自学考试复变函数与积分变换试题与答案

全国2012年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设2()32f z z iz =+-，则()f z 的零点个数为( )

A ．0 B.1

C.2

D.3

2．函数2()f z z =在复平面上( )

A ．处处不连续 B.处处连续，处处不可导

C.处处连续，仅在点z =0可导

D.处处连续，仅在点z =0解析

3．2sin i =( )

A ．1()e e i -- B.1()e e i -+

C ．1()e e i --

D ．1e e -+

4．设C 是正向圆周2z =，则2C dz

z ?

=( )

A ．0

B ．2i π-

C ．i π

D ．2i π

5．设C 是绕点00z ≠的正向简单闭曲线，则

530()

C z dz z z =-? ( ) A ．2i π B ．3

020z i π

C ．5

02z i π D ．0

6．1C ，2C 分别是正向圆周1z =与21z -=,则1211sin 2222z

C C e z

dz dz

i z i z ππ+=--??(

) A ．2i π B ．cos2

C ．0

D ．sin2

7．函数21

()=(-56)f z z z z +在下列哪个区域内不能．．展开为罗朗级数( )

A ．z <1

B ．0

C ．2<<3z

D ．>3z 8．幂级数0

1(-1)2n

n n n z ∞=+∑的收敛半径为( ) A ．12 B ．2

C ．4

D ．+∞ 9．设C 为正向圆周1z =，则

112sin C dz i z π=? ( ) A ．2i π-

B ．2i π

C ．-1

D ．1 10．函数35

11cos (1)(1)z z --在点1z =处的留数为( ) A.0 B.1

C.2

D.3 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．设42

()f z z z =-，则(1)f i -=______．

12．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数．若(,)u x y y =，则()f z '=______． 13．设C 是正向圆周1z =，则sin 3C z dz z

=?______． 14．设C 是从z =0到z =1+i 的直线段，则

C zdz =?______． 15．设C 是正向圆周2z =，则2=(1)

C

dz dz z z -?_______． 16．幂级数0(1)

(-)n n n i z i ∞=+∑的收敛半径R =_______．

三、计算题(本大题共8小题，共52分)

17．(本小题6分)设复数z 是8的三次方根，求模z 和辐角主值arg z ．

18．(本小题6分)设z=x+iy ，曲线L 的方程为1z i z -=+．求该曲线的直角坐标方程，指

出它是何种曲线，并作图．

19．(本小题7分)设23

,(,)3,()(,)(,)z x iy u x y x y y f z u x y iv x y =+=-=+是解析函数，且(0)0f =，求()f z ．

20．(本小题7分)求复数ln (34)i +的实部和虚部，并将该复数写成a+ib 的形式．

21．(本小题7分)设C 为正向圆周2z =，求21(1)

C z I dz z z -=-?． 22．(本小题6分)将21()(+1)

f z z z =在圆环域1<

32n n

n n z ∞+=-∑的收敛圆环域． 24．(本小题7分)求21()(1)

f z z z z =++在各孤立奇点处的留数． 四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共

16分)

25．利用留数计算2sin 34

x x I dx x +∞-∞=+?. 26．设D 为Z 平面上的带形域0Re z π<<，求下列保角映射．

(1)11()w f z =把D 映射成W 1平面上的带形域D 1：l 0Im w π<<；

(2)()21w f w =把D 1映射成W 平面的上半平面：Im 0w >；

(3)()w f z =把D 映射成W 平面的上半平面．

27.利用拉氏变换解方程

0()cos ()()t y t y t d t y τττ?'-?-?????＝1，＞00＝0