习题答案3
p. 148 习题4.1
1. 求下列曲面的第二基本形式：
(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ?θ?θ?=v
；
(2) 旋转椭圆抛物面：()22
12
,,()r u v u v =+v ； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-v
；
(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =v ；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =v
. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θ?θθ=-v
，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ??θ?θ?=--v ，
()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θ???θ?θ??=v v
，22(,)ππ??∈-
)cos cos ,cos sin ,sin n b b a ?θ?θ?=
v .
又
()cos cos ,sin ,0r a θθ?θθ=-v
，()sin sin ,cos ,0r a θ??θθ=-v ，
()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ???θ?θ?=-v
.
所以
2L =
，0M =
，N =
，
)222
II cos d d ?θ?=+. (2) ()1,0,u r u =v ，()0,1,v r v =v ，(),,1u v r r u v ?=--v v
，),,1n u v =--v .
()0,0,1uu r =v ，0uv r =v v ，()0,0,1vv r =v
，)22II du dv =+. (3) (),,2u r a a v =v ，(),,2v r a a u =-v ，()2,,u v r r a u v v u a ?=+--v v
.
不妨设0a >. 则
),,n u v v u a =+--v
，0uu vv r r ==v v v ，()0,0,2uv r =v ，
II =.
(4) (),,0u r f g ''=v ，()0,0,1v r =v ，(),,0u v r r g f ''?=-v v
，),,0n g f ''=-v
， (),,0uu r f g ''''=v
，0uv vv r r ==v v v
，2II =.
(5) ()cos ,sin ,0u r v v =v ，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-v ，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''?=-，
)
sin,cos,
n f v f v u
''
=-
v
，
uu
r=
v
v
，()
sin,cos,0
uv
r v v
=-
v
，()
cos,sin,
vv
r u v u v f''
=--
v
，
)2
II2f dudv uf dv
='''
-+.□
2.求下列曲面的第二基本形式：(3) 3
xyz k
=，0
k≠是常数.
解.由条件知在曲面上30
xyz k
=≠，并且
yzdx xzdy xydz
++=，即1110
x dx y dy z dz
---
++=. (1) 因此3111
(,,)(,,)
yz zx xy k x y z
---
=是曲面的法向量. 不妨设0
k>. 则单位法向量
()
2221/2111
(),,
n x y z x y z
-------
=++
v
.
于是
()() 2221/22221/2
111222 [()]().
,,,,
dn d x y z x y z
x y z x dx y dy z dz --------
------=++-++
v
由于()111
(,,)
,,
dr x y z
dx dy dz---
=⊥
v
，故曲面的第二基本形式为
()
2221/2222222
II()
dr dn x y z x dx y dy z dz
-------
=-?=++++
v v
.
如果由(1)解出111
()
z dz x dx y dy
---
=-+，再代入上式可得
222211222222 II
----
==
2222222
=□
3. 求曲线()
r r s
=的切线曲面的第二基本形式，其中s是该曲线的弧长参数.
解.设正则曲线()
r r s
=
v v
的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet标架为{}
;,,
aαβγ
v
v v
v，它的切线曲面的参数方程为
(,)()()
R s t r s t s
α
=+
v v
v
.
则
()
dR ds dt
tα
ακβ
=+
+
v v v
v，
s
R t
ακβ
=+
v
v v
，
t
Rα
=
v v
，
s t
R R tκγ
?=-
v v v
，0
t>.
nγ
=-
v
v
，dn ds
τβ
=
v
v
，2
II dR dn t ds
κτ
=-?=-
v v
.□
6. 证明：如果在可展曲面S上存在两个不同的单参数直线族，则S是平面.
证明. 设可展曲面S的参数方程为()()
r a u vl u
=+
v
v v
. 则沿着直母线S的单位法向量n
v
是常向量，即()
n n u
=
v v
. 所以第二类基本量中
0,0
u v v v
M r n N r n
=-?≡=-?≡
v v v v
.
剩下的只要证明0
L≡，从而由定理1.1，S是平面.
为此，设在S上任一固定点
00
(,)
u v，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()
u u s v v s
==，并且
00
(0),(0)
u u v v
==. 则L在0
s=处的单位切向量是
00000000
(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)
u v
r r u v u r u v v a u v l u u l u v
'''''''
=+=++
v v
v v v v
，
它不能与S在
00
(,)
u v的直母线的切向量
()
l u
v
平行，故(0)0
u'≠.
另一方面，因为L 是直线，有0r r '''?=v v v ，即//r r '''v v
. 所以00(0)(,)0r n u v ''?=v v . 于
是在00(,)u v 点成立
()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=?=-?=-+?=v v v v v v v
.
因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.2
1.
设悬链面的方程是)
,ln(r v v a u =
+v
，
求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+v v v
的法曲率.
解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则
cosh a t =
，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，
ln(ln t u a =+-
，cosh du
dt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+v
，于是
()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =v ，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =-v
()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ?=--v v ，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t -=--v
.
()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =v ，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =-v
，
()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =-v
.
2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++
222222
II a
adt adv du adv u a
=-+=-++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+v v v
中2,1du dv ==，曲面的法曲率
222
244II 4II ,I 4,I (4)
n a a a a a a a a κ--=-+==+==+. □
注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时
22cosh ,0,E G a t F M L N a =====-=-，
2121cosh a t κκ=-=，24
1
cosh K a t
=-，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2
S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.
β
v γ
v
1
n v 2
n v ?θ
β
v γ
v
1
n v 2
n v ?
θ
解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγv v v v ，曲率为0κ≠，曲面12
,S S 的单位法向量分别为12,n n v v . 因为12,,n n βv v v 均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α
v
由βv 到1n v 的有向角为?，到2n v
的有向角为?θ+，02??θπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠v v ，
22(,)n θβ=∠v v
. 则
11cos κκθ=，22cos κκθ=. 于是
1sin κθ==
2sin κθ==. 当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]π??θ∈+，即?π?θ≤≤+. 此时1θ?=，22()θπ?θ=-+，所以122θθπθ+=-. 则
2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=-
12κκ=-. (1) 因此
()2
2222
21212()()cos κκκκκκκθ--=-.
化简得422
242212
12()cos 2cos κκκκκθκκκθ-+=-. 因此
κ=
(2)[,]π??θ?+，即?π>或π?θ>+. 此时12θπ?=-，22()θπ?θ=-+或1θ?=，2θ?θ=+，所以12θθθ-=±. 则同理有
212cos κθκκ= (2)
κ=
当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=-). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □
7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是
22()()()()s u s v s u s E F G L M N
τ''''-=
. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =v v ，单位法向量为(,)n u v v
. 设C 的弧长参
数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{}
;,,r αβγv v v v ，曲率为0κ≠. 由于C 是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=v v ，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =v v
. 根据Frenet 公式，
()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=-?=-??==''v v v v v v v v v v v .
利用Lagrange 恒等式，可得
(),,()()()()()()u v u v u v v u r r n r r r n r r n r r r n r r ''''''''=?=???=??-??v v v v v v v v v v v v v v v v
. 将u v r r u r v '''=+v ，u v n n u n v '''=+v v v
代入上式，得
()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=-+++++
22
Eu Fv Fu Gv E F E G F G
u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N
''''++''''==++''''++ 22
v u v u E F G L
M
N
''''-=. □ p. 166 习题4.3
1. 求抛物面22
12()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.
解. 曲面的参数方程为()2212
,,()r x y ax by =+v ，故 (1,0,)x r ax =v ，(0,1,)y r by =v ，(,,1)x y r r ax by ?=--v v
，,,1)n ax by =--v .
(0,0,)xx r a =v ，0xy r =v v ，(0,0,)yy r b =v
所以在原点处
22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，
22
22
II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dy
κ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处
22
2222
(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，
且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛
物面在原点的主曲率. □
注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.
证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系. 假
设这个正交参数系是(,)u v %%. 如果p 点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正
交参数系(,)u v %%的参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方
向.
设p 点不是脐点. 则在点p 处有两个单位正交的主向量12,e e v v
. 设
111222,u v u v e a r b r e a r b r =+=+%%%%v v v v v v . 作参数变换
12u a u a v =+%，12v b u b v =+%.
由于
11
22
(,)0(,)a b u v a b u v ?=≠?%%，上述参数变换是可允许的. 在新参数下， 11u v u u v u v u u
r r r a r b r ????=+=+%%%%%%v v v v v ，22u v v u v u v v v r r r a r b r ????=+=+%%%%%%v v v v v . 特别在p 点，有
12,u v r e r e ==v v v v
，
是曲面S 在p 点的两个彼此正交的单位主向量.
由于
1212u v F r r a a E bb G =?=+v v %%，
参数系(,)u v 不一定是正交参数，只知道在p 点120u v F r r e e =?=?=v v v v
.
因此还要作一次参数变换，取u -曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式Edu Fdv +. 根据常微分方程知识，存在积分因子(,)u v λλ=使得()Edu Fdv λ+是一个全微分，即有函数(,)u u u v =使得
()du Edu Fdv λ=+.
现在作参数变换(,)u u u v =，v v =. 则0
(,)0(,)1E u v u v F λλ?=≠?，参数变换是可允许
的. 在新参数下，11()du E du Fdv λ--=-，dv dv =，所以
2
111222
22I ()1()()https://www.doczj.com/doc/f36445338.html, Fdv du Fdvdu Gdv du du Fdv FE du Fdv dv Gdv E
F du
G dv E E λλλλ---=+++=-+-+??=+- ???
这说明参数系(,)u v 是正交的.
因为在p 点，0F =，有
1
11u v
u u v u u
u r r r r e E E λλ????=+==%v v v v v ，2u v v u v u v v v F r r r r r e E ????=+=-+=v v v v v v ， 所以,u v r r v v
是曲面S 在p 点的两个彼此正交的主方向. □
5. 设在曲面S 的一个固定点p 的切方向与一个主方向的夹角为θ，该切方向所
对应的法曲率记为()n κθ，证明：201()2n d H π
κθθπ=?，其中12()/2H κκ=+.
证明. 根据Euler 公式，2212()cos sin n κθκθκθ=+. 所以有
22221200
11()(cos sin )22n d d ππ
κθθκθκθθππ=+?? 212120111
[(1cos2)(1cos2)]()222d H πκθκθθκκπ=++-=+=?. □ p. 175 习题4.4
2. 求旋转面():()cos ,()sin ,()S r g s g s f s θθ=v
的高斯曲率K ，其中s 为平面曲线():(),0,()C r g s f s =v
的弧长参数.
解. ()cos ,sin ,s r g g f θθ'''=v ，()sin ,cos ,0r g θθθ=-v
， (1)
()cos ,sin ,s r r g f f g θθθ'''?=--v v
. 因为曲面S 是正则的，所以()0g s ≠，不妨设()0g s >. 因为s 是C 的弧长参数，所以
221f g ''+=，0f f g g ''''''+=，r f g f g κ''''''-=-， (2)
其中r κ是C 的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为
()cos ,sin ,n f f g θθ'''=--v
.
所以
()cos ,sin ,s n f f g θθ''''''=--v ，()sin ,cos ,0n f θθθ'=-v
. (3)
由(1)，(2)和(3)可知
1E =，0F =，2G g =，r L κ=，0M =，N g f '=.
根据定理4.3，S 的主曲率为1r κκ=，2/f g κ'=，Gauss 曲率为
()r f f f g
f g K g g
κ''''''''-==. □
4. 求双曲抛物面()(),(),2r a u v b u v uv =+-v
的Gauss 曲率K ，平均曲率H ，主曲率12,κκ和它们所对应的主方向.
解. 因为 (,,2)u r a b v =v ， (,,2)v r a b u =-v
.
所以
2224E a b v =++，224F a b uv =-+，2224G a b u =++.
又
()2(),(),u v r r b u v a u v ab ?=+---v v
，)(),(),n b u v a u v ab =
+---v ，
其中
22222224[()()]EG F b u v a u v a b -=++-+.
因为 0uu r =v v ，(0,0,2)uv r =v ，0vv r =v v ，
所以
0,L N M ===
.
于是
()22222
222
222222216()()LN M a b a b K EG F b u v a u v a b EG F -==-=--??++-+-??
，
22223/2223/22222224(4)4(4)()()()MF ab a b uv ab a b uv H EG F EG F b u v a u v a b --+-+===--??++-+??
.
因为0M <，
()()
222222
2222()()M F LN M EG F M EG H K EG F EG F ----==--
2EG F -=-， 所以主曲率
1223/2222222
(4).2()()H ab a b uv b u v a u v a b κ=+?-++??=??++-+??
对应的主方向为
1111:():()():du dv F M E L F M E κκκκ=---=--，
其中
11.F M κ-====.
所以
:du dv ==同理，另一个主曲率为
2223/22222222(4)(2()()ab a b uv M F EG F b u v a u v a b κ?-+--??==-??++-+??
， 对应的主方向为
:u v δδ== □
注. 由0L N ==可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向:du dv 和:u v δδ是参数曲线的二等分角轨线方程22Edu Gdv =的两个根.
由此可得求解主曲率的另一方法：将du dv ==
()()0E L du F M dv λλ-+-=，即 ()Edu Fdv Ldu Mdv λ+=+，
得到对应于主方向:du dv =
1Mdv Edu Fdv κ=
==
+，
以及对应于主方向:du dv =
2κ=6. 在曲面:(,)S r r u v =v v
上每一点沿法线截取长度为λ(足够小的正数)的一段，它
们的端点的轨迹构成一个曲面S %，称为原曲面S 的平行曲面，其方程是
(,)(,)(,)r u v r u v n u v λ=+v v v %，2(,)u v D ∈?R .
从点(,)r u v v
到(,)r
u v v %的对应记为σ. (1) 证明：曲面S 和曲面S %在对应点的切平面互相平行；
(2) 证明：对应σ把曲面S 上的曲率线映为曲面S %上的曲率线；
(3) 证明：曲面S 和曲面S %在对应点的Gauss 曲率和平均曲率有下列关系：
212K K H K λλ=-+%，212H K H H K
λλλ-=-+%. 证明. (1) 因为 u u u r r n λ=+v v v %，v v v r r n λ=+v v v %， (1)
所以
2()u v u v u v v u u v r r r r r n r n n n λλ?=?+?+?+?v v v v v v v v v v %%.
当0λ=时，0u v u v r r r r ?=?≠v v v v v %%. 因此对每一点00(,)u v D ∈，存在该点的邻域U D ?，
使得当λ足够小时，0u v r r ?≠v v v
%%，从而S %是正则曲面.
由(1)可见0,0u v r n r n ?=?=v v v v
%%，所以在对应点S 和S %的切平面互相平行.
(2) 设:(),()C u u s v v s ==是S 上的任意一条曲率线. 则由Rodriques 定理，有
((),())((),())((),())n u s v s u s v s r u s v s κ''=-v v
， (2)
其中((),())u s v s κ是曲面S 在((),())u s v s 点的主曲率.
对应σ把S 上的曲率线C 映为曲面S %上的曲线C
%，它的方程为 ((),())((),())((),())r u s v s r u s v s n u s v s λ=+v v v %.
因此
()((),())((),())((),())((),())1((),())r
u s v s r u s v s n u s v s r u s v s u s v s λλκ''''=+=-v v v v %. (3) 上面已经证明了沿着C %，((),())n u s v s v 也是S %的单位法向量. 结合(2)和(3)可得
((),())((),())((),())1((),())
u s v s n u s v s r
u s v s u s v s κλκ''=--v v
%. (4) 根据Rodriques 定理，C %也是S %上的曲率线.
(3) 用W 和W %分别表示曲面S 和S %上的Weingarten 变换. 设12,κκ是曲面S 在任
意一点00(,)r u v v
的两个主曲率，对应于1κ的主方向是:du dv . 则沿着该切方向，有
1()dr W dr dn κ==-v v v . 另一方面，沿着该切方向，有
1(1)dr
dr dn dr λλκ=+=-v v v v %. 所以在曲面S %上
111
()1W dr dn dr dr κκλκ=-==-v v v v %%%.
这说明:du dv 是曲面S %在点0
(,)r
u v v %的主方向，对应的主曲率是 1
11
1κκλκ=
-%.
同理，曲面S %在点00(,)r
u v v
%的另一个主曲率是 2
2
2
1κκλκ=-%. 于是在对应点，曲面S %的Gauss 曲率和平均曲率分别为
12122
12(1)(1)12K
K H K
κκκκλκλκλλ==
=---+%%%， 121221212(1)(1)22(1)(1)12H K H H K
κκκλκκλκλλκλκλλ+-+--===---+%%%. □ 注. 本题的结论是局部的：对每一点00(,)u v D ∈，为了保证S %是正则曲面，只能
在该点的某个邻域U D ?上，取λ足够小，才有这些结论. p. 184 习题4.5
3. 研究习题
4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况.
解. 管状曲面S 的参数方程为
(,)()[cos ()sin ()]R s r s s s θλθβθγ=++v v v v
，
其中()r s v 是一条弧长参数曲线，{}();(),(),()r s s s s αβγv v v v 是它的Frenet 标架，0λ>是一
个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是κ和τ.
因为
[cos ()sin ]s R αλθκατγτθβ=+-+-v v v v v
(1cos )(sin cos )λκθαλτθβθγ=-+-+v v v
，
(sin cos )R θλθβθγ=-+v v v
， 所以
(1cos )(cos sin )s R R θλλκθθβθγ?=--+v v v v
.
取λ充分小，使得1cos 0λκθ->，从而S 是正则曲面，单位法向量为
(cos sin )n θβθγ=-+v v v
.
于是
cos (sin cos )s n κθατθβθγ=+-v v v v ，sin cos n θθβθγ=-v v v
，
2cos (1cos )L κθλκθλτ=--+，M λτ=，N λ=.
由于
2cos (1cos )LN M λκθλκθ-=--，
并且(1cos )0λκλκθ->，所以
(1) 当/2θπ=±时，0K =，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：
/2()()()R s r s s πλγ=+v v v 和/2()()()R s r s s πλγ-=-v v v
. 由于0N λ=≠，曲面上没有平点.
(2) 当322
ππ
θ<<
时，0K >，这些点是椭圆点.
(3) 当22ππ
θ-<<时，0K <，这些点是双曲点. □
p. 190 习题4.6
2.(1) 证明：1cos ln
cos ay
z a ax
=
是极小曲面，其中a 是常数. 该曲面称为Scherk 曲面. (2) 证明：形如()()z f x g y =+的极小曲面必定是Scherk 曲面.
(1) 证明. Scherk 曲面的参数方程为()1
,,(lncos lncos )a x y ay ax r -=v . 故
()1,0,tan x r ax =v
，()0,1,tan y r ay =-v ，()tan ,tan ,1y x r r ax ay ?=-v v ，
)
tan ,tan ,1n ax ay =
-v .
()()22,0,0,0,sec 0,0,sec yy xx xy r r r a ay a ax ===-v v
.
因此
22sec ,tan tan ,sec E ax F ax ay G ay ==-=，
2
L =
，0M =，2N =
由于20LG MF NE -+=，所以0H =，Scherk 曲面是极小曲面. □
(2) 证明. 曲面的参数方程为(),,()()r x y f x g y =+v
. 故
()(),1,0,()0,1,()y x r r f x g y ''==v v ，()(),(),1y x r r f x g y ''?=--v v
，
)
(),(),1n f x g y ''=
--v .
()(),0,0,0,()0,0,()yy xx xy r r r f x g y ''''===v v .
因此
221(),
()(),1()E f x F f x g y G g y ''''=+==+，
0L M ==，N =
. 由0H =得到0EN GL +=，即
22
()()01()1()g y f x f x g y ''''+=''????++????.
上式可化为
22()()
1()1()
f x
g y f x g y ''''=-''++. (1)
由于上式左边是x 的函数，右边是y 的函数，故只能是常数. 设此常数为a . 当0a =时，由(1)可知1()f x Ax C =+，2()g y By C =+，其中12,,,A B C C 是常数.
于是该极小曲面是平面z Ax By C =++，其中12C C C =+. (不是Scherk 曲面)
下面设0a ≠. 由(1)得2(1)f a f '''=+. 令arctan f ?'=，即tan f ?'=. 则有
()22sec sec tan f a ????''''===.
于是()x ax c ?=+. 在x 轴方向作一平移，可设0c =. 从而()tan()f x ax '=，积分得
1
()ln cos f x ax a
=-.
同理，由2
()1()g y a g y ''=-'??+??可得
1
()ln cos g y ay a
=.
于是
1cos ()()ln cos ay
z f x g y a ax
=+=. □
4. (1) 证明：正螺面()cos ,sin ,r u v u v bv =v
是极小曲面.
(2) 证明：形如x z f y ??
= ???的极小曲面必定是正螺面.
(1) 证明. 因为
()cos ,sin ,0u r v v =v ，()sin ,cos ,v r u v u v b =-v
， 所以
1E =，0F =，22G u b =+.
又
()sin ,cos ,
u v r r b v b v u ?=-v v
，)sin ,cos ,n b v b v u =
-v ，
0uu r =v v ，()sin ,cos ,0uv r v v =-v ，()cos ,sin ,0vv r u v v =-，
所以
0L =
，M =
，0N =.
因此0H =，正螺面是极小曲面. □
(2) 证明. 曲面的参数方程为()()
,,x y r x y f =v
. 故
()11,0,x r y f -='v ，()20,1,y r xy f -='-v ，()12,,1y x r r y f xy f --?=''-v v
，
)1
2,,1n y f
xy f --=''-v . ()20,0,xx r y f -=''v ，)230,0,xy r y f xy f --='''--，()3240,0,2yy r xy f x y f --='''+v
. 所以
221E y f -'=+，32F xy f -'=-，2421G x y f -'=+，
2L -=
，3M -=
，4N -=. 由20LG MF NE -+=得到
224262422(1)2()(1)(2)0y f x y f xy f y f x f xy y f y f x f -----'''''''''''+-++++=，
[化简：
24242222(1)2()(1)(2)0f x y f xy f y f x f xy y f y f x f ----'''''''''''+-++++=， 242242222233123[12(1)]22()0f x y f x y f x y y f xy f xy f y f -------''''''''+-++-++=，] 即有
221(1)20f x y xy f --'''++=.
如果0f '=，则(/)z f x y c ==. 它表示一个平面，不是正螺面. 设0f '≠. 则上式可化为
1
22
21f uv f u v --''=-'+， 即
222ln |()|ln(1)1d d
f d d ??????
'=-=-++， 其中1xy ?-=. 所以
2
()1a
f ??
'=
+， 其中a 是积分常数. 再积分一次，得
()arctan z f a C ??==+.
通过在z 轴方向作一平移，不妨设积分常数0C =. 于是
tan x z y a
?==. 在xy 平面上取极坐标：cos ,sin x u v y u v ==，则
2z v k a ππ=-+，即 (21)2
a k z av π
+=-+
. 再次沿z 轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程
()cos ,sin ,r u v u v bv =v
，
其中b a =-. 它是正螺面. □
6. 推导极小曲面(,)z f x y =所满足的微分方程
22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=.
解. 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =v
. 故
()1,0,x x r f =v ，()0,1,y y f r =v ，(),,1x y y x f f r r --?=v v
，
),,1x y f f n --=v
. ()0,0,xx xx r f =v ，)0,0,xy xy f r =，()0,0,yy yy f r =v
. 所以
21x E f =+，x y F f f =，21y G f =+，
L =
，f M =
，f N =
由20LG MF NE -+=得到
22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=. □
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、
微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，
γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------??? ??? ????? ???a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ?????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 习题一（P13） 2.设()a t 是向量值函数，证明： （1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 （1）证明：a =常数?2 a =常数?(),()a t a t <>=常数 ?(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>= ?2(),()0a t a t '<>=?(),()0a t a t '<>=。 （2）注意到：()0a t ≠，所以 ()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量。 若单位向量() ()() a t e t a t = =常向量，则()0()()0e t e t e t ''=?∧=。 反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。 由()e t 为单位向量?(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=?<>=?()()e t e t '⊥。 从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '? '?=?=?'⊥? 常向量。 所以，()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量 ?()()1 ()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ??''∧=?∧+= ? ??? ( )()2111()()()()()0()() () d a t a t a t a t dt a t a t a t '? ∧+∧= ()()0a t a t '?∧=。即 ()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 补充： 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 微分几何第四版习题 答案梅向明 Revised on November 25, 2020 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv ｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ? r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ， ?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线， 习题答案3 p. 148 习题4.1 1. 求下列曲面的第二基本形式： (1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ?θ?θ?=； (2) 旋转椭圆抛物面：()2212 ,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-； (4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θ?θθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ??θ?θ?=--， ()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θ???θ?θ??=，22(,)ππ??∈- )21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ?θ?θ?= . 又 ()cos cos ,sin ,0r a θθ?θθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θ??θθ=-， ()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ???θ?θ?=-. 所以 222cos ab L b ?-=+，0M = ，N =， )222II cos d d ?θ?=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ?=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++. (3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ?=+--. 不妨设0a >. 则 )2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =， 4II adudv -=. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''?=- ，)21,,0n g f f ''= -'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =. (5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''?=-， > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 二．单项选择题 1．0()P t 是曲线r r =()r t r 上一点， 1P 是曲线上P 点附近的一点，S ?为弧?1PP 的长，??为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2．曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的 曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr &= . ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4. 曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ αr &βr ④ γr &βr 6．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 7．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。 习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11 u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=--+v v 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=----+v v 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v = +，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知 22222222222 (,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ?++=-=-=-?+%%， 《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b 微分几何复习题 一、填空题 1. 向量()(,3,)r t t t a =具有固定方向，则a = 。 2. 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是 。 3. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '?=，则()r t 具有固定 。 4. 曲线()r r t =的正常点是指满足 的点. 5. 曲线3()(2,,)t r t t t e =在任意点的切向量为 。 6. 曲线()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =在0t =点的切向量为 。 7. 曲线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =在0t =点的切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是 。 10. 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是 。 11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是 。 14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。 15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是t = 。 17. 曲线()r r t =的曲率是 。 18. 曲线()r r t =的挠率是 。 19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。 20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 。 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v } 表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u } 表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ????? ?a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,微分几何彭家贵课后题答案
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