人教版初中数学反比例函数技巧及练习题

人教版初中数学反比例函数技巧及练习题

一、选择题

1．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-

和2k

y x

=的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为（ ）．

A ．8-

B ．8

C ．2-

D ．4-

【答案】A 【解析】 【分析】

设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），将点A 、B 分别代入所在的双曲线解析式进行解答即可． 【详解】

解：设A （a ，b ），则B （2a ，2b ）， ∵点A 在反比例函数12

y x

=-的图象上， ∴ab ＝?2；

∵B 点在反比例函数2k

y x

=的图象上， ∴k ＝2a?2b ＝4ab ＝?8． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．

2．已知点A （﹣2，y 1），B （a ，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数4

y x

=的图象上，且﹣2＜a ＜0，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 3＜y 2＜y 1

C ．y 3＜y 1＜y 2

D ．y 2＜y 1＜y 3

【答案】D 【解析】 【分析】

根据k ＞0，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可． 【详解】 ∵反比例函数y=

4

x

中的k=4＞0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限， ∵-2＜a ＜0， ∴0＞y 1＞y 2，

∵C （3，y 3）在第一象限， ∴y 3＞0， ∴213y y y <<， 故选D ． 【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．

3．如图，反比例函数y ＝2

x

的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】C 【解析】 【分析】

由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积． 【详解】

解：Q 反比例函数2y x

=

，

2OA AD ∴=g ．

D Q 是AB 的中点， 2AB AD ∴=．

∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===?=g g ．

故选：C ． 【点睛】

本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．

4．如图直线y ＝mx 与双曲线y=k

x

交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM =2S △AOM 并结合反比例函数系数k 的几何意义得到k 的值． 【详解】

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S △ABM ＝2S △AOM ＝2，S △AOM ＝

1

2

|k |＝1， 则k ＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k ＞0，所以k ＝2． 故选B ． 【点睛】

本题主要考查了反比例函数y ＝k

x

中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂

线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

5．如图，菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =的图象上，对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A （1，1），∠ABC =60°，则k 的值是（ ）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2

【答案】C

【解析】

分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，AC⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点A（1，1），

∴OA=，

∴BO=，

∵直线AC的解析式为y=x，

∴直线BD的解析式为y=-x，

∵OB=，

∴点B的坐标为（?，），

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴，

解得，k=-3，

故选C．

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

6．在函数

2

y

x

，3

y x

=+，2

y x

=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的

图象共有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．

【详解】

y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x 2图象不是中心对称图形；只有函

数2

y x =

符合条件． 故选：B ． 【点睛】

本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

7．已知1122(,),,)A x y B

x y （均在反比例函数2

y x

=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<

C ．120y y <<

D ．210y y <<

【答案】D 【解析】 【分析】

先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】

解：∵反比例函数2

y x

=

中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵0＜x l ＜x 2，

∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限， ∴0＜y 2＜y l ． 故选：D ． 【点睛】

此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．

8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y k

x

=（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD 的面积为25，则k 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

【答案】C 【解析】 【分析】

过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值． 【详解】

过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，

∵A ，B 两点在反比例函数y k

x

=（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （

4

k

，4），B （2k ，2），

∴AE ＝2，BE 12=k 14

-k 1

4=k ，

∵菱形ABCD 的面积为5 ∴BC×AE ＝5BC 5=

∴AB ＝BC 5=

在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =

-=1

∴

1

4

k ＝1， ∴k ＝4． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．

9．如图，点P 是反比例函数y =

k

x

（x <0）图象上一点，过P 向x 轴作垂线，垂足为M ，连接OP ．若Rt △POM 的面积为2，则k 的值为（ ）

A ．4

B ．2

C ．-4

D ．-2

【答案】C 【解析】 【分析】

根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S △POD =1

2

|k|=2，然后去绝对值确定满足条件的k 的值． 【详解】

解：根据题意得S △POD =1

2

|k|， 所以

1

2

|k||=2， 而k ＜0， 所以k=-4． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=

k

x

图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

10．如图所示，Rt AOB ?中，90AOB ∠=? ，顶点,A B 分别在反比例函数()1

0y x x

=>与()5

0y x x

=-

<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）

A 5

B 5

C 25

D 10

【答案】B 【解析】 【分析】

过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的

性质得到S △BDO =52

，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=

5OB

OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】

解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，

则∠BDO=∠ACO=90°，

∵顶点A ，B 分别在反比例函数()1

0y x x =>与()50y x x

=-<的图象上， ∴S △BDO =

52

，S △AOC =1

2，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°， ∴∠DBO=∠AOC ， ∴△BDO ∽△OCA ，

∴2

51

522

BOD OAC S OB S OA ??==÷= ???△△， ∴

5OB

OA

= ∴tan ∠BAO=5OB

OA

=. 故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k

y x x

=

>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）

A ．1

B ．

22

C 2

D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的 值，本题得以解决． 【详解】

Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA

⊥x 轴，1AB =，

45BAC BAO ?∴∠=∠=， 2

2

OA OB ∴==

，2AC =， ∴点C 的坐标为22?，

Q 点C 在函数()0k

y x x

=

>的图象上， 2

212

k ∴=

?=， 故选：A ． 【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．

12．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k

x

=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（ ）

A ．4

B ．6

C ．

325

D ．

425

【答案】C 【解析】 【分析】

根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB ，根据勾股定理得到

OB 22OA AB =+=5C 作CD ⊥x 轴于D ，根据相似三角形的性质得到CD 85

=

，OD 45= 求得8545，

)于是得到结论． 【详解】

解：∵四边形ABCO 是矩形， ∴∠A ＝∠AOC ＝90°，OC ＝AB ， ∵OA ＝2，AB ＝4， ∴过C 作CD ⊥x 轴于D ，

∴∠CDO ＝∠A ＝90°，∠COD+∠COB ＝∠COB+∠AOB ＝90°， ∴∠COD ＝∠AOB ， ∴△AOB ∽△DOC ， ∴

OB AB OA

OC CD OD

==，

∴

2542

4CD OD

==，

∴CD

85

5

=，OD

45

5

=，

∴C(

45

5

，

85

5

)，

∴k

32

5

=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

13．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=

6

x

（x ＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）

A．y=﹣

6

x

B．y=﹣

4

x

C．y=﹣

2

x

D．y=

2

x

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用相似三角形的判定与性质得出

1

3

BCO

AOD

S

S

=

V

V

，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】

过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵∠BOA=90°，

∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，

又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，

∵

BO

AO

=tan30°

=

3

3

，

∴

1

3

BCO

AOD

S

S

=

V

V

，

∵

1

2

×AD×DO=

1

2

xy=3，

∴S△BCO=

1

2

×BC×CO=

1

3

S△AOD=1，

∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，

故反比例函数解析式为：y=﹣

2

x

．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．

14．如图，平行于x轴的直线与函数1

1

k

y(k0x0)

x

=>>

，，2

2

k

y(k0x0)

x

=>>

，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若ABC

V的面积为4，则12

k k

-的值为()

A．8 B．8-C．4 D．4-

【答案】A

【解析】

【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，

2bh k .=根据三角形的面积公式得到

()()()ABC A 121111

S AB y a b h ah bh k k 42222

=

?=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，

A ∴，

B 两点纵坐标相同，

设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，

()()()ABC A 121111

S AB y a b h ah bh k k 42222

=

?=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，

故选A ．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.

15．当0x <时，反比例函数2

y x

=-

的图象（ ） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大 C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小 D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小

【答案】B 【解析】 【分析】 反比例函数2

y x

=-中的20k =-<，图像分布在第二、四象限；利用0x <判断即可． 【详解】

解：Q 反比例函数2

y x

=-

中的20k =-<， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；

又0x

∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k

y k x

=

≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．

16．已知反比例函数2

y x

=-

，下列结论不正确的是

A．图象必经过点(-1,2) B．y随x的增大而增大

C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则y＞-2

【答案】B

【解析】

【分析】

此题可根据反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断．【详解】

解： A、把（-1，2）代入函数解析式得：2=-2

1

成立，故点（-1，2）在函数图象上，故选

项正确；

B、由k=-2＜0，因此在每一个象限内，y随x的增大而增大，故选项不正确；

C、由k=-2＜0，因此函数图象在二、四象限内，故选项正确；

D、当x=1，则y=-2，又因为k=-2＜0，所以y随x的增大而增大，因此x＞1时，-2＜y＜0，故选项正确；

故选B．

【点睛】

本题考查反比例函数的图像与性质.

17．已知反比例函数y＝﹣2

x

的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若

x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（）

A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．

【详解】

解：∵反比例函数y＝﹣2

x

，

∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，

∴y2＜y1＜0，y3＞0

∴. y2＜y1＜y3

故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键．

18．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1

y x

=-上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y < D ．若120x x <<，则12y y >

【答案】D 【解析】 【分析】

先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1

y x

=-，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断． 【详解】

∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1

y x

=-上， ∴11

1

y x =-

，221y x =-．

A 、当x 1=x 2时，-

11x =-2

1x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确；

B 、当x 1=-x 2时，-11x =2

1

x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确；

C 、因为双曲线1

y x

=-

位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确；

D 、因为双曲线1

y x

=-

位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误； 故选：D ． 【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

19．若点()11,A y -，()22,B y -，()33,C y 在反比例函数8

y x

=-的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<

C ．132y y y <<

D ．321y y y <<

【答案】D 【解析】 【分析】

由于反比例函数的系数是－8，故把点A 、B 、C 的坐标依次代入反比例函数的解析式，求

出123,,y y y 的值即可进行比较. 【详解】

解：∵点()11,A y -、()22,B y -、()33,C y 在反比例函数8

y x

=-的图象上， ∴1881y =-=-，2842y =-=-，383

y =-， 又∵8

483

-

<<， ∴321y y y <<． 故选：D ． 【点睛】

本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键.

20．如图，在平面直角坐标系中，函数 y = kx 与 y = -2

x

的图象交于 A 、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数4

y x

=

的图象于点 C ，连接 BC ，则△ABC 的面积为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【答案】C 【解析】 【分析】

连接OC ，根据图象先证明△AOC 与△COB 的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD 与△ODC 的面积即可得△ABC 的面积. 【详解】

连接OC ，设AC ⊥y 轴交y 轴为点D ， 如图，

∵反比例函数y=-2

x

为对称图形，

∴O为AB 的中点，∴S△AOC=S△COB，

∵由题意得A点在y=-2

x

上，B点在y=

4

x

上，

∴S△AOD=1

2

×OD×AD=

1

2

xy=1；

S△COD=1

2

×OC×OD=

1

2

xy=2；

S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，

∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.

故答案选C.

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.