二次函数与圆的综合题
1．已知：如图，
抛物线2y x =x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，⊙M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．
（1）求抛物线的顶点E 的坐标；
（2）求⊙M 的面积；
（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．
2.如图，已知二次函数2(3)3y mx m x =+-- (m ＞0)
(1) 求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点,
(2) 这条抛物线与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x （1x ＜2x ），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A ，B ，C 三点，求扇形MAC 的面积S 。
(3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，PD ⊥x 轴于D,使△PBD 被直线BC 分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
O x y N
C D E F B M A (0, ) 3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2
y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．
（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．
4..如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；
（2）判断△OBD 与△CEB 是否相似,并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
A B C
x O y l
P P 1 Q Q 1 5.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．
(1)当t ＝1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ；
(2)当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；
(3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP ＋NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．
6.在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ．
（1）求直线CB 的解析式；
（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C 是否在抛物线上？
（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点．
7.如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于7.A
B ，两点，与y 轴交于
C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使
以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重
合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；
（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出
结论）．
8.如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为
45。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，
求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求
出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
O B x y A M C 1 3-