第二章 综合练习题
一、 填空题
1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+??
，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin
2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x =
-的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1|
x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0,
x x f x x
a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x
=在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1
1x e -是无穷小量
8 设21,10(),
012,12x x f x x x x x ?--≤
，()f x 在 处间断 9 当0x →时，arctan x 是x 的 阶无穷小量
10 极限2352lim sin 53x x x x
→∞+=+ 二、 选择题
1. 设数列1,1,1
n n n u n n -??=??+?为奇数,为偶数, 则当n →∞时，n u 是（ ） A. 无界变量 B. 无穷大量 C. 有界变量 D. 无穷小量
2. 函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件
B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 0sin()sin lim x x x
ββ→+-的值是 （ ） A. sin β B. cos β C. 1 D. 极限不存在
4. n ）
A. 1
B. 0
C. 12
D. 因为当n →∞时，分母为0，因此极限不存在 5. 下列极限正确的是 （ ） A. 01sin
lim 11x x x →= B. 1sin lim 11x x x →∞= C. 01lim sin 1x x x →= D. 1lim sin 0x x x
→∞= 6. 设函数在点处连续，则下列陈述中不正确的是（ ）
A. ()f x 在点0x 处有定义
B. ()f x 在点0x 处的左极限存在
C. ()f x 在点0x 处可导
D. ()f x 在点0x 处的值与0
lim ()x x f x →相等 三、 计算题
1. 求下列极限：
（1
）n →∞ （2）41sin 2lim
1cos 4x x x π→
+- （3
）0
x → （4
）01lim x x
→ （5）11lim x x x -→
（6
）201lim 1x x e →-
2.
设1;()4,1x f x x ≠==?
，求,a b ，使()f x 在1x =处连续。
3. 求k
k x 为当0x →时的等价无穷小。
4. 求函数tan()4()(1)
x
x f x x π-=+在区间(0,2)π内的间断点，并判断其类型。
证明题
1. 证明：方程sin 10x x ++=在开区间,22ππ??- ???
内至少有一个实根。 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，,0p q >，证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.
3. 设()f x 在[,]a b 上连续，且恒为正，证明：对于任意1212,(,)()x x a b x x ∈<，在12[,]x x
上至少存在一点ξ，使得()f ξ=
第三章 综合练习题
一、选择题
1.若'()f a k =存在，则1lim (()())h f a f a h h --=→+∞
（ ） （A ）k - (B)k (C)0 (D)不存在
2. 若()(),lim f x f a A A x a x a
-=-→为常数，则以下结论不正确的是： （A ）()f x 在点x a =处连续 （B ）()f x 在点x a =处可导
（C ）()lim f x x a
→存在 (D) ()()()f x f a A x a -=-
3.函数1()1x y f x +=-
满足'()arctan f x =2
dy dx x == （A
）
(B) - (C)0 (D)3
4.设)(x f 在0x 的附近有定义，则下列选项中与命题“'()0
f x 存在”不等价的是： （A ）()()00lim 0
f x kx f x x x +-→存在（01k ≠或） (B) (())()00lim ,()0
f x a x f x a x x +-→其中()0,lim ()00a x a x x >=→且 (C) 1lim [(()())]000
x f x f x x x --→存在 (D)()()00lim sin 0
f x x f x x x --→ 存在 5.若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数'()0f x >，二阶导数"
()0f x <，则函数()f x 在此区间内
(A)单调减少，曲线是凹的 (B)单调减少，曲线是凸的
(C)单调增加，曲线是凹的 (D)单调增加，曲线是凸的
6.设()f x 在(,)-∞+∞有定义，0x 是()f x 的极大值点0(0)x ≠，则
(A)0x -必是()f x --的极小值点 (B)0x 是()f x 的驻点
(C)0x -是()f x -的极大值点 (D)对一切x 有0()()f x f x ≤
7.设()f x 在闭区间[,]a b 有定义，在(,)a b 内可导，则
(A) 当()()0f a f b <，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=
(B) 对任意(,)a b ξ∈，有lim(()())0x f x f ξ
ξ→-= (C) 当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈使'()0f ξ=
(D) 存在(,)a b ξ∈，使'
()()()()f b f a f b a ξ-=-
8.已知函数()y f x =对一切x 满足"'2()3[()]1x xf x x f x e
-+=-，若'00()0(0)f x x =≠，则
(A)0()f x 是()f x 的极大值 (B)0()f x 是()f x 的极小值
(C)00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 (D)以上均不对
二、填空题
1. 曲线2ln 1x y y +=在点(1,1)处的法线方程是
2. 某企业每月生产q 吨产品时总成本c 函数为2()1020c q q q =-+则每月生产产品8吨时的边际成本是
3. 设()y y x =是由方程tan()x x y =- 所确定的隐函数则22d y dx
4.设函数()f x 的二阶导数存在，则 ()()2()lim 20f x h f x h f x h h
++--=→ 5.2
1()1x x f x ax b
x ?>=?+≤?，在1x =处连续且可导，则a = ，b = 6 '(sin ln )x x =
7
设y =dy =
8 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0()lim
x f tx x
→= 9 ()y f x =是由方程2cos xy e y x +=确定的隐函数，则dy dx = 10.0ln lim ln(1)
x x x e +→=- ； 11.设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，又知0a >，
则a = ，b = ；
12.设在[0,1]上"()0f x >，则''
(0),(1),(1)(0)f f f f -的大小顺序是 ；
13.曲线21x y xe =的垂直渐近线是 ；
14.'0()0f x =是可导函数()f x 在点0x 处有极值的 条件；
15.曲线2x y e -=上凸区间是 。
三、计算
1．
设ln(1)()x f x +??=1001x x -<≤<< ，讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性。 2. 设()f x 在1x =处具有连续导数，且'(1)3f =
，求lim 0d f dx x +
→ 3.设2()2||,f x x x x =+ 求'()f x ，并证明"(0)f 不存在。
4.设()f x 在(0,)+∞上连续，,(0,)12x x ?∈+∞满足()()()1212
f x x f x f x =+，已知'(1)f 存在，且'(1)1f =，试证明()f x 在(0,)+∞内可导，并求'()f x
5 设,0()12,0
a x f x x x
b x ?≥?=+??+
6 设曲线3()f x x ax =+与2
()g x bx c =+都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公切线，求,,a b c
7 已知1
1(1)x y x =+，求'1
x y = 8、 函数的导函数为单调函数，问此函数是否也是单调函数？举例说明。
9、 确定函数22ln y x x =-的单调区间
10、设()f x 具有一阶连续导数，且'(0)0,(0)2f f ==，求20(1cos )lim tan x f x x
→- 11、210arcsin lim()x x x
→ 12、确定曲线4y x =的凸向与拐点
13、函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，求()y y x =的驻点，并判别它是否为极值点
四、应用题
1、某商品的需求量Q 关于价格P 的函数为275Q P =-（1）求4P =时的需求价格弹性并说明经济意义；（2）4P =时，若价格提高001，总收益是增加还是减少？变化百分之几？
2、设某产品的成本函数为2C aq bq c =++，需求函数为1()q d P e
=- 其中C 为成本，q 为需求量（也是产量），P 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求：
1) 需求价格弹性
2) 需求价格弹性的绝对值为1时的产量
3、某商品进价为a （元/件），据经验，当销售价为b （元/件）时，销售量为c 件（,,a b c 为正数，且43
b a ≥）市场调查表明，销售价每下降0010，销售量可增加0040，现决定一次性降价，问当销售价定为多少时，可获最大利润，并求最大利润
证明题
1、证明函数1,0()10,
0x x x f x e x ?≠?=?-?=?在0x =处不可导
2.证明方程5
10x x +-=只有一个正根
3.已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证明：在(,)a b
内至少存在一点ξ，使得'2()()0f f ξξ-=
4. 已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，又有(,)c a b ∈使得()0f c f ，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ''p .。
5 设()f x 在[]0,a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)0f =，'()f x 单调增加，则()f x x
在(0,)a 内也单调增加。
6、证明ln(1)(1)ln 1x x x x x +>>+
7、23
ln(1)(0)23
x x x x x -+>+> 8、设()()(),()f x f a F x x a x a
-=>-其中()f x 在[),a +∞上连续，"()f x 在(),a +∞内存在且大于零，求证()F x 在(),a +∞内单调递增。
9、证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一根。
10、 设0a b <<，()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明存在(,)a b ξ∈，使
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
[考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( ) （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) 4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( ) （A）f(x)在(0，δ)内单调增加
（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少 （C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0) （D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0) 5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( ) （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y （B）0＜△y＜dy （C）△y＜dy＜0 （D）dy＜△y＜0 7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( )
8 (1998年)设f(x)连续，则 （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( ) （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x) （B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b) （D）f(x)g(x)＞f(a)g(a)
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
第二部分 一元函数微分学 [选择题］ 容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时，必有（ ) （A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 （C) y d 是比h 高阶的无穷小量。 (D ） y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ) （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C 6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） (A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 (C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数： )(x f y =在0x 的某个邻域内有定义， x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0 0)(0x x x x dx dy x f y === '=' 2．左导数： 00) ()(lim )(0x x x f x f x f x x --='- →- 右导数：0 00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+ →+ 定理： )(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则： ) (lim )(0 0x f x f x x '='-→-
（或： )(lim )(0 0x f x f x x '='+→+） 3.函数可导的必要条件： 定理： )(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续 4. 函数可导的充要条件： 定 理 ： ) (00 x f y x x '=' =存在 )()(00x f x f +-'='?， 且存在。 5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈ )(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f ' 6.导数的几何性质： y ? )(0x f ' 是曲线 )(x f y =上点 x ? ()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0 ㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（ 2o v u v u v u '?+?'='?)（ 3o 2v v u v u v u '?-?'=' ?? ? ?? )0(≠v 3.复合函数的导数：
一元函数微分学及其应用练习题与自测题 习题2-1 导数 1．假定0()f x '存在，则000()()lim h f x ah f x bh h →+--= ． 2．求曲线ln y x =在点(,1)e 处的切线方程和法线方程． 3．过点(2,0)-作曲线x y e =的切线，求此切线方程． 4．若函数22,1,1x x y ax b x ?+≤=?+>? 在1x =处可导，求,a b 的值． 5．已知21,0(),0 x e x f x x x ?->?=?≤??，求()f x '． 6．讨论函数21sin , 0()0 , 0 x x f x x x ?≠?=??=?在0x =处的连续性与可导性． 习题2-2 求导法则与求导公式 1．求下列函数的导数： （1）24(1)y x x =++． （2 ）y = （3）21sin y x x =． （4 ）y = （5 ）y e =． （6 ）ln(0)y x a =+>． 2．讨论分段函数21cos sin ,0(),0x x x f x x x x ?+>?=??≤? 在分段点0x =处的连续性和可导性． 3．设()f x 可导，求(sin )y f x =的二阶导数22d y dx ． 4．求函数2 x y xe =的二阶导数． 5．求函数x y xe =的n 阶导数．
习题2-3 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1 ．求由方程arctan y x =()y y x =的导数； 2．过点(4,2)-作椭圆223x xy y ++=的切线，求此切线方程． 3．求下列函数的导数： （1）1x x y x ??= ?+?? （0x >）． （2 ）y = 4．求由方程x e xy e +=所确定的函数()y y x =的二阶导数22d y dx ． 5．求由参数方程(sin )(1cos ) x a t t y a t =-??=-?（0a >）所确定的函数的二阶导数22d y dx ： 6．某人以2/m s 的速度通过一座桥，桥面高出水面20m ，在此人的正下方有一条小船以4/3 m s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经5s 后，人与桥相分离的速度． 习题2-4 函数的微分 1．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）d （ ）45 x dx -=． （2）d （ ）3x e dx -=． 2．求下列函数的微分： （1 ）y =． （2）22(1)n n x y x =+． 习题2-5 中值定理 1．函数32()452f x x x x =-+-在区间[0,1]上满足Lagrange 中值定理的ξ= ． 2．试用中值定理证明不等式：arctan arctan a b a b -≤-． 3．设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：至少存在一点(0,)a ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=．
第二章一元函数微分学 历年试题 1. 利用导数的定义求函数在某点的导数值 1994——2012年共考了8次，考到的概率P=42.1% （1）（0119）设函数f(x)在x=0处可导，且.x ) 0(f )x 3(f lim ,1)0(f 0x -='→求 （2）（0222）设函数f(x)在x=1处可导，且.x ) 1(f )x 21(f lim ,1)1(f 0x -+='→求 （3）（0303）函数f(x)在x 0处可导，且h ) x (f )h 2x (f lim ,2)x (f 000h 0-+='→则= （ ） A.0 B.1 C.2 D. 4 （4）（0702）已知.x ) 1(f )x 21(f lim ,2)1(f 0x ）（则=?-?+='→? A.-2 B.0 C.2 D. 4 （5）（0802）已知f(x)在x=1处可导，且).( h ) 1(f )h 1(f lim ,3)1(f 0h =-+='→则 A.0 B.1 C.3 D. 6 2. 利用四则运算法则求函数的导数或在某点的导数值和微分 1994——2012年共考了19次，考到的概率P=100% （1）（0122）设函数.y ,1 x x cos y 2 '-= 则 （2）（0210）设函数.y ,x cos 11 y = '+= 则 （3）（0310）设函数.)0(f ,e x )x (f x ='=则 （4）（0419）设函数.y ,x ln x y '=求 （5）（0522）设函数.dy ,x cos x y 3求= （6）（0622）设函数.dy ,x sin x y 4求=
（7）（0705）设函数).( d y ),1x sin(y 2=-=求 A. dx )1x cos(2- B. dx )1x cos(2-- C. dx )1x cos(x 22- D. dx )1x cos(x 22-- （8）（0822）设函数.y ,3x sin x y 3'++=求 （9）（0903）设函数).( )1(f ,3x ln e )x (f x ='+=则 A.0 B.1 C. e D. 2e （10）（1022）设函数.dy ,x cos x y 3 则= （11）（1122）设函数.y ,x sin 1 x y '+= 求 （12）（1222）设函数.,cos )(?? ? ??'=2πf x x f 则=（ ） A.-1 B. 2 1 - C.0 D. 1 3. 复合函数的导数 1994——2012年共考了16次，考到的概率P=84.2% （1）（0107）设函数.dy ,x 1y 2=+=则 （2）（0109）设函数.)x (f ,x sin )x (f ='=则 （3）（0217）设函数.y x 1x y 2 '+= 求 （4）（0211）设函数.)x (f ,x ln )x 2(f = '=则 （5）（0223）设函数.dx dy ,(x)]g f[y .x sin )x (g ,e )x (f x 求且'=== （6）（0318）设函数.y ,x x y '+=求 （7）（0418）设函数).0(f ,x 2sin 1)x (f '+=求
第二章 一元函数微分学及其应用 知识点拔 2.1 导数的概念 一、导数的概念 1、函数)(x f 在点0x 导数的定义 设函数)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，给自变量0x 以增量x ?，而相应的函数增量为 y ?，若极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000（或写成0 00)()(lim lim 0x x x f x f x y x x x --=??→→?）存在，则称函数)(x f y =在点0x 可导，并称此极限值为函数)(x f 在0x 点的导数. 记作：000),(x x dx dy x x y x f ==''或 ，且有x x f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim )(0000 注释：① 函数在点0x 可导必须满足两个条件： a 、)(x f 必须在点0x 的某个邻域),(00δδ+-x x 内有定义，如：x y =在0=x 不可导， 因在0 一元函数与二元函数在微积分学上的差异 在一元微积分部分我们学习了仅依赖于一个变量的函数——一元函数。一元函数是函数关系中最简单的情形。但在现实问题中，我们发现通常一个变量的变化总是受到多个因素的制约和影响。所以，我们更需要学习、研究多元函数及其微积分。而在多元函数的相关学习中我们又以二元函数为重点研究对象，因为对二元函数的研究方法在原则上适用于多元函数。通过对一元函数与二元函数的比较学习，我们发现矛盾对立统一的观点贯穿二者之间。下面我们将着重分析一元函数与二元函数在微积分学上的差异。 （一）、函数极限 这一点通过几何上的意义可以很直观地加以说明：在几何图象上，一元函数描述的仅是二维平面上简单的点或曲线；而二元函数，从一元函数确定的二维平面上扩展至三维立体空间描述的是点或曲面。我们从极限的定义上来看：一元函数y=f(x)在x 0处的极限为A 即当x →x 0 有 f(x)→A 。可以知道x 趋近于x 0 ，有且仅有两个方向—.x o 的正方向和x o 的负方向，而且趋近的路径也被f(x)确定的曲线所确定。因此 我们在考虑函数在某点的极限是否存在时,通常只考虑函数在该点的左右极限是否存在且相等。而二元函数f(x,y)在(x 0,y 0)的极限为A 即当 (x,y)→(x 0,y 0)有z=f(x,y) →A 。显然，在坐标平面上(x,y)有无数个方向 可以趋向于(x 0,y 0)而且(x,y)趋向于(x 0,y 0) 的路径也是多种多样。因此, 我们发现在二元函数中已无左右极限之说。那么，我们在考虑二元函数在某点的极限是否存在时,就不能再仅仅考虑它在该点的左右某个 方向或某条特定的路径上存在极限。而应考虑在这点的某个邻域内任意方向、由任意路径趋近是否都存在极限，并且各极限的值相等。（二）、连续 函数连续实际上是函数存在极限的一种特殊情况：函数在某点存在极限且极限值就等于函数在该点的函数值。所以，对函数连续的讨论可以与函数极限的讨论等同起来。同样，一元函数在某点连续则它在该点左连续右连续；而二元函数无左、右连续之说。值得注意的是，当一元函数不连续时它可能有可去间断点、第一类间断点、第二类间断点。对于二元函数，它若不连续同样有类似以上的三类间断点。根据不同间断点的定义可知，在二元函数中要确定点a是哪一类间断点，不仅要像一元函数一样考虑f(a-0)、f(a+0)是否都存在，存在的话是否相等，相等的话又都等不等于f(a)。还要考虑从不同方向顺着不同路径趋近于a 时的极限，换句话说，就是要考虑到a 的整个邻域。就几何图象来说，连续的一元函数图像是一根光滑曲线允许曲线上有尖角（如函数f(x)=｜x｜所确定的图象在x=0处）；连续的二元函数图像是圆滑的曲面，但是它不允许有尖角。 （三）导数 1.由于一元函数只含一个变量，所以可以对该变量直接求导；二元函数含两个变量只能分别对其中一个求偏导。在求一个变量的偏导时，将另一个变量看成常量。实际上，另一变量的变量身份并没有改变而且z=f(x,y)对x的偏导还是关于x,y的二元函数。 2.高阶导数。一元函数如果存在高阶导数，高阶导数的个数与阶的大一元函数与二元函数在微积分学上的差异
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