课时分层作业(二) 集合的表示方法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．将集合A ＝{x |1＜x ≤3}用区间表示正确的是( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．[1,3)
D ．[1,3]
B [集合A 为左开右闭区间，可表示为(1,3]．]
2．集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}中的元素个数为( )
A ．2 018
B ．2 019
C ．2 020
D ．2 021
D [因为集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}＝{x ∈N ︱x ≤2 020}＝{0,1,2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.]
3．集合????
??3，52，73，94，…用描述法可表示为( ) A.????
??x ??? x ＝2n ＋12n ，n ∈N * B.??????x ?
?? x ＝2n ＋3n ，n ∈N * C.????
??x ??? x ＝2n －1n ，n ∈N * D.??????x ?
?? x ＝2n ＋1n ，n ∈N * D [由3，52，73，94，即31，52，73，94从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用
描述法表示为x ?
??
x ＝2n ＋1n ，n ∈N *.] 4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )
A ．x 1·x 2∈A
B ．x 2·x 3∈B
C ．x 1＋x 2∈B
D ．x 1＋x 2＋x 3∈A
D [集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数， ∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．]
5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )
A ．4
B ．5
C ．19
D ．20
C [由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a ＝2,3时集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19个，故选C.]
二、填空题
6．集合????
??y ∈N ??? y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1用列举法可表示为________． {2,3,5,9} [因为集合??????
????y ∈N ??? y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1， 故x －1为8的正约数，即x －1的值可以为1,2,4,8，所以x 可以为2,3,5,9.用列举法表示为{2,3,5,9}．]
7．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________． {－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，
∴a ＝－4，
∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]
三、解答题
8．下列三个集合：①A ＝{x |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
[解] (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R .
集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．
集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对．可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图像．
9．设P ，Q 为两个非空实数集，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？
[解] 当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得 a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合中元素的互异性知 P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．
[等级过关练]
1．已知集合M ＝??????????x ??? x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝x ??? x ＝k 4＋12，k ∈Z ，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( )
A ．x 0∈N
B ．x 0?N
C ．x 0∈N 或x 0?N
D ．不能确定 A [M ＝??????????x ??? x ＝2k ＋14，k ∈Z ，N ＝??????
????x ??? x ＝k ＋24，k ∈Z ， ∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数，
∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.]
2．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝m ?
??
m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3}
B ．{1,3}
C ．{－1,3}
D ．{1，－3} C [当x >0，y >0时，m ＝3，
当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.
若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0，
则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．]
3．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．
3 [根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．]
4．已知P ＝{x |2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝________.
6 [用数轴分析可知a ＝6时，集合P 中恰有3个元素3,4,5.]
5．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A 且a b (b ≠0)∈A ”的
集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
[解] 数集N ，Z 不是“闭集”，数集Q ，R 是“闭集”．
例如，3∈N,2∈N ，而32＝1.5?N ；
3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5?Z ， 故N ，Z 不是闭集．
由于两个有理数a 与b 的和、差、积、商，
即a±b，ab，a
b(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集，同理R是闭集.