学案7 直线的标准参数方程及一般参数方程互化及应用 教学目标：
1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；
2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；
3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 教学重点：熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化
教学难点：理解参数的几何意义
教学过程
1、参数方程与普通方程的互化
例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.
解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－3
3 设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=21 1l 的参数方程为???????=-
=t y t x 21231 （t 为参数）
∣t ∣是定点M 0（1，0）到动点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.
点拨：（1）求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.
（2）你还能写出其他的参数方程吗？
例2：化直线2l 的参数方程???+=+-= t
313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，
说明∣t ∣的几何意义.
解：原方程组变形为???=-=+ (2) t
31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π 普通方程为 01333=++-y x
t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.
∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半. 提问;你能直接写出直线斜率吗？
例3: 将直线的参数方程?
??+=+= t 331y t x （t 为参数）化为标准形式
变式：13x t y =-???=??
及13x t y =+???=??
及13x t y =-???=+??如何化为标准形式
例4：直线???-=+=
20
cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 例5：已知直线l 过点P （2，0），斜率为3
4
和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，
设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|
解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为343
4 cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为?????=+=t y t x 54532（t 为参数）* ∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中， 整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个
根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝4
25- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM |＝2
21t t + ＝1615 ∵中点M 所对应的参数为t M =16
15,将此值代入直线的标准参数方程*， M 点的坐标为??
???=?==?+=4316155416411615532y x 即 M （1641，43） 例6：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；
(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π,∴直线l 的标准参数方 程为?????+-=+=3sin 333cos 1ππ
t y t x ，即???????+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：
32-=x y 得032)2
333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几 何意义可知：|t |=| PQ |,∴| PQ |=4+23.
(2) 把直线l 的标准参数方程为???????+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入圆的方程
22y x +＝16，得16)2
333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， x
Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12
根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点 A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA |,|t 2|=| PB |,
所以| PA |·| PB |=|t 1 t 2|=12
点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 课下作业
1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是2
3的直线l 的标准参数方程. 2、 直线l 的方程：???+=-=
25
cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°
3、 直线???
????+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率是( ) 4、直线l 的方程： ?
??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )
A ∣t 1－t 2∣
B 22b a +∣t 1－t 2∣ C
2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣ 5、已知直线l ：???
+-=+= t 351y t x (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点 M(1,－5)到点P 的距离.
6、直线???+-=+=t
21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( ) A 22 B
334 C 2 D 3
6 7、过点P(6, 27)的直线?????+=+=t 2726y t x (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点， 则点P 到A,B 距离之积为 .
8、直线?
??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( ) A |t 1+t 2| B |t 1|＋|t 2| C |t 1－t 2| D 22
1t t +
9、 直线??
???+-=-=t 21 1212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=
曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
2.1.2直线的方程(三)——一般式 【课时目标】 1．掌握直线方程的一般式．2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系． 1．关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B____________)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．比较直线方程的五种形式 形式方程局限 各常数的 几何意义 点斜式不能表示k不存在的直线(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率斜截式不能表示k不存在的直线k是斜率，b是y轴上的截距 两点式x1≠x2，y1≠y2 (x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定 点 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点 的直线 a是x轴上的非零截距，b是y轴 上的非零截距 一般式无 当B≠0时，－ A B是斜率，－ C B是y 轴上的截距 一、填空题 1．经过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为____________． 2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为________．3．若a＋b＝1，则直线ax＋by＋1＝0过定点________________________________．4．直线l1：2x＋y＋5＝0的倾斜角为α1，直线l2：3x＋y＋5＝0的倾斜角为α2；直线l3：2x－y＋5＝0的倾斜角为α3，直线l4：3x－y＋5＝0的倾斜角为α4，则将α1、α2、α3、α4从小到大排列排序为____________． 5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是______(填序号)．
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
三 直线的参数方程 互动课堂 重难突破 本课时重点是对直线参数方程的理解,关键是理解参数t 的几何意义,难点是应用直线的参数方程解决相关问题 一、直线参数方程的意义 相对于直线的一般方程，参数方程更能反映一条直线上点的特征.判断与其他曲线的关系时，直接代入横坐标和纵坐标对应的参数表达式，方便运算.又由于直线参数方程的标准方程中的参数有一定的几何意义，对于那些需要直接求线段长度或者求有向线段的数量值的问题会更加方便快捷 用坐标的观点理解直线参数方程中的参数，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来，特别是在求直线被圆锥曲线所截得的弦长或弦中点问题时，可以提供更广阔的思考空间；具体问题中根据实际情况可以使用参数方程的标准式和非标准式，使解题的方法灵活多样，有利于一题多解和创新思维的培养 二、直线参数方程的形式 对于同一条直线的普通方程随着参数选取的不同，会得到不同的参数方程.例如，对于直线普通方程y =2x +1，如果令x =t 即可得到参数方程?? ?+==1 2,t y t x (t 为参数)；如果令x =2t 则得到参数方程?? ?+==1 4,2t y t x (t 为参数).这样随便给出的参数方程中的参数t 不具有一定的 几何意义,但是在实际应用中也能简化某些运算. 而过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程都可以写成为?????+=+=a t y y a t x x sin , cos 00 (t 为参数)，我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 表示直线l 上以定点M 0 为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段?? →?M M 0 的数量且cos 2α+sin 2 α=1是标准参数方程的基本特征 三、直线参数方程中参数的几何意义 1.对于一般的参数方程，其中的参数可能不具有一定的几何意义，但是对于直线参数方程中的参数有一定的几何意义. 过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程都可以写成为x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量,也就是 (1)直线l 上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值,即|M 0M |=| t (2)若t >0,则M 0M 的方向向上;若t <0,则M 0M 的方向向下;若t =0,则点M 与点M 0重合. 2.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角. 根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如x =2+t y =-4+t sin20°(t 为参数)，可以直接 判断出直线的倾斜角是 但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了.例如判断直线
《参数方程和普通方程的互化》导学案3 1. 了解参数方程化为普通方程的意义. 2 ?理解参数方程与普通方程的互相转化与应用. 课标解读 3 .掌握参数方程化为普通方程的方法 知识梳理 参数方程与普通方程的互化 (1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式?一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程, |x= f t 求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数 i y= g t 方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致. 思考探究 普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参 数不同，那么所得的参数方程的形式也不同 课堂互动 |x= a+1 cos 0 , 例题1在方程y= ?+ t sin 0, （a，b为正常数）中， (1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?
(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?
非零常数时，利用平方关系消参数 0，化成普通方程，进而判定曲线形状. x = a + t cos 0 , ① 【自主解答】 方程* (a , b 是正常数)， |y = b + t sin 0 , ② (1) ①x sin 0 —②x cos 0 得 x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0. ■/ cos 0、sin 0不同时为零， ???方程表示一条直线. (2) ( i )当t 为非零常数时， 即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆. (ii)当t = 0时，表示点(a , b ). 1?消去参数的常用方法 将参数方程化为普通方程， 关键是消去参数，如果参数方程是整式方程， 常用的消元法 有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要 做必要的变形?另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e — x )2 2 x —x 2 1 — k 2 2k 2 -(e -e ) =4,("+ E=1 等. 2?把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线. 将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状: x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n ); |y = 2s in 0 r 4 4 x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2 ( 0为参数)； |y = 1 — 2sin 0 cos 0 2 2 x — a ③2+④得 —cos 0， —sin 0 . 2 y — b 2 ■=1, ④ 「X — a I t 原方程组为\ ￥
张喜林制 3. 2.3 直线的一般式方程 【教学目标】 （1）明确直线方程一般式的形式特征； （2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； （3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 【教学重难点】 重点：直线方程的一般式。 难点：对直线方程一般式的理解与应用。 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标。 1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围. 点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是 斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距 b 则直线方程是 两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2 截距式：已知直线在X 轴Y 轴上的截距为a ，b ， 则直线的方程是 2.直线的方程都可以写成关于,x y 的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？ 提示：讨论直线的斜率是否存在。 直线l 经过点P 0（x 0，y 0），斜率为k ，则直线的方程为：)(00x x k y y -=-① 当直线l 的倾斜角为90°时，直线的方程为x －x 0＝0 ② (二)预习检查、总结疑惑 任意一个二元一次方程：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）是否表示一条直线？ 当B ≠0时，上述方程可变形为：B C x B A y --= 它表示过点（0，B C - ）斜率为B A -的直线。
当B ＝0时，是一条平行于y 轴的直线。由上述可知，关于x ，y 的二元一次方程，它表示一条直线。 我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）。 （三）合作探究、精讲点拨。 探究一：方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线：（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合。 探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？ 答: 直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程 探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？ 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线。 例1.已知直线经过点(6,4),斜率为4 3 ,求直线的点斜式和一般式方程. 分析：直接用点斜式写出，然后化简。 解：所求的直线方程为： y ＋4＝－ 3 4 （x －6），化为一般式： 4x ＋3y －12＝0。 点评：对刚学的知识进行检验。 变式： 求经过A （3，-2）B （5，-4）的直线方程，化为一般式。 例2、把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它 在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。 分析：对式子变形，考察对截距的理解。 解：将直线l 的一般式方程化成斜截式： y ＝ 2 1 x ＋3 因此，直线的斜率为k ＝ 2 1 ，它在y 轴上的截距为3。 在直线方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得
《双曲线的参数方程》教学案2 一、教学目标 (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 (3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 二、教学重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、教学指导： 认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、教学过程 （阅读教材29-34完成） (一)双曲线的参数方程 1双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）?的范围__________________________ （2）?的几何意义___________________________ 2双曲线)0,0(122 22>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程
抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题 、 的轨迹方程。 ，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o A M
? + = 2 课题：参数方程与普通方程的互化 【学习目标】 1. 进一步理解参数方程的概念及参数的意义。 2. 能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型 3. 能选择适当的参数将普通方程化成参数方程 【重点、难点】 参数方程和普通方程的等价互化。 自主学习案 【问题导学】阅读课本 P24—P26，然后完成下列问题： 1. 参数方程的概念 (1) 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数t ? x = f (t ) 的函数? y = g (t ) (t ∈ D ) , 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的 ，联系变数 x 、 y 的变数 t 叫做 ，简称 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F (x , y ) = 0 叫做 。 (2) 是联系变数 x,y 的桥梁，可以是一个有 意义或 意义的 变数，也可以是 的变数。 2、 （ 1） 圆 心 在 原 点 O ， 半 径 为 r 的 圆 的 一 个 参 数 方 程 是 ； （2）圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的一个参数方程是 . 3、指出下面的方程各表示什么样的曲线： （1）2x+y+1=0 表示 (2) y = 3x 2 + 2x +1 表示 2 (3) x y 1表示 9 4
t ? (4) ?x = cos + 3(为参数) 表示 ? y = sin 【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ ?x = t +1 ?x = 2 c os 1、? y = 1- 2t （t 为参数） 2、? y = sin （为参数） ? ? 思考： 1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？ 2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？ 合作探究案 考向一、参数方程化普通方程 例 1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 （1） ??x = ? + 1 ?x = sin + cos （t 为参数） （2） ? y = 1 + sin 2 （为参数） ?? y = 1 - 2 ? 小结： t
极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )
【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、
参数方程的概念学案 第八大周 年级：高二 学科：数学（文） 主备人：张淑娜 审核人：王静 【学习目标】1.理解曲线参数方程的概念，体会实际问题中参数的意义； 2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。 【学习重点】曲线参数方程的定义及求法 【学习难点】曲线参数方程的探求。 一、【课前预习】 引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？ 思考交流：把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方 程进行比较，体会参数方程的作用。 二、【新知探究】 1、参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y ）都是某个变数t 的函数 ??? ，并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数x,y 的变数t 叫做____________,简称________。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。 2、关于参数几点说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 3、求曲线的参数方程的一般步骤。 （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 三、【预习检测】 1、曲线2 1,(43x t t y t ?=+?=-? 为参数）与x 轴的交点坐标是( ) A 、（1，4） B 、25(,0)16± C 、25(,0)16 D 、(1,3)- 2、方程sin ,(cos x y θθθ=??=? 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A 、（2，7） B 、12(,)33 C 、11(,)22 D 、（1，0）
《直线的参数方程》导学案 紫云民族高级中学高二数学组 学习目标： 1、了解直线的参数方程及参数的的意义 2、能选取适当的参数，求直线的参数方程 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 一、回忆旧知，做好铺垫 1.→a 与→b 共线向量的充要条件是什么？________________________ 2.直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 3.什么是单位向量？________________________ 4.斜率存在且为k 的直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 5.倾斜角为α的直线l 的单位方向向量怎样表示?________________________ 6直线方程的有几种形式？ 二直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为 ??? ??≠2παα 的直线l 的 普通方程是________________________; 合作探究：过定点0M ),(00y x ,倾斜角为α的直线l 的参数方程如何建立？
得出结论：定点 ) ,(000y x M 倾斜角 α直线的参数方程为 观察直线的参数方程，知道那些量可以把直线的参数方程写出来？ 练一练 1.写出满足下列条件直线的参数方程： （1）过点（2,3）倾斜角为4π （2）过点（4,0）倾斜角为32π
知识探究一： 由 t M 0 ,你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何 意义吗？ 知识探究二： 如图所示：请讨论参数t 的符号； 利用t 的几何意义，如何求过M0直线上两点AB 的距离？ 点A,点B 在M0同侧点A,点B 在M0异侧 e
第三章直线与方程 3.2 直线的方程 第二课时直线的一般式方程 【使用说明及学法指导】 1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的 基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，在理解本节 内容的基础上迅速完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写 到后面“我的疑惑”处. 【学习目标】 1.明确直线方程一般式的形式特征； 2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； 3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 【预习案】 一、预习教材，找出疑惑之处 复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程. ⑵在x轴上截距为1 -，在y轴上的截距为3的直线方程. ⑶已知点(1,2),(3,1) A B，则线段AB的垂直平分线方程是. 复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？ 斜率是______，倾斜角是______，在y轴 上的截距是______的直线. 4．已知直线l经过两点12 (1,2),(3,5) P P,求直 线l的方程. 【我的疑惑】_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【探究案】 新知：关于,x y的二元一次方程 Ax By C ++=（A，B不同时为0）叫做直 线的一般式方程，简称一般式（general form）． 注意：直线一般式能表示平面内的任何一条 直线 问题1：直线方程的一般式与其他几种形式 的直线方程相比，它有什么优点？ 问题4：在方程0 Ax By C ++=中，,, A B C为 何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵ 平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合. ※典型例题 例1 已知直线经过点(6,4) A-，斜率为 1 2 ， 求直线的点斜式和一般式方程. 例 2 把直线l的一般式方程260 x y -+=化 成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴 与y轴上的截距，并画出图形. 变式：求下列直线的斜率和在y轴上的截 距，并画出图形⑴350 x y +-=；⑵ 1 45 x y -=；⑶20 x y +=；⑷7640 x y -+=； ⑸270 y-=. ※动手试试 练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且 化成一般式： ⑴斜率是 1 2 -，经过点(8,2) A-； ⑵经过点(4,2) B，平行于x轴； ⑶在x轴和y轴上的截距分别是 3 ,3 2 -； ⑷经过两点 12 (3,2),(5,4) P P --.
参数方程(教案)A 一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页) 1、曲线的参数方程的概念: 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数() () x f t y g t =?? =?①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程. (2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方 程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么() () x f t y g t =?? =?就是曲线的参数方程,在 参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数方程 设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ =?? =?为参数。 这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-=， 它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ θθ=+??=+? 为参数。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为
河北省二十冶综合学校高考数学总复习 直线的一般式方程学案 学习目标： （1）明确直线方程一般式的形式特征. （2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距. （3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 学习重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法. 学习难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系. 预习内容： 复习回顾 1.几种方程：①点斜式： . ②斜截式： . ③两点式： . ④截距式： . 2.写出下列直线方程 ① 过点A(2,-1)、B(0,3)； . ② 在x 、y 轴上截距分别是－4、3； . ③ 过点(－1, )，倾斜角是135°； . ④ 斜率是 ，y 轴上截距是－2； . ⑤ 过点(3,-5)，平行于x 轴； . 学习探究：直线方程的一般形式： 讨论1：是否所有直线都可写成y ＝kx ＋b 的形式？α＝90°时直线方程是怎样的？两种形式与Ax ＋By ＋C ＝0有何联系？ 结论： 。 讨论2：Ax ＋By ＋C ＝0能否都化成y ＝kx ＋b 的形式？B ＝0时表示什么图形？ 结论： 。 新知：直线的一般式方程的定义： 把关于x ，y 的二元一次方程 （ ）叫做 ，简称 。 思考：在方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线 ①平行于x 轴； 。 ②平行于y 轴； 。 ③与x 轴重合； 。 ④与y 轴重合； 。 ⑤过原点的直线； 。 例1、已知直线L 过点A(-6,4)，斜率为3 4 ，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。
练习1、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： ⑴ 斜率是12 -，经过点(8,2)A -； . ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； . ⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32 -； . ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --； . 例2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。 练习2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程 学后反思
2.4一些常见曲线的参数方程 [对应学生用书P37] [读教材·填要点] 1．摆线的概念 一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线． 2．渐开线的概念 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． 3．圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)摆线的参数方程：??? ?? x ＝a t －sin t ， y ＝a －cos t . (2)圆的渐开线方程： ? ?? ?? x ＝a t ＋t sin t ，y ＝a t －t cos t . [小问题·大思维] 1．摆线的参数方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆滚动时转过的角度． 2．渐开线方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指基圆的半径，参数t 是指OA ―→和x 轴正向所成的角(A 是绳拉直时和圆的切点)． [对应学生用书P38] [例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程． [思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．
[精解详析] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0， 由于a >0， 即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝ 1 k π (k ∈Z )． 又a >0，所以a ＝ 1 k π (k ∈N ＋)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1 π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ????? x ＝1πt －sin t ， y ＝1π －cos t (t 为参数)． 由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径． 1．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程． 解：x M ＝r ·θ－r ·cos(φ＋θ)－π 2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ? ?? ??φ＋θ－π2＝r [1－cos(φ＋θ)]．
三维目标: 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 学习重点：参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义。 学习难点：如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。 知识链接: 我们学过的直线的普通方程都有哪些? 学习过程: 问题1已知一条直线过点),(000y x M ,倾斜角α,求这条直线方程。 问题2在直线l 上，任取一个点M (x ,y )，求0M M 坐标。 问题3试用直线l 的倾斜角α表示直线l 的方向单位向量e 。 问题4设0M M t =，则e 与0M M 具有什么位置关系？用t 能否表示出这种关系。 问题5通过坐标运算，用),(000y x M ，α，t 把在直线l 上，任取一点M (x ,y )的坐标表示出来 即过定点00M (x ,y )倾斜角为α的直线的参数方程： 问题6在直线l 的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？ 问题70,M M te l t =由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？ 问题8参数t 的取值范围是什么？分别代表什么含义？ 练习:A1、直线?????=+=0020 cos 20sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是( ) A, 020 B, 070 C, 0110 D, 0 160 A2、求直线01=-+y x 的一个参数方程。
x θ y M 圆与椭圆的参数方程导学案 教学目标： 知识与技能：了解圆与椭圆的参数方程及参数的的意义； 过程与方法：能选取适当的参数，求圆与椭圆的参数方程，利用参数方程求最值； 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 教学重点：圆、椭圆参数方程的定义与应用. 教学难点：选择适当的参数写出圆、椭圆的的参数方程，并利用其求最值. 问题1.回顾圆的标准方程 . 问题2.推导圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程： 在圆上任取点(,)M x y ，试用θ表示x 与y ： 其中参数θ的几何意义为： . 问题3. 怎样得到圆心在1(,)O a b ,半径为r 的圆的参数方程? 问题4.圆的参数方程的应用： 1.圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0） 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程. 2. 已知(,)P x y 是圆C ：2264120x y x y +--+=上的点。 （1）求x y -的最大值与最小值； （2）求22x y +的最大值与最小值. （3）求 y x 的最小值与最大值；
问题5: 你能仿照圆的参数方程猜想出椭圆 的参数方程吗？ 如下图，以原点为圆心，分别以,(0)a b a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，半径OA 绕点O 旋转，（1）试用半径OA 的旋转角?表示出点M 的横纵坐标x ，y ，由此得参数方程； （2）试消掉（1）中的参量?，得出点M 的轨迹方程。 问题6: 你能仿照问题5写出椭圆 （0a b >>）的参数方程吗？ 问题7：椭圆 的参数方程为 的几何意义是什么？ 1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ） 2.?称为离心角，规定参数?的取值范围是 问题8:椭圆的参数方程的应用： 在椭圆2288x y +=上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小.(可以选择不同的解法) ?,,b a )0(122 22>>=+b a b y a x 其中为参数)(sin cos ?? ????==b y a x )0 (12222>>=+b a b y a x O A M x y N B 122 22=+a y b x
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A 版必修 2 一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一 般式与直线其它方程形式之间的关系. 二．重点、难点： 重点： 难点： 三．知识要点： 1. 一般式（general form ）：，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程， 表示斜率为，y 轴上截距为的直线. 2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的 直线可写为. 经过点，且平行于直线l 的直线方程是； 经过点，且垂直于直线l 的直线方程是. 3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以 如下判别： （1）； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ?-=-≠； （3）与重合122112210,0A B A B AC A B ?-=-=； （4）与相交. 如果时，则；与重合；与相交. 四．自主探究 例题精讲： 【例1】已知直线：，：，问m 为何值时： （1）； （2）. 解：（1）时，，则，解得m ＝0. （2）时，, 解得m ＝1. 【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式. （2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式. 【例3】已知直线l 的方程为3x+4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线 的方程． 分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x+4y －12=0的斜率为， ∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为， 又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即. 点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率 及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再 化简而得. 【例4】直线方程的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质? （1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在 直线；（5）是y 轴所在直线. 分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交. （4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线. 点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方