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第六章 万有引力定律（一）
万有引力定律及在天文学上的应用
【知识要点】
（一）万有引力定律
１．内容： ．
２．公式： ．Ｇ为引力常量，通常取Ｇ＝6.67×10-11 .
３．适用条件：
（１）
（２）
（３）
４．注意：
（１）两个物体之间的相互吸引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，遵守牛顿第三定律．
（２）在地球表面的物体所受的重力近似的认为等于地球对物体的引力．可知2R Mm G
mg ≈．即ＧＭ＝g Ｒ2，这是一个常用的变换． （３）离地面越高，物体的重力加速度越小，和高度的关系为：2??
? ??+='h R R g g ，Ｒ为地球半径，ｈ是离地面的高度．
（二）在天文学上的应用
１．基本方法：把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由 万有引力提供．
()r f m r T m r m r v m r Mm G ?=???
? ??===22
22222ππω公式： 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算．
２．求天体质量和密度的方法
（１）通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期Ｔ、半径ｒ，由万有引力等于向心 力r T m r Mm G ???
? ??=2
22π公式：，得天体质量M= ． （２）若知天体的半径R
，则天体的密度
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===334R M V M πρ
【典型例题】
［例１］已知火星的半径是地球半径的一半，火星质量是地球质量的10
1，如果在地球上质量为60kg 的人到火星上去．问：在火星表面这人所受重力为多少？
［例２］地球和月球中心的距离大约是4×108m ，估算地球质量．（结果保留一位有效数字）
［例３］某星球质量为地球质量的９倍，半径约为地球的一半，在该星球表面从某一高度以10m/s 的初速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要多长时间？(g 取10m/s 2)
［例４］某物体在地面上受到的重力为160Ｎ，将它置于飞船中，当宇宙飞船以a=g/2的加速度加速上升时，在某高度处，物体与宇宙飞船中支持物相互挤压的力为90Ｎ，则此时卫星离地心的距离有多远？（已知Ｒ地＝6.4×103km ，g 取10m/s 2）
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【巩固练习】
１．星和星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的．星的运行轨道偏离于据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于该星受到轨道外的其它行星的引力作用．
２．设土星绕太阳的运行是匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为Ｒ，土星绕太阳运行周期是Ｔ，已知万有引力恒量为Ｇ，根据这些数据，能够求出的量有（）Ａ．土星线速度的大小Ｂ．土星加速度的大小
Ｃ．土星的质量Ｄ．太阳的质量
３．1789年，英国物理学家，巧妙地利用装置，第一次在实验室中较准确的测出了引力常量．引力常量的测出有着非常重要的意义：（１）
（２）．４．如果在某一行星上用不大的初速度v0，竖直上抛一小球（该行星表面没有空气），测得该小球能上升的最大高度为Ｈ，则由此可计算出（）
Ａ．该行星的质量
Ｂ．绕该行星作匀速圆周运动的卫星的最小周期
Ｃ．该行星上的第一宇宙速度
Ｄ．绕该行星作匀速圆周运动的卫星的最大加速度
５．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅只需（）
Ａ．测定运行周期Ｂ．测定环绕半径
Ｃ．测定行星的体积Ｄ．测定运行速度
６．已知以下哪组数据，可计算出地球的质量M（）
Ａ．地球绕太阳运行的周期Ｔ地及地球离太阳中心的距离Ｒ地日
Ｂ．月球绕地球运行的周期Ｔ月及月球离地球中心的距离Ｒ月地
Ｃ．人造地球卫星在地球表面附近绕行时的速度ｖ和运行周期Ｔ卫
Ｄ．若不考虑地球的自转，已知地球的半径及重力加速度
７．两颗行星的质量分别为Ｍ１、Ｍ２，绕太阳运行的轨道半径之比为Ｒ１：Ｒ２，那么它们绕太阳公转的周期之比
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?2
1=T T
８．地球绕太阳公转轨道半径Ｒ，周期为Ｔ，月球绕地球公转轨道半径为ｒ，周期为ｔ，则太阳和地球的质量之比为多少？
９．月球绕地球的周期约为地球绕太阳公转周期的1/14，日地距离约为月地距离的400倍，则太阳质量约为地球质量的多少倍？（取一位有效数字）
10．证明：若天体的卫星环绕天体表面运动，则天体密度为23GT
πρ=
11．在地面处测得物体自由下落高度h所需时间为Ｔ，到高山顶测得物体自由下落同样的高度所需的时间增加了ΔＴ，已知地球半径为Ｒ０，试求山的高度Ｈ．
第六章万有引力定律（二）
人造卫星宇宙速度
【知识要点】
（一）三种宇宙速度
１．第一宇宙速度（环绕速度）ｖ１＝km/s，人造地球卫星的速度．２．第二宇宙速度（脱离速度）ｖ２＝km/s，使卫星挣脱引力束缚的最小发射速度．
３．第三宇宙速度（逃逸速度）ｖ３＝km/s，使卫星挣脱引力束缚的最小发射速度．
（二）人造卫星的发射速度和环绕地球的运行速度
根据万有引力提供向心力，有，得ｖ＝．即ｒ越大，离地面越高，则卫星的运行速度越，卫星在紧贴地面时，其运行速度最，这个速度也就是发射卫星的，即第宇宙速度．由于发射人造卫星过程中要克服
做功，增大，所以将卫星发射到离地面越远的轨道上，在地面所需的发射速度越．
（三）地球同步卫星（通讯卫星）
相对于地面静止的和地球自转具有同周期的卫星，Ｔ= ．同步卫星必位于赤道正上方且距地面的高度是一定的．
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【典型例题】
［例１］如图所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上运行的三
颗人造地球卫星，a 、b 质量相同，且小于c 的质量，则（ ）
Ａ．b 所需向心力最小
Ｂ．b 、c 周期相等，且大于a 周期 Ｃ．b 、c 向心加速度相等，且大于a 的向心加速度 Ｄ．b 、c 线速度相等，且小于a 的线速度
[例2]人造地球卫星在地面附近绕地球做圆形轨道运行时，速度为
v 0，如果将它发射至半径为2倍的地球半径的高空圆轨道，那么它的运行速度为多少？
［例3］近地卫星线速度为7.9km/s ，已知月球质量是地球质量的1/18，地球半径是月球半径的3.8倍，求在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为多少？
[例4]根据下列已知条件分别求同步卫星离地面的高度．
（1）地球质量为Ｍ，半径为Ｒ，自转角速度为ω；
（2）设地球表面重力加速度为g ，半径为Ｒ，自转周期为T
［例5］宇航员在某一星球上以速度v 0竖直上抛物体，经ｔｓ落回手中．已知地球的半径为Ｒ，星球的半径是地球半径的一半．那么，至少要用多大的速度沿星球表面抛出物体，它才不再落回星球表面．
１．当地球卫星绕地球作匀速圆周运动，其实际运动速率（ ）
Ａ．一定等于7.9km/s Ｂ．一定小于7.9km/s
Ｃ．一定大于7.9km/s Ｄ．介于7.9～11.2km/s 之间
２．人造卫星绕地球做匀速圆周运动的周期可以是（ ）
Ａ．60min Ｂ．85min Ｃ．2h Ｄ．100h
３．在绕地球做匀速圆周运动的航天飞机外表面上，有一隔热陶瓷片自动脱落，则陶瓷片的运动状况将是（ ）
Ａ．平抛运动 Ｂ．自由落体运动
Ｃ．仍按原轨道做匀速圆周运动 Ｄ．做圆周运动，逐渐落后于航天飞机
５．设两颗人造卫星的质量之比是1:2，运行半径之比是3:1，则它们的周期之比
是 ，线速度大小之比是 ，角速度之比是 ，向心加速度大小之比是 ，向心力大小之比是 ．
６．地球的第一宇宙速度为v 1，若某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度为为多少？
７．已知地球表面的重力加速度为10m/s 2，地球半径为6400km ，月球绕地球运转的周期30Ｄ，则地球和月球之间的距离约为多少？（取一位有效数字）
已知地球半径Ｒ=6.4×106m ，地面附近重力加速度g=9.8m/s 2．计算在距地面高为h=2×106m 的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v 和周期Ｔ.
［例３］用m 表示地０球通讯卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，Ｒ０表示地球的半径，ｇ０表示地球表面处的重力加速度，ω０表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为（ ）
地球
精品 Ａ．等于零 Ｂ．()200
20h R g R m +等于
Ｃ．340
020ωg R m 等于 Ｄ．以上结果都不正确
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