一元二次方程根与系数的关系
【同步教育信息】
一. 本周教学内容:
一元二次方程的根与系数的关系
[学习目标]
1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系(即:韦达定理及逆定理);
2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值;求关于两根的对称式的值;根据已知方程的根,构作根满足某些要求的新方程。
3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力;
4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
5. 体会特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律,有意培养自己发现规律的兴趣,及树立勇于探索规律的精神。
二. 重点、难点:
1. 教学重点:
一元二次方程根与系数关系及其推导和应用,注意往往不解方程,用两根和与积或各系数就可解决问题,这时解了方程反而更麻烦。
2. 教学难点:
正确理解根与系数的关系,掌握配方思想,把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。
【典型例题】
例1. 已知方程的一个根是,求它的另一个根及b的值。
分析:含字母系数的一元二次方程中,若已知它的一个根,往往由韦达定理可求另一根,并确定字母系数的值。
解:(方法一)设方程的另一根为,则由方程的根与系数关系得:
解得:
(方法二)由题意:
解得:
根据韦达定理设另一根为x,则
点拨:解法一较简单,主要原因是突出了求解的整体性。
例2. 已知方程的两根为,求下列代数式的值:
(1);(2);(3)
分析:若方程两根,则不解方程,可求出关于的对称式的值,只须将其配成含有、的形式。
解:由已知,根据韦达定理
(1)
(2)
(3)
点拨:体会配方思想,将代数式配成含有的形式,再代系数即可。
例3. 已知:是两个不相等的实数,且满足,那么求的值。
分析:由两个条件可得出为方程的两不等实根,再对所求代数式配方变形。
解:由题意,为的两个不等实根
因而有
又
点拨:善于转化未见过的题,充分挖掘已知条件。
例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根,求k的值。
解:(解法一)设方程两根α、β,方程的两根,则有:
由
当时,代入
当时,由
代入
则
代入
把代入<2>中,
或
(解法二)将与相减得:
此时方程根为0或,即题中两方程相同根为0或
(1)若是0则;
(2)若是,则;
或
点拨:两种解法各有千秋,一运用了解方程组思想,二运用了“若方程与
有公共根,则公共根必满足方程”的结论。
例5. 已知方程
(1)若方程两根之差为5,求k。
(2)若方程一根是另一根2倍,求这两根之积。
分析:对含字母系数的一元二次方程,可根据题设中方程根与系数关系,确定方程系数字母的值。
解:(1)设方程两根与,由韦达定理知:
又
(2)设方程两根,由根系关系知:
点拨:已知两根的关系,应用韦达定理解决系数求值问题。
例6. 已知方程两根之比为1:3,判别式值为16,求a、b的值。
分析:必用判别式,又韦达定理知,,显然可求a、b。
解:设已知方程的两根为m,3m
由韦达定理知:
即
把代入
得:
点拨:把判别式、韦达定理综合出题,更易贯通新旧知识。
例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。
(1)用含m的代数式表示;
(2)当时,求m的值。
分析:应注意,即可用根系关系。
解:(1)由题意:
(2)由(1)得:
解得:
检验:当时,原方程无实根。
∴舍去
当时,原方程有实根。
∴
点拨:易忽略检验,要学会灵活应用一元二次方程有关概念,及判别式,根系关系。例8. 已知方程的两根为,求一个一元二次方程,使它两根为
和。
分析:所求方程,只要求出的值即可,转化成例2类型了。
解:设所求一元二次方程为
为方程的两根
∴由韦达定理
又
∴所求一元二次方程为
即:
点拨:应用根系关系构造方程,如果方程有两实根,那么方程为
,当为分数时,往往化成整系数方程。
[总结扩展]
1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为进一步使用打下基础。
2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神,借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。
3. 本节课学习了根与系数的关系的应用,主要有如下几方面:(1)验根;(2)已知方程的一根,求另一根;(3)求某些代数式的值;(4)求作一个新方程……
4. 通过根与系数的关系的应用,能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系,由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一. 选择题。
1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根,则k与另一根分别为()
A. 2,-1
B. -1,2
C. -2,1
D. 1,-2
2. 已知方程的两根互为相反数,则m的值是()
A. 4
B. -4
C. 1
D. -1
3. 若方程有两根,一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是()
A. B. C. D.
4. 若方程的两根中,只有一个是0,那么()
A. B.
C. D. 不能确定
5. 方程的大根与小根之差等于()
A. B. C. 1 D.
6. 以为根的,且二次项系数为1的一元二次方程是()
A. B.
C. D.
二. 填空题。
7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数,则m=________。
8. 已知一元二次方程两根比2:3,则a,b,c之间的关系是______。
9. 已知方程的两根,且,则
________。
10. 已知是方程的两根,不解方程可得:________,
________,________。
11. 已知,则以为根的一元二次方程是______ ________________________。
三. 解答题。
12. 已知方程的两个实根中,其中一个是另一个的2倍,求m的值。
13. 已知方程的两根不解方程,求和
的值。
14. 已知方程的两根,求作以为两根的方程。
15. 设是方程的两个实根,且两实根的倒数和等于3,试求m的值。
【试题答案】
一. 选择题。
1. A
2. B
3. D
4. B
5. C
6. B
二. 填空题。
7.
8. 设,则
9.
或
时,原方程△<0,故舍去,
10.
11.
由此
或
或
所求方程或
三. 解答题。
12. 解:设方程的一个根为x,另一根2x
由根系关系知:
解得:
13. 解:由题设条件
14. 解:由题意
即
故所求方程是,即
15. 解:
由
由
不符合题意,舍去
【励志故事】
果断
有一个6岁的小男孩,一天在外面玩耍时,发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地,从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。
当他托着鸟巢走到家门口的时候,他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是,他轻轻地把小麻雀放在门口,急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。
小男孩兴奋地跑到门口,不料小麻雀已经不见了,他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久。但从此他也记住了一个教训:只要是自己认定的事情,决不可优柔寡断。这个小男孩长大后成就了一番事业,他就是华裔电脑名人—王安博士。
. . . 一元二次方程测试题 考试范围:一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x(x﹣2)=3x的解为() A.x=5 B.x1=0,x2=5 C.x1=2,x2=0 D.x1=0,x2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3x2﹣2x=3(x2﹣2)C.x3﹣2x﹣4=0 D.(x﹣ 1)2+1=0 3.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为() A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是() A.12(1+x)=17 B.17(1﹣x)=12 C.12(1+x)2=17 D.12+12(1+x)+12(1+x)2=17 5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是() A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为() A.x(x+12)=210 B.x(x﹣12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x﹣12)=210 7.一元二次方程x2+bx﹣2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是() A .有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大 C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰x12+x1x2+x22=2k2成立,k的值为() A.﹣1 B.或﹣1 C.D.﹣或1 9.一元二次方程ax2+bx+c=0中,若a>0,b<0,c<0,则这个方程根的情况是() A.有两个正根B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a﹣c≠0,以下列四个结论中,错误的是() A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根 B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是() A.7 B.11 C.12 D.16
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
初三数学根与系数关系式习题精选 一、填空题与选择题: 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12,b b -=12,且b a ≠,则=--)1)(1(b a . 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6,那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( ) A 、、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题: 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1))3)(3(21--x x ; (2)2221)1()1(+++x x (3) 112112+++x x x x (4)||21x x -
(5))31)(31(1221x x x x ++ (6)3231x x + (7) 21x x 9、已知1x ,2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根,且满足022 21=-x x ,求m 的值; 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和,方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ,求m 和n 的值。
﹡课时10.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【课前热身】 1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2. 若方程kx 2-6x +1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3.设x 1、x 2是方程3x 2+4x -5=0的两根,则 =+2 11 1x x ,.x 12+x 22= . 4.关于x 的方程2x 2+(m 2-9)x +m +1=0,当m = 时,两根互为倒数; 当m = 时,两根互为相反数. 5.若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根,则a = ,该方程的另一个根x 2 = . 【考点链接】 1. 一元二次方程根的判别式: 关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . (1)ac b 42->0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根, 即=2,1x . (2)ac b 42-=0?一元二次方程有 相等的实数根,即 ==21x x . (3)ac b 42-<0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2. 一元二次方程根与系数的关系 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ,2x ,那么 =+21x x ,=?21x x . 3.易错知识辨析:
(1)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二 次项系数不为零这个限制条件. (2)应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意: ① 根的判别式042≥-ac b ; ② 二次项系数0a ≠,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的关系. 【典例精析】 例1 当k 为何值时,方程2610x x k -+-=, (1)两根相等;(2)有一根为0;(3)两根为倒数. 例2 下列命题: ① 若0a b c ++=,则240b ac -≥; ② 若b a c >+,则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根; ③ 若23b a c =+,则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根; ④ 若240b ac ->,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是( ) A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D.只有②③④. 例3 菱形ABCD 的一条对角线长为6,边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个 根,则菱形ABCD 的周长为 . 【中考演练】 1.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根,则(x 1+1)(x 2+1)= __________,x 12+x 22=_________, 12 11 x x +=__________,(x 1-x 2)2=_______. 2.当c =__________时,关于x 的方程2280x x c ++=有实数根.(填一个符合要
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+