应用数学优化部分题选
1．加工奶制品的生产计划一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2. 根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大?
2．自来水输送问题某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A,B,C三个水库供应，四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同（见下表），其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利最多？
为增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变？公司利润可增加到多少？
3.饮料厂的生产与检修计划某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需求。该厂根据市场预测，已经确定了未来四周该饮料的需求量，计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本如表示。每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出存储费，为每周每千吨0.2千元。问应如何安排生产计划，在满足每周市场需求的条件下，使四周的总费用（生产成本与存储费之和）最小？
如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修，检修将占用当周15千箱的生产能力，但会使检修以后每周的生产能力提高5千箱，则检修应该安排在那一周。
4. (问题3续) 某饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料以满足市场需求，如果某周开工生产其中一种饮料，就要清洗设备和更换部分部件，于是需支出生产准备费8千元。现在只考虑一种饮料的生产，假设未来四周的需求量、生产能力、生产成本和存储费与上题完全相同。问应如何安排这种饮料的生产计划，在按时满足市场需求的条件下，使生产该种饮料的总费用最小？
5.目标规划模型 某工厂生产A,B 两种产品，已知有关数据见下表。根据市场信息，产品A 的销售量有下降趋势，故考虑产品A 的产量不大于产品B ；超计划供应原材料时需高价采购，这会使成本增加；应尽可能充分利用设备工时，但不希望加班；应尽可能达到或超过计划利润指标56元。决策者首先考虑的是产品B 的产量不低于产品A 的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元，建立模型求决策方案。
6.选课策略 某学校规定，运筹学专业的学生毕业必须至少学习过两门数学课、三门运筹学三门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中的那些课程。
如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，他可以选修那些
7. 二次分配问题 有3架飞机和4个登机口，飞机间的转机人数由矩阵N 给出；登机门间的距离由矩阵T 给出.问如何安排各架飞机到登机门（每个登机门至多安排1架飞机），使所有转机人的行走总距离最少？
T =??
??
?
?
??????0510156041010505141050 N =????
??????0403000205300
8.飞机精确定位问题 飞机在飞行过程中，能收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。这里VOR 是高频多向导航设备的英文缩写，它能够得到飞机与该设备连线的角度信息；SME 是距离测量装置的英文缩写，它能够得到飞机与该设备的距离信息。表中列出飞机收到来自3个VOR 给出的角度和1个DME 给出的距离（及测量误差）、这4种设备的位置坐标（假设飞机与这些设备在同一平面上）。要求根据这些信息确定当前飞机的位置。（假设从设备处y 轴正向到设备与飞机连线的角度为θ）
飞机定位问题的数据
9．投资组合问题美国某三种股票（A,B,C）12年（1943-1954）的价格（已经包括了分红在内）每年的增长情况如表所示，（表中还给出了相应年份的500中股票的价格指数的增长情况）。例如，表中第一个数据1.300的含义是股票A在1943年末价值是其年初价值的1.300倍，即收益为30%，其余数据的含义以此类推。
(1).假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益至少达到15%，那么你应当如何投资？
(2).假设除了上题中的3种股票外，投资人还有一种无风险的投资方式，如购买国库券，假设涉国库券的年收益率为5%，如何考虑上一问题？
(3).期望收益率仍定为15%，假定你目前持有的股票比例为：股票A占50%，B占35%，C占15%.这个比例与6.5中得到的最优解不同，但实际股票市场上每次股票买卖通常有交易费，例如按交易额的1%收取交易费，这时你是否需要对所持有的股票进行买卖（换手），以便满足最优解的要求？
10. 航空机票超订票问题某航空公司执行两地的飞行任务。已知飞机的有效载客量为150人。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。现假定两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况。
(1) 问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？
(2) 若所有参数不变，问航空公司多售出多少张票，使该公司的利润达到最大？并计算出相应的利润。
11. 最优连线问题 我国西部地区的SV 地区一个城市（标记为1）和9个乡镇（标记为2~10）组成，该地区不久将用上天然气，其中城市1含有井源。下表给出了城镇之间的距离，现在要设计一个供气系统，使得从城市1到每个乡镇都有一条管道相连，并且铺设管道的量尽可能少。
12.旅行商问题 某公司计划在SV 地区（见上题）作广告宣传，推销员从城市1出发，经过各个乡镇再回到城市1。为节约开支，公司希望推销员经过这10个城镇的总距离最少。试求该推销员的行进线路。
13. 多种产品中转点选址模型 有三个工厂P 1 P 2 P 3生产两种产品A,B.工厂的产品将运输到将选址的4个中转运输点DC1,DC2,DC3,DC4,每个中转点都有固定投资费用，然后由中转点将产品运到销售点C1,C2,C3,C4,C5.设第L 种产品从第i 工厂运到第j 个中转点的单位运价为C Lij ,记矩阵为C l .第L 种产品从第j 个中转点运到第k 个销售点的单位运价为g Ljk ,记矩阵为G l .第i 工厂生产第L 种产品的能力为s Li ,L=1,2,i=1,2,3;第j 个中转点投资费用为f i ,j=1,2,3,4,第L 种产品在第k 个销售点的需量为d Lk ,对每个销售点，仅由一个中转站满足其两种产品的需求。求总费用最小的投资配送方案。;
F=(100 150 160 139) S=
75
6020754080 D=
30
300
8
25
3515503025
C = ????????????????????5.3238.15.33.16.4452212.32.23.328.35.15.445331 G = ?
??????
????????
????????
??
?3.25
525.145.37.122.35.22.238.451.45.23.39.4528.49.48.113.449.125.37.25.23.39.41.542355
14.酒店客房的最优分配问题.一家酒店利用网络系统为常客户开设标准间和商务间两
类客房的预订服务，酒店以一周（从周一到周日）为一个时段处理这项业务。现在收到旅行社提出的一个一周预订需求单，见表1和表2.在表1中标以“星期一”的那一行数字表示：星期一入住，只预订当天的2间，预订到星期二的20间，预定到星期三的6间，……，一直预订到星期日的7间。其它各行及表2都是类似的。
酒店对旅行社的报价见表3和表4.表中数字的含义与表1与表2相对应，如对于表3，星期一入住，只住当天的每间888元，住到星期二的每间1680元，……，一直住到星期日的每间4973元。从这些数字可见，酒店客房的报价对居住时间愈长的旅客给予的优惠愈大。考虑周末客房使用率高的统计规律，这两天的价格定位相对较高。这些价格全部对外公布。
请以酒店收入最大为目标，针对以下3种不同情况，制定旅行社的客房分配方案。
（1）完全按照客户提出的不同价位客房预订要求制订分配方案，称为常规策略。
（2）在标准间不够分配、而商务间有剩余的情况下，将一部分商务间按对标准间的需求进行分配并收费，称为免费升级策略。
（3）在首选价位客房无法满足需求、而其他价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的方法鼓励部分旅客改变原来的需求，选择其它价位客房，称为折扣优惠策略。
练习题
1.某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下表示。储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元，问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员。如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用。如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用。（全时7人，半时3人；280；260）
2．某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%纳税。此外还有以下限制：
1）政府及代办机构的证券至少要购进400万元；
2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？如证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？（（1）218.18,0,736.36,0,45.45；（2）240,0,810,0,50，借资金100万；（3）不，变化）
3.某班准备从5名游泳队员中选拔4人组成接力队，参加学校的4乘100米混合泳接力比赛。5名队员4种泳姿的百米平均成绩如表所示，问应如何选拔队员组成接力队？
如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大进步，只有1分15秒2；而队员戊经过艰苦训练自
秒）
（
4.（钢管下料）某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客户的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的钢管都是19m.
(1).有一客户需要50根4m, 20根6m, 和15根8m的钢管, 应如何下料最节节省？
(2).零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本,所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过三种，此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外还需要10根5m的钢管，应如何下料最节省。((1)最少根数25，最少余料27根；（2）10,10,8；28根)
5.（易拉罐下料）某公司采用一种冲压设备一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的。易拉罐是圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐身高10cm,上盖下底的直径均为5cm 。该公司使用两种不同的镀锡板原料：规格1的镀锡板为正方形，边长24cm, 规格2的镀锡板为长方形，长，宽分别为32cm,28cm.由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的板原料，只可以按三种模式进行冲压；对于规格2的板原料只能按模式4进行冲压，
该厂每周工作40小时，每周可供使用的规格1，规格2的镀锡板原料分别为5万张和2万张。每只易拉罐的利润为0.10元，原料余料损失为0.001元/平方米（如果周末有罐身、上盖、下盖不能被配套组装成易拉罐出售，也看作原料余料损失），问工厂如何安排生产？
（0, 4.0125, 0.375,2；minz=4298.1元）
6.（基金最佳使用计划）将一笔数额为M元的基金存入银行（存款利率见下表），n年内用部分本息发放奖学金，要求在每年的奖学金大致相等的情况下，制定使奖学金达到最大，且在n年末仍保留原基金数额的最佳基金使用方案。（1）建立一般模型；（2）对M=5000
万元，n=10年给出具体结果；（3）若基金到位的第三年末要求发放的奖学金比其他年度多20%，给出具体结果。
一、编写lingo 程序求解下列方程（组） 1、4 x sin x cos x += 2、x x 24-= 3、求方程()074223=---=x x x x f 在[]43,中的根的近似值． 4、0432=--x x 5、12341234123420,3230,4350. x x x x x x x x x x x x +-+=?? -+-=??+-+=? 6、??? ??=+-=++--=++. x x x ,x x x , x x x 3103220241225321 321321 二、编写lingo 程序求解下列最优化问题 1、43215243x x x x z min +-+-= ?? ??? ??≥≥-++-≤+-+-=-+-. x ,x ,x ,x ,x x x x ,x x x x , x x x x .t .s 无约束43 214321432143210232142224 2、32132-2x x x z min += ??? ??≥≤≤-+-=++-. x ,x ,x ,x x x , x x x .t .s 无约束321 32142100624 3、213x x z max -= ????? ??≥≤+≥+≤-.x ,x ,x x ,x x , x x .t .s 为整数05210453232 121 2121 4、32152-3x x x z max +=
????? ?? ??=≤+≤+≤++≤-+. x ,x ,x , x x ,x x ,x x x ,x x x .t .s 1064344223213 221321321或 5、432173x x x x z min +-+= ????? ??=≥++≥++-≥-+-.x ,x ,x ,x ,x x x ,x x x x ,x x x x .t .s 10535846124 321421 43214321或 6、求图中点1v 到各点的最短路（不可逆行）． 三、先建立问题的数学模型，再编写lingo 程序求解 1、某厂每日8小时的产量不低于1800件．为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员．一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时．检验员每错检一次，工厂要损失2元．为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 2、某饲料场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素．现有5种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表所示
Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧 LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。LINGO 主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。 LINGO的最新版本为LINGO7.0，但解密版通常为4.0和5.0版本，本书就以LINGO5.0为参照而编写。 1．LINGO编写格式 LINGO模型以MODEL开始，以END结束。中间为语句，分为四大部分（SECTION）：（1）集合部分（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。这部分的作用在于定义必要的变量，便于后面进行编程进行大规模计算，就象C语言在在程序的第一部分定义变量和数组一样。在LINGO中称为集合（SET）及其元素（MEMBER或ELEMENT，类似于数组的下标）和属性（A TTRIBUTE，类似于数组）。 LINGO中的集合有两类：一类是原始集合（PRIMITIVE SETS），其定义的格式为：SETNAME/member list（or 1..n）/：attribute,attribute,etc。 另一类是是导出集合（DERIVED SETS），即引用其它集合定义的集合，其定义的格式为： SETNAME（set1，set2，etc。）：attribute，attribute，etc。 如果要在程序中使用数组，就必须在该部分进行定义，否则可不需要该部分。（2）目标与约束：这部分定义了目标函数、约束条件等。一般要用到LINGO的内部函数，可在后面的具体应用中体会其功能与用法。求解优化问题时，该部分是必须的。（3）数据部分（DA TA）：这部分以“DA TA：”开始，以“END DA TA”结束。其作用在于对集合的属性（数组）输入必要的数值。格式为：attribut=value_list。该部分主要是方便数据的输入。 （4）初始化部分（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“END INIT”结束。作用在于对集合的属性（数组）定义初值。格式为：attribute=value_list。由于非线性规划求解时，通常得到的是局部最优解，而局部最优解受输入的初值影响。通常可改变初值来得到不同的解，从而发现更好的解。 编写LINGO程序要注意的几点： 1.所有的语句除SETS、ENDSETS、DA TA、ENDDA TA、INIT、ENDINIT和MODEL，END 之外必须以一个分号“；”结尾。 2.LINGO求解非线性规划时已约定各变量非负。 LINGO内部函数使用详解。 LINGO建立优化模型时可以引用大量的内部函数，这些函数以“@”符号打头。 （1）常用数学函数 @ABS(X) 返回变量X的绝对数值。 @COS( X) 返回X的余弦值，X的单位为弧度 @EXP( X)
LINGO练习题-1及答案LINGO测试-1 1、用LINGO软件解方程组（1）221212222359 x x x x?+=??-=-??。 model: x^2+2*y^2=22; 3*x-5*y=-9; end Solution is locally infeasible Infeasibilities:0.5417411E-04 Extended solver steps:5 Total solver iterations:20 Variable Value X 2.000005 Y 3.000003 Row Slack or Surplus 1-0.5417411E-04 20.000000 2、用LINGO软件解线性规划问题 model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10;
3*x+5*y<=12; x>0;y>0; end Global optimal solution found. Objective value:7.454545 Infeasibilities:0.000000 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X 1.2727270.000000 Y 1.6363640.000000 Row Slack or Surplus Dual Price max23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y=++≤+≤≥17.454545 1.000000 20.0000000.9090909E-01 30.0000000.5454545 4 1.2727270.000000 5 1.6363640.000000 3、用LINGO软件二次规划问题 （1）min2212z=x-3-2x+（）（） 22121212..-50, 24, ,0s t
一．用Lingo 求解下列规划问题 1、求解 2、求解 3.求解 6,,1,6,,1,106,,1,6,,1,6,,1,13. .max 61616161 =====≤=≤==∑∑∑∑====j i x j i x x j x x t s r x z ij ii ij i ij i ii i j ij ij 或者其中，???????? ??????????=110100111000001100 110100000111000011r 二、请给出下列问题的模型、lingo 求解程序及其运行结果 1．队员选拔问题 某校篮球队准备从十名预备队员中选择五名作为正式队员，队员的各种情况如下表： 队员号码 身高（厘米） 技术分 位置 1 185 8.6 中锋 2 186 9 中锋 3 193 8. 4 中锋 4 190 9. 5 中锋 5 182 9.1 前锋 6 184 9 前锋 7 188 8.1 前锋 8 186 7.8 后卫 9 190 8.2 后卫 10 192 9.2 后卫 队员的挑选要满足下面条件：（1）至少补充一名前锋。（2）至多补充2名中锋。（3）1号和3号队员最多只能入选1个。（4）平均身高要达到187厘米。（5）3号或10号入选了则4号就不能入选。 问：怎么选择使得技术平均分最高。 max 23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥22121122121212max 982770.32,..100,2,,0,.x x x x x x s t x x x x x x +---+≤≤≥ 且都是整
2. 超市奖品选购 超市提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择，车的容量为1000 cm3，奖品i占用的空间为w i cm3,价值为v i元, 具体的数据如下: v i = { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1} w i = {80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32, 22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1}。问怎么选择价值最高。
Lingo 作业解题过程 1.某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务 员数量如下表示。储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元，问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员。如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用。如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用。 时间段/h 9~10 10~11 11~12 12~1 1~2 2~3 3~4 4~5 服务员数 4 3 4 6 5 6 8 8 解：（1）设1x 为雇佣的全职人数，2x 为12-1小时休息的人数，1y -5y 分别为1-5时段开始雇佣的半时人员的人数。表1为各时间段的工作人数。每个时间段的工作人数要满足题目中的要求。 表1 各时间段在工作的服务员 时间段/h 服务员 9-10 11x y + 10-11 112x y y ++ 11-12 3 11 i i x y =+? 12-1 4 121 i i x y x =+ -? 1-2 5 22 i i x y =+ ? 2-3 5 13 i i x y =+? 3-4 5 14 i i x y =+ ? 4-5 15x y + 根据每个时段满足的要求，建立模型如下：
()5 1 23 1111 1 1 4 5 5 122 11 2 3 5 1154 5 1 min 100*x 140 : (1)x y 4; (2) x 3; (3) x 4 ; (4)x x 6;(5)x 5;(6)x 6 (7)x 8;(8)x 8 3 i i i i i i i i i i y st y y y y y y y y =========++>+ >+ >-+>+ >+ >+ >+>4; !第一阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(1)+y(2)>3; !第二阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(1)+y(2)+y(3)>4; !第三阶段要满足的服务员人数; x(1)-x(2)+y(1)+y(2)+y(3)+y(4)>6; !第四阶段要满足的服务员人数; x(2)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)>5; !第五阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(3)+y(4)+y(5)>6; !第六阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(4)+y(5)>8; !第七阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(5)>8; !第八阶段要满足的服务员人数; 程序运行的结果为最少花费820元，雇佣全时员工7人，半时员工3人，半时员工分别在第二时段雇佣2人，第五时段雇佣1人，12-1时去吃饭的全是员工为2人，剩下5人在1-2时吃饭。 （2）第二问直接可以看出答案，编程也可以。 min =100*x1; x1-x2>6; x2>5; 运行程序得出答案1100元，与第一问的820元，要增加费用280元。 （3）第三问直接将第一问的程序中@sum (banshi:y)<3; 删除（即对雇佣的半时服务员的个数没有限制），可得出结果本题的结果。 最少花费560元，第一时段雇佣半时员工6人，第五时段雇佣半时人员8人，就可以满足每个时段所需要的员工要求。节省费用820-560=260元。 2．某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期
2 8' 1' 2' 3' 4' 1 0 0 0 0 0 1 0 2 2线性规划习题答案 1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） （2） 24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为: 2 : 00~6: 00 3 人 6 :00~10: 00 9 人 10: 00~14: 00 12 人 14 :00~18: 00 5 人 18: 00~22: 00 18 人 22 :00~ 2 : 00 4 人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时， 员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量 X i , X 2, X 3, X 4, X 5, X 6分别表示 2: 00~6: 00, 6 : 00~10： 00，10： 00~14: X 1,X 2,X 3,X 4,X 5,X 6 0 3、现要截取2.9米、2.1米和1.5 如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 用0表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示: 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性 等式或者不等式来加以表示； 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。 2、一家餐厅 问该餐厅至少配备多少服务 00 ， 14: 00~18: 00， 18: 00~22: 00, 22 : 00~ 2 : 00时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为： min X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 1 X 6 X 1 X 2 X 2 X 3 12 X 3 X 4 X 4 X 5 18 X 5 X 6 米的元钢各100根，已知原材料的长度是 7.4米，问应 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案,
实验报告（二） 课程名称数学实验 实验项目运用LINGO进行优化模型求解，并与EXCEL进行连接实验环境PC机、LINGO 班级/学号/姓名 指导教师 实验日期2013-11-5 成绩
一、实验名称:运用LINGO 进行优化模型求解，并与EXCEL 进行连接 二、实验目的： 1、掌握Lingo 求解线性规划模型的方法及回看求解结果报告； 2、掌握Lingo 进行灵敏度分析的方法； 3、掌握Lingo 求解整数规划和0-1规划的方法； 4、掌握Lingo 中集合的定义方法； 5、掌握Lingo 与Excel 之间的链接方法； 三、实验内容： 习题四： 1.用LINGO 求解下列线性规划问题 （1）?????? ?=≥≤++≤++≤++++=. 4,...,1,0x 103x x 2x -4x 258x 2x 3x -3x 204x -4x -6x 5x ..8x 10x 2x 6x z max i 4321432143214 321i t s 程序： model : max =6*x1+2*x2+10*x3+8*x4; 5*x1+6*x2-4*x3-4*x4<=20; 3*x1-3*x2+2*x3+8*x4<=25; 4*x1-2*x2+x3+3*x4<=10; end 结果：
（2） ??? ??≥≤++≤++++=0,,x 9010x 4x 12x 20 3x x x -s.t.13x 5x -5x z max 3 213213213 21x x 程序： model : max =-5*x1+5*x2+13*x3; -1*x1+x2+3*x3<=20; 12*x1+4*x2+10*x3<=90; end 结果： （3）?? ???>=++<=+<=+=010y 4x 011-7y x 0 23-5y -7x ..y 2x z min t s 程序： model : min =2*x+y; 7*x-5*y-23<=0; x+7*y-11<=0; 4*x+y+10>=0; @free (x); @free (y); end 结果：
2 线性规划习题答案 1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； （2） 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线 性等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。 2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为： 2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 分别表示2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为：123456min Z x x x x x x =+++++ 16122334455612345639125184,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥ 3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示： 2.9 2.1 1.5 θ 1' 1 1 1 0.9 2' 2 0 0 0.1 3' 1 2 0 0.3 4' 1 0 3 0 5' 0 1 3 0.8 6' 0 0 4 1.4 7' 0 2 2 0.2 8' 0 3 0 1.1
Lingo 精选题目及答案 答题要求：将Lingo 程序复制到Word 文档中，并且附上最终结果。 1、简单线性规划求解 （目标函数）2134max x x z += s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x 2、整数规划求解 219040Max x x z += ??? ??≥≤+≤+0,7020756 792 12121x x x x x x 3、0-1规划求解 Max 4322 15.18.04.0x x x x f +++= 10106234321≤+++x x x x 10,,,4321或=x x x x 4、非线性规划求解 ||4||3||2||min 4321x x x x z +++= s.t. ??? ? ??? - =+--=-+-=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 5、集合综合应用 产生一个集合5052 --=x x y ，（10,...,2,1=x ）， 求y 前6个数的和S 1，后6个数的和S 2，第2~8个数中的最小值S 3，最大值S 4。 6、综合题 要求列出具体的目标函数和约束条件，然后附上Lingo 程序和最终结果。 6.1 指派问题 有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表： 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？
6.2 分配问题 某两个煤厂A1，A2每月进煤数量分别为60t和100t，联合供应3个居民区B1,B2,B3。3个居民区每月对煤的需求量依次分别为50t，70t，40t，煤厂A1离3个居民区B1,B2,B3的距离依次分别为10km,5km,6km,煤厂A2离3个居民区B1,B2,B3的距离分别为4km,8km,12km。问如何分配供煤量使得运输量（即t·km）达到最小？ 1、 model: max=4*x1+3*x2; 2*x1+x2<10; x1+x2<8; x2<7; end 2、 model: max=40*x1+90*x2; 9*x1+7*x2<56; 7*x1+20*x2<70; @gin(x1);@gin(x2); end 3、 model: max=x1^2+0.4*x2+0.8*x3+1.5*x4; 3*x1+2*x2+6*x3+10*x4<10; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); end 4、 model: max=@abs(x1)+2*@abs(x2)+3*@abs(x3)+4*@abs(x4); x1-x2-x3+x4=0; x1-x2+x3-3*x4=1; x1-x2-2*x3+3*x4=-1/2; end 5、 model: sets: jihe/1..10/:y; ss/1..4/:S; endsets !由于y和s中部分有负数，所以要先去掉这个约束; @for(jihe:@free(y)); @for(ss(i):@free(S)); !产生元素;
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是 ),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有 不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =- +。因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=+ +--=+= l j j kj j kj q k k d w d w p z 1 1 );( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1 l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。 此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211+ +-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ -d d x x 14x 1633=-++ -d d 155442=-++ -d d x 3,2,1,0,,,21=≥+ -i d d x x i i
Lingo超经典案例大全 LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”。Lingo超强的优化计算能力在很多方面（线性规划、非线性规划、线性整数规划、非线性整数规划、非线性混合规划、二次规划等）比matlab、maple等强得多，Lingo编程简洁明了，数学模型不用做大的改动（或者不用改动）便可以直接采用Lingo语言编程，十分直观。 Lingo模型由4个段构成： （1）集合段（sets endsets）；（2）数据段（data enddata)； (3)初始段（init endinit）；（4）目标与约束段。 Lingo的五大优点： 1. 对大规模数学规划，LINGO语言所建模型较简洁，语句不多； 2. 模型易于扩展，因为@FOR、@SUM等语句并没有指定循环或求和的上下限，如果在集合定义部分增加集合成员的个数，则循环或求和自然扩展，不需要改动目标函数和约束条件； 3. 数据初始化部分与其它部分语句分开，对同一模型用不同数据来计算时，只需改动数据部分即可，其它语句不变； 4. “集合”是LINGO有特色的概念，它把实际问题中的事物与数学变量及常量联系起来，是实际问题到数学量的抽象，它比C语言中的数组用途更为广泛。 5. 使用了集合以及@FOR、@SUM等集合操作函数以后可以用简洁的语句表达出常见的规划模型中的目标函数和约束条件，即使模型有大量决策变量和大量数据，组成模型的语句并不随之增加． 一、求解线性整数规划、非线性整数规划问题： 1.线性整数规划： model: max=x1+x2; x1+9/14*x2<=51/14; -2*x1+x2<=1/3; @gin(x1);@gin(x2); end
1、用LINGO 软件解方程组221212222359 x x x x ?+=??-=-??。 2、用LINGO 软件解方程组1211221222/64 x x x x x ??-=-??=?。 3、用LINGO 软件解线性规划问题 4、用LINGO 软件解二次规划问题 且12,x x 都是整数 5、用LINGO 软件解下列问题 （1）max 12z=x x + 12121212..26, 4520,,0, ,s t x x x x x x x x +≤+≤≥为整数 (2) min 22 12z=x -3-2x +（）（） 22121212..-50, 24, ,0s t x x x x x x +≤+≤≥。 (3) min 2212z=x ++x +（1）（1） 22122..-20,1s t x x x +≤≥。 max 23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥22121122121212max 982770.32, ..100,2,,0,x x x x x x s t x x x x x x +---+≤≤≥
6、用LINGO软件分别产生序列 （1）{1,3,5,7,9,11}；（2）{1,4,9,16,25,36}；（3） 1111 {1,,,,} 6122030 . 7、已知向量c={1,3,0.5,7,5,2}，用LINGO软件解答下列问题。 （1）求向量c前5个数中的最大值；（2）求向量c后4个数平方中的最小值；（3）求向量c 中所有数的和。 8、某学校游泳队要从5名队员中选4名参加4乘100米混合泳接力赛。 5名队员4种泳姿的百米成绩（单位：秒） ----------------------------------------------------------------------------------- 李王张刘赵 蝶泳66.8 57.2 78 70 67.4 仰泳75.6 66 67.8 74.2 71 蛙泳87 66.4 84.6 69.6 83.8 自由泳58.6 53 59.4 57.2 62.4 ----------------------------------------------------------------------------------- 如何选拔？ （1）请建立“0----1规划”模型； （2）用Lingo求解。 9、某帆船制造公司要决定下两年八个季度的帆船生产量。八个季度的帆船需求量分别是40条、60条、75条、25条、30条、65条、50条、20条，这些需求必须按时满足，既不能提前也不能延后。该公司每季度的正常生产能力是40条帆船，每条帆船的生产费用为400美圆。如果是加班生产的，则每条生产费用为450美圆。帆船跨季度库存的费用为每条20美圆。初始库存是10条帆船。如何生产？ 10、现要将8名同学分成4个调查队（每组2人）前往4个地区进行社会调查。假设他们任意两人组成一队的工作效率为已知，见下表（由于对称性，只须列出上三角部分）： 任意两人组成一队的工作效率 学生S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S1 9 3 4 2 1 5 6 S2 1 7 3 5 2 1 S3 4 4 2 9 2 S4 1 5 5 2 S5 8 7 6 S6 2 3 S7 4 问如何组队可以使总效率最高？
在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。两个逗号间可以有空格 sets: years/1..5/: capacity; endsets data: capacity = ,34,20,,; enddata Variable Value CAPACITY( 1) 1.234568 CAPACITY( 2) 34.00000 CAPACITY( 3) 20.00000 CAPACITY( 4) 1.234568 CAPACITY( 5) 1.234568 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 init: X, Y = 0, .1; endinit Y= @log(X); X^2+Y^2<=1; Feasible solution found. Infeasibilities: 102.5814 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 89 Elapsed runtime seconds: 0.25 Model Class: NLP Total variables: 2 Nonlinear variables: 2 Integer variables: 0 Total constraints: 3 Nonlinear constraints: 2 Total nonzeros: 4 Nonlinear nonzeros: 3 Variable Value X 9.915569 Y 2.294106 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 -102.5814
２ 线性规划习题答案 １、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案,这组决策变量均为非负的连续变量; （2） 存在一定数量（ｍ）的约束条件,这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性 等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数,而该函数是一个线性函数。 ２、一家餐厅２4小时全天候营业,在各时间段中所需要的服务员数量分别为: 2:00~6:０0 ３人 6：0０~１０:00 9人 1０：00~１4:00 １2人 14：00～18:００ 5人 1８：０0~22：00 １８人 22:00~ 2:00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时,问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解:用决策变量1x ,2x ,3x ，4x ,5x ,6x 分别表示2:００~６:００， ６:00~10:0０ ，1０：00~14:00 ,1４:00~18:00,18:０0～２2：０0, 22:00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为:123456min Z x x x x x x =+++++ 16122334455612345639125184,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥ 3、现要截取２．9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7．4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案,用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示: 2．9??2.１ ?１.5? θ 1'? １? １??1? 0．９ 2'? 2 ０??0 ０.1 ３＇ 1 ?2??0 ?0.3 ４'? 1 0 ?3 ?0 5＇??0 ?１? 3 ０．8 6'? ０??０? 4 ?1.４ ７'? 0??2??2 0.2 8' ?0??3 ?0??1.1
1、某工厂要做100套钢架，每套钢架用长为2.9m,2.1m,1.5m,2.0m的圆钢各一根。已知原料每根长为7.4m，问：应该如何下料，可使所用原料最省 2、某工厂生产 A 和 B 两种产品，按计划每天生产 A、B 各不得少于 10 吨，已知生产 A 产品一吨需用煤 9 吨、电 4 度、劳动力 3 个（按工作日计算）；生产 B 产品一吨需用煤 4 吨、电 5 度、劳动力 10 个.如果 A 产品每吨价值 7 万元，B 产品每吨价值 12 万元，而且每天用煤不超过 300 吨，用电不超过 200 度，劳动力最多只有 300 个. 1）每天应安排生产 A、B 两种产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造最多的产值？ 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 3.甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为 300t 和 750t，A、B、C 三地需要该种产品的数量分别为 200t、450t 和 400t，甲地运往 A、B、C 三地的运费分别是 6 元/吨、3 元/吨、5 元/吨，乙地运往 A、B、C 三地的运费分别是 5 远/吨、9 元/吨、6 元/吨，问怎样的调运方案才能使总运费最省？ 4、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围
5、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 6、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 7、某排球国家队需要准备从以下队员中选拔4名队员为正式队员，每个位置一名，并使平均身高尽可能高，这8名预备队员情况如下表所示 预备队员号码身高 cm位置 小甲1193主攻 小乙2191主攻 小丙3187副攻
Ｌｉｎｇｏ培训计划 培训目的：了解线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念和性质，掌握把一个实际问题转化为规划问题的步骤和思想。掌握ｌｉｎｇｏ软件的使用方法，熟悉把一个规划问题输入ｌｉｎｇｏ软件的方法，理解输出结果的含意。 进度安排： 第一天上午－理论学习 1.Lingo12简介 2.线性规划的概念 3.线性规划求解方法 4.线性规划例题 5. Lingo软件各部分功能介绍 6.求解线性规划例题 7.对例题结果的解释 8.整数规划的概念与特点 9.整数规划例题 10.软件求解整数规划问题 第一天下午－机房练习 1.安装Lingo软件，复习上午的理论知识 2.熟悉软件的各种菜单和工具 3.输入上午的例题，观察结果 4.完成下列习题： 1）一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为： 2：00~6：00 3人6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人22：00~ 2：00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。
2）现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。 试构造此问题的数学模型。 3）某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。 4）某厂在今后4个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表2所示。租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表3。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规 5）某农场有100公顷土地及25万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季4500人日，春夏季6000人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为20元／人日，秋冬季12元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资8000元，每只鸡投资2元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入3000元／每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季0.3人日，
题目: LINGO软件练习题 专业: 学号: 姓名: 李X X 指导老师: 丁X X X X大学地球科学与工程学院 2012年10月
1生产优化使利润最大化问题 1.1原题回顾 某电子厂生产三种产品供应给政府部门：晶体管、微型模块、电路集成器。该工厂从物理上分为四个加个区域：晶体管生产线、电路印刷与组装、晶体管与模块质量控制、电路集成器测试与包装。 生产中的要求如下：生产一件晶体管需要占用晶体管生产线0.1h 的时间，晶体管质量控制区域0.5h的时间，另加0.70元的直接成本；生产一件微型模块需要占用质量控制区域0.4h的时间，消耗3个晶体管，另加0.5元的直接成本；生产一件电路集成器需要占用电路印刷区域0.1h的时间，测试与包装区域0.5h的时间，消耗3个晶体管、3个微型模块，另加2.00元的直接成本。 假设三种产品（晶体管、微型模块、电路集成器）的销售量是没有限制的，销售价格分别为2元，8元，25元。在未来的一个月里，每个加工区域均有200h的生产时间可用，请建立数学模型，帮助确定生产计划，使工厂的收益最大。 1.2问题分析 (1)问题梳理 已知一：生产一件晶体管需要占用晶体管生产线0.1h的时间，晶体管质量控制区域0.5h的时间，另加0.70元的直接成本； 已知二：生产一件微型模块需要占用质量控制区域0.4h的时间；
消耗3个晶体管，另加0.50元的直接成本; 已知三：生产一件电路集成器需要占用电路印刷区域0.1h的时间，测试与包装区域0.5h的时间，消耗3个晶体管、3个微型模块，另加2.00元的直接成本; 已知四：三种产品（晶体管、微型模块、电路集成器）的销售价格分别为2.0元，8元，25元。 已知五：工厂分为四个加工区，每个加工区的时间限定为200h。 问题：在规定的时间内，每种产品生产多少能给工厂带来最大利润？ (2)基本思路 总利润=总销售额-总成本=销量（单价-成本） 从总的销售额出发→各个销量→各个产量 需要注意的是生产一个微型模块的成本除了自身的直接成本外，还应该包括它所消耗的3个晶体管的成本。同样，生产一个微型模块的时间，也应该将生产3个晶体管的时间考虑在内。同理，计算生产电路集成器的成本和时间时也应该将它所消耗的别的产品的成本和时间考虑在内。 1.3数学模型 这是典型的线性规划（LP）问题，课设三种产品的销量分别为X,Y,Z，则由题意可得下表