九年级二次函数压轴题专题训练含答案和方法
指导
Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
九年级二次函数压轴题专题训练(含答案)
方法:面积法 ,化斜为直,韦达定理,几何变换等.
1,如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：2
2a bx ax y -+=关于y 轴对称且
有最小值1-。
（1）求抛物线C 1的解析式；
（2）在图1中抛物线C 1顶点为A ，将抛物线C 1绕 点B 旋转180°后得到抛物线C 2，直线y=kx ﹣2k+4总经过一定点M ，若过定点M 的直线与抛物线C 2只有一个公共点，求直线l 的解析式．
（3）如图2，先将抛物线 C 1向上平移使其顶点在原点O ，再将其顶点沿直线y=x 平移得到抛物线C 3，设抛物线C 3与直线y=x 交于C 、D 两点，求线段CD 的长；
（1）∴y=x 2﹣1．‥‥‥‥‥‥‥2分
（2）依题意可求出抛物线C2的解析式为：y=﹣（x ﹣2）2+1， ∵直线y=kx ﹣2k+4总经过一定点M ，
∴定点M 为（2，4）， ‥‥‥‥‥‥‥4分
①经过定点M （2，4），与y 轴平行的直线l ：x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．
②经过定点M （2，4）的直线l 为一次函数y=kx ﹣2k+4时，与y=﹣（x ﹣2）2
+1联立方程组，消去y 得x 2﹣4x+3+kx ﹣2k+4=0， 即x 2﹣（4﹣k ）x+7﹣2k=0，△=k 2﹣12=0，得k 1=2，k 2=﹣2
，
∴y=2
x+4﹣4
或y=﹣2
x+4+4
，
综上所述，过定点M ，共有三条直线l ：x=2 或y=2x+4﹣4
或y=﹣
2
x+4+4
，它们分别与抛物线C 2只有一个公共点．
（3）设抛物线C 3的顶点为（m ，m ），依题意抛物线C 3的解析式为：y=（x ﹣m ）2+m ， 与直线y=x 联立
，
解方程组得：，，
∴C （m ，m ），D （m+1，m+1）
过点C 作CM ∥x 轴，过点D 作DM ∥y 轴， ∴CM=1，DM=1， ∴CD=
．
2,如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3 (1) 求抛物线的解析式
(2) 如图1，D 位抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连OP 交直线
BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2=GO GD
若存在，求点P 的坐标；若不存
在，请说明理由
(3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值
（1）2
43y x x =-+
3（本题12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(1－3a )x －3（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线y ＝－x ＋5与抛物线交于D 、E ，与直线BC 交于P
(1) 求点P 的坐标 (2) 求PD ·PE 的值
(3) 如图2，直线y ＝t （t ＞－3）交抛物线于F 、G ，且△FCG 的外心在FG 上，
求证：t a -1为常数
．解：(1) 令y ＝0，则ax 2＋(1－3a )x －3＝0，解得x 1＝a 1
-
，x 2＝3
∴B (3，0)
令x ＝0，则y ＝－3
∴直线BC 的解析式为y ＝x －3
联立???+-=-=53x y x y ，解得???==14y x
∴P (4，1)
(2) 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2)
则PD ＝2(4－x 1)，PE ＝2(4－x 2)
联立????
?+-=--+=53)31(2x y x a ax y ，整理得
ax 2＋(2－3a )x －8＝0
∴x 1＋x 2＝a a 23-，x 1x 2＝a 8
-
∴PD ·PE ＝2(4－x 1)(4－x 2)＝2[16－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2]＝8]881216[2=-+
-a a
(3) ∵△FCG 的外心在FG 上
∴∠FCG ＝90°
设FG 与y 轴交于点H ，则CH 2＝FH ·GH ∴(t ＋3)2＝－x F ·x G
联立?????--+==3)31(2x a ax y t y ，整理得
ax 2＋(1－3a )x －3－t ＝0
∴x F ·x G ＝a t --3 ∴(t ＋3)2＝a t
+3 ∴31
=-t a
4.（梅苑中学九月月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
m x y +=
4
5
的图象与x 轴交于A (－1，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝2为对称轴的抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B (1) 求m 的值及抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（a ≠0）的函数表达式
(2) 设点D (0，1225
)，若F 是抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）对称轴上使得△
ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探究
F
M F M 211
1+
是否为定值请说明理由
(3) 将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线C 2：y 2＝－41
(x －h )2，h ＞1．若当1＜
x ≤m 时，y 2≥－x 恒成立，求m 的最大值
如图1，已知抛物线C 1：y=x 2﹣2x+c 和直线l ：y=﹣2x+8，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1交于两不同点A 、B ，与直线l 交于点P ．且当k=2时，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1只有一个交点． （1）求c 的值； （2）求证：
，并说明k 满足的条件；
（3）将抛物线C 1沿第一象限夹角平分线的方向平移
t （t ＞0）个单位，再沿
y 轴负方向平移（t 2﹣t ）个单位得到抛物线C 2，设抛物线C 1和抛物线C 2交于点R ；如图2．
①求证无论t 为何值，抛物线C 2必过定点，并判断该定点与抛物线C 1的位置关系；
②设点R 关于直线y=1的对称点Q ，抛物线C 1和抛物线C 2的顶点分别为点M 、N ，若∠MQN=90°，求此时t 的值．
8、如图1，二次函数y=（x+m）（x﹣3m）（其中m＞0）的图象与x轴分
别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DAE．
（1）当线段AB的长为8时，求m的值．
（2）当点B的坐标为（12，0）时，求四边形ADBE的面积．
（3）请判断的值是否为定值若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（4）分别延长AC和EB交于点P，如图2．点A从点（﹣2，0）出发沿x轴的负方向运动到点（﹣4，0）为止，求点P所经过的路径的长（直接写出答案）．
解：（1）∵二次函数y=（x+m）（x﹣3m）（其中m＞0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），
令y=0，得0=（x+m）（x﹣3m），
∴x=﹣m或x=3m，
∴点A的坐标为（﹣m，0），点B的坐标为（3m，0），
由题意，得AB=3m﹣（﹣m）=4m．
∴4m=8，即 m=2．
（2）∵点B的坐标为（12，0），
∴m=4，
∴A（﹣4，0），C（0，﹣3），
如图，
过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．
∵CD∥AB，
∴点D 的坐标为（8，﹣3），点M的坐标为（8，0）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN．
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴=．
设E点的坐标为（），
∴
解得x1=16，x2=﹣4（舍去），
∴E点的坐标为（16，5）．
所以S ADBE=S△ADB+S△ABE=，
（3）为定值．
∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3），
过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．
由（2）有，=．
∵CD∥AB，
∴点D 的坐标为（2m，﹣3），点M的坐标为（2m，0）．
设E点的坐标为（），
可得
解得x1=4m，x2=﹣m（舍去）．
∴E点的坐标为（4m，5），
∴EN=5，DM=3
∵△ADM∽△AEN．
∴==；
（4）由（1）有，A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3），E（4m，5），∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3①，
直线BE解析式为y=x﹣15②，
联立①②得，
∴P（，﹣），
∴点A在运动时，点P的纵坐标不变，
即：点A从运动到停止，点P的路径是一条线段，
∵点A从点（﹣2，0）出发沿x轴的负方向运动到点（﹣4，0）为止，
∴当m=2时，P（3，﹣），
当m=4时，P（6，﹣）
∴点P所经过的路径的长为6﹣3=3．
9、如图，二次函数y=ax2﹣2amx﹣3am2（a，m是常数，且m＜0）的图象与x 轴交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作CD∥AB交抛物线于点D，连接BD，过点B作射线BE交抛物线于点E，使得AB 平分∠DBE．
（1）求点A，B的坐标；（用m表示）
（2）是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）抛物线y=ax2﹣2amx﹣3am2的顶点为F，直线DF上是否存在唯一一点M，使得∠OMA=90°若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由ax2﹣2amx﹣3am2=0得，x1=﹣m，x2=3m，
则B（﹣m，0），A（3m，0），
（2）是定值，为；
理由：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，
将点C（0，3）代入y=ax2﹣2amx﹣3am2得，
a=﹣；
∴y=ax2﹣2amx﹣3am2=﹣x2+x+3，
∵CD∥AB，
∴点D的坐标为（2m，3），
∴OH=﹣2m，DH=3，
∴BH=﹣3m
∵AB平分∠DBE，
∴∠DBH=∠EBG，又∠DHB=∠EGB=90°，
∴△BDH∽△BEG，
∴，
设E（n，﹣×n2+×n+3），
∴OG=﹣n，EG=×n2﹣×n﹣3，
∴BG=﹣m﹣n，
∴，
∴n=4m，
∴E（4m，5），
∵BH=BO+OH=﹣m﹣2m=﹣3m，BG=BO+OG=﹣m﹣4m=﹣5m，
∴，
（3）存在，
理由：如图2，∵B（﹣m，0），A（3m，0），
∴F（m，4），
∵D（2m，3），
∴直线DF的解析式为y=﹣x+5，
∴N（5m，0），P（0，5），
∴OP=5，PN==5
取OA的中点M，
∵A（3m，0），N（5m，0），
∴M（），
∴OM=﹣m．MN=﹣m，
假设直线DF上是存在唯一一点M，使得∠OMA=90°，∴以OA为直径的⊙M与PN，PO相切，
∴PM是∠OPN的角平分线，
∴，
∴，
∴m=（舍）或m=﹣．