第一章：利息的基本概念
练 习 题
1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1
(5)25 1.8
0.8
,1
25300*100
(5)300180300*100300*100(8)(64)508
180180
a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)
0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)
A A A A A A i i i A A A ---=
=====
(2)假设()()100 1.1n
A n =?，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)
0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)
A A A A A A i i i A A A ---=
=====
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5
年后的积累值。
1113
2153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120
500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97
a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+=
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1
A A i i i A ==+++?=
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12
3
4
1()
410000(3)10000(1)11956.18
4
10000(3)10000111750.08
14i a i a =+=?? ?
=+= ? ???
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()
()m m d d
i i δ<<<<。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。、
12
0.7210000(12)100001000020544.33t dt
a e e δ?===
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
(4)(2)4
1
42
12(1)(1)(1)(1)(1)
42
1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.3332658580.74556336
i i i i d i -+=+-++==?= 9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6
t t
δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
()()
20212112
21212
() 1.01()1.01, 1.432847643
t
t t
t dt
t t
a t a t e e
e t δ=?==?==
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
()()()
2
2
10.010.12
20.01*200.1*2020
4
2
3
()1()11 1.8221
t
t t
t t dt
a t i a t e e
i e
e i δ++=+?==?+==+=
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19
B. 4.04
C. 3.31
D. 5.21
(3)3*5
153(1)3*1.02 4.03763
i +==
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
A.7 225
B.7 213
C.7 136
D.6 987
(2)2*24(1) 1.03 1.12552
i +==
第二章：年金
练习题
1．证明()
n m m n v v i a a -=-。
()11()m n
n m m n v v i a a i v v i i
---=-=-
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付
10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A 。
120
12011000100079962.96(8.7%/12)
16000079962.9680037.04
v a i i
-===∴-= 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。
7
18711110.08299
a a a i i ??
=+ ?+??
∴=
4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
10
101015000112968.7123
a x a i x ??
= ?+??
∴=
5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10
1
2
v
=
，计算K 。 10
20
101010
20
1010
1110002000100011111800
A a a a i i
B Ka K a i A B K ????
=++ ? ?++??????
=+ ?+??
=∴=
6． 化简(
)1020
101a v v
++ ，并解释该式意义。
()102010301a v v a ++=
7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
510
55111000200017000113.355%
a a i i i ????
+= ? ?
++?????=
8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k 年的实际利率为
1
8k
+，计算V(2)。 112119111(2)11(1)(1)
(1)
(1)
99911011
28
V i i i i i =++++
+++++=+
++
9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
A. 1
13n
?? ??? B. 1
3n C. 13n
?? ???
D.3n
1
211
213
n n n n n a v a v v i i v ∞=-==
11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t 时的年付款率为()2
1t +,t 时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
A.52
B.54
C.56
D.58
011
25|
65
1125|65()(1)111
()()11
(1)54
1t t dt a v t t dt
v t a t t e a t dt t δ=+=
==
+??=+=+??
第三章：生命表基础
练习题
1．给出生存函数()22500
x s x e
-=，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)
50(60)
(50)
(70)(70)
70(50)
P X s s s s q s P X s s p s <<=--=
>==
2. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr ［T(60)＞5］=0.92094，求60q 。
()()
()5|605606565(66)650.1895,0.92094
(60)(60)65(66)
0.2058
(65)
s s s q p s s s s q s -=
===-∴=
=
3. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
808081
808080
0.07d l l q l l -=
== 4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
120
121
122
(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909d d d d d d s s s l l l +
++
++
+=
==
==
=
5. 如果22
1100x x x
μ=
+
+-,0≤x ≤100, 求0l =10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。
A.2073.92
B.2081.61
C.2356.74
D.2107.56
2
2211000100()1((1)(4))2081.61
x
x
x dx dx
x x
x s x e e x l s s μ-
+-
+--????=== ?+??-=
6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|201q 为
（ ）。
A. 0.008
B. 0.007
C. 0.006
D. 0.005
2221
1|2020
0.006l l q l -=
= 第四章：人寿保险的精算现值
练 习 题
1. 设生存函数为()1100
x
s x =-
(0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)：
(1)趸缴纯保费130:10
ā的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。
10
101
30:10
10
10
211
222230:1030:10
()1
()1100()10011
0.0921.17011
()()0.0920.0920.0551.2170
t x x t t
t t x x t t
t t x x t x s x t s x p s x x
A v p dt dt Var Z A A v p dt dt μμμ+++'+=-
?=-=-??=== ?
??
??=-=-=-= ?
??????
2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：4
1135
36373839234535:5
3511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06
k k x x k k d d d d d A
v p q l ++===
++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：
4
1135
36373839234535:5
3511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06
k k x x k k d d d d d A
v p q l ++===
++++=∑ 法二：1
3540
35:535
10001000
M M A D -=
查换算表1
354035:53513590.2212857.61
10001000
1000 5.747127469.03
M M A D --===
（2）
1
353535:1351
363636:1361373737:1371383838:1
38143.58
100010001000
1000 1.126127469.03144.47
100010001000
1000 1.203120110.22
145.94
100010001000
1000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D ===============1
393939:1393536373839148.050 1.389
106615.43
150.55
100010001000
1000 1.499100432.54
1000() 6.457
C p A
D p p p p p =====++++= （3）
111213141
352
353354
3535:535:136:1
37:138:1
39:
1
1
3536373839
35:5
A A vp A v p A v p A v p A A
p p p p p =++++∴<++++
3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算：
（1） 1:20
x A 。 （2） 1:10x A 。改为求1:20x A 1 120:20:201 1:20
:20:201 1
:20:20
1 1
:20:201:20 1
:200.250.40.550.050.5
x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A +?=+??=+???=+???=+???=???=?? 4． 试证在UDD 假设条件下： (1) 1
1::x n x n i
δ
=
A A 。
(2) 1
1
:::x x n n x n
i
δ
=+
āA A 。 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，()0.5,0,0.1771x q i Var z === ，试求1x q +。 6．已知，767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：1
1
30:2030:20
5000
5000RA R A =?= 其中
19
11
11
303030303030:20
30
3030303132492320
303050
30
111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D ∞
∞+++++++===+====++++
-=
∑∑∑
查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据3030313249,,,l d d d d 带入计算即可，或者i=0.06
以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表305030,,M M D 带入计算即可。 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
12320
30:2011111
(8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)(1.06)
0.017785596
281126.3727
A R =
++++== 8． 考虑在被保险人死亡时的那个1
m 年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完
整年数，j 是死亡那年存活的完整1
m
年的时段数。
(1) 求该保险的趸缴纯保费 ()
m x A 。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()
()
m x
x m i i
=
A A 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为1
1
10|3535:101500020000A A + 其中
9
9
11
11
353535353535:10
35
353535363744
231035354535111111
()1.06(1.06)(1.06)
(1.06)
13590.2212077.31
0.01187
127469.03
k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D ∞+++++++===+====++++
--=
==∑∑∑ 70
70
70
11
11
353510|
35
35353510
10
10
35
3535
454647105
111213713545351
11111
()(1.06)(1.06)(1.06)(1.06)
12077.31
0.09475127469.03
k k k k
k k
k k k k k k l
d A v
p q v
v
d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++
=
==∑∑∑ 所以趸交纯保费为1
1
10|3535:101500020000178.0518952073.05A A +=+=
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R 元。试求R 值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：1
1
50:2050:2030001500A A + 其中
19
19
19
11
11
505050505050:20
50
5050
50515269
23200505070
50
1
11111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06)
k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v
d l l l d d d d l M M D +++++++===+====++++
-=
∑∑∑ 17070
70
705050:2050
70
50
l A v p v l D D ===
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为：
303030303030
40001000()40001000M R
A IA D D +=+ 其中
75
75
751
11
3030303030300
30
30303031321052376
303030
111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d A v
p q v
v d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++
=∑∑∑
75
75
75
1
11303030
3030300
030
30303031321052376
303030
1()
(1)(1)(1)112376
()
1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d IA k v
p q k v
k v d l l l d d d d l R D +++++++===+=+=+=+=++++
=
∑∑∑
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n 年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
解：保单1)精算式为11 1
::::100075017501000750x n x n x n x n A A A A +=+= 保单2)精算式为
1
1
1
1
:::::1000800100018002000800x n x n x n x n x n A A A A A ++=+= 求解得1
1::7/17,1/34x n x n A A ==，即
1
1:::170017001700750x n x n x n
A A A =+= 14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。
15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定110x l x =-,0≤x ≤110。利息力δ=0.05。Z 表示保险人给付额的现值，则密度()0.8x f 等于（ ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36
ln ln T
Z
Z v t v
=?=
()1
()70()11/12()(())()70ln 707(0.8)0.36
x t T t x x t x
Z T Z l S x t f t p S x l z f z f g z g z v z z
f μδ++'--+==
==
'==-===
16. 已知在每一年龄年UDD 假设成立，表示式
()()x
x
I A I A A
-=( )
A.
2
i δ
δ- B.
()
2
1i δ
+
C. 11d δ
- D. 1i i δδ??
- ???
解：
[]1
1
(1)()()()((1))
()
()()
(1)((1))
11 ()
T T
K S x x T K S x s S
S s E T v E Tv IA IA E S v T K S A E v E v s v ds
E S v E v d v ds
δ
+++---===+--=
=
=
-?
?
17. 在x 岁投保的一年期两全保险，在个体（x ）死亡的保单年度末给付b 元，生存保险金为e 元。保险人给
付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. ()2
2x x p q v b e + B. ()2
2x x p q v b e - C. ()222x x p q v b e - D. ()
222x x v b q e p + 解：
()()222222222222
2
2222222
(),()(),()()()()()()()x x
x x x x x x
x x x x x x P Z bv q P Z ev p P Z b v q P Z e v p E Z bvq evp E Z b v q e v p Var Z E Z E Z b v q e v p bvq evp v q p b e =========+=+=-=+-+=-
第五章：年金的精算现值
练 习 题
1． 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t
f t e -=?(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算
精算现值 x a 。
0.050.0150
11()0.01515.380.05
t
t
t x T v e a f t dt e dt δ
-+∞
+∞
---==?=?
?
2．设 10x a =, 2
7.375x a =, ()50T Var a =。试求：
（1）δ；（2）x
ā 。
()
222
22
22222
111012114.7511(())50(())0.0350.650.48375
x x x
x x x T x x x x x x a A A a A A Var a A A A A A A δδδδδδδ??
=+??=+??=+?=+??????=-=-??
=??
?=??=?
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，
所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。 解：23:36
37|2323:3637|
23
20002000a a R a R a =?=
其中
3535
3523232323:36
00023
232324252658
2335232359
23
3737|
232337236037
2360
23:3711111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06)
k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N N D a a a v p a E a ++=======+++++
-=
=-==
∑∑∑82
82
82
232323373737
2323606062631052355
236023
1
1111
1
()
1.06(1.06)(1.06)(1.06) k
k
k
k k k
k k k l v p v v l
l l l l l l l l N D ++======
=+++++
=
∑∑∑
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1） 终身生存年金。
(12)
35351000*1212000[(12)(12)]a a αβ=-
其中
12
(12)(12)12
(12)(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.05841060612110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ?
?
???-=-?= ??
?-====
7171
713535352300035
2335363738105
2370353535
11111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06)
k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++
=
∑∑∑ 若查90-93年生命表换算表则
3535351985692
15.695458126513.8
N a D =
==
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设和利率6%下，计算其精算现值。
解：(12)(12)
5555551
1250*12250*12()250*12[(12)(12)]1212
a a a αβ=-=-- 其中
12
(12)(12)12
(12)(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====7171
713555552300035
2335363738105
2370353535
11111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06)
k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++
=
∑∑∑
6． 在UDD 假设下，试证： (1)
()()||()m x
x n x n n a m a m E αβ=- 。 (2) ()()
::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- 。
（3）()()
::1
(1)m m n x x n x n a a E m
=-
- 。 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；
(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解：31
3030
1200N a D =
（2）(2)(2)
3030351110001000()1000[(2)(2)]22
a a a αβ=-=--
其中
2
(2)(2)2
(2)(12)(2)(2)(2)
(2)(2)0.0566037741110.059126028
2110.0574282762(2) 1.000212217
(2)0.257390809
i
d i
i i i d d d id
i d i i i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ?
?
?==-== 30
3030
N a D =
（3）(4)(4)
3030301110001000()1000[(4)(4)]44
a a a αβ=-=--
其中
4
(4)(4)4
(4)(4)(4)(4)(4)
(4)(4)0.0566037741110.058695385
4110.0578465544(4) 1.000265271
(4)0.384238536
i
d i
i i i d d d id
i d i i i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ?
?
?==-== 30
3030
N a D =
（4）(12)(12)
3030301
110001000()1000[(12)(12)]1212
a a a αβ=-=-- 其中
12
(12)
(12)12
(12)
(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====
303030
N a D =
8． 试证： (1)()()
m x x m a a i δ
= (2)
():()
:m x n m x n
a a i
δ
= 。
(3) ()
lim m x x
m a a →∞
= 。
(4) 1
2
x x a a ≈-
。 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R 。
10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 10x a =，
2
6x a =，1
24
i =
，求Y 的方差。 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
75
75
3010|3030111130
414243105
11121375304130
11111
()(1.06)(1.06)(1.06)(1.06)
k
k
k k k k l a v
p v
l l l l l l N D +=====++++
=
∑∑ 12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13. 给定
(4)
17.287a ∞=，0.1025x A =。已知在每一年龄年UDD 假设成立， 则(4)x
a 是（ ） A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82
14. 给定()100
()9
T Var a x t k μ=
+=及, 0t >, 利息强度4k δ=，则k =（ ） A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020
()()2
804022221
91516
1100
225()()169
0.02
kt
t x x t kt kt x kt kt x x x T x t k p ke A e ke dt A e ke dt Var a A A k k μμδ-++∞
--+∞--+=?===
==
?=-==
?=??
15. 对于个体（x ）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定： ()50.01,0.04, 4.524x x t i a μ=+===, 年金给付总额为S 元（不计利息），则 P （51
x S a >
）值为（ ）
A. 0.82
B. 0.81
C. 0.80
D. 0.83
第六章：期缴纯保费与营业保费
练 习 题
1. 设()0x t t μμ+=>，利息强度为常数δ，求 ()
x P A 与Var(L)。
2. 有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于
死亡年末给付；另一份为(40)购买的保额1 500元、年缴保费P 的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P 的值。 3． 已知 1
40:20604040:200.029,0.005,0.034,6%,P P P i a ====求 。 4． 已知 6262630.0374,0.0164,6%,P q i P ===求。
5． 已知L 为(x)购买的保额为1元、年保费为:x n P 的完全离散型两全保险，在保单签发时的保险人亏损随机变量，2
::0.1774,
0.5850x n x n P A d
==，计算Var(L)。
6． 已知x 岁的人服从如下生存分布：()105105
x
s x -=
(0≤x ≤105)，年利率为6％。对(50)购买的保额
1 000元的完全离散型终身寿险，设L 为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P(L ≥0)=0.4 。求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。
7. 已知 2
0.19,0.064,0.057,0.019,X X x A A d π====，其中x π为保险人对1单位终身寿险按年收
取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr （Ｚ≤1.645）=0.95，Z 为标准正态随机变量。] 8. 2020:4020:4010007.00,16.72,15.72,1000x P a a P ===计算 。 9．
()10|201020201.5,0.04,P a P ==计算P 。
10．已知
1(12)(12):201:20:20
:20
1.03,0.04,x x x x P P P
==计算P 。 11． 已知x 岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，
20.06,0.4,0.2x x d A A ===，L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
(1)计算E ［L ］。 (2)计算Var(L)。
(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：
面额(元) 保单数(份)
1 80
4 20
假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。
12． (x)购买的n 年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n 年的费用各为5元；理赔费用为15元。 且 1
:0.3,0.1,0.4,0.6x x n x n A A A i +====，保额b 以万元为单位，求保险费率函数R(b)。 13. 设 ()
50500.014,0.17,P A A δ==则利息强度=（）。 A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.076
14. 已知10.05,0.022,0.99,x x x i p p p +====则（）。
A. 0.0189
B. 0.0203
C. 0.0211
D. 0.0245 15. 设1
15456045:1545150.0380.056,0.625,P P A ===：，P 则=( ) A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008
第七章：准备金
练 习 题
1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t 时保险人的未来亏损随机变量为：
,0,a U n t
U a U n t t
n t
L ≤≤-≥--?=??
计算()t E L 和()t Var L 。 2． 当::2:2::1
,,2,26
k k x n x n x k n k x k n k x k n k n k V a a a V +-+-+-<
=+=时计算。 3． 已知
()
()0.474,0.510,0.500,x t x t x P A V A V δ
===计算t x V(A )。
4． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确： （1）1000x q ()
::k k x n x n
i
V A V δ
=
（2） ()
k x k x i
V A V
δ
=
（3） ()
1
1
::k k x n x n
i
V A V δ
=
5.
假
设
在
每
一
年
龄
内
的
死
亡
服
从
均
匀
分
布
，
且
()()41
101035:35:2035:2035:202035:2040.40,0.039,12.00,0.30,0.20,11.70P a V V a β======，求 ()4
101035:2035:20V V - 。
6． 已知()()()1
20:1010.01212,20.01508,30.06942x x x P P P ===()10
40.11430x V = 计算20
10x V 。
7． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元，每年的死亡给付为1000元加上该年年
末的纯保费责任准备金，且利率i=6%，0.1 1.1k
x k q +=? （k=0，1）。计算年缴均衡纯保费P 。
8． 已知1
154545:20
45:150.03,0.06,0.054,0.15P A d k ====，求1545:20V 。 9． 25岁投保的完全连续终身寿险，L 为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知
()245250.20,0.70,0.30,Var L A A ===计算()2025V A 。
10． 已知 0.30,0.45,0.52t x t x x t k E A +===， 计算()
t x V A 。 11． 已知:0.20,0.08,x n A d ==计算1:n x n V -。
12． 已知1110.0,0.100,0.127,0.043x t t x t x x t a V V P ++++====，求d 的值。
13． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L 为保单签发时的保险人亏损随机变量，且
()250300.7,0.3,0.2A A Var L ===，计算()2030V A 。
14． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：75x l x =-(０≤x ≤75)，利率0i =，
且保费连续支付20年。设投保年龄为35岁，计算此年金在第10年年末的纯保费准备金。
15． 已知3132:130.002,9,5%q a i ===，求 230:15FPT
V 。
16． 对于完全离散型保额，1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，已知2
1x x v p q α+=??，
求β。
17. 个体（x ）的缴费期为10年的完全离散终身寿险保单，保额为1 000元，已知90.06,0.01262x i q +==,年均衡净保费为32.88元，第9年底的净准备金为322.87元，则101000x P +=( ) A. 31.52 B. 31.92 C. 33.12 D. 34.32
18. 已知()
1000100,1000()10.50,0.03t x x V A P A δ===,则 x t a += ( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
第八章：保单现金价值与红利
练 习 题
1. 证明式（8.1.7）和式（8.1.8）。
2. 证明表8.1.3和表8.1.4中的调整保费表达式。
3. 根据表8.1.3和表8.1.4中的各种情况，计算第1年的费用补贴1E 。
4. (x)的单位保额完全连续终身寿险在k 年末转为不丧失现金价值。
设 ()
k k x CV V A =，分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间k 的未来损失方差之比。
5. 已知::0.3208,12,0.5472,8,x x x n x n A a A a ====用1941年规则计算:a
x n P 。
6. 向(30)发行的1单位完全连续20年期两全保险，在第10年年末中止，并且那时还有一笔以10CV 为抵押的贷款额L 尚未清偿，用趸缴纯保费表达：
(1)在保额为1-L 的展期保险可展延到原期满时的情况下，期满时的生存给付金额E 。 (2)转为第(1)小题中展期保险与生存保险后5年时的责任准备金。
7． 考虑(x)投保的缴费期为n 的n 年期两全保险，保险金为1单位，支付基础为完全离散的。在拖欠保费的情况下，被保险人可选择： (1)减额缴清终身寿险。
(2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n 岁时支付的减额生存保险。在时间t 的解约金为 :t x n V ，它可用来购买金额为b 的缴清终身寿险，或用于购买金额为1的展期保险以及x+n 岁时的生存支付f 。设
:2x t x t n t A A ++-=，用b ，1:x t n t
A +-及n t x t E -+表示f 。 8． 设()k t k t
x CV V A ++=
。
证明：决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成H(t)＝0，其中
()11x x k x i H t a GS a a ++=+-。
9． 在人寿保险的早期，一家保险公司的解约金定为 ()()k x h x CV h G G a k +=-， 1,2,
k =
式中，G 为相应年龄的毛保费；()a k 为始于x+k 岁并到缴费期结束为止的期初生存年金值，h 在实际中取
2
3
。如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取为调整保费，并且x P 与x t P +都小于0.04，h=0.9，验证以上给出的解约金为
()0.909 1.125 1.125)()k x k x x k x CV P V P P +=++-
10. 生存年金递推关系为
()()11x h x h x h a i p a +++++= , 0,1,2,
h =
(1) 如果实际的经验利率是h+1，经验生存概率是x+h ，则年金的递推关系为
()()
111??11()x h h x h x h h a i
p a ++++++-+=+? 式中，1h +?为生存者份额的变化。证明并解释
()111??()1()?h x h x h x h x h h x h i a p p a p
++++++++-+-?=
(2)如果年末的年金收入调整为年初的1h r +倍，其中
()()
111??11x h h x h h x h a i
p r a ++++++-+=?? 用 ?,,x h i i
p +及 ?x h p +表示1h r +。 11. 证明式(8.4.12)、式(8.4.13)和式(8.4.14)。
12. 在1941年法则中，若22
0.04,0.04x P P >> ,则 1E =（ ）
A. 0.036
B. 0.046
C. 0.051
D. 0.053
13. (30)投保20年期生死两全保险，若30:20
0.08,0.01P d == ,利用1941年法则求得 2
300.01P =时的调整保费为（ ）
A. 0.0620
B. 0.0626
C. 0.0638
D. 0.0715
第九章：现代寿险的负债评估
练 习 题
1.在例9.
2.1中将第1年到第5年的保证利率改为9%，求0到第10年的现金价值及第4年的准备金。 2. 在例9.2.3中将保证利率改为：前3年为8% ，3年以后为4% ，重新计算表9.2.8、表9.2.9和表9.2.10。
3.在例9.2.5中，若保证利率：第1年到第5年为9.5%，以后为4%，求0到第5保单年度的准备金。
4. 考虑固定保费变额寿险，其设计是公平设计且具有下列性质:
男性：35岁；AIR=4%；最大允许评估利率：6%；面值(即保额)：10 000元；在第5保单年度的实际现
金价值为6 238元；在第5保单年度的表格现金价值为5 316元。且已知391000 2.79q =，相关资料如下表。 (%)I
()x 岁
1000x A
x a 1000x q