曲线积分曲面积分总
结
第十三章 曲线积分与曲面积分
定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.
第一节 对弧长的曲线积分
一、
对弧长的曲线积分的概念与性质
在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构
件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．
如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于
图13-1
(),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似
值．即
()∑=?≈n
i i i i s y x M 1,ρ．
用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当
0λ→时的极限，从而得到
1lim (,).n
i i i i M s λρξη→∞
==?∑
即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：
定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为
i s ?(1,2,
,i n =)，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积
()i i i s f ?ηξ,，并作和()i i i n
i s f ?∑=ηξ,1
，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，
此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()?L
ds y x f ,, 即
1
(,)lim (,)n
i i i L
i f x y ds f s λξη→==?∑?
,
其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为
()?L
ds y x f ,．
类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义
()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()?L
ds z y x f ,,．
这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为
(,).L
M x y ds ρ=?
由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则
(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且
()()()()(),,,,L
L
L
f x y
g x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±???；
性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立
12
1
2
L L L L fds fds fds +=+?
??．(12L L +表示L )
对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、
第一类曲线积分的计算
定理13.1 设有光滑曲线
():,[,].()x t L t y t ?αβψ=?∈?=?
即'()t ?,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且
()()()(,,L
f x y ds f t t β
α
?ψ=?
?
证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设
0((),())M ?αψα=，((),())n M ?βψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<= 记小弧段
1i i M M -的长度为i s ?，那么
,1,2,.i
i t i t s i n -?==?
1,(').i
i t i i i i t s t t τ--?=<
所以, 当('')i i x ?τ=,('')i i y ψτ=时,
i
i i 1
1
(,)((''),(t ,n n
i
i
i
i i f x y s f ?τ
ψτ==?=∑∑
这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设
n
i i i 1
f ((''),(i t σ?τψτ==?∑
则有
n n
i
i
i
i
i i i 1
i 1
f (x ,y )s f ((''),(t .?τ
ψτσ==?=+∑∑
令12n t max{t ,t ,,t },?=??? 要证明的是t 0
lim 0.σ?→=
因为复合函数f ((t),(t))?ψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在
M ，对一切t [,]αβ∈有
|f ((t),(t))|M.?ψ≤
[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给
0ε>，必存在0δ>，当t δ?<时有
|.ε≤
从而
1
||().n
i i M t M σεεβα=≤?=-∑
所以
lim 0.t σ?→=
再从定积分定义得
n
22i i i i i 0
i 1lim f ((''),(''))'('')'('')t t ?τψτ?τψτ?→=+?∑
22((),())'()'().f t t t t dt β
α
?ψ?ψ=+?
所以当n n
22i i i i i i i i i 1
i 1
f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ?τψτ?τψτσ==?=+?+∑∑两边取极限
后，即得所要证的结果.
特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为
(),,y y x a x b =≤≤
则
()()()()()2
,,1'b L
a
f x y ds f x y x y x dx =+?
?．
例13.1 计算曲线积分?
L
ds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点
()1,1B 之间的一段弧．（如图13.1-2）
图13-2
解：积分曲线由方程
[]1,0,2∈=x x y
给出，所以
()()
?
?
+=1
2
22'1dx x x ds y L
10
=?
()1
0241121??????+=x =()
155121
-.
例13.2 计算积分()22n
L
x y ds +?，其中L 为圆
周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.
解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以
()
()(
)
()
22
22
20
sin cos n
n
L
x
y
ds a t a t π
+=
+??
?==π
π20
222n n a dt a ．
对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有
()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而
()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L
??
++=β
α
222''',,,,．
例13.３ 计算曲线积分()
?Γ
++ds z y x 222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t =
sin ,y a t = z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．
解：由上面的结论有
()
()
()()
()
()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x
?
?++-++=++Γ
π
20
2222
2
2
222
cos sin sin cos
()(
)
2
222220
222
22
433
2
k a k a dt
k a t k a
πππ
++=++=?
例14.4 计算2L
x ds ?, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得
的圆周.
解：由对称性可知
222,L
L
L
x ds y ds z ds ==?
??
所以
22
222
3
12().33
3L L L a x ds x y z ds ds a π=++==???
习题13.1
1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.
2. 计算曲线积分222()x y z ds Γ
++?，其中Γ为螺旋线cos x a t =，
sin y a t =，z kt =上相应于t 从0到2π的一段弧.
3. 计算,x C
ye dS -?其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1
t =间的一段弧.
4. 求L xydS ?，其中L 是椭圆周22
221x y a b
+=位于第一象限中的那部分。
5.
计算?
，其中L 为曲线222.x y y +=-
6. 求L xdS ?，其中L 为双曲线1xy =从点1
(,2)2到点(1,1)的一段弧。
7. 计算()L
x y ds +?其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.
8. 计算22
x y L
e
ds +?其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限
内所扇形的整个边界.
9. 计算2,x yzds Γ
?其中Γ为折线,ABCD 这里A 、B 、C 、D 依次为点
(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。
10. 计算22()L
x y ds +?，其中L 为曲线(cos sin )x a t t t =+, (sin cos )y a t t t =-
(02)t π≤≤.
11. 设L 为双纽线222222()()x y a x y +=-, 计算积分||L
I y ds =?.
12. 设L 为椭圆22
143
x y +
=, 其周长为a , 求22(234)L xy x y ds ++?. 参考答案
1．3(sin cos )R ααα-
2.2222
4)3a k π+ 3.
2
13ln 21624
ππ-+ 4.22()3()
ab a ab b a b +++
5. 00
4sin 4sin 8d d π
π
θθθθ--=-=??
6. 21111[ln ]2
241t t t -=++
8. 224a e a π?
?+- ???
9. 9
10. 2322(12)a ππ+
11. 22(2a 12. 12a
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题. 例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线()()():,,L x x t y y t z z t ===运动，当a t =时，对应曲线上的一个端点
A ，当b t =时，对应曲线的另一个端点
B ，在外力
()()()()z y x R z y x Q z y x P z y x ,,,,,,,,++=
的作用下质点从A 移动到B ，现在求力F 所作的功．
由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有s F W ?=．现在的是一个变量，位移→
s 也是变量．为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入n 个分点B M M M A M n ==,...,,,210这些点对应的t 分别是
b t t t a n ==,...,,10．在每一小段弧i i M M 1-上，可以认为位移就是i i M M 1-，在小
弧段i i M M 1-上任意一点()i i i ζηξ,,的力()i i i F ζηξ,,→
来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力．于是当质点从1-i M 移到i M 时，力→
F 所作的功近似为
()i i i i i M M F 1,,-→
?ζηξ，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力→
F 的作
用下质点从A 移动到B 所作的功的一个近似值．即
()i i n
i i i i M M F W 11,,-=?≈∑ζηξ
注意()()()()},,,,,,,,{,,z y x R z y x Q z y x P z y x F =，而},,{1i i i i i z y x M M ???=-，所以
()i i n
i i i i M M F W 11,,-=?≈∑ζηξ
()()()()i i i i i i i i i i i i n
i z R y Q x P ?+?+?=∑=ζηξζηξζηξ,,,,,,1
．
再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值λ趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力F 所作的功．即
()()()()i i i i i i i i i i i i n
i z R y Q x P W ?+?+?=∑=→ζηξζηξζηξλ,,,,,,lim 10
．
从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.
定义13.2 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分) 设L 是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为A 和B . ()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,为定义在曲线L 上的函数．在L 内依次插入点121,...,,-n M M M ，并令0000(,,)M x y z A =,
(,,)n n n n M x y z B =.并且这些点是从A 到B 排列的. 这样就将曲线L 分为n 个小的
弧段i i M M 1-(1,2,,i n =)．设1--=?i i i x x x ，1i i i y y y -?=-，1i i i z z z -?=-．记
各弧段长为i s ?, 1max{}i i n
s λ≤≤=?. 在小弧段i i M M 1-上任意取一点()i i i ζηξ,,，若
()∑=→?n
i i i i i x P 10
,,lim ζηξλ存在，则称之为函数()z y x P ,,在有向曲线L 上对坐标x 的曲
线积分(或称第二类曲线积分)．记为()?L
dx z y x P ,,．即
()?L
dx z y x P ,,＝()∑=→?n
i i
i
i
i
x P 1
,,lim ζηξλ
．
类似地，有
()?L
dy z y x P ,,＝()∑=→?n
i i
i
i
i
y Q 10
,,lim ζηξλ
；
()?L
dz z y x P ,,＝()∑=→?n
i i
i
i
i
z R 1
,,lim ζηξλ
．
分别称为函数在有向曲线L 上对坐标y 和对坐标z 的曲线积分．这些积分统称为第二类曲线积分．
若L 为封闭有向曲线,则记为(),,L
P x y z dx ?、(),,L
P x y z dy ?或
(),,L
P x y z dz ?．
由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质： １．()()()()()()????++=++L
L
L
L
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,,,,,,,；
２（线性性）：若两个向量值函数(,,)(,,)(,,)i i i L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
(1,2,,i k =)存在, 则
()1111,k k k k
i i i i i i i i
i
i
L L
L
L
i i i i c P dx c Q dy c R dz c Pdx Q dy R dz ====??????
++=++
? ? ???????
∑∑∑∑????
其中(1,2,
,)i c i k =为常数．
３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线L 分成了两段1L 和2L ，它们与L 的取向相同（记12L L L =+），则向量函数(,,)f x y z 在L 上的第二类曲线积分的存在性等价于(,,)f x y z 在1L 和2L 上的第二类曲线积分的存在性．且有
()()()???+=+1
2
2
1,,,,,,L L L L dx z y x f dx z y x f dx z y x f ；
４（方向性）：如用L -表示与L 方向相反的曲线．则有
()()??-=-L
L
dx z y x f dx z y x f ,,,,．
二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算
设L 的参数方程为()()()??
?
??===t z z t y y t x x ,[,]t αβ∈，起点为()()()(),,A x y z ααα ，终
点为()()()(),,B x y z βββ，函数()()()t z t y t x ,,都具有连续导数．在曲线弧上插入若干个点02,,...,n M M M ，相应于t 的取值分别是012,,,...n t t t t αβ==，
()i i i i z y x M ,,，()()()?-'=-=?-i
i t t i i i dt t x t x t x x 11 ，而1--=?i i i t t t ，于是由积分
中值定理有()i i i t x x ?'=?τ．此时取i i i ?ηξ,,分别为)(i x τ,),(i y τ)(i z τ，则
()()()()()()()()()()0
1
,,lim ,,,,n
i
i
i
i
i L
P x y z dx P x y z t P x t y t z t x t dt
λ
β
α
τττ→==?'=∑??
类似地可以求()?L
dy z y x Q ,,和()?L
dz z y x R ,,．最后得到
()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,',,P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t Rz t dt β
α
++''=++?? 在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点． 求曲线积分的一般步骤是： １． 将z y x ,,用各自的参数方程代替；
２． 将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限； ３．
将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．
特别地，当L 是平面xoy 上的光滑曲线时，设曲线方程为()y y x =，起点和终点对应的x 的值分别是,a b ，则有
()()()()()()()
,,,,'b
a
L
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y y x dx +=+??．
例13.5 计算曲线积分?L
xydx ，其中L 为抛物线2x y =从点
()1,1A 到点()1,1-B 的一段弧，如右图．
解：将要计算的积分化为对x 的定积分，即以x 为积分变量，
曲线段的起点和终点对应的x 的值分别是1和1-，将曲线积分中的y 用2x 代
替，所以
()1
241
11
1|04
L
xydx x x dx x --==
=?
?． 例13.6 计算曲线积分?-L
ydx xdy ，其中L 为椭圆122
22=+b y a x 沿逆时针方
向．
图13-3
解：椭圆的参数方程为cos,sin,02
x a t y b t tπ
==≤≤，所以可以将曲线积分化为对参数t的积分，起点和终点所对应的t的值分别为0和π2，y
x,分别用参数方程代替，由此得到
()()
ab
dt
ab
t
a
td
b
t
b
td
a
ydx
xdy
L
π
π
π
2
1
cos
sin
sin
cos
2
2
=
=
-
=
-
?
?
?
注意，这个积分刚好是椭圆面积的两倍．
例13-4图例13-5图
例13.7计算曲线积分?+
L
ydx
xdy．其中L分别是下面的曲线段．
(1) 抛物线x
y=
2上从点()0,0
O到点()1,1A的一段弧；
(2) 直线x
y=上从点()0,0
O到点()1,1A的一段弧；
(3) 从点()0,0
O到沿x轴点()0,1B，再由()0,1B竖直向上至()1,1A．
解：(1) 将积分化为对y的定积分，起点和终点对应的y的值分别是1
0和，x用2y代替，得到
()
1
|
31
3
1
2
1
2
2
=
=
=
+
=
+
?
?
?
y
dy
y
y
yd
dy
y
ydx
xdy
L
(2)将积分化为对x的定积分，起点和终点对应的y的值分别是1
0和，y用x代替，得到
()
1
|210
21
01
0===+=+???
x xdx x xd xdx ydx xdy L
(3) 曲线可以分为两段，其中一段的曲线方程为0=y ，另一段的曲线方程为1=x ，所以
()()1
110010
10
=+++=+++=+?????yd dy dx xd ydx
xdy ydx xdy ydx xdy OA OB L
从上面的例子可以看出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同．
例13.8 计算2L
y dx ?,其中L 为(1) 半径为a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行
的上半圆周；（2）从点(,0)A a 沿x 轴到点(,0)B a -的直线段．
解 （1）因为
cos :sin x a L y a θ
θ
=??
=?，02θπ≤≤. 那么
2
220
sin (sin )L
y dx a a d π
θθθ=-?
?
32304(1cos )(cos ).3
a d a πθθ=-=-?
(2) 积分路径为:0,L y = x 从a 变到a -, 因此
2
00.a
L
a
y dx dx -==?
?
从这个例子可以看出: 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分
结果不同. 三、
两类曲线积分的联系