对数与对数函数知识点与例题讲解
知识梳理： 一、对数
1、定义：一般地，如果()0,1x a N a a =>≠，那么实数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.
2、特殊对数
⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lgN ； ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算
⑴运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：
①()a a a log MN log M log N =+；②a a a M
log log M log N N
=-；③()n a a log M nlog M n R =∈；
④(),0m n
a a n log M log M n R m m
=∈≠；⑤1a b log b log a =；⑥a log N a N =.
⑵换底公式：c a c log b
log b log a
=.
二、对数函数
1、定义：一般地，函数()01a y log x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞.
1>a
10< 图像 性 质 定义域： 值域： 过定点 ，即当1=x 时，0=y 在R 上是 在R 上是 非奇非偶函数 3、同底的指数函数a y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称. 【课前小测】 1、2 193-?? = ??? 写成对数式，正确的是（ ） A 、9 123log =- B 、1392log =- C 、()13 29log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点（ ） A 、()1,1 B 、()1,0 C 、()0,1 D 、()0,0 3、49343log 等于（ ） A 、7 B 、2 C 、23 D 、32 4、函数()()31f x lg x =+的定义域是（ ） A 、1 ,3??-+∞ ??? B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3??-∞- ??? 5、函数()21f x log x =+的定义域是（ ） A 、(),-∞+∞ B 、()0,+∞ C 、1,2??+∞???? D 、10,2 ?? ?? ? 考点一、化简和求值 例1、⑴552log 10log 0.25+=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2 ⑵计算：3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 =?=． 变式、⑴（辽宁卷文10）设25a b m +=，且 11 2a b +=，则m =（ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、100 ⑵已知32a =，用a 表示33log 4log 6-； ⑶已知3log 2a =，35b =，用a 、b 表示 30log 3． 考点二、比较大小 例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小： ⑴6log 7，7log 6； ⑵3log π，2log 0.8； ⑶0.9 1.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； ⑷5log 3，6log 3，7log 3． 答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>． 变式、⑴已知函数()|lg |f x x =，若1 1a b c >>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次 为 ；a c b << ⑵已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小． 解：∵log 4log 4m n <， ∴ 4411log log m n <，当1m >，1n >时，得4411 0log log m n <<， ∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得 4411 0log log m n <<， ∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<． 综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x ． 解：原不等式等价于?????-≥->->-2)3(11301x x x x 或?? ? ??-≤-<-<>-2)3(113001x x x x 解之得：4＜x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4＜x ≤5} ⑵解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2 ≠>>---+a a x x x a a a ． 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2 ->-+x x x a a 当a ＞1时有2212 34121)12(23403401222 < ?? ???? <<-<<->??????->-+>-+>-x x x x x x x x x x （其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考） 当0＜a ＜1时有42234121)12(23403401222 < ?? ????>-<<<->??????-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或 ∴当a ＞1时不等式的解集为 22 1 < 4log a x x x x a > 解：两边取以a 为底的对数： 当0 9 )(log 2 - 4log 2 1 < 9 )(log 2 -> x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ，∴ 2 1log 4log < >x x a a 或 ，∴a x a x <<>04 或 ∴原不等式的解集为}10,|{4 <<< 考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域 例4、 ⑴函数2 ()lg(31)f x x ++的定义域是（ ） A 、1(,)3-+∞ B 、1(,1)3- C 、11(,)33- D 、1(,)3 -∞- ⑵函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2??+∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? ⑶函数()() 2log 31x f x =+的值域为（ ） A 、()0,+∞ B 、[)0,+∞ C 、()1,+∞ D 、[)1,+∞ 变式 、求函数y =的定义域. ② 单调性、奇偶性 例5、⑴函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0 的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． ⑵设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A 、(－∞，0) B 、(0，＋∞) C 、(－∞，log a 3) D 、(log a 3，＋∞) 解：由f (x )＜0，即a 2x －2a x －2＞1，整理得(a x －3)(a x ＋1)＞0，则a x ＞3.∴x ＜log a 3. ⑶函数y ＝log 22－x 2＋x 的图象（ ） A 、关于原点对称 B 、关于直线y ＝－x 对称 C 、关于y 轴对称 D 、关于直线y ＝x 对称 解：∵f (x )＝log 22－x 2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x 2＋x ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A . 变式、⑴若011log 2 2<++a a a ，则a 的取值范围是（ ） A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)2 1,0( ⑵若02log )1(log 2 <<+a a a a ，则a 的取值范围是 ． ⑶若函数)2(log )(2 2a x x x f a ++= 是奇函数，则a = ． ③综合应用 例6、设函数f (x )＝log a ????1－a x ，其中0＜a ＜1. ⑴证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； ⑵解不等式f (x )＞1. 解析：⑴证明：设0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－a x ， 则g (x 1)－g (x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a (x 1－x 2) x 1x 2＜0， ∴g (x 1)＜g (x 2)．又∵0＜a ＜1，∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数． ⑵∵log a ????1－a x ＞1，∴0＜1－a x ＜a ，解得：????? x ＞a ，x ＜a 1－a ， ∴不等式的解集为：{x |a ＜x ＜a 1－a }． 变式、已知函数2 2()log (32)f x x x =+-. ⑴求函数()f x 的定义域；⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；⑶求函数()f x 的值域. 随堂巩固 1、6632log log +等于（ ） A 、6 B 、5 C 、1 D 、65log 2、在()23a b log -=中，实数a 的取值范围是（ ） A 、2a < B 、2a > C 、23,3a a <<>或 D 、3a > 3、下列格式中成立的是（ ） A 、2 2a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+ C 、()()()a a a log xy log x log y =? D 、a a a x log log y log x y =- 4、2 13 a log > ，则a 的取值范围是（ ） A 、312a << B 、30112a a <<<<或 C 、213a << D 、2 013 a a <<>或 5、已知a b M =()0,0,1a b M >>≠，且log M b x =，则log M a 等于（ ） A 、1x - B 、1x + C 、 1 x D 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =，2log 5b =，则lg 3等于（ ） A 、 1 a b - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b - 7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ，函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为 G ，那么（ ） A 、G F ≠? B 、G F = C 、F G ? D 、F G =?I 8、(08山东)已知函数()2300 x x f x log x x ?≤=?>?，，， 12f f ?? ?? ??????? （ ） A 、1- B 、log C D 、13 9、若()6430log log log x =????，则1 2 x -等于（ ） A 、9 B 、 9 1 C 、3 D 、33 10、若M =?32log 4log 3log 3132ΛΛ，则M 的值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、5a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 2 1f 与)(π-f 的大小关系是（ ） A 、)8(log 2 1f >)(π-f B 、)8(log 2 1f =)(π-f C 、)8(log 2 1f < )(π-f D 、不能确定 13、若3 12log 19 x -=，则x = ； 14、已知：lg 21.3a =，则lg0.213=___________； 15、()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________； 16、比较大小 ⑴8.1log 3 7.2log 3；⑵5log 6 7log 6； 17、若14log 3=x ，则=+-x x 4 4___________； 18、已知log 1a x =，log 2b x =，log 4c x =，则log abc x =____________； 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=- ，求的值. 20、⑴已知a =2lg ，b =3lg ，试用b a 、表示5log 12； ⑵已知a =3log 2，b =7log 3，试用b a 、表示56log 14. 21、已知( )) lg f x x =. ⑴求()f x 的定义域； ⑵求证：()f x 是奇函数. 22、解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2 ≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2 ->-+x x x a a 当a >1时有2212 34121)12(23403401222 < ??????<<-<<->??????->-+>-+>-x x x x x x x x x x