第八章 测 验 题
一、选择题:
1、若a →
,b →
为共线的单位向量,则它们的数量积 a b →→
?= ( ).
(A) 1; (B)-1; (C) 0; (D)cos(,)a b →→
.
向量a b →→?与二向量a →
及b →
的位置关系是( ). 共面; (B)共线; (C) 垂直; (D)斜交 .
3、设向量Q →
与三轴正向夹角依次为,,αβγ,当 cos 0β=时,有(
)
()();
();
()A Q xoy B Q
yoz C Q
xoz D Q xoz ⊥面;面面面
5、2
()αβ→
→
±=( )
(A)2
2
αβ→→±; (B)2
2
2ααββ→→→
→±+; (C)2
2
ααββ→→→
→±+; (D)2
2
2ααββ→→→
→±+.
6、设平面方程为0Bx Cz D ++=,且,,0B C D ≠, 则 平面(
).
(A) 平行于轴;x ;(B) y 平行于轴; (C) y 经过轴;(D) 经过轴y .
7、设直线方程为111122
00A x B y C z D B y D +++=??+=?且
111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点; (B)x 平行于轴; (C)y 平行于轴; (D)x 平行于轴. 8、曲面2
50z xy yz x +--=与直线5
13
x y -=- 10
7
z -=
的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--;(B)(1,2,3);
(C)(2,3,4); (D)(2,1,4).--
9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160
x y z ?+=?=?,则此球面的方程是( ). (A)2
2
2
6160x y z z ++++=;
(B)222
160x y z z ++-=; (C)2
2
2
6160x y z z ++-+=; (D)2
2
2
6160x y z z +++-=.
10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).
(A)2221x y z ++=; (B)22
4x y z +=;
(C)22
2
14y x z -+=; (D)2221916
x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3
π
,且2,5a b →→==,求
(2)(3)a b a b →→→→
-?+ .
三、求向量{4,3,4}a →
=-在向量{2,2,1}b →
=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量
{1,3,1};{2,1,3}a b →
→
=-=-{}2,1,3b =-,求其面积 .
五、已知,,a b →→
为两非零不共线向量,求证:
()()a b a b →→→→-?+2()a b →→
=?.
六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半,试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .
七、求直线L :31258x t
y t z t =-??
=-+??=+?
在三个坐标面上及平面
π380x y z -++=上的投影方程 .
八、求通过直线
122
232
x y z -+-==-且垂直于平面
3250x y z +--=的平面方程 .
九、求点(1,4,3)--并与下面两直线
1L :24135x y z x y -+=??+=-?,2:L 24132x t y t z t
=+??=--??=-+?
都垂直的直线方程 .
十、求通过三平面:220x y z +--=,
310x y z -++=和30x y z ++-=的交点,且平行于
平面20x y z ++=的平面方程 .
十一、在平面10x y z +++=内,求作一直线,使它通
过直线10
20y z x z ++=??+=?与平面的交点,且与已知直线垂
直 .
十二、判断下列两直线 111
:
112
x y z L +-==
, 212
:
134
x y z L +-==
,是否在同一平面上,在同 一平面上求交点,不在同一平面上求两直线间的距离 .
第九章 测 验 题
一、选择题: 1
、二元函数22
1
arcsin z x y
=+的定义域是( ).
(A)2
2
14x y ≤+≤; (B)2
2
14x y <+≤; (C)2
2
14x y ≤+<; (D)2
2
14x y <+<.
2、设2
(,)()x f xy x y y
=+,则(,)f x y =( ).
(A)2
21()x y y +
; (B) 2(1)x
y y
+; (C) 2
21()y x x +
; (D) 2(1)y
y x
+. 3、22220
lim()x y x y x y →→+=( ). (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) e .
4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).
(A)充分条件,但不是必要条件; (B)必要条件,但不是充分条件; (C)充分必要条件;
(D)既不是充分条件,也不是必要条件.
5、设(,)f x y 22
2222
221()sin ,00,0
x y x y x y x y ?++≠?+=??+=?
则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).
(A)偏导数不存在; (B)不可微;
(C)偏导数存在且连续; (D)可微 .
6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22z
y
?=?( ).
(A)222f v f v v y y v y ?????+??????; (B)22f v v y
?????;
(C)22222()f v f v y v v y ????+?????; (D)2222
f v f v y v v y ?????+?
????. 7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积V=( ). (A)
33
2
a ; (B) 33a ; (C) 392a ; (D) 3
6a .
8、二元函数33
3()z x y x y =+--的极值点是( ). (A) (1,2); (B) (1.-2); (C) (-1,2); (D) (-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足
(0,0,0)2
x y z x y z π
++=
>>>的条件极值是( ).
(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 16
; (D)
18
.
10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).
();()
;();()
.
A gradu gradv
B u gradv v gradu
C u gradv
D v gradu ??+???
二、讨论函数33x y
z x y +=
+的连续性,并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y
z x
= ;
2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==;
3、2
22
22
220(,)00
x y x y f x y x y x y ?+≠?
=+??+=?
.
四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .
五、设(,,),y
z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2z
x y
???.
六、设cos ,sin ,u
u
x e v y e v z uv ===,试求
z x ??和z y
?? .
七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零 . 八、求平面
1345
x y z
++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .
九、在第一卦限内作椭球面222
2221x y z a b c
++=的切平面, 使
该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最
小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .
第十章 测 验 题
一、选择题: 1、
1100
(,)x
dx f x y dy -??
=( )
(A)110
(,)x dy f x y dx -??; (B)110
(,)x
dy f x y dx -??;
(C)
1
10
(,)dy f x y dx ?
?; (D)110
(,)y
dy f x y dx -??
.
2、设D 为222
x y a +≤,当a =( )时,
D
π=.
(A) 1 ;
(B)
;
(C)
(D) .
3、当D 是( )围成的区域时二重积分
1.D
dxdy =??
(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23
x y =
= (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=
4、xy D
xe dxdy ??
的值为( ).其中区域D 为
01,10.x y ≤≤-≤≤
(A)
1;e (B) e ; (C) 1
;e
- (D) 1. 5、设22
()D
I x y dxdy =+??,其中D 由222x y a +=所
围成,则I =( ). (A)2240
a
d a rdr a π
θπ=?
?;
(B)
22
400
12
a d r rdr a π
θπ?=??; (C)22
30023
a d r dr a πθπ=??;
(D)
2240
2a
d a adr a π
θπ?=?
?.
6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则
xdxdydz Ω
???=( ).
(A) 148 ; (B) 148- ; (C) 124 ; (D) 124- .
7、设Ω是锥面222
222(0,z x y a c a b
=+>0,0)b c >>与平
面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的
部分,
则
Ω
=( ).
(A)
2136a b ;
(B) 22
136a b
(C) 2136b c ;
(D) 136
8、计算I zdv Ω
=???,其222
,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)211
00
I d rdr zdz π
θ=???;
(B)211
r
I d rdr zdz π
θ=
?
??;
(C)211
00
r
I d dz rdr π
θ=?
??;
(D)1
20
z
I dz d zrdr π
θ=
?
??.
9
、曲面z =
222x y x +=内部的
那
部分面积s =( ).
;
(B) ;
;
(D) .
10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀 (设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量
x I =( ).
(A) 3μ; (B) 5μ; (C) 4μ; (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、
22()D
x y d σ-??,其中D 是闭区域: 0sin ,0.y x x π≤≤≤≤ 2、
D
y
arctg
d x
σ??,其中D 是由直线0y =及圆周 2
2
2
2
4,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、
2(369)D y x y d σ+-+??,其中D 是闭区 域:2
2
2
x y R +≤
4、222D
x y d σ+-??,其中D :223x y +≤.
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1、12330
1
(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+????
;
2
、1
10
(,)dx f x y dy ?;
3、
(cos ,sin )a
d f r r rdr θ
θθθ?
?.
四、将三次积分1
10
(,,)y
x
x
dx dy f x y z dz ?
??改换积分次序为
x y z →→.
五、计算下列三重积分: 1、
cos(),y x z dxdydz Ω
+Ω???:
抛物柱面y =
,,2
y o z o x z π
==+=
及平面所围成的区域 .
2、
22(),y z dv Ω
+???其中Ω是由xoy 平面上曲线 2
2y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围
成的闭区域 .
3、222222
ln(1)
,1z x y z dv x y z Ω
++++++???其中Ω是由球面 2
2
2
1x y z ++=所围成的闭区域 . 六、求平面1x y z
a b c
++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .
七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111
30
1()()()[()]6y
x
x
f x f y f z dxdydz f x dx =???
? .
第十一章 测 验 题
一、选择题:
设L 为03
,02
x x y =≤≤
,则4L ds ?的值为( ).
(A)04x , (B)6, (C)06x .
设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则
2L
dy ?
=( ).
(A)6; (B) 06y ; (C)0.
若L 是上半椭圆cos ,
sin ,
x a t y b t =??=?取顺时针方向,则
L
ydx xdy -?
的值为( ).
(A)0; (B)
2
ab π
; (C)ab π.
4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与
L
Pdx Qdy +?
路径无关的条件
,(,)Q P
x y D x y
??=∈??是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.
5、设∑为球面2
2
2
1x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确.
(A)1
2zds zds ∑
∑=????;
(B)1
2zdxdy zdxdy ∑
∑=????;
(C)
1
222z dxdy z dxdy ∑
∑=????. 6、若∑为2
2
2()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则
ds ∑
??等于( ).
(A)200d rdr π
θ??
;(B)20
d rdr πθ??
;
(C)
20d rdr π
θ?
.
7、若∑为球面2
2
2
2
x y z R ++=的外侧,则
2
2x
y zdxdy ∑
??等于( ).
(A)
2xy
D x y ??
;
(B) 2
2xy
D x y ??
; (C) 0 . 8、曲面积分
2
z dxdy ∑
??在数值上等于( ).
向量2
z i 穿过曲面∑的流量; 面密度为2
z 的曲面∑的质量; 向量2
z k 穿过曲面∑的流量 .
9、设∑是球面2222
x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面
上的圆域2
2
2
x y R +≤,下述等式正确的是( ).
(A)
2
22
xy
D x
y zds x
y ∑
=
????;
(B)
2222
()()xy
D x y dxdy x y dxdy ∑
+=+????
;
(C)
2xy
D zdxdy ∑
=????
.
10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高
公式正确的是( ). (A)
2
(2)x dydz z y dxdy ∑++??外侧
=(22)x dxdydz Ω
+???;
(B)
32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+??
外侧
=
2
2
(321)x
x dxdydz -+???;
(C)
2(2)x dydz z y dxdy ∑++??内侧
=(21)x dxdydz Ω
+???.
二、计算下列各题:
1、求zds Γ
?,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =??
=??=?
0(0)t t ≤≤;
2、求(sin 2)(cos 2)x x
L e y y dx e y dy -+-?
,其中L 为上
半圆周222
()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .
三、计算下列各题: 1、求
222ds x y z
∑++??其中∑是界于平面0z z H ==及
之间的圆柱面2
22
x y R +=; 2、求
222
()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑
-+-+-??, 其中∑
为锥面(0)z z h =≤≤的外侧;
∑
其
中
∑
为曲面
2
2
(2)(1)
15169
z x y ---
=+(0)z ≥的上侧 . 四、证明:22
xdx ydy x y
++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及 原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .
五、求均匀曲面z =
.
六、求向量A xi yj zk =++通过区域:Ω01,x ≤≤
01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .
七、流体在空间流动,流体的密度
μ处处相同(1μ=),
已知流速函数222
V xz i yx j zy k =++,求流体在单位时间
内流过曲面222
:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2
2
2
2x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去
逆时针方向) .
第十二章 测 验 题
一、选择题:
1、下列级数中,收敛的是( ).
(A)11n n ∞
=∑;
(B)n ∞
=;
(C)
1
n ∞
=; (D)
1
(1)
n
n ∞
=-∑.
2、下列级数中,收敛的是( ).
(A) 115()4n n ∞
-=∑; (B)1
14()5
n n ∞
-=∑;
(C)
1
115(1)
()4n n n ∞
--=-∑; (D)1154
()4
5n n ∞
-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )
(A)221(!)2n n n ∞
=∑; (B)13!
n n n n n ∞
=∑; (C) 221sin n n ππ∞=∑; (D)1
1
(2)n n n n ∞
=++∑.
4、部分和数列{}n
s 有界是正项级数1
n n u ∞
=∑收敛的
( )
(A)充分条件; (B)必要条件;
(C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1n
n a
r
∞
=∑收敛 . (A)1r <; (B)1r ≤; (C)r a <; (D)1r >.
6、幂级数1
1
(1)(1)
n
n n x n
∞
-=--∑的收敛区间是( ).
(A) (0,2]; (B) [0,2); (C) (0,2]; (D) [0,2].
7、若幂级
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;
0n
n n b x
∞
=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数
()n
n
n n a
b x ∞
=+∑的收敛半径至少为( )
(A)12R R +; (B)12R R ?;
(C){}12max ,R R ; (D){}12min ,R R .
8、当0R >时,级数2
1
(1)n
n k n
n ∞
=+-∑是( ) (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞
=是级数
1
n
n u
∞
=∑收敛的( )
(A)充分条件; (B)必要条件;
(C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 .
10、幂级数
1
(1)n
n n n x
∞
=+∑的收敛区间是( )
(A) (1,1]-; (B) (1,1]-; (C) (1,1]-; (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:
1、
22
1(!)
2n n n ∞=∑; 2、2
1
cos 32n
n n n π
∞
=∑.
三、判别级数
1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑的敛散性 . 四、求极限 1
11139
27
3lim[248
(2)]n
n n →∞
???
? .
五、求下列幂级数的收敛区间:
1、135n n n n x n ∞
=+∑; 2、212
n n n n
x ∞
=∑. 六、求幂级数1
(1)n
n x n n ∞
=+∑的和函数 .
七、求数项级数2
1
!n n n ∞
=∑的和 .
八、试将函数
2
1
(2)
x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为
0,[,0)
(),[0,)x x f x e x ππ∈-?=?∈?
将()f x 展开成傅立叶级数 .
十、将函数1,0()0,x h
f x h x π
≤≤?=?<≤?分别展开成正弦级数
和余弦级数 .
十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0
(1,2,)k k a b k ===.