概率论与数理统计

《概率论与数理统计》作业及答案

一、填空题

1．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为 .若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需 ＿＿＿门高射炮.

2．设ξ在[0，1]上服从均匀分布，则ξ的概率分布函数F (x )= ＿＿＿,P (ξ≤2)= ＿＿＿.

3．设母体)4,30(~N ξ，),,,(4321ξξξξ为来自ξ的一个容量为4的样本，则样本均值~ξ＿＿＿，=>)30(ξP ＿＿＿,),,,(4321ξξξξ的概率密度为＿＿＿.

4. 将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿.

5． 两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为_________.

6． 一批产品的废品率为, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次取到废品的概率为_________. 7．设ξ具有概率密度??

?<<+=其他0

3

1)(x b ax x f ，又)21(2)32(<<=<<ξξP P ，则a = ,b = .

8．设ξ与η相互独立，ξ～N (0,1)，η～N (1,2)，令ζ=ξ＋2η，则E ζ=＿＿＿,D ζ=＿＿＿, ζ的概率密度函数为＿＿＿.

9．已知B A ?，P (A )=,P (B )=,则P (AB )= ＿＿＿,P (A +B )= ＿＿＿,=)(B A P ＿＿＿,P (A |B )= ＿＿＿，

=+)(B A P ＿＿＿.

10．设)4,3(~N ξ，则使得)()(c P c P ≤=>ξξ成立的=c ＿＿＿. 11．已知1-=ξE ，3=ξD ，则 =-)]2(3[2

ξE ＿＿＿.

12. 小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要 ． 13. 相关系数的取值范围是 ．

14. 设总体),(~2σξa N ，2

σ已知，),...,(1n X X 为来自ξ的一个样本，如检验00:a a H =（常数），则在0

H 成立条件下，检验统计量服从 分布．

15. 设总体ξ的概率分布列为),...,(,1)0(,)1(1n X X p P p P -====ξξ为来自ξ的一个样本，则

=)(X D ．

16. 设ξ的密度函数为?

??<≥=-0,00

,2)(2x x e x f x 当当，则=ξD ．

17. 设),(ηξ的密度函数为??

?≤≤≤≤=其它,

01

0,10,4),(y x xy y x f ， 则η的边沿密=)(y f ．

18. =+==?)(,5.0)(,1.0)(,B A P B P A P B A 则 ．

19. 若,5.0)(,6.0)(==B P A P 7.0)(=+B A P ，则=)(AB P ． 20. 公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为 ．

21. ??

???

<

<=其他,020,cos )(πx x A x f 为密度函数，则=A ．

22. 两随机变量ξ与η的方差分别为25及36，相关系数为，则=-)(ηξD . 23. 设)1,0(~N ξ，)(~2

n χη，且ξ与η相互独立，则统计量

~n

ηξ

． 二、选择题

1．若事件A 、B 为互逆事件，则=)(B A P （ ）

A. 0

B. 0.5

C. 1

D. Φ

2．在四次重复贝努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为80/81，则A 在每次试验中发生的概率p 为（ ） A.

4532 B. 31 C.3

2 D. 1－4532

3．若两个随机变量ξ和η的相关系数0=ξηρ，则下列结论正确的是（ ）. A. ()ηξηξD D D -=- B. ()ηξηξD D D +=+ C. ()ηξξηD D D = D. ξ和η相互独立

4． 设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生一个的事件应表示为（ ） A. ABC B. A ＋B ＋C C. C B A D. C B A

5． 每次试验成功的概率为)10(<

A. r n r r n p p C --)1(

B. r n r r n p p C ----)1(11

C. r n r p p --)1(

D. r

n r r n p p C -----)1(111

6． 设（ξ,η）具有概率密度函数??

???

<

<<<+=其他020,20)sin(),(ππy x y x A y x f ，

则A=( )

A. 0.1

B. 0.5

C. 1

D. 2

7． 设),(~2

σμξN ，且μ=0，12=σ，令βαξη+=，则D η=( )(α、β为常数) A.βα- B. βα+ C.α ④2α 8． 已知ξ的概率密度函数为f (x ),则（ ） ≤f (x )≤1 (ξ=x )=f (x ) C.

?

+∞

∞

-=1)(dx x f (ξ=x )≤f (x )≤1

9． 若母体ξ的方差为2σ，则2σ的无偏估计为（ ） A.

21S n n - B.2S C.21

S n n

- 10． 设A ，B 为两事件，B A ?，则不能推出结论（ ）

A. )()(A P AB P =

B. )()(B P B A P =?

C.)()()(B P A P B A P -=

D. )()()(A P B P B A P -= 11. 若事件A 、B 互不相容，则=)(B A P

A ．

B ．0

C ．1

D ．

12. 设事件A 、B 相互独立，已知5.0)(,25.0)(==B P A P ，则=-)(B A P A ．12.0 B ．125.0 C ．25.0 D ．5.0

13. 设随机变量ξ的概率密度函数为??

?

??≤≤-≤≤=其它,021,210,

)(x x x x x f ，则=≤)1.5(ξP

A ．

B ．

?-5.10

)2dx x （ C ．?-5.11

)2dx x （ D ．?∞

--5

.1)2xdx x （

14. 设)(x f 为连续型随机变量ξ的概率密度，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x F = B ．1)(0<

?

∞+∞

-=1)(dx x f

15. 设),(ηξ的概率密度为???≥≥=+-其它,

00

,0,),()(y x Ce y x f y x ，则C =

A ． 1

B ．0.5

C ．

D ．2

16. 设随机变量ξ的概率密度函数为???<≥=-0,

00

,)(x x e x f x λλ ， 则=ξE

A ．λ

B ．

λ1 C ．2λ D ．21

λ

17. 设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 恰有两个发生的事件应表示为 A.C B A BC A C AB ++ B. AC BC AB ++ C.ABC C B A BC A C AB +++ D. C A C B B A ++

18. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A ．

83 B ．81)83(5 C ．8

1)83(348C D ．485C

19. 设)1,0(~),4,(~2

N a N ηξ记),1(),4(21≥=-≤=ηξp p a p p 则下列正确的是 A ．21p p = B ．21p p ≠ C ．21p p < D ．21p p >

20. 设ξ的概率密度为???<<=其它,

01

0,)(2x Ax x f ， 则A =

A ．

31 B ．3 C ．2

1

D ．2 21. 已知连续型随机变量ξ的概率密度为)(x f ，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x P ==ξ B ．

1)(=?

∞+∞

-dx x f x

C ．1)(0≤≤x F

D ．)()(x f x P =≤ξ

22. 设随机变量ξ的概率密度函数为)(x f ，如果（ ），恒有1)(0≤≤x f ．

A ．),1(~2

σξN B ．)1,2(~N ξ C ．),(~2σξa N D ．),0(~2

σξN

三、计算题

1．如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.

2． 如果n ξξξ,,,21 是n 个相互独立、同分布的随机变量，

μξ=i E ，),,2,1(8n i D i ==ξ.对于∑==n

i i n 1

1ξξ，写出ξ所满足的切贝晓夫不等式，并估计)4|(|<-μξP .

3．在密度函数(),1)(α

αx x f +=10<

4． 已知随机变量ξ～N (0，1)，求 (1) ξ

ηe =的概率密度； (2) ||ξζ=的概率密度.

5． 全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人数，求

(1) 3人中至少有1人学过日语的概率； (2) ξ的概率分布列及E ξ.

6． 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为?????<≤=-0

01)(1x x e

x f x θ

θ

，

（θ>0） 试求参数θ的矩估计和极大似然估计.

7．一个盒子中共有10个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求

（1） 两次都抽到白球的概率； （2） 第二次才抽到白球的概率； （3） 第二次抽到白球的概率.

8．已知ξ～N (0，1)，求 （1）ξe 的概率密度； （2）2

ξ的概率密度.

9．设总体X ～N(μ,1), ),,(1n X X 为来自X 的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计.

10． 设母体ξ具有指数分布，密度函数为

??

?<≤=-0

0),(x x

e x

f x

λλλ（0>λ）， 试求参数λ的矩估计和极大似然估计.

11. 袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概率

12. 一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为．如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率.

13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率.

14. 某地区高考数学成绩服从正态分布)6,90(~2

N ξ，某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少（)8413.0)1(=Φ。若该考生个人估分成绩为90分，问比他成绩低的考生占多少

15. ξ的密度函数为 ?????≤<-≤<=其它

,021,210 ,)(x x x x x f ，求)3.1(>ξP .

16. 将一部五卷文集任意排列到书架上，问卷号从左向右或从右向左恰好为1、2、3、4、5的顺序的概率等于多少

17. 有朋自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为、、、。如果他乘火车、轮船、汽车迟到的概率分别是12

1

3141、、，而乘飞机来则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率为多少

18. 已知 ???≤>=-0,

00

,)(x x Ae x f x 为密度函数，求A 的值.

19. 已知某地区5000名学生的数学统考成绩)15,65(~2

N ξ的正态分布，求50分至80分之间的学生人数.（)8413.0)1(=Φ

20. 已知随机变量ξ的密度函数为?????∈=其它

,0]6,1[,51

)(x x f ，求方程012

=++x x ξ有实根的概率.

四、证明题

1．设总体X ～N (0，1)，样本),,,(521X X X 来自总体X ，若使统计量

25

24

2

3

21)(X

X X X X c +++服从t 分布，试证：

23=

c

2．随机变量η是另一个随机变量ξ的函数，并且λξ

ηe

=（0>λ），若ηE 存在，求证对于任何实数a 都有

λξλξEe e a P a ?≤≥-}{.

3．设}{n ξ的分布列为：)12(2)2(+-=-=k k k P ξ，k k P 221)0(--==ξ，)

12(2)2(+-==k k k P ξ，试证：若}

{n ξ为相互独立的随机变量序列，则}{n ξ服从大数定律.

4．设总体),(~2σμN X ，样本),,,(21n X X X 来自总体X ，试证：()∑-=---=1

1

212

)1(21

n i i i X X n S 是2σ的无偏估计.

《概率论与数理统计》作业参考答案

一、填空题 1．，6.

2．??

?

??≥<≤<=111000

)(x x x x x F ，1.

3． N(30,1)，1/2，8

)30(42

4

1

)2

21(

)(--

∑

==i i x e

x p π.

4． 8

3

5．

161， （2分）8

1

6． 7． 1/3，（2分）-1/6.

8． 2，9，

9

2)2(2

231?--

x e

π

.

9． ，，，，.

10． 3. 11．6.

12. 2y

13.

4

1

14.

n p

p)

1(-

15. )1,0(

N

16. ]1,1

[-

17. 审视所考察事件是否为小概率

18.

19.

20.

5

3

21. 1

22. 37

23. t(n)

二、选择题

1． A 2． C 3． B 4． B 5． B 6． B 7． D 8．C 9． C 10． C

11. B 12. B 13. A 14. D 15. A

16. B 17. A 18. D 19. A 20. B

22. B

三、计算题

1．第一问是服从超几何分布

第二问是服从二项分布

2． 解：由切贝晓夫不等式

2

1)|(|ε

ξ

εξξD E P -≥<-

,8

,n

D E =

=ξμξ 于是

2

81)|(|ε

εξξn E P -≥<-

n n P 21

1481)4|(|2

-=?-

≥<-μξ. 3． 解： 矩估计为,11

2?X X --=α

极大似然估计为,1

ln 1?+-=i X α

4． （1）)0(22)(2

ln 2>=

-

y e

y y g y π

（2）)0(22)(2

2≥=-

y e

y g y π

5． （1）

（2）2,1,0)(3

20

312

8===-k C C C k P k

k ξ, 3 2.1=ξE

6． 矩估计 X =θ

?， 极大似然估计 X =θ

?. 7．（1）2/9，

（2）5/18， （3）1/2.

8．（1）)0(22)(2

ln 2>=

-

y e

y y g y

π

（2）)0(22

)(2

>=

-

y e

y

y g y π

9． 矩估计 X =μ

?； 极大似然估计 X =μ

?. 10． 解： 矩估计为,1

?X

=λ 极大似然估计为,1

?X

=λ

11. 由公式)(1)(A P A P -= 109

1011125

22=-=-=C C p

12. 30

11

4.0323.031)|()()|()()(2211=

?+?=

+=B A P B P B A P B P A P 113

30

113.031

)()()()(=?==

=A P B A P B P A B P p i i i 13. 25

12

5,,53353

5

3

=

====P n k p P k n

14. 8413.0)1()690966

90

(

)96(≈Φ=-<

-=<ξξP P 5.0)0()6

90

90690()90(=Φ=-<-=<ξξP P 15. )3.1(1)3.1(≤-=>ξξP P

25.0])2([13

.11

10

≈-+-=??dx x xdx

16. .60

1!52,

,25

5===

==n k p P k n

17. 设事件A ： 迟到，1B ：乘火车来，2B ：乘轮船来，

3B ：乘汽车来，4B ：乘飞机来，

20

3)()()(4

1=

=∑=i i i B A P B P A P

5

.0)

()

()()(111==A P B P B A P A B P

18. 由

1)(=?

∞+∞

-dx x f ，得1,10

==?

∞+-A dx Ae x

19. 6826.01)1(2)115

65

1()8050(=-Φ=≤-≤

-=≤≤ξξP P

.34136826.050008050=?分的学生人数为分至

20. )2()4()04(2

2≥=≥=≥-ξξξp p p

8.05

1

62

=?=dx 四、证明题

1．证明：总体X ～N (0，1)，样本),,,(521X X X 来自总体X ，则i X 相互独立且与总体X 同分布，令

221X X X +=

，则X ～N (0，21

)， 于是

2

2

1X X +～N (0，1)，

令 )3(~2

252423χX X X Y ++=，

于是

3

/2Y X 服从t 分布，

要使

2

52

42321)

(X X X X X c +++服从t 分布，必须 2

3

=

c . 2． 可用切贝晓夫不等式来证. 3． 证：∵1222,0)12(2=??==+-k k k k D E ξξ

而n D D n

k k n

k k

==∑∑==1

1

)(

ξξ

故01

lim )(1lim 1

2==∑=∞→∞→n D n n

k n k n ξ

∴}{n ξ服从马尔科夫大数定律.

4． 证明：()∑-=---=1

1

2

12

)1(21n i i i X X E n ES

(

)∑-=+++--=1

1

2

12

12)1(21n i i i i i X X X X E n

()∑-=+++--=1

1

2

12

1)(2)1(21n i i

i i i EX X X E EX n

(

)

∑-=+++++-+-=1

1

21211)(2)()1(21n i i i i i i i EX DX EX EX EX DX n ()

∑-=++-+-=1

1

222222)1(21n i n μσμμσ 2σ=