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最小二乘法（解）-Read
第十七讲矛盾方程（组）的解---最小二乘法一、从实验数据处理谈起第十七讲矛盾方程（组）的解---最小二乘法一、从实验数据处理谈起设有一组实验数据(t 1 ，s 1 )，(t 2 ，s 2 )，，(t n ，s n )，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。
假定规律为：
2t c + +1 1s=c ，由于存在误差 i 2t c (i 1,2, ,n) + = i 1s c ，令 1 12 1 22n nt 1 st 1 c sA ,x ,bct 1 s
= = =
，则：
Ax=b 实际无解，或者说矩阵方程 Ax=b 成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有解。
怎么办？一般处理是，定义一种目标函数，例如：
n21 2 i i 1 i 2 ii 1E(c ,c ) w (s c t c ) w 0= ==
为加权系数 ts 使误差1 2E(c ,c ) 最小化。
w i =1(i=1 ～ n) 时21 22E(c ,c ) Ax b ＝二、最小二乘法（解）对于矛盾方程 Ax=b，最小二乘法是求其解的一种方法。
即求使2Ax b min = 的解。
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引理：
m nA C 设 ,A{1,3}由如下方程的通解构成：
(1,3) (1,3) (1,3) n mAX AA A{1,3} {A (I A A)Z Z C } = = + 其中，A (1,3) 为 A{1,3}中的某个矩阵。
证：
1。
方程既然相容，设 X 是其某个解，则 (1,3)H (1,3) H (1,3)(i) AXA AA A A X A{1}(iii) (AX) (AA ) AA AX X A{3}= = = = = = = = = = 即方程的解必在 A{1,3}中。
2。
设X 为 A 的一个{1,3}-逆矩阵，则( ) ( )( )( )( )( )( )( )iiiHH(1,3) (1,3)H(1,3) H H HH(1,3) HH(1,3) (1,3)AX AA AX AA AXA A X AA (AXA)AA AA= ==== == ==== = 即，A 的{1,3}-逆矩阵必满足方程 AX=AA (1,3) { { } }{ }(1,3)(1,3) (1,3) n mA{1,3} AX AAA (I A A)Z Z C = =+ = =+ 方程的所有解＝方程的所有解＝令(1,3) (1,3)X A I A A)Z ＝＋（－，则 (1,3) (1,3)(1,3) (1,3) (1,3) H(i)AXA AA A AZA AA AZA A X A{1}(iii)AX AA (A AA A)Z AA (AX) X A{3}= + = = + = = = + = = + = = 定理：
矩阵方程 Ax=b 的最小二乘解为 (1,3)x A b = = ，其中 A (1,3) 为 A 的任何一个{1,3}-逆矩阵，反之，存在 X，对于任何mb C 均有 Xb 成 Ax=b 的最小二乘解，则 X A{1,3} 。
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R(A) R(A)R(A) R(A) R(A)R (A)Ax b (Ax P b) (P b b)(Ax P b)
R(A),(P b b) (I P )b P b R (A) = + = = = + = = 所以， 2 2 22R(A) R(A) R(A)22 2 2Ax b Ax P b P b b b P b = + ，故22Ax b 取得极小值的条件是 x 为方程R(A)Ax P b = = 的解。
任取一个(1,3)A A{1,3} ，我们知道(1,3)R(A)AA P = = 。
而对于(1,3)x A b = = ，有(1,3)R(A)Ax AA b P b = = （但最
小二乘解是否一定具有 A (1,3) b 的形式呢？）方程(1,3)Ax AA b = = 的通解为 { { } }{ }(1,3) (1,3) (1,3) n (1,3)(1,3) (1,3) nx A AA b y A Ay y C y A b zA b (I A A)z z C= + = += + = + = += + 显然最小二乘解并不一定都具有 A (1,3) b 的形式。
反之，若对于 m (1,3)b C ,x Xb A b AA b = =R(A)均使 x=P ，即(1,3) (1,3)b, AXb AA b AX AA X A{1,3} = = 有推论：
x 是方程 Ax＝b 的最小二乘解的充要条件是，x为方程H HA Ax A b = = 的解。
证：
R(A)x Ax P b = 为最小二乘解，而 HR(A)N(A )b P b P b = +，故 HH HN(A )x Ax b P b N(A ) A (Ax b) 0 = = 为最小二乘
解最小二乘解一般不唯一。
三、极小范数最小二乘解定理 2 ：
设m n mA C ,b C ，则 x＝A b 是方程 Ax＝b 的极小范数最
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小二乘解。
反之，若存在n mX C ，若对于所有mb C ，x＝Xb 均成为方程 Ax＝b 的极小范数最小二乘解，则 X＝A 。
证：
最小二乘解满足 Ax＝AA (1,3) b，其极小范数解唯一，且为(1,4) (1,3)x A (AA b) A = =b ，反之， mb C ,xb 均成为唯一的极小范数最小二乘解A b ，所以：
X＝A 。
定理 3：
矩阵方程 AXB＝D 的极小范数最小二乘解唯一，且为 X A DB = = 证明略（教材 P86）作业：
P343－344，1，2，5
对比分析最小二乘法与回归分析
摘要 最小二乘法是在模型确定的情况下对未知参数由观测数据来进行估计，而回归分析则是研究变量间相关关系的统计分析方法。 关键词：最小二乘法回归分析数据估计
目录 摘要 (2) 目录 (3) 一：最小二乘法 (4) 主要内容 (4) 基本原理 (4) 二：回归分析法 (6) 回归分析的主要内容 (6) 回归分析原理 (7) 三：分析与总结 (10)
一：最小二乘法 主要内容 最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术。它通过定义残差平方和的方式，最小化残差的平方和以求寻找数据的最佳函数匹配，可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称 为经验公式.利用最小二乘法可以十分简便地求得未知的数据，并使 得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化 熵用最小二乘法来表达。 基本原理 考虑超定方程组（超定指未知数大于方程个数）： 其中m 代表有m 个等式，n 代表有n 个未知数（m>n）；将其进行向量化后为： ，
， 显然该方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的 让该等式"尽量成立"，引入残差平方和函数S （在统计学中，残差平方和函数可以看成n 倍的均方误差当时， 取最小值，记作： 通过对进行微分求最值，可以得到： 如果矩阵非奇异则 有唯一解：
二：回归分析法 回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的相关关系的一种 统计分析方法。回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。它基于观测数据建立变量间适当的依赖关系，建立不同的回归模型，确立不同的未知参数，之后使用最小二乘法等方法来估计模型中的未知参数，以分析数据间的内在联系。当自变量的个数等于一时称为一元回归，大于1时称为多元回归，当因变量个数大于1时称为多重回归，其次按自变量与因变量之间是否呈线性关系分为线性回归与非线性 回归。最简单的情形是一个自变量和一个因变量，且它们大体上有线性关系，叫一元线性回归。 回归分析的主要内容 ①从一组数据出发，确定某些变量之间的定量关系式，即建立数 学模型并估计其中的未知参数。估计参数的常用方法是最小二乘法。 ②对这些关系式的可信程度进行检验。 ③在许多自变量共同影响着一个因变量的关系中，判断哪个（或 哪些）自变量的影响是显著的，哪些自变量的影响是不显著的，将影 响显著的自变量加入模型中，而剔除影响不显著的变量，通常用逐步回归、向前回归和向后回归等方法。 ④利用所求的关系式对某一生产过程进行预测或控制。
基于结构光的微小物体三维测量系统的设计及应用针对微小物体的三维轮廓测量是现代三维形貌测量的一个重要分支领域。自从上世纪六十年代在国外被首次提出后,国内外研究学者经过几十年的不断研究和发展,与其相关的测量技术与测量设备也获得了高速发展,进入21世纪以后,其被广泛应用于缺陷检测、精密制造、虚拟现实(VR)、机器视觉、医疗工程、影音游戏、三维打印以及现代教育等众多领域。但与国外现有的测量技术与设备相比较,国内目前还处在相对落后的局面。因此,研制出测量精度高、测量速度快、微型化以及更加智能化的微小物体三维轮廓测量系统迫在眉睫。 根据上述情况,本文针对微小物体的三维轮廓测量从两个方向展开研究。一方面,基于正弦光栅条纹投影和光学三角法的三维测量方法进行研究。另一方面,着眼于以体视显微镜和双远心镜头为主体的硬件测量系统的设计与搭建。具体研究内容如下:(1)针对微小物体的三维轮廓测量现有方法以及研究现状系统地调研。 对常规方法存在的问题进行归纳总结,明确了微小物体测量面临的困难与挑战。本文将从硬件系统搭建以及算法实现两个方面进行研究改进。(2)设计与搭建以体视显微镜和双远心镜头为主体的硬件测量系统。因体视显微镜可实现物体的立体成像,可观察区域范围大;双远心镜头因分辨率高,低畸变,景深大,在成像时能最大限度还原物体的形状信息。 因此,测量系统采用体视显微镜和双远心镜头为主体结构设计并搭建了测量系统,结合基于光学三角原理的正弦光栅条纹投影三维测量方法,在经过系统标定后,能顺利获取被测物体的三维轮廓信息,测量系统的视场范围可达 1.8cm*1.6 cm。(3)基于正弦光栅条纹投影和光学三角法的三维测量方法进行研究。本文选用无损伤、精度高、速度快、易实现的正弦光栅条纹投影结合光学三角法对微小物体表面的三维轮廓进行测量,详细阐述了其测量原理,提出了一种基于质量图引导的相位解包裹改进算法——可靠路径跟踪算法,在满足测量精度要求下,提高了系统整体测量速度;针对系统标定,基于一般成像模型引入了摄像机标定与系统标定方法,深入阐述了摄像机标定和系统标定的方法理论,完成了测量系统的整体标定。基于C++与MATLAB实现了相关算法。 进行了大量相关实验,验证了该测量方法的稳定性和有效性,实验结果表明
最小二乘法在系统辨识中的应用 王文进 控制科学与控制工程学院 控制理论与控制工程专业 2009010211 摘要：在实际的工程中，经常要对一个系统建立数学模型。很多时候，要面对一个未知的系统，对于这些未知系统，我们所知道的仅仅是它们的一些输入输出数据，我们要根据这些测量的输入输出数据，建立系统的数学模型。由此诞生了系统辨识这门科学，系统辨识就是研究怎样利用对未知系统的输入输出数据建立描述系统的数学模型的科学。系统辨识在工程中的应用非常广泛，系统辨识的方法有很多种，最小二乘法是一种应用及其广泛的系统辨识方法。本文主要讲述了最小二乘估计在系统辨识中的应用。 首先，为了便于介绍，用一个最基本的单输入单输出模型来引入系统辨识中的最小二乘估计。 例如：y = ax + （1） 其中：y、x 可测，为不可测的干扰项，a未知参数。通过N 次实验，得到测量数据y k和x k ，其中k=1、2、3、…，我们所需要做的就是通过这N次实验得到的数据，来确定未知参数a 。在忽略不可测干扰项的前提下，基本的思想就是要使观测点y k和由式（1）确定的估计点y的差的平方和达到最小。用公式表达出来就是要使J最小： 确定未知参数a的具体方法就是令： J a = 0 , 导出 a 通过上面最基本的单输入单输出模型，我们对系统辨识中的最小二乘法有了初步的了解，但在实际的工程中，系统一般为多输入系统，下面就用一个实际的例子来分析。在接下来的表述中，为了便于区分，向量均用带下划线的字母表示。 水泥在凝固过程中，由于发生了一系列的化学反应，会释放出一定的热量。若水泥成分及其组成比例不同，释放的热量也会不同。 水泥凝固放热量与水泥成分的关系模型如下： y = a0+ a1x1+…+ a n x n + 其中，y为水泥凝固时的放热量（卡/克）；x1~x2为水泥的几种成分。
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）
基于时间相位解包裹的条纹投影三维测量方法研究三维测量技术影响着生活方式、生产方式,其中具有非接触、快速、高精度、低成本、操作简单等优点的数字条纹投影三维形貌测量技术,更是成为了研究的热点,在快速测量、工业检测、质量控制、虚拟现实、反向工程、生物医学等领域被广泛应用。随着生活质量的提高、工业生产的发展,对数字条纹投影三维形貌测量技术的要求越来越高,期望能够更快速,更高精度的测量。在数字条纹投影三维形貌测量技术中具有较高的可靠性和测量精度的是基于时间相位解包裹方法的条纹投影测量技术。但是,该方法投影和采集的条纹图数量较多,处理的数据量大、测量时间较长,无法进行快速、实时和动态测量。 本论文针对基于时间相位解包裹方法的条纹投影测量技术实现快速,高精度测量的关键问题展开研究。1.详细研究线性增长法、拟合指数法、拟合负指数法时间相位解包裹方法的原理,这些方法需要采集和处理大量的数据,测量速度慢。基于此,本文提出一种如何减少数据获取时间的方法。该方法在四步相移条纹的基础上增加了两幅条纹图,六幅条纹图可以得到一个包裹相位和一个辅助相位,利用两相位间的联系能够得到一个频率是包裹相位一半的新的包裹相位。 也就是说,该方法的一套条纹可以得到两个不同频率的包裹相位。拟合指数法、拟合负指数法需要log2 s（s为条纹的最大周期数）套条纹,在采用四步相移的情况下,则需要4log2 s幅条纹图。而本方法需要3log2 s,减少了log2 s幅条纹图,可以缩短投影和采集时间、数据处理时间,一定程度上提高测量速度。通过实验证明了该方法的可行性。 2.详细阐述了双频外差法和三频外差法的原理,并分析了每种方法的不足。双频外差方法中相位主值的误差限制了使用高频条纹进行高精度的测量,三频外差方法,虽然可以使用高频条纹,但是两次的外差操作会放大主值相位的误差,可能会造成外差相位不够准确,进而会使展开的连续相位出现跳跃性误差。结合现有的研究成果,提出了双频外差结合相位编码的相位解包裹方法。通过相位编码条纹展开外差后的相位,外差相位的周期不用覆盖整个视场,从而打破了相位主值误差对高频条纹的限制,而且只进行一次外差,不会出现放大主值相位的误差造成连续相位跳变的情况。
一、 最小二乘法（LS ） 辨识系统Z(K+2)=1.5*Z(K+1)-0.7*Z(k)+u(K+1)+0.5*u(k)+v(k) 辨识参数 L T L L T L LS y X X X 1)(-Λ =θ 其中 MAT 程序 >> x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; >> n=403; >> M=[]; >> for i=1:n temp=xor(x(4),x(9)); M(i)=x(9); for j=9:-1:2 x(j)=x(j-1); end x(1)=temp; end >> v=randn(1,400); >> z=[]; >> z(1)=-1; >> z(2)=0; >> for i=3:402 z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i-2); end >> H=zeros(400,4); >> for i=1:400 H(i,1)=-z(i+1); H(i,2)=-z(i); H(i,3)=M(i+1); H(i,4)=M(i); end >> Estimate=inv(H'*H)*H'*(z(3:402))' 辨识参数为： Estimate = -1.4916
1.0364 0.4268 >> 二、最小二乘递推法（RLS） 辨识Z(K+2)=1.5*Z(K+1)-0.7*Z(k)+u(K+1)+0.5*u(k)+v(k) 递推公式： 其中： MATLAB程序： >> x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; n=403; M=[]; for i=1:n temp=xor(x(4),x(9)); M(i)=x(9); for j=9:-1:2 x(j)=x(j-1); end x(1)=temp; end v=randn(1,400); z=[]; z(1)=-1; z(2)=0; for i=3:402 z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i-2); end P=100*eye(4); Pstore=zeros(4,401); >> Pstore(:,1)=[P(1,1),P(2,2),P(3,3),P(4,4)]; >> Theta=zeros(4,401); Theta(:,1)=[3;3;3;3]; >> K=[10;10;10;10];
最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 2 = 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线 )(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法 . 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) [ ] ∑ = = - m i i i y x p 0 2 min ) (
两种不同质量函数选取对相位解包裹的影响 【摘要】分别选用一阶差分和二阶差分为质量函数，采用质量引导解包裹路径方法，对相同的包裹相位图进行解包裹处理。并对处理结果进行分析，比较了两种质量函数的优劣。 【关键词】一阶差分二阶差分质量解包裹 光学三维轮廓测量方法在工业生产和实际生活中有着重要的应用，如逆向工程、工业生产上的质量监控、机器人的视觉系统等等[1][2]。在三维轮廓测量方法中，相移法是目前使用最广泛的方法之一[3]，虽然相移法有着较高的测量精度，但测得的相位值是被包裹在[-，]之间的[4]。因而要得到正确的相位值，就需要对包裹相位值进行正确的解包裹处理。 相位解包裹已经成为近年来研究的热点之一。目前提出的解包裹方法有很多，但方法上大致可以分为三类：整体法、区域分割法和路径跟踪算法[5]。 本文采用质量引导路径的方法，分别选用一阶差分和二阶差分为质量函数，进行实验，通过实验结果分析比较了两种函数的优劣。 1 两种不同质量函数的选取 设图片中某像素点的坐标为（m，n），那么它的四个正交相邻像素点为（m-1，n），（m+1，n），（m，n-1}和（m，n+1），四个对角相邻像素点为（m-1，n-1），（m+1，n-1），（m-1，，n+1），（m+1，n+1），则一阶差分为： 某点对应的差分值越大则对应的质量应该越差，则令一阶差分质量函数为。其中， 点（m，n）对应的二阶差分为： 则二阶差分质量函数，其中。式中的F是加减的操作，目的是使相邻相位连续。 2 实验结果 在图一中，（a）是参考包裹相位，（b）是放上物体后受到高度调制的包裹相位。（c）、（d）是采用一阶差分为质量函数对（a）、（b）的相位解包裹图。图二为图一中（d）、（c）的相位差图；图三中的（a）、（b）与图一中的（a）、（b）是相同的两幅图，但（c）、（d）是使用二阶差分为质量函数的解包裹结果。图四为图三中（d）、（c）的相位差图。 通过相位差图可以看到图二中有明显的区域分块和拉线现象，而采用二阶差
最小二乘参数估计 摘要： 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。这种算法在使用时，占用内存大，离线辨识，观测被辨识对象获得的新数据往往是逐次补充到观测数据集合中去的。在应用一次完成算法时，如果要求在每次新增观测数据后，接着就估计出系统模型的参数，则需要每次新增数据后要重新求解矩阵方程()Z l T l l T l ΦΦΦ-∧=1θ。 最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。 关键词： 最小二乘（Least-squares ），系统辨识（System Identification ） 目录： 1.目的 (1) 2.设备 (1) 3引言 (1) 3.1 课题背景 (1) 4数学模型的结构辨识 (2) 5 程序 (3) 5.1 M 序列子函数 ................................................................................. 错误！未定义书签。 5.2主程序............................................................................................... 错误！未定义书签。 6实验结果： ................................................................................................................................... 3 7参考文献： ................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.目的 1.1掌握系统辨识的理论、方法及应用 1.2熟练Matlab 下最小二乘法编程 1.3掌握M 序列产生方法 2.设备 PC 机1台（含Matlab 软件） 3引言 3.1 课题背景 最小二乘理论是有高斯（K.F.Gauss ）在1795年提出：“未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。”这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最
最小二乘法原理 1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 2. 原理 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 是偏差绝对值最小 11min (x )y m m i i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小 min max (x )y i i i i φδ?=- 3. 是偏差平方和最小 2211min ((x )y )m m i i i i i φδ?===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 01...k k y a a x a x =+++ 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 2 2 011(...)m k i i k i i R y a a x a x =??=-+++??∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了： 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x =??--+++=??∑ 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑
…….. 0112( 0 k k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ 4. 将等式简化一下，得到下面的式子 01111...n n n k i k i i i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 2 1011111...n n n n k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ …… 12011111...n n n n k k k k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵： 11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====??????????????????????=?????????????????????? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到： 0111122 21...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ??????????????????=????????????????????
普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即
0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成
最小二乘法的原理及其应用 一、研究背景 在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。 其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。 二、最小二乘法的原理 人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。 通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。 其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。 确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：
(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910351261.0 (22)申请日 2019.04.28 (71)申请人 北京卫星制造厂有限公司 地址 100190 北京市海淀区知春路63号 (72)发明人 周勇 邵珩 聂中原 祁俊峰 (74)专利代理机构 中国航天科技专利中心 11009 代理人 张晓飞 (51)Int.Cl. G01B 9/02(2006.01) (54)发明名称一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法(57)摘要一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法，步骤为：1)输入激光散斑干涉相位图，求解出激光散斑干涉相位图中的所有残差点；2)根据受力公式求出当前每个残差点受到外界的电磁力，同时设定电磁力的阈值；3)计算所受电磁力大于阈值的残差点所在邻域内的明暗分界线方向；4)通过上述明暗分界线方向和电磁力方向关系，依次对所受电磁力大于阈值的残差点所在邻域进行“缝合”或“撕裂”处理，使得电性相反的残差点不断靠近或重合消失，生成处理后的激光散斑干涉相位图；5)重复步骤1)、2)、3)、4)，直到所有残差点都消失或所受电磁力都小于等于阈值时结束；6)根据现存残点设置枝切线；7)沿枝切线标识的路径进行图像解包裹，得到激光散斑 干涉相位解包裹图。权利要求书2页 说明书4页 附图2页CN 110108200 A 2019.08.09 C N 110108200 A
权 利 要 求 书1/2页CN 110108200 A 1.一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法，其特征在于包括如下步骤： 1)输入激光散斑干涉相位图，求解出激光散斑干涉相位图中的所有残差点； 2)将残差点当作带着正负单位电量的“电子”，将激光散斑干涉相位图图片区域当作电磁力场，根据受力公式求出当前每个残差点受到外界的电磁力，同时设定电磁力的阈值； 3)计算所受电磁力大于阈值的残差点所在邻域内的明暗分界线方向； 4)通过上述明暗分界线方向和电磁力方向关系，依次对所受电磁力大于阈值的残差点所在邻域进行“缝合”或“撕裂”处理，使得电性相反的残差点不断靠近或重合消失，生成处理后的激光散斑干涉相位图； 5)当所受电磁力大于阈值的残差点存在时，重复步骤1)、2)、3)、4)，直到所有残差点都消失或所受电磁力都小于等于阈值时结束； 6)根据现存残点设置枝切线； 7)沿枝切线标识的路径进行图像解包裹，得到激光散斑干涉相位解包裹图。 2.根据权利要求1所述的一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法，其特征在于，其特征在于：所述步骤1)中通过Goldstein枝切法求出激光散斑干涉相位图中的所有残差点。 3.根据权利要求1所述的一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法，其特征在于：根据受力公式求出当前每个残差点受到外界的电磁力的具体方法如下：假若共有n个残差点，第k个残差点表示为Ak，则它受到外界的电磁合力为： 其中k＝1,2,……,n，i＝1,2,……,n， (D Ak Ai)2为残差点Ak与Ai距离的平方。 4.根据权利要求1所述的一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法，其特征在于：所述步骤3)的具体过程为：设定由亮域点组成亮域区域，由暗域点组成暗域区域；亮域区域与暗域区域边的界线上为明暗分界线；在平面内与经过亮域重心、暗域重心的直线垂直方向为明暗分界线方向，以分界线两侧明暗跳变大的一侧为正方向；通过亮域、暗域重心坐标，求得明暗分界线方向；其中亮/暗域重心坐标为亮/暗域点坐标和的平均值。 5.根据权利要求1所述的一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法，其特征在于：所述步骤4)的具体过程为： 当残差点所在小区域明暗分界线方向与该残差点受到外界的电磁力方向夹角小于60度时，对该残差点小区域进行平滑处理，即“缝合”； 当残差点所在小区域明暗分界线方向与该残差点受到外界的电磁力方向夹角大于120度时，对该残差点小区域沿明暗分界线方向进行增加明暗跳变处理，即“撕裂”； 当残差点所在小区域明暗分界线方向与该残差点受到外界的电磁力方向夹角大于等于60度而小于等于120度时，对该残差点小区域沿电磁力方向进行增加明暗跳变处理，即“撕裂”。 6.根据权利要求5所述的一种基于改进枝切法的激光散斑相位解包裹方法，其特征在于：所述平滑处理是指用残差点周围区域内点的平均灰度值来覆盖它原来的灰度值。增加明暗跳变处理是经过残差点指向分界线方向或电磁力方向，将两侧区域中像素增加明暗跳 2
第二章 参数估计的最小二乘方法Least Squares §2—１静态线性模型参数的最小二乘估计（多元线性回归） 一、 什么是最小二乘估计 系统辨识三要素：模型，数据，准则。 例： y = ax + ε 其中：y 、x 可测；ε — 不可测的干扰项； a —未知参数。通过 N 次实验，得到测量数据 y k 和 x k k = 1、2、3 …，确定未知参数 a 称“参数估计”。 使准则 J 为 最小 ： 令：? J / ? a = 0 , 导出 a = ? 称为“最小二乘估计”，即残差平方总和为最小的估计，Gauss 于 1792 年提出。 min )(2 1 =-=∑=k N k k ax y J 0)(21 =--=??∑=k k N k k ax y x a J
二、多元线性回归 线性模型 y = a 0+ a 1x 1+ + a n x n + ε 式(2 - 1- 1) 引入参数向量: θ = [ a 0,a 1, a n ]T (n+1)*1 进行 N 次试验，得出N 个方程： y k = ?k T θ + εk ; k=1、2…、N 式(2 -1- 2) 其中：?k = [ 1,x 1,x 2, ,x N ] T (n+1) *1 方程组可用矩阵表示为 y = Φ θ + ε 式（2 -1- 3） 其中：y = [ y 1,y 2, 。。。,y N ] T (N *1) ε = [ ε1, ε2, 。。。,ε N ] T (N *1) N *(n+1) 估计准则有： = （y — Φ θ）T ( y — Φ θ) (1*N) ( N *1) ?????? ? ???????=??????? ?? ???=T N T T nN N n n x x x x x x ???φ.... 1...........1 (1211212) 111 21)(θ?T k N k k y J -=∑=[] ? ? ?? ? ?????----=)(..)(*)(...)(1 111θ?θ?θ?θ?T N N T T N N T y y y y J
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 0 2 =[]∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线)(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法. 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
【2-1】 设某物理量Y 与X1、X2、X3的关系如下：Y=θ1X 1+θ2X 2+θ3X 3 由试验获得的数据如下表。试用最小二乘法确定模型参数θ1、θ2和θ3 X1: 0.62 0.4 0.42 0.82 0.66 0.72 0.38 0.52 0.45 0.69 0.55 0.36 X2: 12.0 14.2 14.6 12.1 10.8 8.20 13.0 10.5 8.80 17.0 14.2 12.8 X3: 5.20 6.10 0.32 8.30 5.10 7.90 4.20 8.00 3.90 5.50 3.80 6.20 Y: 51.6 49.9 48.5 50.6 49.7 48.8 42.6 45.9 37.8 64.8 53.4 45.3 解：MATLAB 程序为： Clear all; A= [0.6200 12.000 5.2000 0.4000 14.2000 6.1000 0.4200 14.6000 0.3200 0.8200 12.1000 8.3000 0.6600 10.8000 5.1000 0.7200 8.2000 7.9000 0.3800 13.0000 4.2000 0.5200 10.5000 8.0000 0.4500 8.8000 3.9000 0.6900 17.0000 5.5000 0.5500 14.2000 3.8000 0.3600 12.8000 6.2000 ]; B=[51.6 49.9 48.5 50.6 49.7 48.8 42.6 45.9 37.8 64.8 53.4 45.3]'; C=inv(A'*A)*A'*B =[0.62 12 5.2;0.4 14.2 6.1;0.42 14.6 0.32;0.82 12.1 8.3; 0.66 10.8 5.1;0.72 8.2 7.9;0.38 13 4.2;0.52 10.5 8; 0.45 8.8 3.9;0.69 17 5.5;0.55 14.2 3.8;0.36 12.8 6.2] 公式中的A 是ΦN, B 是YN ，运行M 文件可得结果： 在matlab 中的运行结果： C= 29.5903 2.4466 0.4597 【2-3】 考虑如下模型 )()(3.03.115.0)(2 12 1t w t u z z z z t y ++-+=---- 其中w(t)为零均值、方差为1的白噪声。根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k),分别采用批处理最小二乘法、具有遗忘因子的最小二乘法（λ=0.95）和递推最小二乘法估计模型参数（限定数据长度N 为某一数值，如N=150或其它数
西北工业大学系统辩识大作业 题目：最小二乘法系统辨识
一、 问题重述： 用递推最小二乘法、加权最小二乘法、遗忘因子法、增广最小二乘法、广义最小二乘法、辅助变量法辨识如下模型的参数 离散化有 z^4 - 3.935 z^3 + 5.806 z^2 - 3.807 z + 0.9362 ---------------------------------------------- = z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187 噪声的成形滤波器 离散化有 4.004e-010 z^3 + 4.232e-009 z^2 + 4.066e-009 z + 3.551e-010 ----------------------------------------------------------------------------- = z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187 采样时间0.01s 要求：1.用Matlab 写出程序代码； 2.画出实际模型和辨识得到模型的误差曲线； 3.画出递推算法迭代时各辨识参数的变化曲线； 最小二乘法: 在系统辨识领域中 ,最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法 ,可用于动态 ,静态 , 线性 ,非线性系统。在使用最小二乘法进行参数估计时 ,为了实现实时控制 ,必须优化成参数递推算法 ,即最小二乘递推算法。这种辨识方法主要用于在线辨识。MATLAB 是一套高性能数字计算和可视化软件 ,它集成概念设计 ,算法开发 ,建模仿真 ,实时实现于一体 ,构成了一个使用方便、界面友好的用户环境 ,其强大的扩展功能为各领域的应用提供了基础。对 4324326.51411.5320120232320 Y s s s s G U s s s s ++++== ++++432 120120232320 E N W s s s s == ++++
毕业论文文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。