2
第十六章二次根式
课题： 16.1 二次根式 课型： 新授课教学目标：
1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义
2、会确定二次根式有意义的条件，知道
a ( a ≥ 0是) 非负数，并会运用会进行二次根式的平方
运算，
3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究
a
和
a
2
所含运算、运算顺序、
运算结果分析，归纳并掌握性质
教学重点：
1.
a 有意义的条件 .2. a ≥0时 a ≥0的应用 .3.
2
a
和
a
2
的运算、化简
教学难点：
当 a <0 时
a 2
的化简
教 学 过 程 ： 一、复习引入
在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。二、探究新知 （一）定义及非负性
活动 1、填空，完成课本思考
1：
65 ， S ， 2 ， h
5
活动 2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义 .
活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法 .
活动 4、思考下列问题：
① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？ 3 是不是？ ②定义中为什么要加 a ≥0
？若 a<0， a 表示什么？有无意义？
③当 a=0 时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0 时，
a 表示什么？可不可能为负数？ a ( a ≥0)
是什么样的数呢？
例 1、当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结
果是怎样的实数？
x 2 ，
1
，x2 3 x 1
练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，x2 ，x3 有意义？
1、若x 2 m ，则x 和m 的取值范围是x ；m .
2、已知x 3 y 5 0 ，求x, y 的值各是多少？
（二）两个运算性质
活动5、完成课本探究 1
活动6、对
2
a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不
变.
练习：课本例 2
活动7、完成课本探究 2
活动8、对a2 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；
一个负数先平方再开方结果为相反数.
练习：课本例 3
补充练习：
1、化简：(4)2 ，(2 3 )2 ；
2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中 c 为斜边，则式子
2
a - c 与式子(a c) 2有什么
关系？
三、课堂训练
完成课本中两个练习.
1、m 1
2、m 1m 成立的条件是. m 成立的条件是.
四、小结归纳
1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.
2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.
3、简单介绍代数式的概念.
4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.
五、作业设计
必做：P5：1、2、3、4、5、6
选做：P5：7、8、9、10
教学反思
2
教学课题：16.2 二次根式的乘除（第 1 课时）教学课型：新授课
教学目标：
1. 会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算
2. 会利用积的算术平方根性质化简二次根式经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公
式的双向性得到积的算术平方根性质.
3. 通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之
后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法
教学重点：双向运用 a b ab ( a ≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算
教学难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法
教学过程
一、复习引入：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来
学习乘法运算
二、探究新知
（一）二次根式乘法法则
活动1、1.填空，完成课本探究 1
2.用1 中所发现的规律比较大小36×436 4 ； 2 × 3 6
活动2、给出二次根式的乘法法则
活动3、思考下列问题：
①公式中为什么要加 a ≥0,b ≥？0
②两个二次根式相乘其实就是不变，相乘
③ a b c （a ≥0,b ≥，0c≥0）=
练习：课本例1，在（1）（2）之后补充（3） a 4 a
归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化
（二）积的算术平方根性质
活动 4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质
完成课本例2，在（1）（2）之间补充48
归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外.
例 3.计算:
（1）14分析：7 （2）3 5 2 10 ；（3） 3 x
1
xy
3
（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是
否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与
剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.
（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）
三、课堂训练
完成课本练习.
补充：1.
2.化简：x 1 x 1
x3 y x 0
x 2 1成立，求x 的取值范围.
四、小结归纳
1. 二次根式乘法公式的双向运用；
2. 进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法
五、作业设计
必做：P10：1、3（1）（2）、4
补充作业：
1. 计算:
(1) 7
1
5 ；(2) 27 ；(3) 5
3
15 ；(4) 3 2 4 8
2. 化简(1) 27x2 y3；(2) 2a
18ab 3
教学课题：16.2 二次根式的乘除（第 2 课时）教学课型：新授课
教学目标：
1. 会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.
2. 会利用商的算术平方根性质化简二次根式.
3. 理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.
4 通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法
a 教学重点：双向运用
b a
(a
b
0、b 0) 进行二次根式除法运算
教学难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算
教学过程：
一、复习引入
导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算.
二、探究新知
( 一)二次根式除法法则
活动1、1.填空，完成课本探究 1
2.用1 中所发现的规律比较大小
2 2 ； 2 2
8 8 5 5
活动2、给出二次根式的除法法则
活动3、思考下列问题：
①公式中为什么要加 a ≥0,b>0？
②两个二次根式相除其实就是不变，相除
练习：课本例4，在（1）（2）之后补充（3）4a 3 a
归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.
(二)商的算术平方根性质
活动 4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质
完成课本例 5
归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.
例 6.计算:
（1） 3 （2）3 2
5 27 ；（3）8
2 a
分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本性质和公式( a ) 2 a ， a b ab (a 0, b 0) ，以去掉分母中的根号.
（三）最简二次根式概念
活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.
分析概念： 1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式； 2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指 ---- 被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是
指---- 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是 1.
完成课本例7
补充：化简x 2 y4 x 4 y2
注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.
三、课堂训练
完成课本练习.
补充：
1. x 1
x 1 x 1 成立，求x 的取值范围. x 1
2. 找出下列根式中的最简二次根式
3. 判断下列等式是否成立
四、小结归纳
1. 二次根式除法公式的双向运用；
2. 进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.
3.最简二次根式概念
五、作业设计
必做：P10：2、3（3）（4）、5、6、7
选做：P11：8、9、10
教学课题：16.3 二次根式的加减（第 1 课时）教学课型：新授课
教学目标：
1. 知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.
2. 能熟练将二次根式化简成最简二次根式.
3. 会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算
教学重点：二次根式加减法运算方法
教学难点：二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式
教学过程
一、复习引入
上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算.
二、探究新知
( 一)二次根式加减法法则
活动1、类比计算，说明理由
① 2 a +3 a ；2 2 3 2 .
② 2 a -3 a；22 3 2 .
③ 3 12 ；12 18
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？
（3）什么样的二次根式能够合并？
（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？
活动2、给出二次根式的加减法法则
分析法则：
二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数
相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.
练习：①课本例1，补充（3） 2 18 （4）1
8 2
②课本例2，补充24 1 1
6 2 8
分析说明：
①中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，例 2 的过渡。②中补充括号前是负号的.
(二)二次根式加减的应用
1.课本引例
分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较.
三、课堂训练
完成课本练习
补充：
1. 下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（）
A.ab 与ab 2
B. m 2n 2 与m 2 n 2
1 1 8 3 4 9 a 3 b 4
C. mn 与
D. a b 与
m n 9 2
2. 二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是如此？
四、小结归纳
1. 进行二次根式加减运算的一般步骤.
2. 二次根式的熟练化简.
3. 二次根式加减的实际应用.
五、作业设计
必做：P15：1、2、3
选做：5
补充作业：
计算:
（1）3 2 2 ；（2）2 1227 ；
（3）18 9
；（4）
2
4x2 2 2x ；
（5） 2 x 2 a 2 x 3；（6）18 32 2 ；
（7）75
1 （8）( 2
2 54 96
3 )
3
(
4
108
2
；
27 )
教学课题：16.3 二次根式的加减（第 2 课时）教学课型：新授课
教学目标：
1. 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学
知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算
2. 对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算
律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.
3. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系. 教学重点：混合运算的法则，运算律的合理使用
教学难点：灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便
教学过程
一、复习引入
导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混
合运算.
二、探究新知
( 一)二次根式混合运算法则
活动1、类比计算，说明理由
① (2 a +3b) a ；(2 2 3 3 ) 6
②(2 a +3b)( a -b)； 2 6 2 3
③ (3 a b-4 a 2) ÷a ； 6 12 3
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？
（3）左边式子中的字母 a 、b 可以表示二次根式吗？
（4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？
活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤.
分析法则：
（1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。
（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步.
1
练习：①课本例4，补充（3）( 48 6 ) 27
4
②课本例5，补充(5 2 2 5 )2
分析说明：①中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。②中补充完全平方公式应用.
归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算.
(二)二次根式混合运算的应用
1.若x= 2 1 , 则x2+x+1=
2.已知x 3 2 , y 3 2 ，求 1 y
x
x
； 2 2 x
y
6 xy 2 y 2 的值
三、课堂训练
完成课本练习
四、小结归纳
1. 进行二次根式混合运算的一般步骤.
2. 二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来简化运算.
3. 二次根式混合运算的应用.
五、作业设计
必做：P15：4、6、7
选做：P15：8、9
.已知5 2.236 ，求5 5 5 4
4 5
45 的近似值.
教学课题：第16 章小结教学课型：复习课
教学目标：
1. 学生构建知识体系，从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力
2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因.
3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用
教学重点：深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算
教学难点：进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性
教学过程
一、复习引入
我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复习并总结本章知识.
二、复习提升
( 一)基础巩固
解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱
1. 若 4 5 x 有意义，则x 的取值范围是.
2
2
2. 下列各式是最简二次根式的是（）
A.
8 a B.
a C.
b 2
a D. a 3
3. 下列二次根式中，和 32 是同类二次根式的是（）
A.
12
B.
50 C. 27 D. 24
4. 下列运算正确的是（） A.
1 4 1 4 B.
2
3 2 3 C.
2
2 D.
8 2 2
5. 计算：①
3 ( 2 3 3 2 ) ②
1 2
2 1 9
12
2
③
5 3
④
3 2
5 3 3 2 5 3
归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次根式化简与运算.
解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现 .
1. 若
4 5 x 有意义，则 x 的取值范围是 .
2. 下列各式中不是最简二次根式的是（） A. 7 B.
0 . 5 C.
3 D. 15 3. 下列二次根式中， 和 32
不是同类二次根式的是 （）A.
8 B.
18 C.
28 D.
98
4. 下列计算正确的是（） A.
8 2 2
B.
3 2 5
C.
3
3
D.
3
2
1
5. 计算：① ( 2 24
3 12 ) 6 ；②
1
27
1 3
12 ③ (
2
3 )
2
6 ；④ ( 2 1) 2
2
6
2
6
( 二)综合运用
4 1. 当 m 时，
5
3 m
有意义 .
m
x 2. 能使
x
3
x
a 2
x 成立的 x 的取值范围是 .
3
3. 若
1 a
，则 a 的取值范围是 .
4. 若
a 3
b 2 2
m 21 0 ,，则 a m
b 的值
是.
5. 当 a ＜ -3 时，化简
2 a
1
a
3
的结果是 .
6. 整数 x 满足下列两个条件： ①式子
x 13 和 20 x 都有意义； ② x 的值是整数，
2
2
则x 的值是.
7. 以下结论正确的是.（填序号即可）
2
① a = a 对一切实数 a 都成立②a a 对一切实数 a 都成立
③式子 a 叫做二次根式④一个数的平方根和它的绝对值都是非负数
8. 在实数范围内分解因式：9 x 425 的结果是.
9. ( 2 3 ) 2
2
3 2 的计算结果是.
10.已知x
1
, y 2
2 3
3 , 求x 2 y xy 2的值.
( 三)构建知识体系
三、小结归纳
1. 复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系.
2. 进一步理解本章知识，熟练解决相关问题.
3. 补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力.
4. 构建知识体系，纳入知识系统.
四、作业设计
必做：P19：1-7 选做：P22：8-10
教学反思
2
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0 ）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0 ）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2 的三个思考题： 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）?的式子叫做二 （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评: （略） 例 1．下列式子，哪些是二次根式， x>0） 、、、 （x ≥0，y?≥0）． 分析”；第二，被开方数是正数 或0 ． （x>0、 x ≥0，y ≥0）；不是二、． 例2．当x 1 x 1 x y +1x 1x y +
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习 1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x +在实数范围内有意义？ 分析+ 中的≥0和中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥- 且x ≠-1+ 在实数范围内有意义． 例4(1)已知 +5，求 的值．(答案:2) (2)=0，求 a 2004+ b 2004的值．( 答案: ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 1 3 1 3 1 1 x +1 1 x +1 1 x +230 10 x x +≥??+≠?32 3211 x +x y 25
第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？
2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思
第十六章二次根式 教材内容 本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3a≥0，b≥0） a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a （a≥0）（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对a≥0）是一个非负数的理解；对等式（2＝a（a≥0） （a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 16．1 二次根式 3课时 16．2 二次根式的乘法 3课时 16．3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时
第十六章二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2a和2a所含运 算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a有意义的条件. 2.a≥0时a≥0的应用. 3.()2a和2a的运算、化简 教学难点： 当a<0时2a的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： h 65，S，2， 5 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意
义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0， a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义 的情况下，其运算结果是怎样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？ 1、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______. 2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方 再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子( )2a -()2 c 与式
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计案例 湖北省通山县教育局教研室袁观六 一、内容和内容解析 1．内容 二次根式的概念. 2．内容解析 本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是：了解二次根式的概念； 二、目标和目标解析 1.教学目标 （1）体会研究二次根式是实际的需要． （2）了解二次根式的概念． 2. 教学目标解析 （1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性． （2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围． 三、教学问题诊断分析
对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性. 四、教学过程设计 1．创设情境，提出问题 问题1你能用带有根号的的式子填空吗？ （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____． 师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价. 【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性． 问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． 【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫． 2．抽象概括，形成概念
第十六章二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a＞0．
解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
第十六章二次根式 16．1二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 1．二次根式的概念和应用． 2．二次根式的非负性． 重点 二次根式的概念． 难点 二次根式的非负性． 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔． 电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝2Rh(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1km，h2km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果，并提问． 生：半径之比为2Rh1 2Rh2 ，暂时我们还不会对它进行化简． 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容． 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm； (3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m； (4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________； (5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a (5)h 5 活动2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子a表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子a才有意义？ (2)当a＞0时，a________0；当a＝0时，a________0；二次根式是一个________．【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数(2)＞＝非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0； 当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0. 也就是说，当a≥0时，a≥0.
4 第十六章 二次根式 第 1 课时 16．1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．经历观察、 比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。 3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探 索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。 教学重难点 1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点：利用“ a （a≥0）”解决具体问题 教学准备： 彩色粉笔、小黑板 教学过程 一、复习引入 （1）已知 x 2 = a ，那么 a 是 x 的______; x 是 a 的______, 记为____, a 一定是_____数。 （2）4 的算术平方根为 2，用式子表示为 =__________； 正数 a 的算术平方根为_______， 0 的算术平方根为_______； 式子 a ≥ 0(a ≥ 0) 的意义是 。 思考：教材 P2 思考 二、探索新知 很明显 3, s , 65, h ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的 5 式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根 式，“ ”称为二次根号．
“ 思考:(1)-1 有算术平方根吗？ (2)0 的算术平方根是多少？(3)当 a<0， a 有意义吗？ 三、例题讲解 例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、 1 、 x （x>0）、 0 、 4 2 、 - 2 、 1 、 x + y （x≥0，y?≥0）． x x + y 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0． 解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、、 - 2 、、 x + y （x≥0，y?≥0）． 不是二次根式的有： 3 3 、 1 、 4 2 、 1 ． x x + y 例2 （教材 P2 例 1）当 x 是怎样的实数时， x - 2 在实数范围内有意义？ 解：由 x - 2 ≥0，得：x≥2。当 x≥2 时， x - 2 在实数范围内有意义． 四、巩固练习：教材 P3 练习 1、2． 补充练习：1、当 x 是多少时， 2 x + 3 + 1 在实数范围内有意义？ x + 1 2x+3≥0 ① 解：依题意，得 x+1≠0 ② 由①得：x≥ - 3 , 由②得：x≠-1 2 当 x≥ - 3 且 x≠-1 时， 2 x + 3 + 1 在实数范围内有意义． 2 x + 1 2、(1)已知 y= 2 - x + x - 2 +5，求 x 的值．(答案:2) y (2)若 a + 1 + b - 1 =0，求 a+b 的值．(答案:0) 五、归纳小结 本节课要掌握：1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式， 使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业：教材 P5 习题 16.1 第 1、7 题 七、板书设计 16．1 二次根式(1) 定义 例题 练习 小结 八、课后反思： ”称为二次根号． 2．要
人教版16.1二次根式1 课型:新授 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 （一）自学导航（课前预习） （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）合作交流（小组互助） (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如 a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , 4
16.3 二次根式的加减(3) 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算: （1）（6+8）×3（2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律． 解：（16836383
=18+24=32+26 解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22 =23- 例2．计算 （1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（5+6）（3-5） =35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本练习1、2． 四、应用拓展 例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 化简+，并求值． 分析：由于（1x ++x ）（1x +-x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可． 解：原式=+ =+ =（x+1）+x-2(1)x x ++x+2(1)x x + =4x+2 ∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2
16.1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 知识与技能目标：a≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键 1a≥0）的式子叫做二次根式的概念. 2a≥0）”解决具体问题． 教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。 2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。 学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标 是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． B A 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x ）． 问题2：由勾股定理得 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二次根式．因此，一般地， a≥0）的式子叫做二次根式， ” 称为二次根号． 议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、、 、 1 x y + （x≥0，y≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． 解： （x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二次
第16章二次根式 16.1二次根式（1） 【教学目标】 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系． 【教学重点】 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念． 【教学过程】 一.创设情境提出问题 1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km） 之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的 高分别是h1 km、h2 km 你能化简这个 式子吗？ 式子 表示什么？ 公式中 r=中的 表示什么意义？ 2.问题： （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． （1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？ （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）中得到的式子有什么意义？ （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则 ． （3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？
表示的数怎样变化？ 二.合作探究 形成知识 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 分别表示3，S ，65，5 h 的算术平方根 这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式． a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 三.初步应用 巩固知识 练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．
二次根式复习课 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子： 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零． x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0． 解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
八年级下册数学 第十六章 二次根式 16．1 二次根式（1）（第一课时） 教学目的： 1、了解二次根式的概念； 2、了解二次根式的基本性质； 3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。 重点：二次根式的概念和基本性质 难点：二次根式的基本性质的灵活运用。 教学过程： 例1．（1）当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ （2）当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？ （3）当x 是怎样的实数时，3x 在实数范围内有意义？ 归纳总结：n x ：当n 为奇数时，x ≥0时n x 有意义 当n 为偶数时，x 为任意实数时n x 都有意义 1. 求下列二次根式中字母k 的取值范围: (1 (2 (3 (4 2. 当x 分别取下列值时,的值: ()10x =; ()21x =; ()31x =-. 检测：求二次根式中x 的取值范围： （1） 4-x （2）12 +x （3）25+x （4）x x -42 附加题：（5） 22x x - （6）42-x （7）42+-x x 教学目的： 1、理解二次根式的性质： （1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）2a =a （a ≥0） 2、会运用其进行相关计算。 重点：会运用a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）进行相关运算。 难点：理解a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）。
教学过程： 阅读P69-P71内容，完成两个探究填空，理解、识记两个公式。 公式1 ： 公式2 ： 例1计算： （1）（5.1）2 （2）（52）2 练习：1、（32）2 2、（23）2 3、（52）2 4、（25）2 例2化简： （1）16 （2）2)5(- 板书： 略 教学反思： 16．1 二次根式（2）（第二 三课时） 教学目的： 复习二次根式的概念、二次根式的基本性质a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、 2a =a （a ≥0） ，能熟练运用其进行相关计算。 重点：二次根式的基本性质的应用。 难点：二次根式的基本性质的应用。 教学过程： 一、选择 1、下列代数式中二次根式有总有意义的有（ ） ⑴2 1，⑵16-，⑶9+a ，⑷12+x ，⑸222++a a ， ⑹x -（0≤x ），⑺()23-m 。 A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2、如果x --35是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤3 C 、x ＞3 D 、x ＜3 3、化简：21a -+的结果为（ ）
16.1 二次根式教案 第一课时二次根式的概念教学目标 知识与技能 1 理解二次根式的概念 2 a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围 情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键 1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2． a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ， ．问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 . 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平 a≥0）?的式子叫做二次根式， ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评: 有意义的条件 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二 、 1 x 、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，2 - x在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2 - x?才能有意义． 解：由x-2≥0，得：x≥2 当x≥2时，2 - x在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展
第十六章二次根式 16.1二次根式（第2课时） ●教学目标 1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题. 3.了解代数式的概念. ●过程与方法 在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性. ●情感、态度与价值观 通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力. ●重点与难点 【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简. 【难点】能运用二次根式的性质化简. ●教学准备 【教师准备】教学所需的习题资料. 【学生准备】自学教材第3~4页的内容. ●新课导入 教师出示问题:
先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢? 本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了. 1.什么叫二次根式? 2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗? 学生口答,老师点评. 通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质. .二次根式的性质1:()2=a(a≥0) 提问:你能解释下列式子的含义吗? 学生口述,教师根据情况评价. 例题讲解 (教材例2)计算: 学生独立完成,两名学生板演,再集体订正. 变式训练 计算:(-2)2. 〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12. 2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
二次根式的概念与性质 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，()2(0)a a a =≥， 2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简． 重点难点： ● 重点：0(0)a a ≥≥； ()2(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥及其运用． ● 难点：利用 0(0)a a ≥≥，()2(0)a a a =≥，2 (0)a a a =≥解决具体问题． 学习策略： 对于本节的学习，要着重从理解二次根式的概念入手，逐步深入，处理好以下三个方面： ● 把握二次根式有意义的条件及其性质． ● 理解二次根式与算术平方根的联系与区别． ● 逐步感受数系的变化，注重知识体系的纵横联系，养成严密的数学思想． 二、学习与应用 （一）平方根的概念：如果2x a =，那么 平方根． （二）算术平方根的概念：一个正数的 叫做这个数的算术平方根． （三）平方根的性质：一个正数有 个平方根，且它们是互为 ；0的平方根是 ；在实数范围内，负数 平方根． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ ”称 为 ． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为 ；②被开方数为 数． 知识点二：二次根式的性质 （一）............................(0)a a ≥≥； （二）()2............................(0)a a =≥； （三）............................2............................(0)||(0)a a a a ≥?==? ，． 要点诠释： 二次根式a (a≥0)的值是非负数，其性质()2(0)a a a =≥可以正用亦可逆用， 正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有 利于在实数范围内进行因式分解． 知识点三：代数式 形如5，a ，a+b ，ab ，s t ，x 3，(0)a a ≥这些式子，用基本的 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把 连接起来 的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression)． 类型一：二次根式的概念 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。 经典例题-自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反 三。若有其它补充可填在右栏空白处。
通用版） 课题第16章二次根式小结授课类型复习 课标依据 1、借助现实情境了解代数式（二次根式），进一步理解用字母表示数的意义。 2、能分析简单问题中的数量关系，并用代数式（二次根式）表示。 3、了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。 教学目标知识与 技能 1、能够有效回顾本章的重要基础知识； 2、二次根式的计算与化简； 过程与 方法 1、提高学生善于处理问题的能力； 2、培养学生构建知识体系，形成知识系统的能力，对章节内容的总体 把握，全面分析； 情感态 度与价 值观 通过对课堂的精心设计，充分调动学生的积极性，使学生参与到课堂活动中来；让学生体验通过自己思考，得出正确答案，体验成功的喜悦感， 同时培养学生热爱数学，热爱生活。 教学重点难点教学 重点 二次根式的计算与化简 教学 难点 二次根式的混合运算的技巧 教学媒体选择分析表 知识点学习目标媒体 类型 教学作 用 使用 方式 所得结论 占用 时间 媒体来源 讲解过程与方 法 图片C F建立表象 10分 钟 自制 理解情感态度 价值观 图片A I升华感情2分钟自制
通用版） ①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维； G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其它。 ②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括； D.讲解—播放—举例； E.播放—提问—讲解； F.播放—讨论—总结； G.边播放、边讲解； H.设疑_播放_概括.I讨论_交流_总结J.其他 教学过程师生活动设计意图
人教版数学 16.1二次根式教学设计 四海店镇中学
16.1 二次根式(1) 一、学习目标： 知识与技能：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 过程与方法：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。 情感态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题 的能力及研究问题的严谨性。 二、学习重点：理解二次根式的概念 三、学习难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。 四、学习过程 （一）复习引入： 1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 2、（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________； （2） 16的算术平方根是_______，用式子表示为 __________； （3） 0 的算术平方根是_______； （4）正数a的算术平方根为_______， （5）－7_______算术平方根。 归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根 （二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 （三）探索新知、提出问题 思考：用带有根号的式子填空 1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。 2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。 3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______. 很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式 （学生举例巩固） （四）议一议 1、-1有算术平方根吗？ 2、0的算术平方根是多少？ 3、当a<0时，有意义吗？ 点评：1、表示非负数a的算术平方根。 2、a可以是数也可以是一个含有字母的式子。