通常建立独立坐标系的方法是以一个国家控制点和方位角作为起算数据，观测边投影到平均高程面。此法在理论上不严密，会因为起算点不同而有不同结果，坐标不能统一，无法充分利用国家控制点的精度。所以需要通过严密换算公式，将国家坐标实现高精度的转换，形成独立的坐标系统。
在海拔较低的地区（200m 以下），合理地选择处于测区中间位置附近的中央子午线，利用高斯-克吕格投影正反算公式计算，可以有效解决投影变形。对于海拔较高的地区，可以选择测区的平均高程面作为投影面，解决投影变形的问题。
确定国家坐标系的参考椭球的长半径，短半径，扁率，第一偏心率，第二偏心率等要素后，根据三个步骤进行坐标转换计算：确定投影面的大地高计算参考椭球的长半径；根据高斯-克吕格投影反算经纬度；利用椭球参数，根据高斯-克吕格投影正算转换的平面坐标。
3.2换带计算的实际应用
玉林市龙潭产业园的测区范围处于东经109°42′-109°48′、北纬21°40′-21°43′，海拔在10-40m 之间，但处在108度带和111度带中间位置，距离变形达到12.4cm/km，对后续的控制测量、地形测量会带来很大的影响，超出了《工程测量规范》的允许范围，将3°转换为中央子午线为109.5°的独立分带，可以有效消除投影变形的影响。
首先，通过EXCEL 电子表格，将已有的D 级GPS 点的坐标代入反算公式，计算出各控制点的经纬度，再将经纬度结果代入正算公式，设置中央子午线为109.5°，就可以得到独立分带的坐标。计算结果如下表：
点名 1980X(纬度B) 1980Y(经度L) 备注
荣树坝 2410506.2175 669947.0855 香 山 2404689.5628 672790.9459 3°带坐标
长岭居
2397888.6893
671300.5763 36号分带 荣树坝 21°46′53.219390157″
109°38′35.20269251″ 香 山 21°43′43.194833616″
109°40′11.96770153″ 反算结果 长岭居 21°40′02.693959507″
109°39′17.60263225″
经纬度取值0.00000001″荣树坝 2409608.6714 514800.5927 香 山 2403766.7889 517586.8623 1.5°带坐标
长岭居
2396983.1198
516031.2825
独立分带 经换带计算后，该测区的投影变形小于0.2cm/km，远小于规范中2.5cm/km 的要求。
4、小结
在高海拔地区、离中央子午线较远的投影变形区域，高斯-克吕格投影正反算作为通用而严密的间接换带计算方法，可以弥补椭球模型的不足之处，为保证工程质量起到应有的作用。
参考文献：
[1]GB50026-2007，工程测量规范，2008.5.
[2]孔祥元.郭际明.刘宗泉.大地测量学基础.武汉测绘科技大学出版社.2001.
[3]王继刚，王坚，于先文.具有抵偿面的任意带高斯投影直角坐标系的选取方法.测绘通报，2002
高斯—克吕格投影正反算公式的应用 【摘要】高斯-克吕格正算公式是把大地坐标换算成高斯-克吕格投影平面上的直角坐标，而高斯-克吕格反算公式是把高斯-克吕格投影平面直角坐标换算到椭球面上的大地坐标。为了城市坐标与国家统一坐标取得一致，需要进行城市坐标与国家坐标之间的换算，高斯-克吕格正反算公式为不同投影带之间的坐标换算提供了精确的坐标公式。 【关键词】高斯-克吕格投影坐标中央子午线 1 引言 目前，大比例尺地形图广泛应用在市政建设、路桥、管道铺设和城市规划等工程建设中。为了满足城市大比例尺1：500地形测图精度要求，《城市测量规范》要求，控制点之间的投影长度变形不得大于 2.5cm/km。当控制点之间的长度变形大于2.5cm/km时，要采取适当的措施进行改化，以达到城市大比例尺1：500地形测图精度要求。国家坐标系是6°带或3°带投影的高斯-克吕格直角坐标系，根据它的变形规律，离中央子午线越远，所产生的投影变形越大。城市独立坐标系的建立，通常是选择过城市的某国家控制点为地方坐标系的起算点，过这点的经线为其中央子午线并联测国家高等级的控制点建立起来的。这样，国家坐标系与城市独立坐标系的中央子午线存在一个差值λ。为了更好的进行数据共享，城市平面控制坐标最理想的是和国家坐标系相统一，这就要进行城市独立坐标与国家坐标之间的坐标换算。高斯-克吕格投影正反算公式能很好的解决不同投影带之间的坐标换算问题。其方法是：先将已知的平面坐标，按高斯-克吕格投影反算公式求得其大地坐标（B，L），然后根据大地纬度B和经差λ，再按高斯-克吕格投影正算公式求得其在另一投影带中的平面坐标。 2 高斯-克吕格投影正反算公式 2.1 高斯-克吕格投影正算公式： （1） 其中：，为中央子午线弧长，其计算公式为： 、、、为常数，其计算公式为： 2.2 高斯-克吕格投影反算公式： 其中：。 （1）、（4）式中的N、的计算公式为：
1．墨卡托(Mercator)投影 1.1 墨卡托投影简介 墨卡托(Mercator)投影，是一种”等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（GerhardusMercator1512－1594）在1569年拟定，假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。 墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。 在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。 “海底地形图编绘规范”（GB/T17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。 1.2 墨卡托投影坐标系 取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。 2．高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影和UTM（UniversalTransverseMercator）投影 2.1 高斯-克吕格投影简介 高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种“等角横切圆柱投影”。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（CarlFriedrichＧauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（JohannesKruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。 高斯一克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，并能在图上进行精确的量测计算。按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带，这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带，以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第1、2…60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第1、2…120带。我国的经度范围西起73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。 我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用六度带高斯-克吕格投影，三度带高斯-克吕
３度６度带高斯投影 选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。海域使用的地图多采用保角投影，因其能保持方位角度的正确。 我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的均采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，又叫横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。一般应该采用与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统。 地图坐标系由大地基准面和地图投影确定，大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家或地区均有各自的大地基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的IAG 75地球椭球体建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前GPS定位所得出的结果都属于WGS84坐标系统，WGS84基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心的坐标系。因此相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。 采用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T 8314-2001”）： 椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky
课程名称：大地测量学成绩： 学号： 102011236 姓名：郭锴 高斯-克吕格投影与通用横轴墨卡托投影的 比较研究 摘要：本文主要通过研究高斯-克吕格投影与通用横轴墨卡托投影，从投影公式，变形，以及分带特点等方面对两者进行了相应的比较分析，并通过有关数据的计算，得出两种投影各自的投影特性，说明了高斯-克吕格投影与通用横轴墨卡托投影的异同。 关键词：高斯-克吕格投影通用横轴墨卡托投影分带投影投影变形 1 引言 高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种”等角横轴切圆柱投影”。由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。 墨卡托(Mercator)投影，是一种”等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定。”通用横轴墨卡托投影”，是一种”等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上平均长度比0.9996。UTM投影系统原先的计划是为世界范围所设计的，但由于统一分带等原因未被世界各国普遍采用。1 目前，大地测量中，高斯-克吕格投影和通用横轴墨卡托投影是世界上比较广泛采用的投影方法，两种投影方法均属于等角投影的范畴，较好的保持了地图中不同地点的方向关系，因此在航海，航空等领域应用广泛。两种投影在方法和变形特点上具有一定的相似性，因此，在一些外国文献中，经常把高斯-克吕格投影成为横墨卡托投影（Transverse Merctor），即TM投影，而把中央经线长度变形比为0.9996的高斯-克吕格投影称为通用横轴墨卡托投影（Universal Transverse Merctor），即UTM投影。 由于高斯-克吕格投影采用分带投影的方式，有效的减小了由于纬度跨度大
一、墨卡托投影、高斯-克吕格投影、UTM投影 1．墨卡托(Mercator)投影 墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定，假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，
保持了方向和相互位置关系的正确。在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。 墨卡托投影坐标系取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。 2．高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影 （1）高斯-克吕格投影性质 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。 该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。 高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。 高斯-克吕格投影分带 按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。三度带是在六
度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。我国的经度范围西起73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。六度带可用于中小比例尺（如 1：250000）测图，三度带可用于大比例尺（如 1：10000）测图，城建坐标多采用三度带的高斯投影。 编辑本段高斯-克吕格投影坐标 高斯- 克吕格投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线投影为纵轴(x), 赤道投影为横轴(y),两轴交点即为各带的坐标原点。纵坐标以赤道为零起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标均为正值。横坐标如以中央经线为零起算，中央经线以东为正，以西为负，横坐标出现负值，使用不便，故规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，凡是带内的横坐标值均加 500公里。由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，在横轴坐标前加上带号，如(4231898m,21655933m)，其中21即为带号 高斯-克吕格投影 科技名词定义 中文名称： 高斯-克吕格投影
高斯-克吕格投影和UTM投影 4.1 高斯-克吕格投影与UTM投影异同 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里. 4.2 高斯-克吕格投影简介 我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用六度带高斯-克吕格投影，三度带高斯-克吕格投影多用于大比例尺测图，如城建坐标多采用三度带的高斯-克吕格投影。 高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。 高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘， 变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。高斯－克吕格投影分带规定:该投影是国家基本比例尺地形图的数学基础,为控制变形,采用分带投影的方法,在比例尺 1: 2.5万-1:50万图上采用6°分带,对比例尺为 1:1万及大于1:1万的图采用3°分带。我国规定
2.2.3坐标的换带计算 为了限制高斯投影长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影带；或者为了抵偿长度变形，选择某一经度的子午线作为测区的中央子午线。由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一的大地坐标系，变成了各自独立的平面直角坐标系，就需要将一个投影带的平面直角坐标系，换算成另外一个投影带的平面直角坐标，称为坐标换带。 2.2. 3. 1坐标换带的方法 坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种。目前采用间接换带计算法，因此下面仅就此方法作一介绍。 如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y和中央子午线的经度L。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标B,L然后根据B,L和第二带 的中央子午线经度按高斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标,。由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上是严密的，精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。虽然这种方法计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，故已成为坐标换带中最基本的方法。 2.2. 3. 2坐标换带的实际应用 在生产实践中通常有以下两种情况需要换带计算 ⑴控制网中的已知点位于相邻的两个投影带中。如图5 （图5：坐标换带示意图） 中的附合导线，A,B,C,D为已知高级点。A,B 两点位于西带内，具有西带的高斯平面直角坐标值；C,D两点位于东带内，具有东带的高斯平面直角
坐标值。在坐标平差计算时，就必须将它们的坐标系统统一起来，或是将A,B点的西带坐标值换算至东带，或是将C,D点的东带坐标值换算至西带。 ⑵国家控制点的坐标通常是6°带的坐标，而在工程测量中往往需要采用带或1.5°带，这就产生了6°带与带或 1.5°带之间的坐标换算问题。 我们知道，带的中央子午线中，有半数与6°带的中央子午线重合。所以，由6°带到3°带的换算区分为2种情况： ① 3°带与6°带的中央子午线重合如图所示，3°带第 （图6：坐标换带示意图） 41带与6°第21带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中P1点在6°带第21带的坐标，也就是该点在3°带第41带的坐标。在这种情况下，6°带与3°带之间，不存在换带计算问题。 ② 3°带中央子午线与6°带分带子午线不重合如图所示，若已知P2点在6°带第21带的坐标，求它在3°带第42带的坐标。由于这2个投影带的中央子午线不同，坐标系统不一致，必须进行换带计算。不过P2点在6°带第21带的坐标与它在3°第41带的坐标相同，所以6°带到3°带坐标换算，也可看作是3°带到3°带的邻带坐标换算。 换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法，他适用于任何情况下的换带计算工作。这种方法的程序是：首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1 ),按高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标（B,L）;然后 根据纬度B和对于所选定的中央子午线的经差,按高斯投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面坐标（x2,y2）。 例如，某点A在新54坐标系6°带的平面坐标为
AUTOCAD用于墨卡托投影到高斯克吕格 投影的变换 理论和方法.根据不同的需要,地 图镧圈中常常采用不同的投影方式:如地形图采用高 斯一克吕格投影,海图通常采用墨卡托投影.由于地 图数学基础不同,不同投影方式的资料难以直接转 绘,拼接.长期以来?投影变换都是采用照相拼贴. 膜片怯,纠正仪转绘等方法来达到投影变换的目的. 从理论上分析?这种变换是局部区域点间的模拟坐标 变换?无法保证及估算点的变换精度.而且手工方法, 效率很低. 海岛面积造算采用1:1万地形图作为量算工作底 图?其中海岛滩地面积定义为:零米线等深线与海岸 绞(平均高潮位)所包围的面积.而采用的资料中, l:1万地形图中没有表示零米线,必须从海图转绘. 海图资料由于采用墨卡托,高斯,平面等几种不同的 投影方式?且比倒尺,分幅范围与地形图不同,如果 采用手工转换方法,则不仅需花费大量的人力,物 力,而且工作周期较长?精度也不能满足要求. 采用计算机数据处理?可E』圆满解决地图投影变
换问题.逐点解析计算?理论上排除了投影转换的误差.灵活的数据处理功能,大大减少了工作量,输出形式的多样化能满足不同的制图需要. 本文结合××省海岛位置?面积,岸线长度量 算课题中投影变换软件的编制,介绍如何利用计算机辅助设计软件AUTOCAD实现投影变换的自动化. =,■卡托投辱,膏斯一克且格投嚣的计算公式 1_墨卡托投影的计算公式 . 正解 X=r.lnU;Y—r0l(1) 式中:U~tg(45’+B/2)×[(1一e$inB)I (1+esinB)】’ ro~0CO$B./Q--e.sinBo),’ 丑.反解 L=y/r.(2) B=rp+BJsin2+丑.sin4+B?sin6 式中:rp=2arctg(e)一=/2 ro=N0CO$BD N.=a/Q—e.sinBo) q=x/r0
辽宁工程技术大学 大地测量基础 综合训练二 教学单位测绘与地理科学学院 专业测绘工程 名称 80椭球高斯投影坐标换带计算编程班级测绘14-1 学号 学生姓名 指导教师王佩贤
目录 一、高斯投影坐标换带的原理 (3) 二、高斯投影坐标换带的目的 (6) 三、坐标换带的意义 (8) 四、程序设计基础 (8) 五、程序界面及源码 (11) 六、程序验证 (15) 七、软件评价 (15) 八、软件使用说明 (16)
一、高斯投影坐标换带的原理 1.1高斯投影基本概念 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。 特点：（1）正形投影（角度不变，a=b:长度比与方向无关）； （2）中央子午线投影为纵坐标轴； （3）中央子午线投影后长度不变。 1.2高斯投影邻带换算
1.定义：将一个带的高斯平面坐标换算为另一带的高斯平面坐标称为高斯坐标的邻带换算 2.内容： 1 ）不同六度带和不同三度带之间的化算 2 ）三度带和六度带之间的化算 3.方法： 1 ）直接法: 利用相邻两带坐标之间关系式进行坐标互换 2 ）间接法：通过大地坐标进行高斯正反算互相换算 目前广泛采用间接换带计算法，因此下面就此方法作介绍。 如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y 和中央子午线的经度L 。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标B,L 然后根据B,L 和第二带的中央子午线经度按高斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标 。由于在换带计算中，把椭球面 上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上是严密的， 精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。虽然这种方法计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，故已成为坐标换带中最基本的方法。 正算公式： 6 4256 4 42234 22)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+ ''++-''+''?''+=ρηηρ ρ
高斯——克吕格投影 由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯——克吕格投影。 （1）几何概念。 高斯克吕格投影的中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。在这个投影上，角度没有变形。中央经线长度比等于1，没有长度变形，其余经线长度比均大于1，长度变形为正，距中央经线愈远变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上；面积变形也是距中央经线愈远，变形愈大。为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影（图4-12）。 （2）高斯——克吕格投影的变形特征 在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在赤道处为最大；在同一条纬线上，长度变形随经差的增加而增大，且增大速度较快。为了使投影边缘变形不至于过大，并控制在允许范围内，故而采取分带投影的办法。以6度投影来说，赤道上边缘部分长度最大变形不超过0.14%。面积最大变形不超过0.27%。我国处于中纬度地带，长度和面积的变形都比上述数值要小，都不会超出误差，所以我国大
中比例尺一律采取高斯——克吕格投影。 图12：高斯——克吕格投影示意 （3）分带规定。 根据我国规定目前只用6度和3度两种分带。我国规定1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万、1：25万、1：50万比例尺地形图，均采用高斯克吕格投影。1：2.5至1：50万比例尺地形图采用经差6度分带，1：1万比例尺地形图采用经差3度分带。 6度带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6为一投影带，全球分为60带，各带的带号用自然序数1，2，3，…60表示。即以东经0-6为第1带，其中央经线为3E，东经6-12为第2带，其中央经线为9E，其余类推（图4-13）。N=6n-3(对于东经) 3度带的分法规定：6度带的中央经线仍为3度带的中央经线。因此3度带是从东经1度30分的经线开始，每隔3度为一带，全球划分为120个投影带。图4-13表示出6度带与3度带的中央经线与带号的关系。
第八章 高斯投影 1．为什么要研究投影？我国目前采用的是何种投影？ 2．控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种要求？ 3．椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去，必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和运用? 4．高斯投影应满足哪些条件？60带和30 带的分带方法是什么？如何计算中央子午线的经度？ 5．为什么在高斯投影带上，某点的y 坐标值有规定值与自然值之分，而x 坐标值却没有这种区分?在哪些情况下应采用规定值？在哪些情况下应采用自然值？ 6．正形投影有哪些特征？何谓长度比？ 7．投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的基本思路是什么？ 8．写出正形投影的一般公式，为什么说凡是满足此式的函数，皆能满足正形投影的条件？ 9．学习了正形投影的充要条件和一般公式之后，你对高斯投影的实质是怎样理解的？ 10．设ABC 为椭球面上三等三角网的一个三角形，试问： (1)依正形投影A 、B 、C 三点处投影至平面后的长度比是否相等? (2)如若不等，还能保持投影的等角性质和图形相似吗？如若相等，岂不是长度比和点的位置无关吗? 11．写出按高斯平面坐标计算长度比m 的公式，并依公式阐述高斯投影的特点和规律。 12．已知投影公式1f x =（B 、L ），2f y =（B 、L ），求椭球面上一点附近任意方向上长度比的计算公 式，并写出主方向的长度比(提示：dB dl M r tg ==α)。 13．在讨论高斯投影时提出了正形投影的充要条件(又称柯西—黎曼条件)，它对问题的研究有什么作用？这个条件是如何导出的？ 14．高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解决什么问题？ 15．试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及主要过程。 16．高斯投影正算是已知 求 ，由于 值不大，故此公式可以认为是在 点上展开 的幂级数；反算公式中底点纬度B f 是指 ，由于 值不大，故此公式可认为是在 点上展开 的幂级数。 17．试证明高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲（凹向中央于午线），平行圈投影像向两极弯曲（凸向赤道）。 18．某点的平面直角坐标x 、y 是否等于椭球面上该点至赤道和中央子午线的距离?为什么? 19．什么是平面子午线收敛角？试用图表示平面子午线收敛角γ之下列特性： (1)点在中央子午线以东时，γ为正，反之为负； (2)点与中央子午线的经差愈大，γ值愈大； (3)点所处的纬度愈高，γ值愈大。 20．高斯投影既然是正形投影，为什么还要引进方向改正？ 21．高斯投影既然是一种等角投影，而引入方向改正后，岂不破坏了投影的等角性质吗？ 22．试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网应使用不同的方向改正计算公式。 23．怎样检验方向改正数计算的正确性？其实质是什么？ 24．椭球面上的三角网投影至高斯平面，应进行哪几项计算？并图示说明为什么？ 25．试推导城市三、四等三角网计算方向改正值δ的计算公式，并分析所用概略坐标的精度。 26．已知距离改化计算公式为：
高斯-克吕格投影与UTM投影的区别 主要是将坐标纵轴西移500公里，保证了我国的横坐标恒为正，有3度投影和6度投影，但它们的坐标原点不同，要注意。高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第1、2…60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第1、2…120带。我国的经度范围西起73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。六度带可用于中小比例尺（如1：250000）测图，三度带可用于大比例尺（如1：10000）测图，城建坐标多采用三度带的高斯投影。（3）高斯-克吕格投影坐标高斯- 克吕格投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线投影为纵轴(x), 赤道投影为横轴(y),两轴交点即为各带的坐标原点。纵坐标以赤道为零起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标均为正值。横坐标如以中央经线为零起算，中央经线以东为正，以西为负，横坐标出现负值，使用不便，故规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，凡是带内的横坐标值均加500公里。由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，在横轴坐标前加上带号，如(4231898m,21655933m)，其中21即为带号。（4）高斯-克吕格投影与UTM投影某些国外的软件如ARC/INFO或国外仪器的配套软件如多波束的数据处理软件等，往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影坐标当作高斯-克吕格投影坐标提交的现象。UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是等角横轴割圆柱投影（高斯-克吕格为等角横轴切圆柱投影），圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等
高斯投影正算与反算的理论方法与实现代码 高斯投影是正形投影的一种，同一坐标系中的高斯投影换带计算公式是根据正形投影原理推导出的两个高斯坐标系间的显函数式。在同一大地坐标系中(例如1954北京坐标系或1980西安坐标系)，如果两个高斯坐标系只是主子午线的经度不同，那么显函数式前的系数可以根据坐标系使用的椭球元素和主子午线经度唯一确定。但如果两个高斯坐标系除了主子午线的经度不同以外，还存在其他线性系，则将线性变换公式代入换带计算的显函数式中，仍然可以得到严密的坐标变换公式。此时显函数式前的系数等价于使用两个坐标系主子午线的经度和线性变换参数联合求解得到的，可以唯一确定。 //6度带宽 54北京坐标系 //高斯投影由大地坐标(Unit:Metres)反算经纬度(Unit:DD) void GaussProjInvCal(double X, double Y, double *longitude, double *latitude) { int ProjNo; int ZoneWide; ////带宽 double longitude1,latitude1, longitude0,latitude0, X0,Y0, xval,yval; double e1,e2,f,a, ee, NN, T,C, M, D,R,u,fai, iPI; iPI = 0.0174532925199433; ////3.1415926535898/180.0; a = 6378245.0; f = 1.0/298.3; //54年北京坐标系参数 ////a=6378140.0; f=1/298.257; //80年西安坐标系参数 ZoneWide = 6; ////6度带宽 ProjNo = (int)(X/1000000L) ; //查找带号 longitude0 = (ProjNo-1) * ZoneWide + ZoneWide / 2; longitude0 = longitude0 * iPI ; //中央经线 X0 = ProjNo*1000000L+500000L; Y0 = 0; xval = X-X0; yval = Y-Y0; //带内大地坐标 e2 = 2*f-f*f; e1 = (1.0-sqrt(1-e2))/(1.0+sqrt(1-e2)); ee = e2/(1-e2);
摘要 本设计主要阐述了高斯投影分带以及高斯投影坐标正、反算的推导公式，从而根据公式来编写基于VB语言基础上的换带及坐标转换程序。作者系统介绍了测量中经常使用的坐标系以及地图投影的概念和高斯投影的具体含义，叙述了换带和临带计算的原因以及它们在运算时的原理、过程，详细叙述了在VB语言中实现的原理基础以及代码的编写设计。 在设计中根据高斯的正反算公式写出了基于VB语言的程序设计，其程序设计任务完成了由地理坐标向54平面坐标系和80平面坐标系转换的功能，以及由54坐标系和80坐标系向地理坐标系转换的功能，同时也有同一平面坐标系不同投影带之间的换带计算和同一平面坐标系相同投影带临带计算等相互转换的功能。 关键词：高斯投影、坐标正反算、换带计算、临带换算、程序设计 5程序设计 5.1界面设计 本程序要实现的功能是根据所选择的椭球参数和指定的分带情况，将已知地理坐标或高斯投影坐标经正算和反算求得相应的高斯坐标和地理坐标，以及相应的换带计算和临带计算。因此需要用一个框架控件来组织椭球参数、两个框架分别组织分带选择和换算方式选择，两个框架组织地理坐标和高斯坐标，三个命令按钮分别执行投影计算、换带和临带计算。程
序设计界面如图5-1[9] 图5-1 高斯投影计算程序设计界面 命令按钮属性设置表如表5-1 表5-1 命令按钮属性设置表
选择椭球框架内控件的属性值表5-2 表5-2 择椭球框架内控件的属性值 单选按钮控件属性设置表5-3 5-3 单选按钮控件属性设置表 5.2程序代码设计 在这里主要介绍高斯投影坐标转换的正反算代码设计，完整的代码见附录1所示。 5.2.1投影计算过程的正算子过程代码设计
ARCGIS如何将WGS84坐标的影像投影到高斯平面将WGS84坐标投影到平面，一般采用的是UTM（通用横轴莫卡托投影），该方式多用于美国地区，而我国多用北京54和西安80高斯克吕格投影坐标。假如我们想把影像采用高斯克吕格投影到在平面上，而ARCGIS里面提供的方法只有北京54和西安80的高斯投影方法，作者自己琢磨了方法，向大家分享怎么修改参考面将WGS84坐标进行高斯克吕格投影，欢迎大家提出意见和建议。 涉及软件：arcmap 10.2，水经注万能地图下载器。 1.获取影像。 打开水经注万能地图下载器，选择在线地图为谷歌地球（谷歌地球的影像是wgs84地理坐标系）。 2.框选所需要的区域，在弹出的对话框中，设置好下载参数，开始下载。这里我下载的是山
西某市的影像（区域中央经线为111度）。 3.下载完成之后我们导出为tif格式。 4.启动arcmap 10.2，在目录窗口中加入刚刚导出的影像图。
们可以看到该影像的地理坐标系统是wgs84。 84,投影方法是高斯3度带，中央经线111度），由于坐标系统不一样，我们看到矢量图
和影像叠加不上，如下： 5.将影像投影到高斯平面。选择arctoolbox—数据管理工具—投影和变换—栅格—栅格投影。弹出如下对话框： 输入栅格选择要投影的影像。输入坐标系是影像的原始坐标系，不用填写。输出栅格数
据集填写输出影像的路径。输出坐标系，要输入我们想生成的坐标系，由于arcmap没有wgs84直接到高斯克吕格的投影方式，我们这里要修改西安80或者北京54 （二者选一个）向高斯克吕格投影的参数，方法如下： A．单击选择按钮，在弹出的空间参考属性对话框中（投影坐标系—Gauss Kruger—Beijing1954），找到Beijing 1954 3 Degree GK CM 111E。 B．双击Beijing 1954 3 Degree GK CM 111E，在弹出的投影坐标系属性中，为了避免与其他投影方式混淆，将名称修改为自己的投影方式，将地理坐标系修改为wgs84 （单击“更改”—地理坐标系—world—wgs 84），其他参数不用修改。