第2讲相似三角形6大证明技巧模块一］相似三角形证明方法
相似三角形的判定方法总结：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
2.三边成比例的两个三角形相似?( SSS)
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似? (SAS)
4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
相似三角形的模型方法总结：
”型与“反”型
“反
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13
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“旋转相似”与“一线三等角”
示意图结论
A
C
旋转相似：
AB AD
如图，已知△ ABC S/ADE，则————,/
AC AE
BAC = /DAE ,「./BAD = /CAE,
???△BAD s△:AE (SAS)
D E
—
一线三等角：
如图，已知/A= /C= ZDBE,贝^A DAB s/BCE( AA )
A B C
巩固练习
反A型与反X型
射影定理
15 已知△ABC 中，/AEF= ZACB ,求证：(1) AE AB AF AC (2 ) ZBEO= /CFO, ZEBO=
ZFCO ( 3) /OEF= ZOBC , /OFE= ZOCB
类射影
如图，已知2
BD
AB AC AD，求证：
AB
AC
已知△ABC，/ACB=90 °,CH 丄AB 于H 求证：AC2AH AB , 2
BC BH BA,
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模块二1比例式的证明方法
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型” ?但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题?合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧
技巧一：三点定型法
技巧二：等线段代换
技巧三：等比代换
技巧四：等积代换
技巧五：证等量先证等比
技巧六：几何计算
____________________
【例1】如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F ,求证:
DC CF -
AE AD
【例2】如图，△ ABC中，BAC 90 , M为BC的中点，DM BC交CA的延长线于
D ,交AB于
E ?求证：AM2 MD ME
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技巧二：等线段代换
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例
4】 如图，在△ ABC , AD 平分ZBAC , AD 的垂直平分线交 AD 于E ,交BC 的延长线
于 F ,求证：FD 2
FB FC
【例3】 如图，在Rt △ ABC 中,
AD 是斜边BC 上的高, 交AD 于F
求证:
BF AB BE BC '
ABC 的平分线 BE 交AC 于E ,
【例5】 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边BA 的延长线上,
CE 交AD 于F ,
ECA D ?求证：AC BE CE AD - D
C
【例6】如图，△ ACB为等腰直角三角形，AB=AC，/BAC=90 °,DAE=45 °，求证:
2
AB BE CD
延长BP交
AC
于
E，交
CF于F ?求证：BP1 2 PE PF .
技巧三：等比代换
【例9] 如图，在△ ABC中，已知A 90时，AD BC于D , E为直角边AC的中点,
过D、E作直线交AB的延长线于F .求证：AB AF AC DF ?
【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O, E、交CD的延长线
2
于F，求证：OB OE OF ?
【例7】如图, △ ABC中，AB AC , AD是中线，P是AD上一点，过C作CF // AB ,
C
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A
【例10】如图，在△ ABC中（AB > AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使
AD AE，直线DE和BC的延长线交于点P .求证：
BP CE CP BD
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