第七节对数与对数函数[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底
公式能将一般对数转化成自然对数或常用对
数；了解对数在简化运算中的作用．
2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调
性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3.知道对数函数是一类重要的函数模型．
4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互
为反函数(a>0，且a≠1).
1.以对数运算法则为依据，考查对数运算、求
函数值、对数式与指数式的互化等．
2.以考查对数函数的单调性为目的，考查函数
值的大小比较、解简单的对数不等式等，如
2012上海T20等．
3.以对数函数为载体，以对数函数的性质为核
心，结合其他知识命题，如利用数形结合思
想判断解的个数、与不等式相结合考查代数
式的最值或参数的取值范围等，如2012年陕
西T14等.
[归纳·知识整合]
1．对数的定义
如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算
(1)对数的性质(a>0且a≠1)：
①log a1＝0；②log a a＝1；③a log a N＝N.
(2)对数的换底公式：
log a b＝
log c b
log c a(a，c均大于零且不等于1)．
(3)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log a(M·N)＝log a M＋log a N，
②log a M
N ＝log a M －log a N ，
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．
[探究] 1.试结合换底公式探究log a b 与log b a ， log a m b n 与log a b 之间的关系？ 提示：log a b ＝
1log b a ；log a m b n ＝n
m
log a b . 3．对数函数的图象与性质
a >1
0 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过点(1,0) 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值正负 当x >1时，y >0；当0 当x >1时，y <0；当0 时，y >0 [探究] 2.对数log a b 为正数、负数的条件分别是什么？ 提示：当????? a >1， b >1，或??? 0 0 当? ???? a >1，0< b <1，或??? 0 b >1时，log a b 为负数． 3．如何确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系？你能得到什么规律？ 提示：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0 4．反函数 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象 关于直线y ＝x 对称． [自测·牛刀小试] 1．(2012·安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.1 4 B.12 C ．2 D ．4 解析：选D ∵log 29＝2log 23，log 34＝2log 32， ∴原式＝4log 23×log 32＝4. 2．(教材习题改编)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为( ) A.? ?? ? ??x |x >34 B.? ??? ??x |34 ??? ??x |34 ??? ??x |34≤x ≤1 解析：选C 要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，则需log 0.5(4x －3)≥0，即0<4x －3≤1 ∴3 4 ? 0<2x －1，0<－x ＋5，2x －1>－x ＋5， 即????? x >1 2 ，x <5，x >2. ∴2 ∴不等式的解集为{x |2 4．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ????1a －1＝1 4，则a 等于________． 解析：函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，即 g (x )＝2x ， 又∵g ? ????1a －1＝14，∴21 1a -＝14，即1 a －1 ＝－2. ∴a －1＝－12，即a ＝1 2. 答案：1 2 5．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m ＝________. 解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m ＝2， ∴1lg m ＝2，即m ＝10. 答案：10 对数式的化简与求值 [例1] (1)计算： ①log 34 27 3 log 5[41 2 log 210－(33)23 －7log 72]； ②2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－2lg 2＋1. (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋ n . [自主解答] (1)①原式＝log 333 4 3·log 5[2log 210－(33 2)2 3－7log 72]＝????34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝????34－1·log 55＝－1 4. ②原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋ (lg 2)2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1. (2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3. ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 保持本例(2)条件不变，求log a 24的值． 解：log a 24＝log a 3＋log a 8＝log a 3＋3log a 2＝n ＋3m . ————— —————————————— 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 1．求解下列各题： (1)12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245＝________； (2)若3a ＝2，则2log 36－log 316＝________； (3)已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为________． 解析：(1)12lg 3249－4 3 lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1 2(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋1 2lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)因为3a ＝2，所以a ＝log 32. 故2log 36－log 316 ＝2(log 33＋log 32)－log 324 ＝2(1＋a )－4log 32＝2＋2a －4a ＝2－2a . (3)由已知可得log m x ＝124， log m y ＝140，log m (xyz )＝1 12， 于是log m z ＝log m (xyz )－log m x －log m y ＝112－124－140＝1 60， 故log z m ＝60. 答案：(1)1 2 (2)2－2a (3)60 对数函数的图象及应用 [例2] 已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A ．0 1 1 1 1<1 [自主解答] 令g (x )＝2x ＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f (x )＝log a g (x )是单调递增的，所以必有a >1. 又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1 [答案] A ————— —————————————— 由对数函数的图象确定参数的方法 已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围． 2．已知函数f (x )＝????15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0 A ．不小于0 B ．恒为正数 C ．恒为负数 D ．不大于0 解析：选B 由题意知，x 0是函数y ＝????15x 和y ＝log 3x 的图象交点的横坐标，因为0 1>log 3x 1，所以f (x 1)的值恒为正数． 3．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12 a ，????12b ＝log 12 b ，??? ?12c ＝log 2c ，则( ) A ．a D ．b 解析：选A 如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝??? ?12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x 和log 12 x 的图象． 由图象可知a 对数函数的性质及应用 [例3] 已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． [自主解答] (1)∵a >0且a ≠1，设t ＝3－ax ，则t ＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t 最小值为3－2a .当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，即a <3 2.又a >0且a ≠1， ∴a ∈(0,1)∪??? ?1，32. (2)t ＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )在R 上为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数．∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴????? 3－2a >0， log a (3－a )＝1，即??? a <3 2 ，a ＝32， 故不存在． 若将本例中“3－ax ”改为“a x －1”，试讨论f (x )的单调性． 解：要使函数f (x )＝log a (a x －1)有意义， 则a x －1>0. 当a >1时，由a x －1>0，得x >0； 当00，得x <0. ∴当a >1时，函数的定义域为{x |x >0}； 当0 . 当a >1时，0 a x 2－1<1. ∴log a a x 1－1a x 2－1 <0，即f (x 1) ∴log a a x 1－1 a x 2－1 <0，即f (x 1) ∴函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)为单调增函数． ————— —————————————— 利用对数函数的性质研究对数型函数 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 4．(2012·上海高考改编)已知函数f (x )＝lg(x ＋1) (1)若0 (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式． 解：(1)由? ???? 2－2x >0， x ＋1>0，得－1 由0 x ＋1<1 得1<2－2x x ＋1 <10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得 －23 . 由????? －1 得－23 4种方法——解决对数运算问题的方法 (1)将真数化为底数(或已知对数的数)的幂的积，再展开； (2)将同底对数的和、差、倍合并； (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用； (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 3个基本点——对数函数图象的三个基本点 (1)当a >1时，对数函数的图象“上升”； 当0 (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，????1a ，－1，函数图象只在第一、四象限． (3)底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系． 2个应用——对数函数单调性的应用 (1)比较对数式的大小： ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需 对底数进行分类讨论． ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式： 形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式. 数学思想——利用数形结合思想，求解对数不等式问题 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合．“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． [典例] (2012·新课标全国卷)当0 A.? ?? ? 0， 22 B.?? ? ? 22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) [解析] ∵0 2，∴4x >1 又4x 则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图所示． ∴只需满足log a 1 2>2即可， 解之得a > 22，∴2 2 [答案] B [题后悟道] 1．解决本题的关键是在同一个坐标系内正确画出函数y ＝4x 及y ＝log a x 的图象． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循以下三个原则： (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转化必须是等价的，否则解题将会出现漏解． (2)双向性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，避免代数问题进行几何分析时出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围． [变式训练] 1．不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为( ) A ．[ 16 5，9 4 ] B ．[ 16 5，94 ] C ．(1， 165 ] D ．(1，9 4 ] 解析：选B 不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{2,3,4}， 则应满足? ???? log a 4>(4－1)2，log a 5≤(5－1)2，得165≤a <9 4. 2．不等式ln x ＋x <1的解集为________． 解析：ln x ＋x <1?ln x <1－x ，于是作出函数y ＝ln x ，y ＝1－x 的图象，如图所示，于是可得不等式ln x ＋x <1的解集为{x |0 答案：{x |0 1．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A.1 b B ．－1b C ．－b D ．b 解析：选C 易知f (x )的定义域为(－1,1)，则f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数． ∴f (－a )＝－f (a )＝－b . 2．(2013·福州模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是( ) 解析：选A ∵y ＝lg|x －1|＝? ???? lg (x －1)， x >1， lg (1－x )， x <1， ∴A 项符合题意． 3．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3) 解析：选B 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1) 所以f (2)＝f (－2)，所以f (1) 4．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( ) A ．n >m >p B ．m >p >n C ．m >n >p D ．p >m >n 解析：选B 当a >1时，a 2＋1>2×a ×1＝2a ＝a ＋a >a －1>0，因此有log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即有m >p >n . 5．(2013·丹东模拟)函数y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：选C y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1 x ＝ log 2??? ?x ＋1 x ≥log 22＝1(x >0)． 6．(2013·黄冈模拟)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m A.1 2，2 B.12，4 C. 2 2 ， 2 D.14 ，4 解析：选A f (x )＝|log 2x |＝? ???? log 2x ，x >1， －log 2x ，0 根据f (m )＝f (n )(m 2 . 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝lg x ．若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1.∴lg(ab )＝1.∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg a ＋2lg b ＝2lg(ab )＝2. 答案：2 8．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________． 解析：(1)当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝ 1，所以a ＝2. (2)当0 4＝1， 所以a ＝1 2 . 由(1)(2)知a ＝2或a ＝1 2 . 答案：2或1 2 9．若不等式x 2－log a x <0在????0，1 2内恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2－log a x <0在????0，1 2内恒成立， ∴0 2 . ∴??? 0 a 14 >1 2， 解得1 16 答案：????116，1 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈???? 13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝log a x ， 当00， 当a >1时，????f ????13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23>0， ∴??? ?f ????13>|f (2)|总成立． 则y ＝|f (x )|的图象如图． 要使x ∈????13，2时恒有|f (x )|≤1， 只需????f ????13≤1，即－1≤log a 13 ≤1， 即log a a －1≤log a 1 3≤log a a ， 当a >1时，得a －1≤1 3≤a ，即a ≥3； 当0 3. 综上所述，a 的取值范围是????0，1 3∪[3，＋∞)． 11．设函数y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式及定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性． 解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]， ∴lg y ＝3x ·(3－x )． ∴f (x )＝10 3x (3－x ) 且????? 3x >0， 3－x >0， ?0 设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3????x －322＋274，则f (x )＝10u ，当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274， ∴u ∈? ???0，27 4.∴f (x )∈(1,1027 4]． (3)当0 时，u ＝－3????x －322＋27 4是增函数， 而y ＝10u 为增函数，∴在????0，32上，f (x )是增函数，在????3 2，3上，f (x )是减函数． 12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象． (1)写出函数g (x )的解析式； (2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋1 1－x ≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要 F (x )min ≥m 即可．∵F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝ log a ???? ??－? ????1＋2x －1在[0,1)上是增函数， ∴F (x )min ＝F (0)＝0，故m ≤0即为所求． 1．化简下列各式： (1)lg 70－lg 56－3lg 1 2；(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋1 4 lg 16. 解：(1)原式＝lg(7×10)－lg(7×8)－lg 1 8＝lg 7＋1－lg 7－lg 8＋lg 8＝1. (2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24 ＝2lg 2＋lg 3 1＋lg 2×310＋lg 2 ＝ 2lg 2＋lg 3 1＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 3 2lg 2＋lg 3 ＝1. 2．设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 3 4 3 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a B ．c C ．b D ．b 解析：选B 由对数函数的性质知c ＝log 3 43＝log 13 34，由对数函数的单调性知log 13 3 4 23 1 2 ，即c 3．对于函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)，解答下列问题： (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围． 解：设u ＝g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2. (1)∵u >0对x ∈R 恒成立． ∴u min ＝3－a 2>0， ∴－30的解为R ，得 Δ＝4a 2－12<0，求出－3 ? ?? ?? g (x )在(－∞，1]上为减函数， g (x )>0对x ∈(－∞，1]恒成立 ???? a ≥1，g (1)>0?? ???? a ≥1， a ＜2. 即所求a 的取值范围是[1,2)． 4．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值； (2)若方程f (x )＝m 有解，求m 的取值范围． 解：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )， ∴log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ， 即log 4 4x ＋1 4－x ＋1 ＝－4kx . ∴log 4 4x ＝－4kx ， 即x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0， 对一切x ∈R 恒成立．∴k ＝－14. (2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－1 2x ＝log 4 4x ＋12x ＝log 4????2x ＋1 2x ， ∵2x ＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝1 2 . 故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为????12，＋∞. 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝b 解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1). 对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10， 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)． 【基础再现】 1．对数的定义 如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________. (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N ＝____________； 3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质 5 指、对函数的关系 ③log a M n＝__________(n ∈R)； ④log am M n＝ n m log a M. 【例题选讲】 例1 ⑴27 log 9 ，⑵81 log 43 ，⑶()()3 2 log 3 2 - + ，⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?＝. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =，35 b=用a b ，表示log 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 第6讲 对数与对数函数 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．如果 ，那么x ，y,1的大小关系是________． 解析 ∵ 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 1＜y ＜x 2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 －1 3．函数y ＝log 12 (3x －a )的定义域是? ????23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a 3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2 4．已知f (x )＝??? 2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 18 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________． 解析 当x ＝2时y ＝2. 答案 (2,2) 6．(2012·重庆卷改编)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233>log 22＝1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a >1，c ＝log 32 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 一、选择题（每小题 4分，共 计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （） A ．71 7 7)(m n m n =B ． 3 3 39=C ．4 343 3)(y x y x +=+D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 613 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 1 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 第6节 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重 要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a >1 0 一、指数函数 1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞． 2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数 1． 对数定义： 一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质： （1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a = 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N = 要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求 对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 第6讲 对数与对数函数 1．对数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，????1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 解析：选B .因为y ＝x ln(1－x )，所以? ????x ≥0， 1－x >0，解得0≤x <1. 函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． lg 5 2 ＋2lg 2－????12－1＝________． 解析：lg 52＋2lg 2－????12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1 (教材习题改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 对数式的化简与求值 [典例引领] 计算下列各式： 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 1 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 1．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg (x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg (xy )＝2lg x ·2lg y 解析： 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确． 答案：D 2．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( ) 解析：∵f (x )＝2|log 2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数， 它们的图象关于直线y ＝x 对称． (补充) 设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)， 1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象 关于直线y x =对称．第6讲 对数与对数函数
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
3.2.3指数函数与对数函数的关系教案
对数与对数函数
指数函数与对数函数高考题
2015高考数学(理)一轮题组训练：2-6对数与对数函数
指数函数对数函数和幂函数知识点归纳
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数
带答案对数与对数函数经典例题.
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2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版
指数函数、对数函数、幂函数教案
指数函数与对数函数知识点总结
6 第6讲 对数与对数函数
高一数学指数函数对数函数幂函数练习含答案
2015届高考数学总复习 第二章 第六节对数与对数函数课时精练试题 文(含解析)
对数与对数函数知识点与题型归纳
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