某高校《高等几何》期末考试试卷
(120分钟)
、填空题(2分12=24分)
1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；
2、直线X! 5x2 0上无穷远点坐标为：(5, -1, 0)
3、已知(I1I2I I4) 3,则(昭,") 3 (I1G I2I4) -2
4、过点A(1, i ,2)的实直线的齐次方程为：2x1 X3 0
5、方程uf 5U1U2 6u；0表示的图形坐标(1,2,0 (1,3,0
&已知OX轴上的射影变换式为x'丝」，则原点的对应点-丄
x 3 --------- 3——
7、求点(1, 1,0)关于二阶曲线3x； 5x| x f 7XM2 4x1X3 5x2X3 0的极线方程
为3x2 6x3 0
8、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则A(BC, DE)= -1
9、一点列到自身的两射影变换a)：1 2，2 3，3 4 ；b): 0 1，2 3，1 0其中为对合的是：b
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11、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应10、求射影变换’2 1 0的自对应元素的参数1
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12、直线 2x i X 2 X 3
0上的三点 A(1,3,1)，B(2,5,1)，C(1,2,0)的单比(ABC)=
1
、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的:
将它们代入射影对应式并化简得,
X-|X 2 2X 2X 3 X-|X 3 x ：
此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次 曲线。（10
分）
证明：三点形ABC 和三点形ABC 内接于二次曲线（C ），设
AB BC =D
AB A C =E
AB BC=D
AB
AC= E ，
则 C (A,B ,A,B) C(A,B ,A,B) 所 以，
=
_ =
(A,D,E,B) C (A,B ,A,B) C(A,B ,A,B) (E,B,A,D ) 即 (A, D,E,B)— (E ,B ,A,D )
X i
X 3
0 与 x 2
'x 3 0 且
解：射影对应式为
0。
由两线束的方程有:
x X 3
X 2
。 X 3
11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应
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解设所求为
a +
b （ + ）+d=0 ①
将对应参数代入得：
1
1
-a+（ 1 + —）b+d=0 ② 2 2 （0+2） b+d=0
③
从①②③中消去a,b,d 得
这两个点列对应点的连线 AC , CB , C A ,BC 连同这两个点列的底 AB ,
A B 属于同一条二级曲线（C ）,亦即三点形ABC 和三点形ABC 的边外切一条二 次曲线。
四、已知四直线 11,12,13,14的方程顺次为 2X I -X 2 + X 3=0， 3x i + X 2-2X 3 =0, 7X I -X 2=0，
5X I -X 3=0,求证四直线共点，并求（1121314 ）的值。（10分）
解：因为
2 =0 且 7
2
0 =0 1
所以11 , 12 , 13 , 14共点。四直线与X 轴（X 2 =0）的交点顺次为
1 2
A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5)，齐次坐标为 A(-
— ,0),B(— ,0),C(0,0),D(5 ,0),
所以
(0
(1112,1314)=( AB ，CD )=—
(0
五、求两对对应元素，其参数为 1
1
-，0
2，所确定的对合方程。 2
(10 分)
LAAP
M ,Q, A 5 A
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1 1 =0
1
即 +
+ -2=0为所求
六、 求直线 3x 1 x 2 6x 3=0 关于 x 1 x ； 2x 1 x 2 +2 x 1 x 3-6x 2x 3 =0 之极点。(12分) 解：设p o
( X °,x 2,X ° )为所求，贝U
1 1 1 X 10
3
0 1 1 3 X 2 = 1 0
1
3 0 X 3
6
解线性方程组
0 0 0
X 1 X 2 X
3 3
0 0 0 X 1
X 2 3X 3
1
0 0 X 1
X
2
6
得X 1 3，X 2 1，X 3 1,即(3, -1, -1)为所求极点的坐标
七、 叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。(12分)
定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对应边的交点在同一直线上。 证明：设简单六点形A 1A 2A 3A 4A 5A 6，其三对对边的交点分别为L , M , N ,
L= AA 2 A 4A 5, M= A 2A 3 氏A , N= A 3A 4 A 6A 1 以 A 1, A 3为中心，分别连接
其他四点，则由定理得到 A 1 A 2A 4A 5A 6 — A3 A 2A 4A 5A 6
设 A 1A 2 A 4A 5 P , A 5A 6 A 3A 4 Q
则 A 1 A 2A 4A 5A 6
L, A 4, A 5 P , A 3 A 2A 4A 5A 6 M , Q, A 5A s
所以，L,A 4,A 5P 一 M ,Q, A 5A 6由于两个点列底的交点A 5 A 5，故有
所以LM , A4Q , PA5三点共点，但A4Q PA5=N,即L , M, N三点共线
. 2 2
八、用两种方法求双曲线x 2xy 3 y 2x 4y
解：方法一
设渐近线的方程为
根据公式得
2
3k 2k 1 0
1
解之，得k1 1,k2 1,所以渐近线方程为
3
x y 1 (x 3y 2) 0
1
x y 1 (x 3y 2) 0
3
化简，得所求为
2x-2y-仁0 和2x+6y+5=0
方法
先求出中心，因为
A31 1，A32 3，A33 4
所以中心为C13
-代入公式得渐近线方程
44
22
c 1 3 c 3
o 3 °
X4 2 x y 3 y -
4 4 4 3 y 0
4
0的渐近线方程。(12 分) an* a i2X2 313X3 "弘x i a22 X2 a23 X3)
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LAAP M ,Q, A 5 A 第7页共6页
分解因式得
1 3 门 x
- y =0
4
4
1 3 x
+ 3 y
=0
4
4
化简，得所求为
2x-2y-1=0 和 2x+6y+5=0