2017年湖北省襄阳市中考数学试卷
满分：120分 版本：人教版
一、选择题（每小题3分，共10小题，合计30分） 1．（2017湖北襄阳，1，3分）－5的倒数是（ ） A ．1
5
B ．－15
C ．5
D ．－5
答案：B ，解析：因为乘积为1的两个数互为倒数，而（-5）×（-
51）=1，所以-5的倒数是-5
1． 2．（2017湖北襄阳，2，3分）下列各数中，为无理数的是（ ） A ．38
B ．4
C ．1
3
D ．2
答案：D ，解析：因为38=2，4=2，，所以38，4和
3
1
都是有理数；2是开方开不尽的数，属于无理数.
3．（2017湖北襄阳，3，3分）如图，BD ∥AC ，BE 平分∠ABD ，交AC 于点E.若∠A ＝50°，则∠1的度数为（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．50°
答案：A ，解析：∵BD ∥AC ，∠A=50°，∴∠ABD=180°－50°＝130°.又∵BE 平分∠ABD ，∴
∠1=
1
2
×130°＝65°. 4．（2017湖北襄阳，4，3分）下列运算正确的是（ ）
A ．3a －a ＝2
B ．（a 2）3＝a 5
C ．a 2·a 3＝a 5
D ．a 6÷a 3＝a 2
答案：C ，解析：3a-a=2a ；（a 2）3=a 2×
3=a 6；a 2·a 3=a 2+3=a 5；a 6÷a 3=a 6-3=a 3.
5．（2017湖北襄阳，5，3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A ．为了解襄阳市初中生每天锻炼所用的时间，选择全面调查 B ．为了解襄阳电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查 C. 为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 D ．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查
答案：D ，解析：选项A ，B 中调查对象众多，采用全面调查工作量太大，应选择抽样调查；选项C 为了保证神舟飞船成功发射，应采用全面调查；选项D 了解节能灯的使用寿命具有破坏性，应选择抽样调查. 6．（2017湖北襄阳，6，3分）如图所示的几何体是由6个大小完全一样的正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：A ，解析：从几何体上面看几何体得到的平面图形是该几何体的俯视图. 7．（2017湖北襄阳，7，3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C ，解析：选项A 、D 都是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项B 是中心对称图形，但不是轴对称图形；选项C 既是轴对称图形，又是轴对称图形. 8．（2017湖北襄阳，8，3分）将抛物线y ＝2（x －4）2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A ．y ＝2x 2+1
B ．y=2x 2－3
C ．y ＝2（x －8）2+1
D ．y ＝2（x －8）2－3
答案：A ，解析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得，平移后的抛物线的解析式为：y=2（x-4+4）2-1+2，即y=2x 2+1. 9．（2017湖北襄阳，9，3分）如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，.以点C 为圆心， CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D
为圆心，大于12
BD 的长为半径作弧，
两弧相交于点E ；作射线CE 交AB 于点F.则AF 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案：B ，解析：在△ABC 中， ∠ACB ＝90°，∠A=30°，BC=4，∴AC=
tan 3
3
BC A ∠43.由作图可知，CF ⊥AB ，∴AF=AC ·cos30°=43×
2
3=6. 10．（2017湖北襄阳，10，3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案：C ，解析：∵大正方形的面积为13，∴a 2+b 2=13①.又（a+b ）2=21，得a 2+b 2+2ab=21②.②－①，得2ab=8.∴（a-b ）2=a 2+b 2-2ab=13-8=5. 二、填空题：（每小题3分，共6小题，合计18分） 11．（2017湖北襄阳，11，3分）某天到襄阳某镇观赏桃花的游客近16000人，数据16000用科学计数法表示为___________．
答案：1.6×104，解析：16000=1.6×10000＝1.6×104.
12．（2017湖北襄阳，12，3分）分式方程23
3x x
=-的解是____________．
答案：x ＝9，解析：对于分式方程
23
3x x
=-，方程两边同乘以x （x-3）
，得2x=3（x-3），解这个整式方程，得x=9.经检验x=9是分式方程的根.
13．（2017湖北襄阳，13，3分）不等式组211
841x x x x ->+??+≥-?
的解集为____________．
答案：2＜x ≤3，解析：解不等式2x-1>x+1得，x>2；解不等式x+8≥4x-1得，x ≤3.∴不等式组
的解集为2 答案： 3 8 ，解析：画树状图如下： 由树状图可知，共有8种等可能性结果，其中“两枚正面向上，一枚正面向下”的结果有3种，∴p(两枚正面向上，一枚正面向下)＝ 8 3. 15．（2017湖北襄阳，15，3分）在半径为1的⊙O 中，弦AB,AC 的长分别为12，则∠BAC 的度数为 ． 答案：105°或15°，解析：如图1，当点O 在∠BAC 的内部时，连接OA ，过点O 作OM ⊥AB ， ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，则AM= 2 1 ，AN=22.在Rt △AOM 中，cos ∠MAO=AO AM =21，∴∠MAO=60°. 正 开始 正 反 正 反 正 反 第一枚 反 正 反 正 反 正 反 第二枚 第三枚 在Rt △AON 中，cos ∠NAO= AO AN =2 2，∴∠NAO=45°，∴∠BAC=60°+45°=105°；如图2，当点O 在∠BAC ′的外部时，∠BAC ′=60°+45°=105°. 图1 图2 16．（2017湖北襄阳，16，3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D,E 分别在AC,BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，若则CD 的长为 ． 答案： 25 8 ，解析：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，∴BC 22108- 6. 由折叠的性质可知CF ⊥DE ，∴∠CDE+∠DCF ＝90°.又∵∠DCF+∠FCB ＝90°，∴∠CDE ＝∠FCB. 又∵∠B=∠CDE ，∴∠B=∠FCB ，∴FC=FB.同理FC=FA ，∴FA=FB.∴CF=21AB ＝2 1 ×10＝5.易证△CDF ∽△CFA ，∴ = CF CD CA CF ，即6=85 CD ，解得CD=825. 三、解答题：本大题共9个小题，满分72分． 17．（2017湖北襄阳，17，6分）先化简，再求值：2 111 x y x y xy y ??+÷ ?+-+??，其中52,52x y ==. 思路分析：先根据分式的运算法则化简，再代入求值. 解：原式＝ ()() ()2x y x y x y x y ?++-＝2xy x y -． 当x 52，y 522 52 52 12 5+252 =-+. 18．（2017湖北襄阳，18，6分）中华文化，源远流长.在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查.根据调查结果绘制成如所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是____________部，中位数是___________部；扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为____________度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）没有读过四大名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为______________. 思路分析：（1）由条形统计图和扇形统计图可知“2部”人数为10，所占百分比为25%，∴调查总人数为10÷25%＝40（人），∴“1部”人数为40－2－10－8－6＝14（人），故本次调查所得数据中，出现次数最多的数据是1，即众数是1；最中间的数据是第20个数据和第21个数据，它们都是2，故中位数是2；“1部”所占百分比为14÷40＝35%，∴对应所在扇形的圆心角为360°×35%＝126°；（2）“1部”人数为14（人）；（3）先列表或画树形图表示出所有可能的结果，再利用概率公式计算. 解：（1）1,2,126； （2）补全条形统计图如图所示： （3）1 4 ． 19．（2017湖北襄阳，19，6分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高.据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元. （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 思路分析：（1）根据“2014年利润×（1+平均增长率）2＝2016年利润”列方程求解；（2）根据“2016年利润×（1+平均增长率）＝2017年利润”求出2017年利润，再判断是否超过3.4亿元. 解：（1）设该企业利润的年平均增长率为x，根据题意，得 2（1+x）2＝2.88． 解这个方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）. 答：该企业利润的年平均增长率为20%. （2）2.88×（1+20%）＝3.456＞3.4. 答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元. 20．（2017湖北襄阳，20，7分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C.BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长. 思路分析：（1）根据平行线的性质和角平分线的性质可证明△ABD和△ABC都是等腰三角形，从而得到AD＝AB＝BC，又有AD∥BC，从而得到四边形ABCD是平行四边形和菱形；（2）根据“菱 形对角线互相互相垂直且平分”可知在△AOD中，∠AOD＝90°，OD＝1 2 BD＝3，又∠ADB＝30°， 利用锐角三角函数知识可求得AD的长度. 解：（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD. 又∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD. 同理可证AB＝BC. ∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形. （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴AC⊥BD，OD＝1 2 BD＝3. ∴OD AD ＝cos∠ADB＝cos30 3 AD＝3 3 3. 21．（2017湖北襄阳，21，6分）如图，直线y1＝ax＋b与双曲线y2＝k x 交于A,B两点，与x轴交于 点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（－3，－2）. （1）求直线和双曲线的解析式； （2）求点C的坐标，并结合图象直接写出y1＜0时x的取值范围. 思路分析：（1）先将点B的坐标代入y2＝k x 可求得k，再将点A的纵坐标代入y2＝ k x 可求得点 A的横坐标，然后将点A和点B的坐标代入y1＝ax＋b可求得a,b；；（2）将点C的纵坐标y＝0代入一次函数解析式即可求得点C的横坐标，一次函数的图像在x轴下方的部分对应x的取值范围即为y1＜0时x的取值范围. 解：（1）∵点B（－3，－2）在双曲线y2＝k x 上，∴ 3 k - ＝－2，解得k＝6. ∴双曲线的解析式为y2＝6 x . 把y2＝6代入6 x ，得x＝1，∴点A的坐标为（1,6）. ∵直线y1＝ax＋b经过点A（1,6），B（－3，－2）， ∴ 6, 32 a b a b += ? ? -+=- ? ，解得 =2, 4 a b ? ? = ? ，∴直线的解析式为y1＝2x＋4. （2）由y1＝0，得x＝－2，∴点C的坐标为（－2,0）. 当y1＜0时，x的取值范围是x＜2. 22．（2017湖北襄阳，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若DE＝1，BC＝2，求劣弧BC的长l. 思路分析：（1）连接OC，通过证明EF与半径OC垂直即可得到EF为⊙O的切线；（2）连接OD、DC，由∠BAC＝∠DAC可得到DC＝BC＝2.在Rt△EDC中，利用锐角三角函数的知识可求得∠ECD＝30°，进而得到△ODC和△OCB都是等边三角形，然后利用弧长公式求得劣弧BC的长l. 解：（1）证明：连接OC． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA. ∴AD∥OC. ∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°. ∴EF是⊙O的切线. （2）连接OD,DC. ∵∠DAC＝1 2 ∠DOC，∠ OAC＝ 1 2 ∠BOC，∠DAC＝∠OAC， ∴∠DOC＝∠BOC，∴DC＝BC＝2. 在Rt△EDC中，∵ED＝1，DC＝2， ∴sin∠ECD＝ DE DC ＝ 1 2 ， ∴∠ECD＝30°. ∴∠OCD＝60°. 又∵OC＝OD，∴△DOC为等边三角形. ∴∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2. ∴l＝ 6022 = 1803 π π ? . 23．（2017湖北襄阳，23，10分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花.设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为 () () 1 1 2 ,0600 ,6001000 k x x y k x b x ≤< ?? =? +≤≤ ?? ，其图象如图所示；栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式y2＝－0.01x2－20x＋30000（0≤x≤1000）. （1）请直接写出k1，k2和b的值； （2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值； （3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值. 思路分析：（1）利用待定系数法求解；（2）分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况求出W关于x的函数关系式，分别求出两种情况下的最大值并进行比较；（2）先根据不等式关系求出x的取值范围，再结合（2）中W关于x的函数关系式求解. 解：（1）k1＝30，k2＝20，b＝6000. （2）当0≤x＜600时，W＝30x＋（－0.01x2－20x＋30000）＝－0.01x2＋10x＋30000. ∵－0.01＜0，W＝－0.01（x－500）2＋32500， ∴当x＝500时，W取最大值为32500（元）. 当600≤x≤1000时，W＝20x＋6000＋（－0.01x2－20x＋30000）＝－0.01x2＋36000. ∵－0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小. ∴当x＝600时，W的最大值为32400（元）. ∵32400＜32500，∴W的最大值为32500（元）. （3）由题意，点1000－x≥100，解得x≤900. 又x≥700，∴700≤x≤900. ∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小. ∴当x＝900时，W取最小值为27900（元）. 24．（2017湖北襄阳，24，10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC.一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E,F，DF 与AC交于点M，DE与BC交于点N. （1）如图1，若CE=CF ，求证：DE=DF ； （2）如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中： ①探究三条线段AB,CE,CF 之间的数量关系，并说明理由； ②若CE ＝4，CF ＝2，求DN 的长. 思路分析：（1）根据“SAS ”证明△DCE ≌△DCF 即可；（2）①通过证明△CDF ∽△CED 可得到CD,CE,CF 之间的关系，由“CD ＝ 1 2 AB ”进而得到AB ，CE,CF 之间的关系；②通过证明△CEN ∽△GDN 求得GN ，再根据勾股定理求得DN 的长度. 解：（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°. ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°. 又∵CE ＝CF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF. ∴DE ＝DF. （2）解：①∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－45°＝135°. 又∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE. ∴△CDF ∽△CED,∴ CD CF CE CD = ，即CD 2 ＝CE ·CF. ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴CD ＝1 2 AB. ∴AB 2 ＝4CE ·CF. ②如图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，则∠DGN ＝∠ECN ＝90°，CG ＝DG. 当CE ＝4，CF ＝2时，由CD2＝CE ·CF ，得CD ＝2. ∴在Rt △DCG 中，CG=DG=CD ·sin ∠DCG ＝2×sin45°＝2. ∵∠ECN ＝∠DGN ，∠ENC ＝∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN. ∴ 2CN CE GN DG ==,∴GN ＝13CG ＝2 3 . ∴DN 2 2 2 2221023GN DG ??+=+= ??? 25．（2017湖北襄阳，25，13分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋4过B,C两点，且与x轴的一个交点为D（－2,0），点P是线段CB上的动点，设CP＝t(0＜t＜10）. （1）请直接写出B,C两点的坐标及抛物线的解析式； （2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE＝∠OCD？ （3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥CQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N.当四边形PMQN 为正方形时，请求出t的值. 思路分析：（1）对于抛物线y＝ax2＋bx＋4，当x＝0时y＝4，故点C的坐标为（0，4）.由点A(10，0)可知点B的坐标为（10，4），再将点B（10，4），D（－2,0）代入y＝ax2＋bx＋4即可求得a,b；（2）假设∠PBE＝∠OCD，易证△PBE∽△OCD，根据“相似三角形对应线段成比例”可列出关于t的方程，求解即可；（2）假设四边形PMQN为正方形，易证Rt△COQ∽Rt△QAB，根据“相似三角形对应线段成比例”求出OQ的长度，进而求得t的值. 解：（1）B（10,4），C（0,4）. 抛物线的解析式为y＝－1 6 x2＋ 5 3 x＋4. （2）由题意，得P（0，t）,E（t，－1 6 t2＋ 5 3 t＋4）， ∴PB＝10－t，PE＝－1 6 t2＋ 5 3 t. ∵∠BPE＝∠OCD＝90°，∠PBE＝∠OCD， ∴△PBE∽△OCD，∴BP PE CO OD ，即BP·OD＝CO·PE. ∴2（10－t ）＝4（－ 16t 2＋5 3 t ）. 解得t 1＝3，t 2＝10（不合题意，舍去）. ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD. （3）当四边形PMQN 为正方形时，∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ，∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°.又∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，∴∠OCQ ＝∠AQB.∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ，∴CO OQ AQ AB =，即OQ ·AQ ＝CO ·AB, 设OQ ＝m ，则AQ ＝10－m ，∴m （10－m ）＝4×4，解得m 1＝2，m 2＝8. ①当m ＝2时，CQ BQ ∴sin ∠BCQ ＝ =5BQ BC ，sin ∠CBQ ＝=5 CQ BC . ∴PM ＝PC ·sin ∠PCQ ＝5t ，PN ＝PB ·sin ∠CBQ ＝5 （10－t ）. t 10－t ），解得t ＝103 . ②当m ＝8时，同理可求得t ＝20 3 . ∴当四边形PMQN 为正方形时，t ＝103 或20 3.
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