《无约束最优化与非线性方程的数值方法》
J.E. Dennis, Jr. & Robert B. Schnabel
介绍
这本书讨论了三大非线性问题计算的方法、运算法则和思路分析：非线性方程组的解法、非线性函数的无约束极小化方法和非线性最小二乘参数选择。1.1节介绍了这些问题和我们对此提出的假设。1.2节
列举了一些非线性难题并且论述了在实际运算中遇到的这类问题的典型特征；对这类问题很熟悉的读者可能会想跳过这个章节。1.3节总结了计算机有限精度算术的特点。为了理解文本中以计算机为依托的算法，这些特点是读者必须要了解的。
1.1 考虑的问题
这本书讨论了实践中经常遇到的三大非线性问题的实际变量。这些是合理假设下建立的数学等价，但我们不打算用相同的算法来处理，而打算展示当前最佳的算法是如何找出每个问题的结构。
联立非线性方程问题（现在简称“非线性方程”）是三大非线性方程问题中最基础的，并且计算中可利用的结构最少。
公式如下：已知
在公式中表示n维欧氏空间。当然，(1.1.1)只是表示含未知数“n”的n非线性方程的标准公式，方程式的右边通常是零。例如：
如果已知且
(1.1.1)公式中计算出来的必然会是的最小值。
表示F的第i个组成函数。这是无约束极小化问题的特殊例子。
（1.1.2）是我们要考虑的第二个问题。通常（1.1.2）是
的缩写。例如：
可以得出
在一些应用中，有人对解决（1.1.3）受限版本有兴趣，其中
是一个封闭连通域。如果（1.1.4）的解法来自的内部，那么（1.1.4）
仍可以看作是一个无约束极小化问题。然而，如果是的边界点，
的极小化超过成为一个约束极小化问题。我们不考虑约束问题，因为目前已知的该如何去解决这个问题的知识还较少，而且其间有很多无约束问题需要我们考虑。此外，解决无约束问题的技巧是解决约束算法的基础。事实上，许多解决约束问题的尝试不是发现相关的无约束最小化问题的答案很接近约束问题的答案，就是发现
非线性方程组的联立解都等于。最终，我们在实践中遇到的绝大
多数的问题不是无约束问题就是最简单的约束问题——例如每个都必须非负数。
我们考虑的第三个问题也是无约束极小化的一个特殊例子，但是由于它的重要性以及它特殊的结构，其本身就构成一个研究领域。这就是非线性最小二乘问题：
表示的第i个组成函数。（1.1.5）在曲线拟合中是最常见的，除此之外当线性系统的线性需求比自由度多时它也会出现。
当非线性函数、、至少有一个、两个或者分别有两个连续不同数时，我们只考虑最常见的例子。要是函数是充分平滑的，我们不一定要用假设，导数就可通过分析得出。对于今天正在解决的非线性问题的典型规模以及其它特点的进一步阐释，可看1.2节。
在非线性问题的数值解的典型的场景中，计算者须提供评估函数的一个子程序，并且起始点是的大概近似值。如果可行，计算者还需提供第一个导数，或许还有第二个导数。我们这本书的重点是解决在这个框架中遇到的最常见的一些困难：（1）如果起始点和最终的答案（全局方法）不是近似值该如何解决以及如何用区域变量来有效的联合（局部方法）这个问题；（2）以及如果没得出解析导数应该如何处理；（3）如果问题函数的求值用精确的算法将会是高效的（算法往往不精确）。我们研究的基本方法以及提供的基本
算法思路是当前解决这些问题的最好方法。我们也给出了自认为是理解这些方法和，扩展或改进这些问题的相关分析。尤其是，我们试图辨别并强调这些在这个领域已经演变为中心的理念和方法。我们认为这个领域已经到达了一个可识别技术的点,这个点很可能还可改进,
但不大可能如量子跳跃般超越目前最好的算法。
解决非线性方程和无约束最小化的问题的方法很相似。这本书大部分是关于这两个问题的。非线性最小二乘问题只是无约束极小化的一个特例,但可以利用非线性最小二乘问题的特殊结构调整无约束极小化技术获取更好的算法。因此第十章用一个广泛可行的例子说明了如何应用和扩展前部分的内容。
在这本书中,我们没有解决的问题是找出一个非线性函数的极小点，这个变量是在出现许多个不同的局部极小值的情况下的绝对最低点。（1.1.2）的解答是，是开放区域的连接。这是一个非常难的问题,并无广泛的研究也不像我们已解决的问题那样容易。涉及此问题的两个论文集分别是(1975,1978). 通观全书我们会使用到“全局”、“全局法”或者“全局收敛法”这些词语来表示一种算法，这种算法是专门设计用来汇集非线性函数的全局极小点、或者是任何一个非线性方程组的起始点的一些解法。把这些算法叫做“局部”或者“局部收敛”是比较合适的，但在另一个算法上这些说明已经被传统保留了，对于一般算法来说确保从每个起始点收敛的方法或许是低效的（选自Allgower and Georg (1980)）。
1.2 “真实世界”问题的特征
在这节中我们提供一些关于实践中遇到的非线性问题。首先我们列举了三个真正的非线性问题的例子和一些参与设置数值问题的
思考。然后我们对大小、费用和其他非线性问题中遇到的一般特征作出了评价。
讨论样品问题的困难之一是在这一领域的背景和代数描述的问
题很少是简单的。虽然这使得咨询工作很有趣,但对于介绍性数值分析的书是没有什么帮助的。因此,我们尽可能简化我们的示例。
最简单的非线性问题只包含一个变量。例如,科学家可能希望确定分子构型化合物。研究者得出一个公式f(x)，把可能配置的势能看作函数的切线x与两个组件之间的角度。然后,因为自然会导致分子承担最小势能的配置,所以需要找到f(x)的最小值x。这是一个单变量x的最小化问题。它可能是高度非线性的, 由于x可以取任何值，所以物理函数真的是无约束。
如果问题中只有一个变量，那么就可以用第二章的方法轻易解决。然而我们已经得知相关的问题是一个介于20到100个变量的函数。虽然它们一个个不难解决，但每个F的值在5美元到100美元之间，因此它们合在一起是难以解决的。
第二类常见的非线性问题是曲线族中一些最符合实验数据或人
口统计数据的曲线选择的种类。举出1.2.1的例题：20个太阳光谱曲线数据通过卫星提供了波长t i，基本理论暗示任一数据m如(r i,
y i), ..., (t m, y m)都符合钟形的曲线。然而如数据显示,在实践中这点有实验上的错误。为了从数据中得出结论，我们想要无限接近钟形
曲线的m点。因此大致钟形的等式为
这意味着所选的x1, x2, x3, x4要将数据点与曲线之间的误差最小化，因此用以下公式
最常用的方法是求r的平方和，得出钟形曲线的解决方案是用非线性最小二乘法：
这里是注解。
第一点，1.2.1的问题是一个非线性最小二乘法问题，余下的函数r，x是非线性函数的变量x1, x2, x3, x4。实际上r i在X1和X2是线性的，我们可以用前面提到的方法利用这一优势（详见第10章）。
第二点，有一些函数以外的平方和可以用来测量钟形函数数据点间的距离。
图1.2.1符合钟形函数的数据点
有两个明显的公式：
通常选择f (x)而不是f1(x) 或f0(x)，有时候是因为统计的问题，有时候是因为简化的结果很难处理。因为最小二乘法函数是不断可微分的，但是其它两个却不是。在练习中大多数数据拟合问题都是用最小二乘法解决的。通常是通过余数进一位，但这对我们的讨论不重要。
最后一个例子，我们在研究核聚变反应堆的过程中遇到了一个问题。核聚变反应堆可以在内部加入高温等离子体塑造成圆环状。（详见图1.2.2）
问题可以简化成：我们要找到内圆半径r、圆环的宽w和等离子体的温度t就可以得出每单元能源的最低成本。科学家得出以下公式计算每单元能源的最低成本：
c l、c2, 、c3、c4是常数。因此非线性问题可以简化为一个r、w、t
的函数。然而关于这个问题还有其它重要的方面。第一，不像之前例子最后的那个变量，r、w和t不能随便赋值。比如说r和w不能是负数。
图1.2.2 核聚变反应堆
因此这是一个不能轻视的问题。这三个变量总共有5个将影响到解决方案的限制。当约束影响到解决方案时，问题就不能同样当成函数解决。在核反应堆问题上这些限制很重要。因此要用技术强制解决。然而很多简单的约束问题，如对变量的界限都可以无约束地解决。因为限制满足不受限制的最低要求。注意，我们在核反应堆中提到的限制通常会起很大作用。
这是因为实际上由于c l、c2, 、c3和c4的常数值不同，我们要解决625个问题。这些常数的值取决于因素，如电力成本。这将是恒定的反应器的运行，但不知到何时。它运行的问题得视不同的情况而定。但是当核反应堆在运行时，电力成本也在不断变化。因此有必要不断改变条件以寻找反应堆最佳的特征。
通常在实践中，需要解决在不同情况下的特定问题，这使算法的效率更为重要。这也使我们用不同的算法去评估这些因素特定的级别。最后，这条等式（1.2.2）只是简单粗略地反映核聚变反应堆。在下一小节的学习中，函数给出的每单元能源消耗并不十分准确，就像（1.2.2）。因为它是一个用偏微分方程算出的结果。
这里有5个参量（见图1.2.3）。这类函数的精确度在非线性问题中很有限，并且它对运算法则的改进有很大作用。
第一，这类函数只是在某些很小的区域内较为准确，因此解决问题时过多要求准确性是没有意义的。
第二，这类函数可能在大多时候是不断地可以被微分的，通常无法得到它的导数。这就是为什么导数的近似值变得如此重要了。最后求值可能就会很困难，需要进一步估算。
以上问题给出了一些典型的非线性问题典型的特征的指示。首先是它们的规模。虽然实际变量比讨论的变量多，但大多数我们看到的变量相对较少，有2到30个。
图1.23以核聚变反应堆的函数估算
我们希望能解决大部分的小问题。比如2~15个的变量。但是其实2个变量就已经很复杂了。现在的运算法则已经可以解决有15~50个变量的中等难度的问题了。但是多余50个变量的问题确实是难题，除非
它们只是简单的非线性问题或者有人猜想我们不可能将它们简便地解决。这些大小的估计是非常不稳定的，它们较少依赖于算法、更多依赖于快速存储的实用性和计算环境的其他方面。
第二个问题是，导函数的可用性。我们经常处理的非线性函数本身是计算机模拟的结果，或是由一个冗长又繁琐的代数公式得来的。因此通常情况下导函数是不可求的，尽管函数是可以不断被微分的。因此在缺乏可分析的导函数的情况下有一个有效率的运算法则是很重要的。事实上如果计算机子程序库包括导函数，用户也几乎不会分析它。谁能怪它们呢？
第三，如上所述，许多非线性问题是很难解决，要么是因为非线性函数反复进行，要么是要解决的任务牵扯到太多问题了。我们都听说过一个有50个变量的石油工程，其一个功能的每次评估就要花费IBM3033,100小时。算法运行时间和函数和导函数的估算效率是发展非线性算法的一个重要问题。
第四，在很多应用中，用户希望答案中只有少数精确的数字。这首先是由于其它问题的近似性质：函数，其它模型参数，数据。另一方面用户通常要求更精确。尽管希望更精确是合乎情理的，但是也要合理地接受会有集合的存在，因为提供的精确度很少能接近电脑的精确度。
第五，没有考虑到缩放比例。这意味着变量的大小不同，结果也会有很大不同。比如说一个一个变量可能总是在106~107之间，而另一个变量在1~10之间。在我们的经验中，这种情况经常发生。然而
这一领域的大多数工作一直没有注意到缩放比例的问题。在这本书中我们尝试指出忽略缩放比例会降低非线性算法的性能。我们试图纠正算法中的不足。
最后，在这本书中我们只讨论这些非线性问题。其中的未知数是可以有真正的值的，相反那些变量必须是整数。一般说来，这是一个现实的限制。答案是非线性问题中肯定有些变量必须是整数,因为他们代表等人、卡车或大型工具。然而,这种限制使得问题更加难以解决——由于连续性缺失——我们通常通过将离散变量取整来解决这
些问题。这一理论并不能保证这种方法能够解决整数问题,但实际上它通常能在特殊情况下得出合理的答案。一些离散变量约束只能是数值0、1或2。在这种情况下,必须使用离散方法（例如Beale(1977), Garfinkel和Nemhauser(1972)。)
1.3有限精度算法和测量误差
计算机程序法有一些特点,收敛性的判断取决于精确实数在电脑上的表示。有时,算术编码也受对计算机运算理解的影响。因此,我们需要简述有限精度算法,这是真正的电脑版本算术（更多信息请参考Wilkinson(1963)）。在科学记数法中，数字51.75被写作+ 0.5175 *10+2写的。电脑用同样的方式代表实数,在我们的例子中使用一个标志(+),一个基数(10),一个指数(+ 2),和一个尾数(0.5175)，使之具有惟一的代表。通过指定/基地<尾数<1,第一个数字的右边“十进制”点是零。尾数的长度,称为表示的精度,这对数值计算是特别重要的。实数的表示在电脑上被称为浮点表示,f l(x)是x的浮点表示。在CDC
机器上基数是2,尾数有48位。因为248≈1014.4这意味着我们可以准确储存14个小数位数。指数的范围可以从-976到+ 1070,这样最小和最大数字是大约10-294和10322。在IBM机器基数是16,尾数单精度6位双精度14位,分别对应于约7和16个小数位数。指数的范围可以从-64到+ 63,这样的最小和最大数字是大约10-77和1076。
只有一个有限的精度对存储实数非常重要,但他们能被简单地概括出来。第一,因为并不是每个实数可以在电脑上准确显示,最好可以得到符合计算机精度的准确答案。其次,根据计算机和编译器,每个由机器计算的中间算术运算的结果是被删减或四舍五入的数据。因此,由于有限精度的不准确，可能积累并进一步降低结果的准确性。这些错误被称为舍入错误。虽然舍入的影响可能相当微妙,只是仍然存在三个基本的情况，可以过度影响计算精度。首先是添加一个数字序列,特别是在数字绝对值减少；由于中间结果的表示是有限的，右边的部分较小的数据容易丢失 (例如，练习4）。第二个是采用两个几乎相同的不同数字；因为左边主要数字差异为零而精度丢失 (例如,练习5) 。第三是近奇异系统的线性方程组的解,这个在第三章讨论。这种情况实际上是前两个的结果,但它是如此基本和重要,我们更愿意把它看作第三个基本问题。如果一个人在书面作业或者电脑程序上意识到这三种情况,可以理解和避免许多与有限精度算法有关的问题。
由于有限精度算法的使用,甚至是算法的迭代性,我们不能得到大多数非线性问题的准确答案。因此我们经常得求出x和y的关系。我们通常采用的解题思路是取相对误差在一个非零的x、y作为近似
数,这是可取的,除非x = 0时,使用绝对误差,
因为后者计算靠x和y的关系,但前者不是(见练习6)。在量度误差和算法讨论时需规定相同符号。αi，βi，i=1,2,3……，写作αi=0（βi）。如果存在一常数c，例如所有的正整数i,除了一些有限的子集αi≤c*βi。这个不等式表明每个αi小于或等于它所对应的βi。（详见Aho, Hopcroft, and Ullman [1974].）
有限精度算法的另一个效应是,某些方面的算法,如停止标准,将取决于机器的精度。因此,为了描述机器精度的方式介绍讨论和计算机程序可以合理地独立于任何特定的机器.常用的概念“machine epsilon”,缩略为macheps；被定义为最小的正数t,由此1 + t > 1(见练习7)。例如，在CDC上，当我们讨论计算机数字，数量和macheps
是非常有用的。例如,我们可以很容易地表明,相对误差在计算机表示任何非零实数x的f l(x)小于macheps。相反,任何计算机表示实数x将在如下范围内(x(l - macheps)x(l + macheps))。同理,以下例子非常常见。
解决view macheps的关键是根据题意判断x的有限精度。我们习惯于首先将x赋值为0. 在有限精度下，0代表包含0的范围区间(1—macheps)*x,（1 + macheps）*x)。在计算的过程中，有限精度数字(x + y)=(x)。有时,在数值线性代数算法上,将y=0代入计算是有效的。最后,任何计算机用户应该知道,溢出和下溢的发生条件是在机器中计算生成一个非零的数,指数分别大于或小于0。例如,当我们在CDC 上的值为10322会出现下溢,在IBM上的值为10-77会上溢。
在溢出的情况下,几乎所有的机器将终止运行并显示错误。下溢的情况下,往往是一个编译器选项终止,或者代替零的表达。有时后者的选择是合理的,但也不一定(见练习8)。幸运的是,当一个人使用编写良好的线性代数的例程, 算法中通常不容易溢出或下溢。3.1节中讨论的例子，需要细心计算欧几里得范数的向量,
1.4练习
1.将用非线性方程的标准形式表示出来。例如
2.函数f在20个不同的时间点t(0到50之间)。众所周知,f(t)是一个正弦波,但其振幅、频率和位移在f和t方向不明。你会从你的实验数据中设置什么数值问题来得到这些特征数据？
3.经济学家有一个复杂的经济模型。过去的一年里,考虑到失业率在国民生产总值的增长速度和房屋开工的数量、通货膨胀率。问：如何组合这三个因素将通货膨胀率降到最低？你要分析和解决这个问题。
a)类型的数值问题可能会变成什么?你将如何处理变量“房屋开工数量”?
(b)你会问哪些经济学家为了使数值尽可能容易处理的问题(例如,关于连续性、衍生品、约束)?
(c)可能是成本高的解决问题吗?为什么?
4.假设你有电脑基数10和精度4,计算算术运算;例如,24.57 + 128.3
= 152.8的和是152.8。将128.3,24.57,3.163,和0.4825升序和降序排列在这台机器结果是什么?这些比较如何正确进行(“无限精确”)?你讲如何在电脑上添加这些数字序列吗?
5.假设您用练习4中一样的电脑来计算(1／3 - 0.3300)/ 0.3300。计算出的答案有多少位数字? 这说明你能在电脑上减去几乎相同的数字吗?
6.什么是相对和绝对错误，通过计算机计算练习5的答案与正确答案
相比较?如果问题是变为这是否能证明相对与绝对的有用性是错误的呢?
7.在您的计算机或计算器上编写一个程序。你可以假设macheps为2
的整数幂,这样你的算法可以像
保持计算,使你知道程序最后的运行答案。输出这个值和十进制值。(注意:macheps的价值将取决于2个不同的因素舍入或删除算法。为什么?)详细信息请参考Ford(1978)
8.下面的每个公式公会存在一个下溢，在哪种情况下用零替代下溢的数量是合理的？为什么是合理的？
题目：用外点法求解非线性约束最优化问题 学院信息管理学院 学生姓名余楠学号 81320442 专业数量经济学届别 2013 指导教师易伟明职称教授 二O一三年十二月
用外点法求解非线性约束最优化问题 摘要 约束最优化问题是一类重要的数学规划问题。本文主要研究了用外点罚函数法对约束非线性规划问题进行求解。对于一个约束非线性规划用罚函数求解的基本思路是通过目标函数加上惩罚项，将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。本文最后利用c语言编程得到满足允许误差内的最优解。 本文主要对一个约束非线性规划问题的实例，首先利用上述迭代的方法，计算出各迭代点的无约束极值问题的最优解。然后应用c语言编程，得到精确地最优解，需迭代四次次才使得ε≤0.001，得到的最优解为* X=(333 .0)T。 .0, 666 关键词：外点罚函数法非线性规划约束最优化迭代最优解
一、背景描述 线性规划的目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，但如果目标函数或约束条件中含有决策变量的非线性函数，就称为非线性规划。非线性规划与线性规划一样，也是运筹学的一个极为重要的分支，它在经济、管理、计划、统计以及军事、系统控制等方面得到越来越广泛的应用。 非线性规划模型的建立与线性规划模型的建立类似，但是非线性规划问题的求解却是至今为止的一个研究难题。虽然开发了很多求解非线性规划的算法，但是目前还没有适用于求解所有非线性规划问题的一般算法，每个方法都有自己特定的适用范围。 罚函数法是应用最广泛的一种求解非线性规划问题的数值解法，它的基本思路是通过目标函数加上惩罚项，将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。这种惩罚体现在求解过程中，对于企图违反约束的那些迭代点，给予很大的目标函数值，迫使这一系列无约束问题的极小值点无限的向可行集（域）逼近，或者一直保持在可行集（域）内移动，直到收敛于原来约束问题的极小值点。 外点法的经济学解释如下：若把目标函数看成“价格”，约束条件看成某种“规定”，采购人员在规定的范围内采购时价格最便宜，但若违反了规定，就要按规定加收罚款。采购人员付出的总代价应是价格和罚款的综合。采购人员的目标是使总代价最小，当罚款规定的很苛刻时，违反规定支付的罚款很高。这就迫使采购人员在规定的范围内采购。数学上表现为罚因子足够大时，无约束极值问题的最优解应满足约束条件，而成为约束问题的最优解。 二、基础知识 2.1 约束非线性优化问题的最优条件 该问题是一个约束非线性优化问题，利用外点罚函数法求解该问题，约束非线性优化问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据，为此有以下几个定理。
常用无约束最优化方法评价准则 方法算法特点适用条件 最速下降法属于间接法之一。方法简便，但要计算一阶偏导 数，可靠性较好，能稳定地使函数下降，但收敛 速度较慢，尤其在极点值附近更为严重 适用于精度要求不高或用于对 复杂函数寻找一个好的初始 点。 Newton法属于间接法之一。需计算一、二阶偏导数和Hesse 矩阵的逆矩阵，准备工作量大，算法复杂，占用 内存量大。此法具有二次收敛性，在一定条件下 其收敛速度快，要求迭代点的Hesse矩阵必须非 奇异且定型（正定或负定）。对初始点要求较高， 可靠性较差。 目标函数存在一阶\二阶偏导 数，且维数不宜太高。 共轭方向法属于间接法之一。具有可靠性好，占用内存少， 收敛速度快的特点。 适用于维数较高的目标函数。 变尺度法属于间接法之一。具有二次收敛性，收敛速度快。 可靠性较好，只需计算一阶偏导数。对初始点要 求不高，优于Newton法。因此，目前认为此法是 最有效的方法之一，但需内存量大。对维数太高 的问题不太适宜。 适用维数较高的目标函数 （n=10～50）且具有一阶偏导 数。 坐标轮换法最简单的直接法之一。只需计算函数值，无需求 导，使用时准备工作量少。占用内存少。但计算 效率低，可靠性差。 用于维数较低（n<5）或目标函 数不易求导的情况。 单纯形法此法简单，直观，属直接法之一。上机计算过程 中占用内存少，规则单纯形法终止条件简单，而 不规则单纯形法终止条件复杂，应注意选择，才 可能保证计算的可靠性。 可用于维数较高的目标函数。
常用约束最优化方法评价标准 方法算法特点适用条件 外点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点可以任选，罚因子应取为单调递增数列。 初始罚因子及递增系数应取适当较大值。 可用于求解含有等式约束或不等 式约束的中等维数的约束最优化 问题。 内点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点应取为严格满足各个不等式约束的内点， 障碍因子应取为单调递减的正数序列。初始障碍 因子选择恰当与否对收敛速度和求解成败有较大 影响。 可用于求解只含有不等式约束的 中等维数约束优化问题。 混合罚函数法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题， 用内点形式的混合罚函数时，初始点及障碍因子 的取法同上；用外点形式的混合罚函数时，初始 点可任选，罚因子取法同外点法相同。 可用于求解既有等式约束又有不 等式约束的中等维数的约束化问 题。 约束坐标轮换法由可行点出发，分别沿各坐标轴方向以加步探索 法进行搜索，使每个搜索点在可行域内，且使目 标函数值下降。 可用于求解只含有不等式约束， 且维数较低（n<5），目标函数的 二次性较强的优化问题。 复合形法在可行域内构造一个具有n个顶点的复合形，然 后对复合形进行映射变化，逐次去掉目标函数值 最大的顶点。 可用于求解含不等式约束和边界 约束的低维优化问题。
无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发，先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索，得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索，得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向，称为新生方向。 接着，以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1，将第一环新生方向S1补在最后，构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1，依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include
#include
项目三 常用无约束最优化方法（一） [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法（修正Newton 法）的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1．掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2．掌握Newton 法的思想及迭代步骤； 3．掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题：【选作一个】 1．用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-， 初始点 0[00]0.01T X ε==，，． 最速下降法 Matlab 程序： clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长
ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果：\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include
五种最优化方法 1.最优化方法概述 最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法： 3）是一种函数逼近法。 原理和步骤 3.最速下降法（梯度法） 最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 最速下降法算法原理和步骤 4?模式搜索法（步长加速法） 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的 是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
模式搜索法步骤 5.评价函数法 简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min (f_1(x),f_2(x),…,f_k(x)) .g(x)<=o 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数, 经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权 求合法介绍。 线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象 (一般就是问题的解)的一种称呼。种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体，它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度，而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 遗传算法基本流程 的就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作，最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤
精心整理 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3 4 1.2 2. 2.1 1 2 3 2.2 3. 3.1 1 2 3 3.2 4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降
方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t.g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。 6.1遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象（一般就是问题的解）的一种称呼。 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体,它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 6.2遗传算法基本流程 遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作,最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T；
M A T L A B非线性优化 f m i n c o n Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
active-setandsqpalgorithms不接受用户提供的海塞矩阵，对拉格朗日的海塞矩阵提供一个拟牛顿的近似值； 目标函数估值次数与迭代次数？ 优化成功或失败 一、求解失败 1、在到达迭代次数阈值或目标函数估值次数阈值时，求解器没有最小化目标到要求的精度，此时求解器停止。接下来，可以尝试以下方法： （1）设置‘Display’为‘iter’，查看每步的迭代信息，这些信息包括：目标函数（Fvalorf(x)orResnorm）是否是下降的；检查约束越界（Maxconstraint）是否是递减趋向于0；查看一阶优化是否是递减趋向于0；查看置信域半径(Trust-regionradius)是否下降趋向于一个小的值。若其中至少一种情况为是，就表示结果是不断改善的。如果结果是不断改善的，可以采取下边的措施：设置MaxIter、MaxFunEvals比默认值大的值，默认值可以在优化工具箱或求解器的函数参考页的优化表中查看；从最后计算出的点开始重新求解。如果结果没有改善，尝试以下其他的方法。 （2）放松精度 如果TolX或TolFun太小，当求解器达到一个最小值时可能也不会识别到，这就会导致无限次徒劳的迭代。DiffMaxChange和DiffMinChange选项能影响求解器的改善，它们控制求导估计中有限差分的步长。 （3）从不同的初始点重新开始求解 （4）检查目标函数和约束函数的定义 举个例子，可以检查目标函数和非线性约束函数在某些特定点处返回正确的值。不可行的点不一定导致函数的错误。
精心整理 active-set and sqp algorithms不接受用户提供的海塞矩阵，对拉格朗日的海塞矩阵提供一个拟牛顿的近似值； 目标函数估值次数与迭代次数？ 优化成功或失败 1、 （1 数（ （2 如果 就会导致无限次徒劳的迭代。DiffMaxChange和DiffMinChange选项能影响求解器的改善，它们控制求导估计中有限差分的步长。 （3）从不同的初始点重新开始求解 （4）检查目标函数和约束函数的定义
举个例子，可以检查目标函数和非线性约束函数在某些特定点处返回正确的值。不可行的点不一定导致函数的错误。 （5）对问题进行中心化和标准化 当每个坐标轴对目标函数和约束函数有相同的影响时，求解器更能可靠的运行，对每个坐标轴方向乘以合适的量使得每个坐标轴的影响相同，在特定的坐标轴 （6 （7 2 在可 （1 通过求解一个线性规划问题来找到一个满足界约束和线性约束的点。 i)定义一个目标函数是常值0的线性规划问题 f=zeros(size(x0));%assumesx0istheinitialpoint ii)求解这个线性规划问题看是否有一个可行点 xnew=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
iii)如果有可行点xnew，用xnew作为初始点去求解原始问题 iv)如果没有可行点，那说明原始模型建的不好，检查界约束和线性约束。（2）检查非线性约束 在保证界约束和线性约束是可行的之后，检查非线性约束： i)设置目标函数为0，然后求解优化问题，如果能找到一个可行点xnew，令 ii) a. 足。 b. 3 （1）原问题可能确实无界，即存在一系列满足问题约束的点xi，使得limf(xi)=–∞。 （2）检查原问题建模正确，求解器是最小化目标函数，如果想得到最大化，将目标函数乘以-1. （3）试着标准化或中心化原问题。
非线性约束最优化方法 ——乘子法 1.1 研究背景 最优化理论与方法是一门应用性相当广泛的学科，它的最优性主要表现在讨论决策问题的最佳选择性，讨论计算方法的理论性质，构造寻求最佳解的计算方法，以及实际计算能力。伴随着计算数学理论的发展、优化计算方法的进步以及计算机性能的迅速提高，规模越来越大的优化问题得到解决。因为最优化问题广泛见于经济计划、工程设计、生产管理、交通运输、国防等重要领域，它已受到政府部门、科研机构和产业部门的高度重视。然而，随着人们对模型精度和最优性的要求所得到的优化命题往往具有方程数多、变量维数高、非线性性强等特点，使得相关变量的存储、计算及命题的求解都相当困难，从而导致大规模非线性优化很难实现。因此，寻求高效、可靠的大规模非线性优化算法成为近年来研究的热点。 本文讨论的问题属于非线性约束规划的范畴，讨论了其中的非线性等式约束最优化问题方面的一些问题。 1.2非线性约束规划问题的研究方法 非线性约束规划问题的一般形式为 （NPL ） {}{} m in (),, s.t. ()0,1,2,...,, ()0,1,2,...,n i i f x x R c x i E l c x i I l l l m ∈=∈=≤∈=+++ 其中，(),()i f x c x 是连续可微的. 在求解线性约束优化问题时，可以利用约束问题本身的性质，
但是对于非线性约束规划问题，由于约束的非线性使得求解这类问题比较复杂、困难。因此，我们将约束问题转化为一系列无约束优化问题，通过求解一系列无约束优化问题，来得到约束优化问题的最优解。我们用到的几类主要的方法有:罚函数法、乘子法以及变尺度法。 传统上我们所提出的非线性约束最优化方法一般都遵循下列三个基本思路之一 1 借助反复的线性逼近把线性方法扩展到非线性优化问题中来 2 采用罚函数把约束非线性问题变换到一系列无约束问题 3 采用可变容差法以便同时容纳可行的和不可行的X 矢量 其中源于思路2 的乘子罚函数法具有适合于等式及不等式约束不要求初始点为严格内点，甚至不要求其为可行点对自由度的大小无任何要求等特点。 1.3乘子法 罚函数法的主要缺点在于需要惩罚因子趋于无穷大，才能得到约束问题的极小点，这会使罚函数的Hesse矩阵变得病态，给无约束问题的数值求解带来很大问题，为克服这一缺点，Hestenes和Powell 于1964年各自独立地提出乘子法。所谓乘子法是：由问题的Lagrange 函数出发，考虑它的精确惩罚，从而将约束优化问题化为单个函数的无约束优化问题，它同精确罚函数法一样，具有较好的收敛速度和数值稳定性，且避免了寻求精确罚函数法中关于罚参数阈值的困难，它们一直是求解约束优化问题的主要而有效的算法。 考虑如下非线性等式约束优化问题：
第三章无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节概述 第二节迭代终止原则 第三节常用的一维搜索方法 第四节梯度法 第五节牛顿法 第六节共轭方向法 第七节变尺度法 第八节坐标轮换法 第九节鲍威尔方法 第一节概述 优化问题可分为 无约束优化问题 有约束优化问题 无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想：
所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长
3、如何确定最优点（终止迭代） 第二节 迭代终止准则 1）1K K X X ε+-≤ 111/2 21K K K K n i i i X X X X ε++=??-=-≤???? ∑（） 2） 11()()()() () K K K K K f X f X f X f X or f X ε ε ++-≤-≤ 3）(1)()K f X ε+?≤ 第三节 常用的一维搜索方法 本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。 从初始点(0)X 出发，以一定的步长沿某一个方向，可以找到一个新的迭代点，其公式如下： (1)(0)00(2)(1)11(1)() K K k k X X S X X S X X S ααα+=+=+= + 现在假设K S 已经确定，需要确定的是步长k α，就把求多维目标函数的极小值这个多维算过程中，当起步点和方向问题，变成求一个变量即步长的最优值的一维问题了。即 (1)()min ()min ()min ()K K K k k f X f X S f αα+=+= 由此可见，最佳步长*K α由一维搜索方法来确定 求*k α，使得()()()()()()min K K K K f f X S αα=+→ 一、一维搜索区间的确定 区间[,]a b 应满足 ()(*)()f a f f b α><
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最
无约束最优化方法可变单纯形法（simplex）Nelder-Mead 可爱的馒头 本程序是用Ｃ＋＋编写的，从编写的算例来看，应该是没有问题的。所采用的原理和步骤是参考华南理工大学出版社蒋金山等编写的最 优化计算方法第８章第三节可变单纯形法。欢迎各位批评指正。 #include 第四章 无约束优化方法 ——最速下降法，牛顿型方法 概述 在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这 种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的， 无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过 对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。 为什么要研究无约束优化问题? （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 （3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。 一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度 法、共轭梯度法等。 二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯 形法等。 无约束优化问题的一般形式可描述为： 求n 维设计变量 []12T n n X x x x R =∈L 使目标函数 ()min f X ? 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 无约束优化问题的求解： 1、解析法 可以利用无约束优化问题的极值条件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方 程 0)(min *=X f 的解。也就是求Ｘ＊使其满足 解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值 点。但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性 的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。由第二章的讲述我们知道，优化问题 的一般解法是数值迭代的方法。因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用 数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。 2、数值方法 数值迭代法的基本思想是从一个初始点) 0(X 出发，按照一个可行的搜索方向)0(d ρ搜索，确定最佳的步长0α使函数值沿)0(d ρ方向下降最大，得到)1(X 点。依此一步一步地重复数值计算，最终达到最优点。优化计算所采用的基本迭代公式为 ),2,1,0()()()1(Λρ=+=+k d X X K K K K α （4.2） 在上式中， ()K d r 是第是 k+1 次搜索或迭代方向，称为搜索方向（迭代方向）。 由上面的迭代公式可以看出，采用数值法进行迭代求优时，需要确定初始点)(k X 、搜索方向)(k d ρ和迭代步长K α，称为优化方法迭代算法的三要素。第三章我们已经讨论了如何在搜索方向)(k d ρ上确定最优步长K α的方法，本章我们将讨论如何确定搜索方向)(k d ρ。 最常用的数值方法是搜索方法，其基本思想如下图所示： 0)(0)(0)(*2*1*=??=??=??n x X f x X f x X f M 毕业论文 题目非线性最优化计算方法与算法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算1201 学生陶红 学号20120921104 指导教师邢顺来 二〇一六年五月二十五日 摘要 非线性规划问题是一般形式的非线性最优化问题。本文针对非线性规划的最优化问题进行方法和算法分析。传统的求解非线性规划的方法有最速下降法、牛顿法、可行方向法、函数逼近法、信赖域法，近来研究发现了更多的求解非线性规划问题的方法如遗传算法、粒子群算法。本文对非线性规划分别从约束规划和无约束规划两个方面进行理论分析。 利用最速下降法和牛顿法两种典型算法求解无约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。另外给出了阻尼牛顿法，探讨其算法的收敛性和稳定性，求解无约束非线性规划比牛顿法的精确度更高，收敛速度更快。惩罚函数是经典的求解约束非线性的方法，本文采用以惩罚函数法为核心的遗传算法求解有约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。并改进遗传算法，给出适应度函数，通过变换适应度函数，提高算法的收敛性和稳定性。 关键词：非线性规划；最速下降法；牛顿法；遗传算法 ABSTRACT Nonlinear programming problem is the general form of the nonlinear optimization problem. In this paper, we carry on the analysis of the method and algorithm aiming at the optimization problem of nonlinear programming. The traditional methods of solving nonlinear programming problems include steepest descent method, Newton method, the feasible direction method, function approximation method and trust region method. Recent studies found more method of solving nonlinear programming problems, such as genetic algorithm, particle swarm optimization (pso) algorithm. In this paper, the nonlinear programming is analyzed from two aspects: the constraint programming and the unconstrained programming. We solve unconstrained condition nonlinear programming problem by steepest descent method and Newton's method, and get the optimal value through MATLAB. Then the convergence and stability are discussed. Besides, the damped Newton method is furnished. By discussing the convergence and stability of the algorithm, the damped Newton method has higher accuracy and faster convergent speed than Newton's method in solving unconstrained nonlinear programming problems.Punishment function is a classical method for solving constrained nonlinear. This paper solves nonlinear programming problem with constraints by using genetic algorithm method, the core of which is SUMT. Get the optimal value through MATLAB, then the convergence and stability are discussed. Improve genetic algorithm, give the fitness function, and improve the convergence and stability of the algorithm through transforming the fitness function. Key words：Nonlinear Programming; Pteepest Descent Method; Newton Method; GeneticAlgorithm无约束优化方法(最速下降法_牛顿法)
非线性最优化计算方法与算法
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