历届高考三角函数习题
1.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. （2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2
π
个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，
得到的曲线方程是（ ）
A.（1－y ）sin x +2y －3=0
B.（y －1）sin x +2y －3=0
C.（y +1）sin x +2y +1=0
D.－(y +1)sin x +2y +1=0
3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.（2002京皖春文，9）函数y =2
sin x
的单调增区间是（ ）
A.［2k π－
2
π
，2k π＋
2
π
］（k ∈Z ） B.［2k π＋
2
π
，2k π＋
2
3π］（k ∈Z ）
C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）
D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）
5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ）
A.（
4
π，
2π
）∪（π，
4
5π） B.（
4
π，π）
C.（
4
π，4
5π）
D.（
4
π，π）∪（
4
5π，
2
3π）
6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）
A.（0，1）∪（2，3）
B.（1，
2
π
）∪（
2
π
，3）
C.（0，1）∪（
2
π
，3） D.（0，1）∪（1，3）
7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2
π
，π）上
为减函数的是（ ）
A.y =cos 2
x
B.y ＝2|sin x |
C.y ＝(
3
1)
cos x
D.y =－cot x
8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）
图4—1
9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ）
A.1＋3
B.1－3
C.－1－3
D.－1＋3
11.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ）
A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β
B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β
C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β
D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β
12.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ）
13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋?）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋?）在［a ，b ］上（ ）
A.是增函数
B.是减函数
C.可以取得最大值m
D.可以取得最小值－m
14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－
2
π＜α＜
2
π)，则α∈（ ）
A.（－
2
π，－
4
π） B.（－
4
π，0） C.（0，
4
π） D.（
4
π，
2
π）
15.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ）
A.sin x
B.cos x
C.sin2x
D.cos2x
16.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）
A.（
2
π，
43π）∪（π，
4
5π） B.（
4
π，
2
π）∪（π，
4
5π）
C.（
2
π，4
3π）∪（
4
5π，
2
3π） D.（
4
π，
2
π）∪（
4
3π，π）
17.（1997全国，3）函数y =tan （
3
12
1-
x π）在一个周期内的图象是（ ）
18.（1996全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）
A.{x |2k π－
4
3π 4 π ，k ∈Z } B.{x |2k π+ 4 π 4 5π，k ∈Z } C.{x |k π－ 4 π 4 π ，k ∈Z } D.{x |k π+ 4 π 4 3π，k ∈Z } 19.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ） A.［－ 4 3π， 4 π］ B.［－ 2 π， 2 π］ C.［－ 4 π， 4 3π］ D.［0，π］ 20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋ 4 π）＋3cos （3x ＋ 4 π）的最小正周期是（ ） A.6π B.2π C. 3 2π D. 3 π 21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝ 9 5，那么sin2θ等于（ ） A. 3 22 B.－ 3 22 C. 3 2 D.－ 3 2 22.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－ 8 π 对称，那么a 等于（ ） A.2 B.－2 C.1 D.－1 23.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan 2 θ >cot 2 θ B.tan 2 θ 2 θ C.sin 2 θ >cos 2 θ D.sin 2 θ －cos 2 θ 24.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0， 3 π］上的最大值是2，则ω＝ . 25.（2002北京文，13）sin 5 2π，cos 5 6π，tan 5 7π从小到大的顺序是 . 26.（1997全国，18） ? ?-???+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____. 27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°2tan40°的值是_____. 28.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x － 6 π）cos x 的最小值是 . 29.（1995上海，17）函数y ＝sin 2 x ＋cos 2 x 在（－2π，2π）内的递增区间是 . 30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝ 5 1，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 31.（2000全国理，17）已知函数y ＝ 2 1cos 2x ＋ 2 3sin x cos x ＋1，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 34.（1994上海，21）已知sin α＝5 3，α∈（ 2 π，π），tan （π－β）＝ 2 1， 求tan （α－2β）的值. 35.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0， 2 π），若x 1、x 2∈（0， 2 π），且x 1≠x 2， 证明：2 1［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （ 2 2 1x x +）. 36 . 已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- ⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 37. 求函数f (x )=12 1log cos( )3 4 x π + 的单调递增区间 38. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间； ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。 39若关于x 的方程2cos 2(π + x ) - sin x + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。 三角函数习题答案 1.答案：C 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动 2 π 个单位和1个单位，因此 可得y = ) 2 cos(21 π - +x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x － 2 π ）+2（y +1）－1=0，即得C 选项. 2.答案：B 解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α 由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 3.答案：C 解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 4.答案：A 解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间. 5.答案：C 解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4 π 和 4 5π，由图4— 6可得C 答案. 图4—6 图4—7 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7） 6.答案： C 图4—5 解析：解不等式f （x ）cos x ＜0?? ? ??<<>?300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或 ∴?? ?<<< ??<<<<1 0102 3 1x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.答案：B 解析：A 项：y =cos 2x = 2 2cos 1x +，x =π，但在区间（ 2 π ，π）上为增函数. B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（ 2 π ，π）上 为减函数. C 项：函数y =cos x 在(2 π ，π)区间上为减函数,数y =（ 3 1）x 为减函数.因此y =（ 3 1）cos x 在（ 2 π ，π） 区间上为增函数. D 项：函数y ＝－cot x 在区间（ 2 π ，π）上为增函数. 8.答案：C 解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数. 9.答案：B 解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 10.答案：B 解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－ 3. 11.答案：D 解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同. 12.答案：D 解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0， 2 π）时，y ＝－x cos x ＜0. 13.答案：C 解法一：由已知得M ＞0，－ 2 π＋2k π≤ωx ＋?≤ 2 π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不 是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋?＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为 C. 图4—8 解法二：由题意知，可令ω＝1，?＝0，区间［a ，b ］为［－ 2 π， 2 π］，M ＝1，则 g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C. 评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋?）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题. 14.答案：B 解法一：取α＝± 3 π，± 6 π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－ 6 π适合，又只有－ 6 π∈ （－ 4 π，0），故答案为B. 解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－ 2 π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－ 4 π，0） 评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好. 15.答案：B 解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）2sin x = 2 1sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.答案：B 解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B. 解法二：取α＝ 3 π ∈（ 2, 4π π），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝ 6 5π∈（ 4 3π，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B. 解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得 2 4 π απ < <或 π＜α＜ 4 5π，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法. 17.答案：A 解析：y ＝tan （ 3 12 1- x π）＝tan 2 1（x － 3 2π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝ 3 2π时，y =0，故选A. 评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键. 18.答案：D 解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2 x <0，所以2k π+2 π<2x <2k π+ 2 3π，k ∈Z .解得k π+ 4 π 4 3π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x > 2 1.因此有sin x > 2 2或sin x <－ 22.由正弦函数的图象 （或单位圆）得2k π+ 4 π 4 3π或2k π+ 4 5π 4 7π（k ∈Z ），2k π+4 5π 4 7π可写 作（2k +1）π+ 4 π 4 3π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+ 4 π 4 3π， n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 19.答案：A 解法一：由已知得： 2 sin （x － 4 π）≤0，所以2k π＋π≤x － 4 π≤2k π＋2π，2k π＋ 4 5π≤x ≤ 2k π＋ 4 9π，令k =－1得－ 4 3π≤x ≤ 4 π，选A. 解法二：取x ＝ 3 2π，有sin 2 13 2cos ,2 332- == ππ，排除C 、D ， 取x ＝ 3 π，有sin 3 π＝ 2 13 cos ,2 3=π ，排除B ，故选A. 解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A. 解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A. 评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用. 20.答案：C 解析：y ＝4sin （3x ＋ 4π ）＋3cos （3x ＋ 4 π ）＝5［ 5 4sin （3x ＋ 4 π ）＋ 5 3cos （3x ＋ 4 π ）］＝5sin （3x ＋ 4 π ＋?）（其中tan ?＝4 3） 所以函数y ＝sin （3x ＋ 4 π ）＋3cos （3x ＋ 4 π ）的最小正周期是T ＝ 3 2π.，故应选 C. 图4 —12 图4—11 评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝ 2 2b a +sin （α＋?） ，其中sin ?＝2 2 b a b +，cos ?＝ 2 2 b a a +，及正弦函数的周期性. 21.答案：A 解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝ 9 5 于是1－ 2 1sin 2 2θ＝ 9 5，sin 2 2θ＝ 9 8，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋ 2 3π 从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π ，故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝ 3 22，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋ 2 3π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、 D ，验证A 、C ，由sin2θ＝ 3 22，得2sin 2θcos 2θ＝ 9 4，并与sin 4θ＋cos 4θ＝ 9 5相加得（sin 2θ＋cos 2 θ）2＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别. 22.答案：D 解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－ 8 π 对称，表明：当x =－ 8 π 时，函数取得最大值12 +a ， 或取得最小值－12 +a ,所以有［sin （－ 4 π）+a 2cos （－ 4 π）］2=a 2+1，解得a =－1. 评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式. 23.答案：A 解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋ 2 π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即 2 θ 为第一象限角或第三象限 角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan 2 θ ＞cot 2 θ . 解法二：由已知得：2k π＋ 2 π＜θ＜2k π＋π，k π＋ 4 π＜ 2 θ ＜ k π＋ 2 π，k 为奇数时，2n π＋ 4 5π＜ 2 θ＜2n π＋ 2 3π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋ 4 π＜ 2 θ＜2n π＋ 2 π（n ∈Z ），都有tan 2 θ＞cot 2 θ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 24.答案： 4 3 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ ω π 2＞2π ∴f （x ）在［0， 3 π ］区间上为单调递增函数 ∴f （x ）max ＝f （ 3 π ）即2sin 23=ωπ 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝ 4 3 25.答案：cos 5 6π＜sin 5 2π＜tan 5 7π 解析：cos 5 6π＜0，tan 5 7π＝tan 5 2π ∵0＜x ＜ 2 π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan 5 2π＞sin 5 2π＞0 ∴tan 5 7π＞sin 5 2π＞cos 5 6π 26.答案：2－3 解析： ? ???= ? ?-?-???+?-?= ? ?-???+?8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 3230sin 30cos 115tan -=? ?-= ?=. 评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 27.答案：3 解析：tan60°= ? ?-?+?40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20° +tan40°+3tan20°tan40°=3. 28.答案：－ 4 3 解析：y ＝sin （x － 6 π ）cos x ＝ 2 1［sin （2x － 6 π ）－sin 6 π ］＝ 2 1［sin （2x － 6 π ）－ 2 1］ 当sin （2x － 6 π ）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝ 2 1（－1－ 2 1）＝－ 4 3. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 29.答案：［2 ,23π π- ］ 解析：y ＝sin 2x ＋cos 2 x ＝2sin （ 4 2 π + x ），当2k π－ 2 π ≤ 2x ＋ 4 π≤2k π＋ 2 π （k ∈Z ）时，函数递 增，此时4k π－2 3π≤x ≤4k π＋ 2 π （k ∈Z ），只有k ＝0时，［－2 3π， 2 π ］（－2π，2π）. 30.答案：－ 4 3 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝ 25 1 变形得1－2sin θcos θ＝2－ 25 1， 即（sin θ－cos θ）2＝ 25 49 又sin θ＋cos θ＝ 5 1，θ∈（0，π），则 2 π ＜θ＜ 43π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝ 5 7，于是sin θ＝ 5 4，cos θ＝－5 3，cot θ＝－ 4 3. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ2cos θ＝－ 25 12，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－ 5 1x － 25 12＝0的两个根，故有cos θ＝－ 5 3， sin θ＝ 5 4，得cot θ＝－ 4 3. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活 . 图4—14 31.解：（1）y ＝ 2 1cos 2 x ＋ 2 3sin x cos x ＋1 ＝ 41（2cos 2x －1）＋ 4 1＋ 4 3（2sin x cos x ）＋1 ＝ 41cos2x ＋ 4 3sin2x ＋ 4 5 ＝21（cos2x 2sin 6 π ＋sin2x 2cos 6 π ）＋ 4 5 ＝ 2 1sin （2x ＋ 6 π ）＋ 4 5 y 取得最大值必须且只需2x ＋ 6 π ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝ 6 π ＋k π，k ∈Z . 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6 π ＋k π，k ∈Z ｝. （2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移 6 π ，得到函数y ＝sin （x ＋ 6 π ）的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 2 1倍（纵坐标不变），得到函数 y ＝sin （2x ＋ 6 π ）的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 1倍（横坐标不变），得到函数 y ＝ 2 1sin （2x ＋ 6 π ）的图象； ④把得到的图象向上平移 4 5个单位长度，得到函数y ＝ 2 1sin （2x ＋ 6 π ）＋ 4 5的图象； 综上得到函数y ＝ 2 1cos 2x ＋ 2 3sin x cos x ＋1的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力. 32.解：（1）y ＝3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos 6 π ＋cos x sin 6 π ）＝2sin （x ＋ 6 π ），x ∈R y 取得最大值必须且只需x ＋ 6 π ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝ 3 π＋2k π，k ∈Z . 所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3 π＋2k π，k ∈Z ｝ （2）变换的步骤是： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移 6 π ，得到函数y ＝sin （x ＋ 6 π ）的图象； ②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y ＝2sin （x ＋ 6 π ）的图象； 经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力. 33.解：原式＝ 2 1（1－cos40°）＋ 2 1（1＋cos100°）＋ 2 1（sin70°－sin30°） ＝1＋ 2 1（cos100°－cos40°）＋ 2 1sin70°－ 4 1 ＝ 43－sin70°sin30°＋ 2 1sin70° ＝4 3－ 2 1sin70°＋ 2 1sin70°＝ 4 3. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力. 34.解：由题设sin α＝ 5 3，α∈（ 2π，π）， 可知cos α＝－ 5 4，tan α＝－ 4 3 又因tan （π－β）＝ 2 1，tan β＝－ 2 1，所以tan2β＝ 3 4tan 1tan 22 - =-β β tan （α－2β）＝ 24 7 1134 43 2tan tan 12tan tan =++ -= +-β αβα 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝ 2 12 1212 21 1cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x += + 2 121cos cos )sin(x x x x += ) cos()cos() sin(2212121x x x x x x -+++= 因为x 1，x 2∈（0， 2 π），x 1≠x 2， 所以2sin （x 1＋x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1－x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1＋x 2）＋cos （x 1－x 2）＜1＋cos （x 1＋x 2）， 由此得tan x 1＋tan x 2＞ ) cos(1)sin(22121x x x x +++， 所以 2 1（tan x 1＋tan x 2）＞tan 22 1x x + 即 2 1［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （ 2 2 1x x +）. 36解（1）x 必须满足sin x -cos x >0，利用单位圆中的三角函数线及5224 4 k x k π πππ+<<+ ，k ∈Z ∴ 函数定 义域为)45 k 2,4 k 2(π+ ππ+ π，k ∈Z ∵ sin cos 2sin()4 x x x π-=-∴当x ∈5(2,2)4 4 k k π πππ+ + 时， 0sin()1 4 x π <-≤∴ 0sin cos 2x x <-≤∴ 1 2 1log 22 y =- ≥∴ 函数值域为[+∞ - ,2 1） （3）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴()f x 不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sin x +cos x 的符号 37解：∵f (x )=12 1log cos( )3 4 x π + 令4 3 1π + = x t ,∴y=t cos log 2 1,t 是x 的增函数,又∵0< 2 1<1,∴当y=t cos log 2 1为单调递增时,cost 为单调递减 且cost>0,∴2k π≤t<2k π+2 π (k ∈Z),∴2k π≤ 4 3 1π + x <2k π+2 π (k ∈Z) ,6k π- 4 3π≤x<6k π+4 3π (k ∈Z),∴f (x )=)4 3 1cos( log 2 1π + x 的单调递减区间是[6k π-4 3π,6k π+ 4 3π) (k ∈Z) 38解： （1）T=π （2）增区间[k π-12π，k π+ 12 5π]，减区间[k π+ ]12 11k ,125π+ ππ （3）对称中心（ 6 2 k π+π，0），对称轴π + π= 12 52k x ，k ∈Z 8 17)4 1(sin 22sin sin 22 2 - + =-+=x x x a ,∵- 1≤sin x ≤ 1 ,∴8 174 1sin m in - =- =a x 时，当； 11sin m ax ==a x 时，当, ∴a 的取值范围是[1,817- ] 第三讲 历年高考三角函数真题 典型题型真题突破 【例1】(2007年江西)若πtan 34α?? -= ??? ，则cot α等于（ ） A ．2- B ．1 2 - C ． 12 D ．2 【例2】(2007年陕西)已知sin 5 α=，则44 sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ． 15 D ． 35 【例3】(2005年湖北) 若)2 0(tan cos sin π αααα< <=+，则∈α( ) A ．（0， 6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2 π ） 【例4】(2007年浙江)已知11sin 225θ+=，且324θππ ≤≤，则cos2θ的值是____． 【例5】(2007年江苏)若1cos()5αβ+=，3 cos()5 αβ-=，则tan tan αβ?=_____ 【例6】(2006年重庆)已知()33,,,sin ,45παβπαβ?? ∈+=- ??? 12sin()413πβ-=，则 cos()4 π α+=____. 【例7】（2005年重庆）已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= 【例8】(1996年全国)tan 20tan 4020tan 40++?。。。。 的值是_______ 【例9】(2007年四川)已知0,14 13 )cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β. 【例10】(2005年浙江)已知函数f(x)＝－3sin 2 x ＋sinxcosx ． (Ⅰ) 求f( 256 π )的 值;(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f( 2 α)＝41 －2，求sin α的值． 高考三角函数专题(含 答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考专题复习 三角函数专题 模块一 ——选择题 一、选择题：(将正确答案的代号填在题后的括号．) 1．(2010·天津)下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间??? ?－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 B ．向左平移π 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 D ．向左平移π 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析：观察图象可知，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×????－π6＋φ＝0，得φ＝π3， 所以函数y ＝sin ????2x ＋π3，故只要把y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12即可． 答案：A 2．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ??? ?2x ＋π 6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π 4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π 2 个长度单位 解析：由y ＝sin ????2x ＋π6――→x →x ＋φy ＝sin ????2(x ＋φ)＋π6＝sin ????2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π 3，解得φ＝－ π4，即向右平移π 4 个长度单位．故选B. 答案：B 3．(2010·)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)??? ?ω>0，|φ|<π 2的部分图象如图所示，则( ) A ．ω＝1，φ＝π 6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π 6 解析：依题意得T ＝2πω＝4? ?? ?? 7π12－π3＝π，ω＝2，sin ????2×π3＋φ＝1.又|φ|<π2，所以2π3＋φ＝π2，φ＝－π6，选D. 答案：D 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 解析：由函数的图象可知该函数的期为π，所以2π ω＝π，解得ω＝2. 答案：B 5．已知函数y ＝sin ????x －π12cos ??? ?x －π 12，则下列判断正确的是( ) 《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c . （1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值. 5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ?? == ??? , 求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 8.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2 f x x x x π ??=- ? ? ? （1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2, 6 3ππ?? ???? 上的单调性. 高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案 免费) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得? ??=+=，1cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 5 2sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan( ----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-= .3330 cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---= 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=?? ?????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有?- =10 3cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ． 证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 三角函数高考题及练习题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三角函数高考题及练习题（含答案） 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质． 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等． 1. 函数y ＝2sin 2? ???x －π 4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 函数． 答案：π 奇 解析：y ＝－cos ? ???2x －π 2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3 解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案． 3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，? ???|φ|<π 2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4 解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π 2 ，所 以φ＝π4 . 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间? ???0，π 3上的最大值是2，则ω＝________． 答案：34 解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在? ???0，π 3上单调递增，且在这个区间 上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3 4 . 题型二 三角函数定义及应用问题 例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P 的坐标是??? ?12，3 2，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域???? ?x ＋y ≥1， x ≤1， y ≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求 函数f(θ)的最小值和最大值． 解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝ 32，cos θ＝1 2 ，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π 3 ，从而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ? ???θ＋π 6， ∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π 3 ，f (θ)max ＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、 2015-2019三角函数高考真题 一、选择题 1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）3- （B ）3 （C ）12- （D ）1 2 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13 (2,2),44 k k k Z -+∈ $ 3、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则 ()y f x =的图像大致为（ ） (D) (C) (B)(A) x y π4 π2 3π4 π π 3π4 π2 π4 y x y π4 π2 3π4 π π 3π4 π2 π4 y 4、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤ =- ， 为()f x 的零点,4 x π = 为 D P C B O A | ()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ?? ??? ，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 5、（2016全国2卷7题）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()ππ26k x k = -∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ 212 Z k x k =+∈ 6、（2016全国2卷9题）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）15 - （D ）725 - · 7、（2016全国3卷5题）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 8、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于1 3 BC ,则cos A （ ） （A （B （C ）10 （D ）310 9、（2017年全国1卷9题） 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C ． 10、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 ； C ．()f x π+的一个零点为π 6 x = D ．()f x 在π(,π)2 单调递减 三角函数及解三角形 一、选择题：1．设 是锐角 ,223) 4 tan( ,则cos （） A. 22 B. 32 C. 33 D. 63 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看 见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西 75°，则这艘船的速度是每小时 (A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数 )0(sin )(x x f 在区间3 , 0上单调递增，在区间 2 , 3上单调递减，则() A ．3 B ．2 C.32 D. 23 4．已知函数)(),0(cos sin 3) (x f y x x x f 的图象与直线2y 的两个相邻交点的距离等于,则 )(x f 的单调递增区间是 （ ） A. Z k k k ,12 5,12 B. Z k k k ,1211,12 5 C. Z k k k ,6 ,3 D.［Z k k k ,3 2,6 5．圆的半径为 c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若 ,216abc 则三角形的面积为（ ） A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos 且 ,,2 则4 tan 等于(C ) A ．－ 1 7B ．－7 C ． 17 D ．7 7．锐角三角形 ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B 则 a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（ ，2）D ．（，） 8．已知函数y ＝Asin(ωｘ＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin 4x ＋ π 6 B ．y ＝2sin 2x ＋π 3 ＋2 C ．y ＝2sin 4x ＋π 3 ＋2 D ．y ＝2sin 4x ＋π 6 ＋2 三角函数(1985年——20XX 年高考试题集) 一、选择题 1. t an x ＝1是x ＝4 5π 的 。(85(2)3分) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 函数y ＝2sin2xcos2x 是 。(86(4)3分) A.周期为2 π的奇函数 B.周期为2π 的偶函数 C.周期为4 π 的奇函数 D.周期为4 π 的偶函数 3. 函数y ＝cosx －sin 2x －cos2x ＋ 4 17 的最小值是 。(86广东) A. 4 7 B.2 C.49 D.4 17 E. 4 19 4. 函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 。(88(6)，91(3)3分) A.π B.2π C.2 π D.4π 5. 要得到函数y ＝sin(2x － 3 π )的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 。(87(6)3分) A.向左平移3π B.向右平移3π C.向左平移6π D.向右平移6 π 6. 若α是第四象限的角，则π－α是 。(89上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 7. t an 70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值是 。(90广东) A.3 B. 3 3 C.－ 3 3 D.－3 8. 要得到函数y ＝cos(2x － 4 π )的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 。(89上海) A.向左平移8π个单位 B.向右平移8 π 个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 9. 函数y ＝ cotx | cotx ||tanx |tanx cosx |cosx ||sinx |sinx +++的值域是 。(90(6)3分) A.{－2，4} B.{－2，0，4} C.{－2，0，2，4} D.{－4，－2，0，4} 10. 若函数y ＝sin(ωx)cos(ωx)(ω＞0)的最小正周期是4π，那么常数ω为 。(92(2)3) A.4 B.2 C.2 1 D. 4 1 注:原考题中无条件“ω＞0”，则当ω取负值时也可能满足条件 11. 在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB 。(93(6)3分) A.有最大值 2 1 和最小值0 B.有最大值 2 1 ，但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1，但无最小值 12. 角α属于第二象限，且|cos 2α|＝－cos 2α，则2 α 角属于 。(90上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 高一（三角函数）测试题 （本试卷共20道题，总分150 时间120分钟） 一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分） 1．下列转化结果错误的是 （ ） A ． 0367'ο 化成弧度是π83rad B. π3 10 -化成度是-600度 C ．ο150-化成弧度是π6 7 rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么 2 α 是 （ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．函数)2 2cos(π +=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2 π - =x B. 4 π - =x C. 8 π= x D. π=x 5．已知)0,2(π - ∈x ，5 3 sin -=x ,则tan2x= ( ) A ．247 B. 247- C. 724 D. 7 24- 6．已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4 tan(π β+的值为 （ ） A ．2 B. 1 C. 2 2 D. 2 7．函数x x x x x f sin cos sin cos )(-+= 的最小正周期为 （ ） A ．1 B. 2π C. π2 D. π 8．函数)3 2cos(π --=x y 的单调递增区间是 （ ） A ．)(322,342Z k k k ∈??????+- ππππ B. )(324,344Z k k k ∈?????? +-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈????? ? ++ ππππ D. )(384,324Z k k k ∈????? ? ++ππππ 高考题历年三角函数题 型总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高考题历年三角函数题型总结 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13 A =。 (Ⅰ)求A B A C ； (Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。 设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。 已知函数2 ()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 设函数()3sin 6f x x πω?? =+ ?? ? ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以 2 π 为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9 4125f απ??+= ?? ?，求sin α的值． 已知函数2 ()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。 (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。 在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且 2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。 (17)（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π?? ???? 上的最小值. 在?ABC 中， cos cos AC B AB C = 。 （Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π? ?+ ?? ?的值。 ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B = ，3 cos 5 ADC ∠=，求AD 。 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且222333b c a +-=. 高一数学必修4第一章三角函数单元测试 班级 姓名 座号 评分 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48 分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A C D ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ．3 π B ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos αα ααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－2316 4、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上 C ．在y 轴上 D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于 ( ) A ．3 2- B ．3 2 C ．1 2 D ． 12- 6、要得到)42sin(3π+ =x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移 4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8 π个单位 7、如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x | C ．y=－sin|x | D ．y=－|sin x | 8、化简1160-?2sin 的结果是 ( ) A ．cos160? B ．cos160-? C ．cos160±? D ．cos160±? 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25 A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π +=x y 的图象 （ ） 3 22.设/XABC的内角A B, C所对的边长分别为q, b, c , ^acosB-bcosA =-c . 5 (I )求tan A cot B 的值； (U)求tan(A-B)的最大值. 3解析：(1)在左ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA = -c 5 3 3 3 3 可得sin 人cos B-sinB cos A = -siiiC = - sin(A + B) = $ sin 人cos B + - cos A sin B 即siii A cos B = 4 cos A siii B ,则tail A cot 8 = 4： (II)由taiiAcotB = 4得tanA = 4tanB>0 一_ x tan A - tan B 3 tan B 3 “ 3 tan( A 一B) = -------------- = ---------- -- = ----------------- W - 1+tail A tail B l + 4taii_B cot B + 4 tan B 4 当且仅当4tanB = cotB,tmiB = i,taiiA = 2时，等号成立， 2 1 3 故当tail A = 2, tan ^ =—时，tan( A - B)的最大值为—. 5 4 23. ----------------------------------在△ABC 中，cosB = ， cos C =—. 13 5 (I )求sin A的值； 33 (U)设ZVIBC的面积S AABC = —,求BC的长. 解： 512 (I )由cosB = 一一，得sinB = —, 13 13 4 3 由cos C =-,得sin C =-. 55 一33 所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sill C = —. (5) ................................................................................................................................... 分 33 1 33 (U)由S.ARC = 一得一xABxACxsinA = —, 2 2 2 33 由(I)知sinA =—, 65 故ABxAC = 65, (8) ................................................................................................................................... 分 又AC =竺主=史仙, sinC 13 20 13 故—AB2 =65, AB = — . 13 2 所以此=性叫11 siiiC (I)求刃的值;10分 24.己知函数/(x) = sin2a)x+j3 sin cox sin 尔+习2)(刃＞0)的最小正周期为兀. 《三角函数》单元测试题 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.） 1、 600sin 的值是（ ） )(A ;21 )(B ;23 )(C ; 23- )(D ;21- 2、下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角都是锐角 B ．三角形的内角必是第一、二象限的角 C ．不相等的角终边一定不相同 D ．},90180|{},90360|{Z k k Z k k ∈?+??==∈?±??=ββαα 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于（ ） A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ） 5、已知21 tan -=α，则α ααα2 2cos sin cos sin 2-的值是( ) A ．3 4- B ．3 C ．34 D ．3- 6．若函数x y 2sin =的图象向左平移4π 个单位得到)(x f y =的图象，则( ) A ．x x f 2cos )(= B ．x x f 2sin )(= C ．x x f 2cos )(-= D ．x x f 2sin )(-= 7、9．若?++?90cos()180sin(αa -=+)α，则)360sin(2)270cos(αα-?+-?的值是( ) A ．32a - B ．23a - C ．32a D ．2 3a 8、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为 （ ） A . 3 π B. 3 2π C. 3 D. 2 9、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于( ) A ．x 2cos 3- B ．x 2sin 3- C ．x 2cos 3+ D ．x 2sin 3+ 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） ABC 的面积是30，内角A, B, C所对边长分别为 12 a, b, c ，cos A。 uuur uuur 13 ( Ⅰ ) 求ABgAC； ( Ⅱ ) 若c b 1，求 a 的值。 设函数 f x sin x cosx x 1 , 0 x 2，求函数 f x 的单调区间与极值。 已知函数 f ( x) 2cos 2x sin 2 x （Ⅰ）求 f () 的值； 3 （Ⅱ）求 f ( x) 的最大值和最小值 设函数 f x3sin x，＞0 ， x,，且以为最小正周期． 62 （ 1）求f0；（2）求f x 的解析式；（3）已知f 129 ，求 sin的值． 45 已知函数 f ( x) sin 2x2sin 2 x （ I ）求函数 f (x) 的最小正周期。 (II)求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时x 的集合。 在 VABC 中， a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且 2a sin A (2b c)sin B (2c b)sin C （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 sin B sin C 1，是判断 VABC 的形状。 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) sin(x)cos x cos2x （0）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 ，纵坐标不变，得到2 函数 y g ( x) 的图像，求函数y g( x) 在区间 0, 16 上的最小值 . 在 ABC中，AC cos B 。AB cosC （Ⅰ）证明 B=C： （Ⅱ）若 cosA =-1 ，求 sin 4B的值。 33 53 VABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B，cos ADC，求AD。 135 设△ ABC的内角 A、 B、 C 的对边长分别为a、 b、 c，且3b23c23a2 4 2bc . 4 三角函数题型分类总结 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有: a ）常数代换法: 如：1 sin 2 cos b ）配角方法: 1、sin330 tan690 ° sin 585o 2、(1) (10 全国 I ) 是第四象限角, CO S 12 ，则 sin 13 （2） （11北京文）若sin 4 ,tan 5 则cos 是第三象限角， sin( cos cosR )= 2 3、 （1） （09陕西）已知 sin cos 4 （12全国文）设 （%），若sin 3，则?? 2 cos( )= 5 4 （3） （08福建） 已知 （丁） ,sin 3 ,则 tan(-) 5 4 4. (1)(10 福建)sin 15°cos75° cos15°sin105°= ⑵ (11 陕西)cos43°cos77° si n4 3°cos167o = (3) sin 163o sin 223° sin 253o sin313o __________ 1 若 sin 0 + cos —，贝U sin 2 0 = 5 3 已知sin( x) ，则sin2x 的值为 ___________________ 4 5 2，则 s^—co^= _________________ sin cos 5.(1) (2) 若tan 6. (10北京) 若角 的终边经过点P （1, 2），则cos tan 2 7. (09浙江) 已知cos( ) - 2 2 ta n cos2 8.若 . n sin 2 ，则 cos 2 sin 9. （09重庆文）下列关系式中正确的是 A. sin 110 cos10° sin168° B . sin1680 sin11° cos10° C. sin110 sin 1680 cos10° D. sin1680 cos100 sin 110 【关键字】单位 1.（上海，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 个单位，再沿y 轴向下平移1个 单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sinx+2y －3=0 B.（y －1）sinx+2y －3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0 2.（北京，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ） A.y=cos2x B.y ＝2|sinx| C.y ＝()cosx D.y=－cotx 3.（全国，5）若f （x ）sinx 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 4.（全国，6）已知点P （sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ） A.（，）∪（π，） B.（，）∪（π，） C.（，）∪（，） D.（，）∪（，π） 5.（全国）若sin2x>cos2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x|2kπ－π 三角函数部分高考题 1.为得到函数πcos 23y x ? ? =+ ??? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移 5π12个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ B ） A ．1 B C D ．2 3.()2 tan cot cos x x x +=( D ) （Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 4.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32ππ?? ??? 5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3 y x π =-，x R ∈ （B ）sin( )26 x y π =+ ，x R ∈ （C ）sin(2)3 y x π =+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π=+，x R ∈ 6.设5sin 7a π =，2cos 7b π =，2tan 7 c π =，则D （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c << 7.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12 π - 中心对称，则 向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12π- B ．(,0)6 π- C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 8.已知cos （α-6 π）+sin α= 的值是则)6 7sin(,35 4πα- （A ）-5 32 （B ） 5 32 (C)-5 4 (D) 5 4历年高考三角函数真题
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