可压缩流体 7．均匀流是：( B ) A．当地加速度为零 B．迁移加速度为零 C．向心加速度为零 D．合加速度为零 8．平面流动具有流函数的条件是：( D ) A．理想流体 B．无旋流动 C．具有速度势 D．满足连续性方程 9．在( C )流动中，流线和迹线是重合的。 A．无旋流动 B．有旋流动 C．恒定流动 D．非恒定流动 10．流体微团的运动和刚体运动相比，多了一项( C )运动。 A．平移 B．旋转
C．变形 D．加速 11．变直径管，直径d1=320mm，d2=160mm，流速V1=s。则V2为：( C ) A．3m/s B．4m/s C．6m/s D．9m/s 12．流线与流线在通常情况下：( C ) A．能相交，也能相切 B．仅能相交，但不能相切 C．仅能相切，但不能相交 D．既不能相交也不能相切 13．欧拉法( B )描述流体质点的运动。 A．直接 B．间接 C．不能 D．只在恒定时能 14．非恒定流动中，流线与迹线：( C ) A．一定重合 B．一定不重合 C．特殊情况下可能重合 D．一定正交 15．一维流动中“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件：( D ) A．理想流体 B．黏性流体 C．可压缩流体 D．不可压缩流体 16．速度势函数存在于( B )流动中。 A．不可压缩流动 B．处处无旋 C．任意平面 D．平面连续 17．速度势函数和流函数同时存在的条件：( C ) A．二维不可压缩连续流动 B．二维可压缩连续流动 C．二维不可压缩连续且无旋流动 D．三维不可压缩连续流动 18．如果忽略流体黏性效应，不需要考虑哪一个相似准则( D ) A．弗劳德数 B．斯特劳哈尔数 C．马赫数 D．雷诺数 19．圆管湍流过渡区的沿程摩阻因数：( C ) A．与雷诺数有关 B．与管壁相对粗糙度有关 C．与雷诺数和管壁粗糙度均有关 D．与雷诺数和管长有关 20．两根直径相同的圆管，以同样的速度输送水和空气，不会出现( A )情况。
6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
理论力学-刚体的平面运动
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第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 ( ) ２．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ) 3．刚体作平面运动时,平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 ( ) 4.某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 ( ） 5.刚体作平面运动,若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ) ６．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动,则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 ( ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ) 二、选择题 １．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动,已知B 端的速度为B u ,则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。 ①ｕB si ｎθ; ②u B cos θ； ③ｕＢ/sin θ； ④u Ｂ/cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中,齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r １和r 2，曲柄ＯA 以匀角速度ω0逆时针转动,则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为 。 ①ω１r =（r 2/ r 1)ω0（逆钟向）; ②ω1ｒ＝(r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1ｒ=［（r 2＋ r １）／ r 1] ω0(逆钟向)； ④ω1r ＝[(ｒ2＋ r 1)/ r 1］ ω０（顺钟向)。 3.一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A 、B 、C 、D 的速度方向如图(a ）、图(b)所示,则图(a)的运 动是 的，图（b)的运动是 的。 ①可能; ②不可能; ③不确定。
刚体的平面运动 刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。 一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =? （2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===?ω α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示 速度： r v ?=ω （7－1） 加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2） 其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： θ ω =， （7－3） θω α == （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(), (321t f t f y t f x A A ===? （7－5） 其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 图7－1 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。
习 题 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 图8-28 t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos 8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。 图8-29 3/32gh v A = 3/22 gh v A = 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =? 8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。 图8-30 瞬心法 θ θθθ ωcos sin cot sin 2R v R v AI v A = = = 基点法 θsin v v CA = θθ θθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA = == 8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的 齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。 图8-31 AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 22 1-= ω OB B O v v v += 2 2 12v v r v v O += +=ω 8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。 图8-32
刚体的平面运动作业1参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。
3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。
第1章绪论 选择题 【1.1】按连续介质的概念，流体质点是指：（a）流体的分子；（b）流体内的固体颗粒；（c）几何的点；（d）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。 （d） 【1.2】与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a）切应力和压强；（b）切应力和剪切变形速度；（c）切应力和剪切变形；（d）切应力和流速。 解：牛顿内摩擦定律是 d d v y τμ = ，而且速度梯度 d d v y是流体微团的剪切变形速 度d d t γ ，故 d d t γ τμ = 。 （b） 【1.3】流体运动黏度υ的国际单位是：（a）m2/s；（b）N/m2；（c）kg/m；（d）N·s/m2。 解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m2。（a）【1.4】理想流体的特征是：（a）黏度是常数；（b）不可压缩；（c）无黏性；（d）符 合 RT p = ρ。 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。（c）【1.5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a）1/20 000；（b）1/1 000；（c）1/4 000；（d）1/2 000。 解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约 95 d1 d0.510110 20 000 k p ρ ρ - ==???= 。（a）【1.6】从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a）能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（b）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。 解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。 （c） 【1.7】下列流体哪个属牛顿流体：（a）汽油；（b）纸浆；（c）血液；（d）沥青。
一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有6个速度瞬心，其中3个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。 ？ 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 P直接标注在图上)。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij
> " 12 三、 在图a 所示的四杆机构中，l AB =60mm,l CD =90mm ， l AD =l BC =120mm ， ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： : a ) 24） （P 13） P P 23→∞
第3章 连续物体的运动 一 基本要求 1 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系。 2 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律。 3理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。 4理解刚体定轴转动的转动动能概念，能载有刚体绕定轴转动的问题中正确的应用机械能守恒定律。 5了解流体的特点，掌握理想流体的概念。 6掌握理想流体的连续性方程和伯努利方程。 7了解伯努利方程的应用。 二 基本概念 1连续介质 在宏观力学的范围内如果能忽视物体内部的不连续性，把物体看作质量连续分布的质点系。 2刚体 大小和形状的变化可以忽略的连续介质。 3F 对定轴Z 的力矩：力F 的大小与O 点到力F 的作用线的垂直距离的d （力臂）乘积。 sin M Fd Fr θ== 或 M =r ×F 4转动惯量 转动惯量是描述刚体在转动中惯性大小的物理量。对于质点系的转动惯量1n i i i J m r ==?∑ 。如果物体的质量是连续分布的，上式可写为 2J r dm =? 。 5 质点的角动量 质点m 对固定点O 的位矢为r ，质点m 对原点O 的角动量为 m =?=?L r p r υ 6 冲量矩 力矩和作用时间的乘积，记作2 1 t t t ?Md 。
7刚体定轴转动的角动量 21n i i i m r ==∑L ωJ =ω 8力矩的功 W Md θ =? 9力矩的功率 dW Md P M dt dt θ ω=== 10刚体的转动动能 2 21 ωJ E k ＝ 11流体 处于液态和气态的物体的统称。特点是物体各部分之间很容易发生相对运动，即流动性。 12理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。 13定常流动 流体流经空间任一给定点的速度是确定的，并且不随时间变化。在流速较低时定常流动的条件是能够得到满足的。 14流线 为了形象地描述流体的运动, 在流体中画出一系列曲线,使曲线上每一点的切线方向与流经该点流体质点的速度方向相同, 这种曲线称为流线。 15流管 在定常流动中,通过流体中的每一点都可以画一条流线。由流线围成的管状区域, 就称为流管。 16流量 单位时间内流过某一截面的流体体积, 称为流体流过该截面的体积。 三 基本规律 1刚体定轴转动角量与线量的关系R υω= a τ=R α n a = R 2ω 2转动定律 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，M J α=。 3相加性原理 对同一转轴而言，刚体总转动惯量等于各部分转动惯量之和。 4平行轴定理 质量为m 的刚体对过它质心的轴的转动惯量是c J ,如果有另一轴
第三章 流体运动学 复习思考题 1. 用欧拉法表示流体质点加速度a 等于 C 。 (A) t u ?? (B) u u )(?? (C) u u t u )(??+?? (D) u u t u )(??-?? 2. 恒定流是流场中 C 的流动。 (A) 各断面流速分布相同 (B) 流线是相互平行的直线 (C) 运动要素不随时间而变化 (D) 流动随时间按一定规律变化 3. 一元流动是 A 。 (A) 运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数 (B) 速度分布按直线变化 (C) 均匀直线流 (D) 流动参数随时间而变化 4. 均匀流的 B 加速度为零。 (A) 当地 (B) 迁移 (C) 向心 (D) 质点 5. 在 A 流动中，流线和迹线重合。 (A) 恒定 (B) 非恒定 (C) 不可压缩流体 (D) 一元 6. 连续性方程表示流体运动遵循 C 守恒定律。 (A) 能量 (B) 动量 (C) 质量 (D) 流量 7. 水在一条管道中流动，如果两断面的管径比为d 1/d 2 =2，则速度比v 1/v 2= D 。 (A) 2 (B) 1/2 (C) 4 (D) 1/4 8. 流体微团 C 。 (A) 具有规则的几何形状 (B) 质量大小不受限制 (C) 是由大量流体质点组成的微小质团 (D) 是质量、体积均可忽略的微元 9. 流体微团运动的基本形式包括 D 。 (A) 平移和旋转 (B) 平移和变形 (C) 旋转和变形 (D) 平移、旋转和变形 10. 流体旋转角速度是 B 。 (A) 标量 (B) 矢量 (C) 既不是标量，也不是矢量 (D) 二阶张量 11. 速度场的旋度和旋转角速度的关系是 B 。 (A) 相等 (B) 旋度等于旋转角速度的两倍 (C) 旋度等于旋转角速度的一半 (D) 没有一定关系 12. 流体作有旋运动的特征是 C 。 (A) 流体质点运动轨迹是圆形 (B) 旋转角速度矢量的三个分量都不等于零 (C) 速度场的旋度不等于零 13. 速度势只存在于 C 。 (A) 不可压缩流体流动中 (B) 可压缩流体流动中 (C) 无旋流动中 (D) 有旋流动中 14. 流动无旋的等价命题是： B 。 (A) 流动是均匀流 (B) 速度场有势 (C) 流线为互相平行的直线 (D) 流体微团没有变形 15. 什么是流线与迹线，二者有什么区别？在什么条件下流线与迹线重合，为什么？ 16. 什么是恒定流与非恒定流？举例说明之。 17. 流体速度分解定理与刚体速度分解定理有什么区别？ 18. 流体的旋转角速度与刚体的旋转角速度有何异同？ 19. 均匀流与非均匀流、渐变流与急变流的过水断面有何不同？ 20. 过水断面、平均流速和流量三者的关系是什么？
刚体平面运动习题 第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度 加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？
蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，
第1章 绪论 选择题 【1.1】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒； （c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。 （d ） 【1.2】 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切应力和剪切变 形速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。 解：牛顿内摩擦定律是 d d v y τμ =，而且速度梯度d d v y 是流体微团的剪切变形速度 d d t γ，故d d t γ τμ=。 （b ） 【1.3】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m 2 /s ；（b ）N/m 2 ；（c ）kg/m ；（d ）N·s/m 2 。 解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m 2 。 （a ） 【1.4】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p =ρ 。 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 （c ） 【1.5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ） 1/1 000；（c ）1/4 000；（d ）1/2 000。 解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约 95d 1 d 0.51011020 000k p ρ ρ -==???= 。 （a ） 【1.6】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时 不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c ）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d ）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。 解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。 （c ） 【1.7】下列流体哪个属牛顿流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。 解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （a ） 【1.8】 15C o 时空气和水的运动黏度6215.210m /s υ-=?空气，621.14610m /s υ-=?水，这说明：在运动中（a ）空气比水的黏性力大；（b ）空气比水的黏性力小；（c ）空气 与水的黏性力接近；（d ）不能直接比较。 解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有 关，因此它们不能直接比较。 （d ） 【1.9】 液体的黏性主要来自于液体：（a ）分子热运动；（b ）分子间内聚力；（c ）易变形 性；（d ）抗拒变形的能力。解：液体的黏性主要由分子内聚力决定。 （b ）第 2章 流体静力学 选择题：
第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 （ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 （ ） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 （ ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ） 二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动， 已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。 ①u B sin θ； ②u B cos θ； ③u B /sin θ； ④u B /cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定 不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度ω0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相 对角速度ω1r 应为 。 ①ω1r =（r 2/ r 1）ω0（逆钟向）； ②ω1r =（r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（逆钟向）； ④ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（顺钟向）。
3．一正方形平面图形在其自身平面内运动， 若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图 （b）所示，则图（a）的运动是的， 图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示O1A杆与O2B杆的角速 度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时， 有。 ①ω1=ω2，ε1=ε2； ②ω1≠ω2，ε1=ε2； ③ω1=ω2，ε1≠ε2； ④ω1≠ω2，ε1≠ε2。 三、填空题 1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只 滚不滑）作；杆BC作； 杆CD作；杆DE作。 并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬 心。 2．试画出图示三种情况下，杆BC中点M的 速度方向。
流体力学习题和解答 中国海洋大学海洋环境学院 流体力学教研室
习题一 场论和张量代数 1．证明 ()n n n n ??=?rot ,其中是大小相等方向可变的矢量。 2．证明n a n a n a ??-?=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。 3．用两种方法证明()()???=-??-??+a b a b a b a b a b rot +rot div 。 4．.有一张量P ，将其分解为对称的和反对称的两部分，并以ω表示相当于反对称部分的 矢量。试证 u P P u u V V V ??-??=-??()()()2ω， 其中u 及V 为任意矢量。 5．.张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立： a a ??=()P 0 习题二 流体运动描述 1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转， （1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场； （2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律； （3）试分析流场的流线和轨迹； （4）试求流体质点的加速度； （5）用极坐标解此题。 2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定： （1）流场内任一质点的加速度
（2）给出 t=0时刻位于x=0 点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。 3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么? 4． 设流场为：2u xt =，2 v yt =，0=w 。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。 5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。试求：0t = 时 经过点(),,M a b c 的流线及t=0时经过该处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。 6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： C v Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。 7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。 8． 设流场的速度分布为： ，，，02222=+=+-=w y x kx v y x ky u 其中 k 为常数，试求流线、轨迹和流体质点的加速度，并用极坐标解上题。 9． 试证明由直角坐标系到极坐标系和由极坐标系到直角坐标系速度的变换公式如下： ???-=+=θθθθθ sin cos cos sin u v v u v v r ???+=-=θ θθθθθcos sin sin cos v v v v v u r r 10． 已知流体运动的速度大小和流线的方程分别为22y x V +=和 =-22y x constant ，试求速度场两速度分量。 11． 已知二维流动：y v x u -==,，试求流线方程和通过点（2，3）的流线。
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：
流体力学习题 习题一 场论和张量代数 1．证明 ()n n n n ??=?rot ,其中n 为单位向量。 2．证明n a n a n a ??-?=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。
3．用两种方法证明()()???=-??-??+a b a b a b a b a b rot +rot div 。 4．将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量，12 i ijk jk w p ε=。试证 ()()2()P P ??-??=??u v v u w u v ， 其中u 及v 为任意矢量。 5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立： a a ??=()P 0 习题二 流体运动描述 1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转， （1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场； （2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律； （3）试分析流场的流线和轨迹； （4）试求流体质点的加速度； （5）用极坐标解此题。 2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定： （1）流场内任一质点的加速度 （2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。 3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么? 4． 设流场为：2Xt u =，2 Yt v =，0=w 。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度， 并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。 5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。试求：t=0 时经 过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。 6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： C v Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。 7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。 8． 设流场的速度分布为： ，，，02 222=+=+-=w y x kx v y x ky u 其中 k 为常数，试求流线、轨迹和流体质点的加速度，并用极坐标解上题。 9． 试证明由直角坐标系到极坐标系和由极坐标系到直角坐标系速度的变换公式如下：