等比数列
【知识梳理】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．
2．如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a ，b 的等比中项，这三个数满足关系式G ＝±ab .
3．等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则通项公式为：a n ＝a 1q n －
1.
【常考题型】
题型一、等比数列的判断与证明
【例1】 已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝????
12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．
[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ， 于是b n ＝????123－n .
而b n b n －1＝???
?123－n
???
?124－n ＝???
?12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3. 【类题通法】
证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0)或a n
a n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)?{a n }为等比数列．
(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·
a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)?{a n }为等比数列． (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －
1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)?{a n }为等比数列． 【对点训练】
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.
∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1.
∴a n ＋1＝1
2a n .
又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.
又由a n ＋1＝1
2a n 知a n ≠0，
∴a n ＋1a n ＝12. ∴{a n }是等比数列.
题型二、等比数列的通项公式
【例2】 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；
(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .
[解] (1)因为????? a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以?????
a 1q 3＝2， ①
a 1q 6
＝8， ②
由②①得q 3＝4，从而q ＝3
4，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1
＝22n －53
.
(2)法一：因为?
????
a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ③
a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5
＝9， ④
由④③得q ＝1
2，从而a 1＝32.
又a n ＝1，所以32×????12n －1
＝1， 即26－n ＝20，所以n ＝6.
法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12
.
由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【类题通法】
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，a n ＝a 1·q n －
1(a 1q ≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．
【对点训练】
2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是( ) A ．405 B ．－405 C ．135
D ．－135
(2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n
＝________.
解析：(1)选A ∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2
a 1＝－3，
∴a 5＝405.
(2)根据条件求出首项a 1和公比q ，再求通项公式．由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1?2q 2－5q ＋2＝0?q ＝2或12
，由a 25＝a 10＝a 1q 9
>0?a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2. a 25＝a 10>0?(a 1q 4)2＝a 1q 9?a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .
答案：(1)A (2)2n
题型三、等比中项
【例3】 设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )
A ．2 B.4 C ．6
D ．8
[解析] ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ， ∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)， k ＝4.
[答案] B 【类题通法】
等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用．可以简化计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．
【对点训练】
3．已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1
b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b 2的值是( )
A ．1或1
2
B.1或－1
2
C ．1或1
3
D ．1或－1
3
解析：选D 由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1
b
＝2，
∴????? ab ＝1，a ＋b ＝2或?????
ab ＝－1，a ＋b ＝－2.
因此a ＋b a 2＋b
2的值为1或－13.
【练习反馈】
1．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4，则公比q 等于( )
A.1
4 B.12 C ．2
D ．8
解析：选B ∵{a n }为等比数列，∴a 4＋a 6＝(a 1＋a 3)q 3， ∴q 3＝18，∴q ＝12
.
2．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( ) A ．9 B.3 C ．－3
D ．－9
解析：选D a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6， 由于a 1，a 3，a 4成等比数列，
则a 23＝a 1a 4，
所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.
3．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意正整数n,3a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________. 解析：∵3a n ＋1－a n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝13
， 因此{a n }是以1
3为公比的等比数列，
又a 1＝2，所以a n ＝2×????13n －1
. 答案：2×????13n －1
4．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2. 答案：2
5．(1)已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n . (2)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝2
3，求项数n .
(3)若等比数列{a n }中a n ＋4＝a 4，求公比q .
解：(1)由已知得?????
a 1q 4＝8，
a 1q 6＝2，
得?????
q 2＝14
a 1＝128
， ∵a n ＞0，∴?????
q ＝12，a 1＝128.
∴a n ＝128×????12n －1
＝28－n . (2)由a n ＝a 1·q n －1，
得13＝98???
?23n －1， 即????23n －1＝????233，得n ＝4. (3)∵a n ＋4＝a 4q (n ＋4)－4＝a 4q n ， 又a n ＋4＝a 4，∴q n ＝1，
∴当n 为偶数时，q ＝±1；当n 为奇数时，q ＝1.