2021年新高考数学衡水金卷模拟三
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( ) A ．12i - B ．12i +
C ．12i --
D ．12i -+
3．已知命题
:p x m >，2:20q x x +-<，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(],1-∞-
B ．()2,+∞
C ．[)1,+∞
D ．[)2,+∞
4．设0.5
3
0.53,0.5,log 3a b c ===，则a b c 、、的大小关系 A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a <<
D ．c a b <<
5．设a 、b 、c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2a ab <
B ．22ac bc >
C ．
b a a b
> D ．
11a b
< 6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111
,,234
，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．
2324
B ．
524
C ．
1124
D ．
124
7．若函数()2
1ln 2
f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 是面对角线11A C 上两个不同的动点. ①,,P Q BP DQ ?⊥；②,,,P Q BP DQ ?与1B C 所成的角均为60?；③若1
||2
PQ =，则四面体BDPQ 的体积为定值.则上述三个命题中假命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知等比数列{}n a 的公比2
3
q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（ ） A ．9100a a ?<
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b >
10．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =，F 为AE 的中点，则（ ）
A ．1
2BC AB AD =-
+ B ．11
33AF AB AD =+
C ．21
33BF AB AD =-+
D ．12
63
CF AB AD =-
11．已知点()1,0F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A ．24y x =
B ．24x y =
C ．22
22
1cos sin x y θθ
+=（02πθ<<） D ．22
22
1cos sin x y θθ
-=（02πθ<<）
12．已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ） A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-
B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()1212
0g x g x x x -<-
C ．()f x 有最小值，无最大值
D ．()g x 有最小值，无最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若直线y ax b =+与曲线ln 1y x =+相切，则ab 的最大值为________. 14．已知向量2(3sin
,1),(cos ,cos )444
x x x m n == 若m n ⊥ ，则π
cos()3x + 的值为__________．
15．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02
x
f x '+
<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.
16．在矩形ABCD 中，BC ＝4，M 为BC 的中点，将△ABM 和△DCM 分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .若∠APD ＝150°，则三棱锥M ﹣P AD 的外接球的表面积为_____.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知a ＝3，sin sin sin c C a A b B =+，且B ＝60°. （1）求△ABC 的面积；
（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠.
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12
1
n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，//AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，,E F 分别为,PC CD 的中点，DE EC =.
（1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；
（2）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43
ππ
θ∈，求a 的取值范围.
20．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？
（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？
（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，
记拿到奖品的男生人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
21．顺次连接椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的菱形．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(0,2)Q -的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1OA OB k k ?=-，其中O 为坐标原点，求||AB ．
22．已知函数()()
2
1,,x
f x ax x a e a R e =-++∈为自然对数的底数．
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与x 轴平行，求a 的值；
（2）若函数()f x 在()0+∞，
内存在两个极值点，求a 的取值范围.
2021年新高考数学衡水金卷模拟三
参考答案详解
冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（三）
一、单选题
1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ，进而求得A B 的子集个数.
【详解】
由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ?=-，其子集个数为224=. 故选B. 【点睛】
本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法. 2．若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( ) A ．12i - B ．12i +
C ．12i --
D ．12i -+
【答案】B 【解析】
设z a bi z a bi =+∴=-，所以22()332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=+ ，所以33,21,2a b a b ==∴== ，所以选B 。 3．已知命题
:p x m >，2:20q x x +-<，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(],1-∞-
B ．()2,+∞
C ．[)1,+∞
D ．[)2,+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
解出命题q 中的不等式，根据题中条件得出两集合的包含关系，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】
解不等式220x x +-<，即220x x -->，解得1x <-或2x >. 命题p 是命题q 的充分不必要条件，{}{1x x m x x ><-或}2x >，2m ∴≥.
因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.
4．设0.53
0.53,0.5,log 3a b c ===，则a b c 、、的大小关系
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析： 0.5
30.53
1,00.51,log 30a b c =><=<=<，可知c b a <<.故选B.
5．设a 、b 、c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2a ab < B ．22ac bc >
C ．
b a a b
> D ．
11a b
< 【答案】D 【解析】 【分析】
利用不等式的基本性质、作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】
0a b >>，2a ab ∴>，A 错；当0c 时，22ac bc =，B 错；
()()220b a b a b a b a a b ab ab
-+--==<，则b a a b <，C 错；
a b ab ab >，即11a b <，D 对. 故选：D. 【点睛】
本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、中间值法等方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111
,,234
，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．
2324
B ．
524
C ．
1124
D ．
124
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况：只是甲企业购买，只是乙企业购买或只是丙企业购买，设出每一个企业购买设备所表示的事件，并求其对立事件的概率，根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案. 【详解】
设 “甲企业购买该机床设备” 为事件A ， “乙企业购买该机床设备” 为事件B ， “丙企业购买该机床设备” 为事件C ，
则()1
2P A =
，()13P B =，()14
P C =， 则()
()111122P A P A =-=-=，()()121133P B P B =-=-=，()
()13
1144
P C P C =-=-=，
设 “三家企业中恰有1家购买该机床设备” 为事件D ， 则()()()()
P D P ABC P ABC P ABC =++1231131211123423423424
=??+??+??=， 故选：C . 【点睛】
本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 7．若函数()2
1ln 2
f x x ax b x =
-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
函数()f x 的导函数为()2=b x ax b
f x x a x x -+'-+=，函数()f x 在区间()1,2上有两个极值点，即方程
20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案.
【详解】
()2=b x ax b
f x x a x x
-+'-+=
, 函数()2
1ln 2
f x x ax b x =
-+在区间()1,2上有两个极值点, 即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根.
所以2=4012
2
10420
a b a a b a b ?->?
?<?-+>?? 以为b 纵坐标，a 为横坐标画出不等式满足的平面区域.
曲线2
14b a =
与直线1b a =-相切于点(2,1)， 曲线2
14
b a =与直线24b a =-相切于点(4,4).
根据选项，则b 的可能取值在选项中只能为3.
故选：A. 【点睛】
本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.
8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 是面对角线11A C 上两个不同的动点.
①,,P Q BP DQ ?⊥；②,,,P Q BP DQ ?与1B C 所成的角均为60?；③若1
||2
PQ =，则四面体BDPQ 的
体积为定值.则上述三个命题中假命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
令P 与1A 重合，Q 与1C 重合，即可判断①和②，根据平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，可判断③. 【详解】
①当P 与1A 重合，Q 与1C 重合时，易知BP DQ ⊥,故①正确；
②当P 与1A 重合，Q 与1C 重合时，由题意可知111,B CA B CD 均是等边三角形，111,B CD AB C ∠∠均为60?，且
111,B CD AB C ∠∠为异面直线BP 与1B C ，DQ 与1B C 所成角的平面角，故②正确；
③设平面1111D C B A 两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值，故③正确.
故假命题有0个. 故选：A . 【点睛】
本题主要考查的是立体几何的综合应用，异面直线所成角的问题，四面体的体积求法，考查学生的空间想象能力，是中档题.
二、多选题
9．已知等比数列{}n a 的公比2
3
q =-
，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（ ） A ．9100a a ?< B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b >
【答案】AD
【解析】 【分析】
由等比数列的公比0q <，可知9100a a <，又由条件99a b >且1010a b >，判断9b 和10b 中至少有一个数是负数，公差0d <，再判断其他选项. 【详解】
等比数列{}n a 的公比23
q =-
， 9a ∴和10a 异号，9100a a ∴< ，故A 正确；
但不能确定9a 和10a 的大小关系；故B 不正确；
9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >， 9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，
又
1120b => ，0d ∴< 910b b ∴> ，故D 正确，
10b ∴一定是负数，即100b < ，故C 不正确；
故选：AD 【点睛】
本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用，意在考查推理和判断能力，属于中档题型.
10．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =，F 为AE
的中点，则（）
A．
1
2
BC AB AD =-+
B．
11
33 AF AB AD =+
C．
21
33 BF AB AD =-+
D．
12
63 CF AB AD =-
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．【详解】
解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
BC BA AD DC =++
1
2
AB AD AB
=-++
1
2
AB AD
=-+，A对；
∵3
BC EC
=，∴
2
3
BE BC
=
12
33
AB AD
=-+，
∴AE AB BE
=+
12
33
AB AB AD
??
=+-+
?
??
22
33
AB AD
=+，
又F为AE的中点，∴
1
2
AF AE
=
11
33
AB AD
=+，B对；
∴BF BA AF
=+
11
33
AB AB AD
=-++
21
33
AB AD
=-+，C对；
∴CF CB BF
=+BF BC
=-
21
33
AB AD
=-+
1
2
AB AD
??
--+
?
??
12
63
AB AD
=--，D错；
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．11．已知点()
1,0
F为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为（）
A．24
y x
=B．24
x y
=
C．
22
22
1
cos sin
x y
θθ
+=（0
2
π
θ
<<）D．
22
22
1
cos sin
x y
θθ
-=（0
2
π
θ
<<）
【答案】AD
【解析】
【分析】
依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案.
【详解】
A. 24
y x
=，抛物线的焦点为()
1,0
F，满足；
B. 24
x y
=，抛物线的焦点为()
0,1
F，不满足；
C.
22
22
1
cos sin
x y
θθ
+=（0
2
π
θ
<<），焦点为()
22
cos sin,0
θθ
±-，或(22
0,sin cos
θθ
±-或曲线表示圆不存在焦点，
2
π
θ
<<，则22
cos sin cos21
θθθ
-=≠，均不满足；
D.
22
22
1
cos sin
x y
θθ
-=（0
2
π
θ
<<），双曲线的焦点为()
1,0
F，满足；
故选：AD.
【点睛】
本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.
12．已知函数()e e
x x
f x-
=-，()e e
x x
g x-
=+，则以下结论错误的是（）
A．任意的1x，2x∈R且12
x x
≠，都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
<
-
B．任意的1x，2x∈R且12
x x
≠，都有
()()
12
12
g x g x
x x
-
<
-
C．()
f x有最小值，无最大值
D．()
g x有最小值，无最大值
【答案】ABC
【解析】 【分析】
根据()e e x x f x -=-与()e e x x g x -=+的单调性逐个判定即可. 【详解】
对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且
12x x ≠,都有
()()1212
0f x f x x x ->-.故A 错误.
对B,易得反例11
(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故
()()1212
0g x g x x x -<-不成立.故B 错误.
对C, 当因为()e e x x
f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞, 当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.
对
D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值. 故选：ABC 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.
三、填空题
13．若直线y ax b =+与曲线ln 1y x =+相切，则ab 的最大值为________. 【答案】
1e
【解析】 【分析】
设切点为()00,ln 1x x +,再求出切线方程表达式,进而得出0
ln x ab x =,再求导分析单调性与最大值即可. 【详解】
设切点为()00,ln 1x x +,则切线为()00
000
11ln 1ln y x x x x x x x =-++=+, 所以0000
ln 1
,ln x a b x ab x x ==?=, 令2
ln 1ln ()()x x
g x g x x x
-'=
?=, 所以()g x 在(0,e)↑,(,)e +∞↓, 则max 1
()()g x g e e
==. 故答案为：
1e
【点睛】
本题主要考查了切线方程的应用,主要是导数的几何意义求解,同时也考查了根据导数求解函数的最值问题,属于中等题型.
14．已知向量2(3sin
,1),(cos ,cos )444
x x x m n == 若m n ⊥ ，则π
cos()3x + 的值为
__________．
【答案】
12
【解析】
m n ⊥211π1
cos cos 0cos 0sin()44422222262
x x x x x x ?+=?++=?+=-
所以πcos 3x ?
?+
??
?2π1112sin ()14622
x =-+=-= 15．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02
x
f x '+
<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.
【答案】,2π??
-+∞????
【解析】 【分析】
构造函数()()cos 2
x
g x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】
依题意，()()()cos cos 22
x x
f x f x --=--+
， 令()()cos 2
x
g x f x =-
，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '??''=-=+
?，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022
x x
f x f x f x f x πππ+++≤?+-
+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ?++≤?+≤-=-，即x x π+≥-，故2
x π
≥-
，则x 的取值范围为
,2π??
-+∞????
. 故答案为：,2π??-+∞????
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
16．在矩形ABCD 中，BC ＝4，M 为BC 的中点，将△ABM 和△DCM 分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .若∠APD ＝150°，则三棱锥M ﹣P AD 的外接球的表面积为_____. 【答案】68π 【解析】 【分析】
计算△ADP 外接圆的半径r 并假设外接球的半径为R ，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据
PM ⊥面P AD ， 2
2
2
2PM R r ??=+ ?
??
，可得结果. 【详解】
由MP ⊥P A ，MP ⊥PD ，PM ∩P A ＝P ， PM ，P A ?平面P AD 所以可得PM ⊥面P AD ， 设△ADP 外接圆的半径为r ， 由正弦定理可得
sin AD
APD
∠=2r ，
即
4
2sin150r =?
，所以4r =
设三棱锥M ﹣P AD 外接球的半径R ， 外接球的球心在过△ADP 外接圆的圆心 且垂直于底面的直线上，
则2
2
2
116172PM R r ??=+=+= ?
??
所以外接球的表面积为2468S R ππ==
故答案为：68π
【点睛】
本题考查的是三棱锥的外接球的应用，属中档题.
四、解答题
17．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知a ＝3，sin sin sin c C a A b B =+，且B ＝60°. （1）求△ABC 的面积；
（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠. 【答案】（1
）
2；（2
）
434
【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理，可得△ABC 为直角三角形，然后可计算b ，可得结果.
（2）计算,AE AD ，然后根据余弦定理，可得cos DAE ∠，利用平方关系，可得结果. 【详解】
（1）△ABC 中，由csinC ＝asinA +bsinB ，
利用正弦定理得c 2＝a 2+b 2，所以△ABC 是直角三角形. 又a ＝3，B ＝60°
,所以tan 6033b a == 所以△ABC
的面积为12S ab =
=
. （2）设D 靠近点B ，则BD ＝DE ＝
EC ＝
1.
AE =
=
AD =
所以22229217
cos 2434
AE AD DE DAE AE AD +-∠==
? 所以3651
sin 1cos 434
DAE DAE ∠∠=-=. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属基础题.
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12
1
n n n b a a ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）21n a n =-；（2）69
n
n +. 【解析】 【分析】
（1）先设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果； （2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为 24S =，525S =，
则：1124
54
5252a d a d +=????+?=??
，解得12
1a d =??=?
，
所以12(1)21n a n n =+-=-． （2）由于21n a n =-， 所以()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++??
=
==- ?++++??
．
则1111111111235572123232369
n n
T n n n n ????=
-+-+?+-=-= ? ?++++????． 【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列
的和即可，属于基础题型．
19．在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，//AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，,E F 分别为,PC CD 的中点，DE EC =.
（1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；
（2）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[
,]43
ππ
θ∈，求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析; (2).
【解析】 【详解】 （Ⅰ）
，分别为的中点，
为矩形，
∵DE=EC ，∴DC ⊥EF ，又AB ∥CD ，∴AB ⊥EF ∵BF∩EF=F ，∴AB ⊥面BEF ，又AE ?面ABE ， ∴平面ABE ⊥平面BEF ． (Ⅱ)
,又
，
又
,所以
面
, 法一：建系AB 为x 轴，
为y 轴，为z 轴,
，
,
平面
法向量1(0,0,1)n =，平面
法向量·
，可得
.
法二：连交
于点,四边形为平行四边形，所以
为
的中点，连
,
则,面,
, 作于点，所以面, 连
,则
,
即为所求
在中，,
解得.
20．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？
不合格合格
男生14 16
女生10 20
（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？
（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望()
E X．
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
()
2
P K k
≥0．100 0．050 0．010 0．001 k2．703 3．841 6．635 10．828
【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，
20 ()
9 E X=
【解析】
【分析】
（1）根据独立性检验的思想即可判断.
（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为01234
，，，，，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望. 【详解】
（1）完善列联表如下所示：
不合格合格合计
男生14 16 30
女生10 20 30
合计24 36 60
22
2
()60(14201016)
1.111
2.706
()()()()30302436
n ad bc
K
a b c d a c b d
-??-?
∴==≈<
++++???
，
故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．
（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X的可能取值为01234
，，，，，
5
5
5
9
1
(0)
126
C
P X
C
===,
41
54
5
9
20
(1)
126
C C
P X
C
===,
32
54
5
9
60
(2)
126
C C
P X
C
===,
23
54
5
9
40
(3)
126
C C
P X
C
===,5
9
4
4
1
5
5
(4)
126
C C
P X
C
===，
故X的分布列为：
X0 1 2 3 4
P
1
126
20
126
60
126
40
126
5
126
所以
1206040520
()01234
1261261261261269
E X=?+?+?+?+?=.
【点睛】
本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.
21．顺次连接椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>32的菱形．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(0,2)Q -的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1OA OB k k ?=-，其中O 为坐标原点，求||AB ．
【答案】(1)
2212x y +=
(2) 11
AB = 【解析】 【分析】
（1）利用已知建立a ，b 的方程，解出a ，b 即可.
（2）先考虑斜率不存在时，则OA k 与OB k 不存在，可设直线为2y kx =-，与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k ，再利用弦长公式计算AB 即可. 【详解】
（1
）由题可知2ab =223a b +=，
解得a =
1b =.
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，
当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为2y kx =-，
代入方程2212
x y +=，整理得()
22
12860k x kx +-+=.
由(
)
2
2
6424210k k ?=-+>，解得2
32
k >
， 所以122812k x x k +=
+，12
2
6
12x x k =+. ()2
1212121212
241OA OB
k x x k x x y y k k x x x x -++?===-， 解得25k =.
AB ==
. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问题的常见方法，考
查运算能力，属于中档题．
22．已知函数()()
2
1,,x
f x ax x a e a R e =-++∈为自然对数的底数．
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与x 轴平行，求a 的值；
（2）若函数()f x 在()0+∞，
内存在两个极值点，求a 的取值范围. 【答案】(1) 14
a = (2)1
(0,)4
【解析】 【分析】
（Ⅰ）()()2
21x
f x ax a x a e ??=+-+??'，由题设知()10f '=，求得a 的值；
（Ⅱ）若函数()f x 在()0+∞，
内存在两个极值点，则方程()2
210ax a x a +-+= 在()0,+∞内由两个不等实根,可列不等式组
()221212214012010a a a x x a x x ??=-->?
-?
+=>??
?=>??
,即可求a 的范围 【详解】
解：（Ⅰ）()()2
21x
f x ax a x a e ??=+-+??'，由题设知()10f '=，故1
4
a =
（Ⅱ）由题知，()2
210ax a x a +-+=在()0,+∞内由两个不等实根，
()2212122140
12010a a a x x a x x ??=-->?
-?
∴+=>??
?=>??
104a ∴<<.
【点睛】
本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.