定理12.11（莱布尼茨判别法） 交错级数
1
1234(1)(1)
n n u u u u u +-+-++-+
>=(0,1,2,),
n u n 若级数的各项符号正负相间, 即
则称为交错级数
. 若交错级数(1)满足:
(i){};
n u 数列单调递减→∞
=(ii)lim 0,
n n u 则级数(1)收敛.
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证 考察交错级数(1)的部分和数列{S n }, 和偶数项分别为
---=---
--211232221()(),m m m S u u u u u -=-+-+
+-21234212()()().
m m m S u u u u u u 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,
(ii)又由条件知道
从而{ [S 2m , S 2m-1] }是一个区间套.
212200(),
m m m S S u m -<-=→→∞在惟一的实数 S, 使得
它的奇数项 {}是递减的，从而数列
12-m S {}.2是递增的而数列m S 由区间套定理, 存
推论
-→∞
→∞
==212lim lim .
m m m m S S S {},(1).
n S 所以数列收敛即级数收敛若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛
级数(1)的余项估计式为
+≤1.
n n R u 对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
+-+-++-+
-1
1111
1(1)
;(3)
3!5!7!
(21)!
n n 1
2341234(1)
.(4)
10101010
10
n n n +-+-++-+1
1111(1)
;(2)
23
1
n n +-+++-++
定理12.12
12(5)
n u u u ++
++
++
++
12(6)
n u u u 收敛,
各项绝对值组成的级数
绝对收敛的级数是收敛的.
绝对收敛级数及其性质
若级数
则称原级数(5)为绝对收敛级数.
由于
+++++
+12m m m r
u u u 因此由柯西准则知级数(5)也收敛.
+++≤++
+12m m m r u u u <ε
对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
整数 r , 有
+++++
+<12m m m r u u u ε
证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则, 对 ,ε于任意正数N 总存在正数，n N >使得对和任意正
=+
++
+∑2
.
!
2!!
n
n
n n α
α
α
α+→∞→∞==+1lim lim 0,1n n n n
u u n α的各项绝对值所组成的级数是
因此, 所考察的级数对任何实数 α都绝对收敛.
例1 级数
∞
==++
+
+
∑2
1
!2!!
n
n
n n n α
α
α
α,α应用比式判别法,对于任意实数都有
全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级 数两大类.
若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条 件收敛. 12(5)
n u u u ++
++
++
++
12(6)
n u u u ()∑∞
=--11
1
1n n n 条件收敛，例如级数()()21
111110,n
n n
n n n n ∞
∞
==--∑∑而.
均绝对收敛
相应地称级数 ()1
k n n u ∞
=∑
为级数(5)的重
++++
12,(7)
n v v v 作
:()f n k n →称为正整数列的重排, →()(){}:{}n n k n k n u F u u u 按映射所得到的数列称为
我们把正整数列{1,2,…,n , …}到它自身的一一映射
1.级数的重排
下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质. 相应地对于数列
原数列的重排. .排(),n k n v u =为叙述上的方便,记()写
即把级数∑∞
=1
n n k u
定理12.13
第一步 设级数(5)是正项级数, 部分和. =++
+12m m
v v v σ表示级数(7)的第m 个部分和. ≤≤(1)k v k m k
i u 的重排, 所以每一 应等于某一 (1).k m ≤≤记=12max{,,
},
m n i i i *证 只要对正项级数证明了定理的结论, 对绝对收 敛级数就容易证明定理是成立的.
所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S .
设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S , 则任意重排后 用S n 表示它的第 n 个 用
因为级数(7)为级数(5)
即级数(7)收敛, 且其和 ≤.
S σ由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有 S σ≤S =σ
, 从而得到 . 这就证明了对正项级数定 理成立.
第二步 证明(7)绝对收敛.
且绝对收敛, ∑n
v
收敛, 则对于任何
,m .n m S n ≤σ，使都存在,lim S S n n =∞
→由于,,
m m S σ≤所以对任何正整数都有设级数(5)是一般项级数 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
即级数(7)是绝对收敛的.
0,0,0;
n n n n u p u q ≥=≥=当时0,0,0.n n n n n u p q u u 当时从而
<===-≥要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S . 一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 根据第 所以先 为此令
,2
n
n n u u p +=)8( .2n n n u u q -=
,0n n u p ≤≤)9( ,0n n u q ≤≤,n n n u q p =+)
10( .n n n u q p =-
==-∑∑∑.
n n n S u p q 对于级数(5)重排后所得到的级数(7), ''=-∑∑∑,n n
n v p q ''∑∑∑∑,,n
n n n p q p q 显然分别是正项级数的重排,办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差
其和不变, 从而有
''=-=-=∑∑∑∑∑.n n
n n n v p q p q S ∑∑,n n p q 知 都是收
敛的正项级数. 因此
由级数(5)绝对收敛, 及(9)式, 也可按(8)式的
注 定理12.13只对绝对收敛级数成立. 数重排后得到的新级数不一定收敛,
不一定收敛于原来的和.
适当重排后, 既可以得到发散级数,
设其和为A , 即
+-=-+-+-+-+
=∑1
11111111
(1)1.
2345678n A n 1
,2
乘以常数后有
例如级数 ()11
1
1n n n ∞
-=-∑条件收敛, 条件收敛级 即使收敛, 也 更进一步, 条件收敛级数 也可以收敛于 任何事先指定的数.
+-=-+-+=∑1111111(1).224682
n A
n +-++-+=1111131.325742
A 将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排: 我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习
指导书下册). 2. 级数的乘积
=∑∑,
n n a u au ∑n u 由定理12.2知道, 若 为收敛级数, a 为常数, 则
由此可以立刻推广到收敛级数 ∞
=∑1
n n u 与有限项和的乘
积,即
∞∞===++
+=∑∑∑121
11
(),
m
m n k n n n k a a a u a u 那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质? =++++=∑12,(11)n
n u
u u u A 12.
(12)
n
n v
v v v B =++
++
=∑将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下
设有收敛级数
表:
1112131212223231323331
2
3
(13)
n n n n n n n n
u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v i j u v 这些乘积可以按各种方法排成不同的级数, 用的有按正方形顺序或按对角线顺序.
依次相加后,有 +++++
1112222113u v u v u v u v u v ++++23333231(14)
u v u v u v u v 常
11
12131212223231
32333123
n n n n n n n n
u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v ↓↓↓↓←
↓↓↓←←↓↓←←←↓↓←←←←正方形顺序
111221132231.(15)
u v u v u v u v u v u v ++++++
11
12
1321
222331
32
33
u v u v u v u v u v u v u v u v u v ↓→??←?
←对角线顺序