一、多选题
1．若a →，b →，c →
是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→
=，则a b →→
= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→
= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→
D ．若a b a b →
→
→
→
+=-，则a b →→
⊥
2．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()
0a b c -?=
B ．()
0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?=
D ．2a b c ++=
3．下列说法中正确的是（ ）
A ．对于向量,,a b c ，有()()
a b c a b c ??=??
B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件
D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则
0λμ+=
4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6
A a c π
===则角C 的大小
是( ) A ．
6
π B ．
3
π C ．
56
π D ．
23
π 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ?=- B ．0OE O
C +=
C ．32
OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
6．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=
D ．0PA PB PC ++=
7．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 8．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．2
OA OD ?=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ?=?
D ．AH 在AB 向量上的投影为2-
10．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11
22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133
BM BA BD =
+ D ．12
33
CM CA CD =
+
11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC ?必是等腰直角三角形
D ．在ABC ?中，若060B =，2b ac =，则ABC ?必是等边三角形
12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）
A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b
D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-
14．已知ABC ?的面积为3
2
,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4
B ．3
C ．-4
D ．5
17．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，
()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01
05
t <<
时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π?? ???
B ．,32ππ?? ???
C ．2,23ππ??
??
?
D ．20,
3π?? ???
18．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．
C ．4
D ．16
20．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
21．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；
③()()a b c a b c ??=??④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
22．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形
ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．以上都不对
23．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
24．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ?+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
25．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ??
?=++ ???
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A
．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心26．题目文
件丢失！
27．在矩形ABCD 中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF
3→→=，则AE BF
→→的值为（ ）
A ．0
B ．
3
C ．-4
D ．4
28．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=?，2AB BC ==，1AD =，则
BD AC ?=（ ）
A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．5
29．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．
34
D ．
14
30．如图，在ABC 中，14AD AB →
→=，12
AE AC →→
=，BE 和CD 相交于点F ，则向量
AF →
等于（ ）
A ．1277A
B A
C →→
+
B ．1377AB A
C →→
+
C ．121414
AB AC →→
+ D ．131414
AB AC →→
+ 31．已知1a b ==，1
2
a b ?=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ） A ．(
32-∞
B ．)
32,?+∞?
C ．(
32-∞
D ．)
32,?+∞?
32．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()
20c a c b ?--=，则b c ?的最大值为（ ） A ．
5
4
B ．2
C ．
174
D ．4
33．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且
a b =，则cos B 等于（ ）
A 15
B ．
14
C 3
D ．
32
34．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
?=?=?，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
35．在ABC ?中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
-
D ．34
-
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一、多选题 1．ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；
对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，
∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．
故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
2．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解
解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-?=?=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-?=?=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --?=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
3．BCD 【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，
解析：BCD 【分析】
A ．向量数量积不满足结合律进行判断
B ．判断两个向量是否共线即可
C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断
D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，
B ．
12
57
-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，
C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180?，此时0m n <成立，
当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ?
D ．由23CD CB =
得22
33CD AB AC =-， 则23λ=，23
μ=-，则22
033λμ+=-=，故D 正确
故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】 本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
4．BD 【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握
解析：BD 【分析】
由正弦定理可得
sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求
得答案. 【详解】 由正弦定理可得
sin sin a c
A C
=, ∴ 3sin sin c C A a ==,而a c <,
∴ A C <, ∴
566
C π
π<<, 故3C π
=
或
23
π. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
5．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -，
设1(0,),(1,),(,33
O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ，
所以133y y -
=-，解得：2
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
2OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；
1
(3ED =，(1,BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +?==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
6．CD 【分析】
转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
解析：CD 【分析】
转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】
由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=
0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=
故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
7．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠?
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
8．AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和
三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共
解析：AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以
||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ?的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=?->解得1λ<，且a
与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；
故选：AC ． 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
9．AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于
解析：AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
4A OA OD π=??=；故正确．
对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||42
AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
10．ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三
解析：ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11
22
AD AB AC =
+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()
2212
=3333
BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
2212
3333
CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
11．ABD 【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD 【分析】
对于选项A 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ?中，由
02
2
A B π
π
>>
->，可得
sin sin()cos 2
A B B π
>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ?中，由
cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ?中，利用余弦定理可得：
2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =?，即可得到ABC ?的形状，即
可判断出正误. 【详解】
对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ?中，A ，(0,
)2
B π
∈，
2
A B π
+>
，∴
02
2
A B π
π
>>
->，
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；
对于C ，在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：
sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，
22A B ∴=或222A B π=-，
A B ∴=或2
A B π
+=，
ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.
对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，
可得2
()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===?，故正确.
故选：ABD . 【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
12．ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得
解析：ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
13．AB 【分析】
若，则反向，从而； 若，则，从而可得；
若，则同向，在方向上的投影为
若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】
对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；
对于选
解析：AB 【分析】
若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；
若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a
若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】
对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得
a b λ=；
对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，
222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；
对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;
对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】
本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
14．BD 【分析】
由三角形的面积公式求出即得解. 【详解】 因为, 所以, 所以,因为, 所以或120°. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析：BD 【分析】
由三角形的面积公式求出sin A =即得解. 【详解】
因为13sin 22
S bc A ==,
所以
13222
A ?=,
所以sin A =
,因为0180A ??<<, 所以60A =或120°. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本
解析：AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为
0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．C 【分析】
先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ?，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．
对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，
2222
22AB AC AB AC AB AC AB AC ++?=+-?，整理得，0AB AC ?=，则AB AC ⊥，
()
2
16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴?=-?=?-?=-=-，
设向量BC 与CA 的夹角为θ，
所以，BC 在CA 方向上的投影为16
cos 44
BC CA BC CA BC BC BC CA
CA
θ??-?=?=
=
=-?， 故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 17．C 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()2
2
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由01
05t <<，可求得夹角θ的取值范围.
【详解】 因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，
()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，
∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=
+，又01
05t <<，则
12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1
cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，
所以223ππθ<<，
故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 18．A
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】
ABC ?中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，
cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<< 90A ∴=?，
则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 19．C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(2bc =,
再代入余弦定理求解即可. 【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-,
∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2
2
()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++?-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．B 【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()
0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．A 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()
a b c a b c ??=??，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 22．B 【分析】
计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】
2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.
设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .
数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?
数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0
2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值．
历年平面向量高考试 题汇集
高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12
数学高考《平面向量》复习资料 一、选择题 1．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=?，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．2 2 C ．2 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ?????? - ? ? ???????，12y y >， 由90ACB ∠=?可求2 2 1 216y y -=，结合22 1244 y y CD =-即可求解 【详解】 如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ??????- ? ? ???????，12y y >， 由90ACB ∠=?可得0CA CB ?=u u u r u u u r ，22221212 1212,,,44y y y y CA y y CB y y ????--=-=-- ? ????? u u u r u u u r ， ()222221212004y y CA CB y y ??-?=?--= ???u u u r u u u r ，即()()222122212016 y y y y ---= 解得2 2 1 216y y -=（0舍去），所以2222 12124444 y y y y CD -=-== 故选：A 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题 2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
一、多选题 1．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b B a =，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33??-- ??? D ．(7，9) 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
— 平面向量高考试卷精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） 、 A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ | 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）
A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） （ A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜ ＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B．C．D．1 { 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A．B．C．D．0 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 ~
平面向量高考真题精选（一） 一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、
BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N
平面向量 【知识点】 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式 ： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设 ()11,a x y =，()22,b x y =，则()121 2,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设 ()11,a x y =，()22,b x y =，则()121 2,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． b a C B A a b C C -=A -AB =B
平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ） A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一：对于非零向量→ →b a ,，“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得 → → =a b λ D 若存在实数λ，使得→ → =a b λ，则→ → → → =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线， 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→ →21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数 k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP += 则（ ） A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示) 例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+
平面向量 专题 常考考点与核心问题 一 平面向量的性质与运算法则 理解向量的实际背景，向量的含义，掌握零向量、平行向量、共线向量、单位向量等等这些概念以及平面向量的基本定理。 平面向量的和，差，数乘，数量积的运算法则以及其几何意义。 注意：平面向量几何意义与数形结合思想的应用. 二 向量的坐标表示及其线性运算. 向量的坐标运算是代数与几何联系的桥梁，它融数形于一体，既具有代数形式，又具有几何形式.是中学数学知识的一个重要交汇点.常与平面几何，解析几何，三角函数等内容综合.复习时注意转化化归思想的应用. 三 定比分点 熟练掌握定比分点公式与中点公式 定比分点公式的几个表达形式： 设平面上A (x 1，y 1)，P (x ，y )，B (x 2，y 2)三点共线，O 为平面上任意一点. ①λ= ②??? ???? ++=++=λ1λλ 1λ2121y y y x x x ③()OB t OA t OP -+=1
四 平面向量与其他知识的综合 1．向量与三角函数，注意正弦定理和余弦定理的使用和向量的几何意义 2．向量与函数，对向量的基本概念和运算要掌握 3．向量与解析几何 基础篇 1．(广东卷理) 一质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成60°角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为( ) A ．6 B ．2 C ．52 D ．72 考点：平面向量 规律方法：平面向量的运算法则，余弦定理 解析：由力的三角形原理，利用余弦定理 ()2860180cos 221222123=?-?-+=F F F F F ，所以723=F 答案：D 2．(优质真题宁夏海南卷理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且OA OB OC ==，0=++，且?=?=?，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心 垂心 B ．重心 外心 内心 C ．外心 重心 垂心 D ．外心 重心 内心 (注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心) 考点：平面向量的几何特点
高三数学平面向量专题复习 一、选择题： 1.若r r |a -b|=r r |a|=4, |b|=5，则r r a与b 的数量积为 （ ） A ．10 3 B ．－10 3 C ．10 2 D ．10 2.若点P 分 AB 所成的比为 4 3 ，则A 分BP 所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 3．若将向量r a =(2, 1)围绕原点按逆时针方向旋转π 4 得到向量b r ，则向量b r 的坐标为（ ） A ．) 2 23,22(-- B ．)223,22( C ．)22,223(- D ．)2 2,223(- 4．在矩形ABCD 中，u u r u u r u u r u u r u u r u u r 设11AE =AB,BF =BC, AB =(a,0),AD =(0,b)22，当u u r u u r EF ⊥DE 时， |a| |b| 的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 5．已知A （5，7），B （2，3），将u u r r AB a 按=（4，1）平移后的坐标为 （ ） A ．（－3，－4） B ．（－4，－3） C ．（1，－3） D ．（－3，1） 6．将函数 )(x f y =图象上的点P （1，0）平移至P ′（2，0），则经过这种平移后得到的新 函数的解析式为 （ ） A ．y =f(x -1) B ．y =f(x)-1 C ．y =f(x +1) D ．y =f(x)+1 7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-2 1 ) 8．已知02 =+?AB BC AB ，则△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 9．若非零向量r r a,b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ） A ．r r r r a + b =a -b B ．r r r r |a +b|=|a -b| C ．r r r r (a +b)(a -b)=0 D ．r r 2 (a -b)=0 10.设四边形ABCD 中，有DC =2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是 A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 12．将椭圆0716******* 2 =---+y x y x 按向量r a 平移，使中心与原点重合，则r a 的坐标为 （ ） A ．（2，1） B ．（－1，－2） C ．（－1，2） D ．（1，－2）
平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★ (2014 辽·宁卷 L) 设 a ，b ，c 是非零向量，已知命题 p ：若 a ·b ＝0，b ·c ＝0，则 a ·c ＝ 0，命题 q ：若 a ∥b ，b ∥ c ，则 a ∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ． ( p) ( q) D ． p ( q) → 1 → → → 若AO ＝2（AB ＋ AC ），则 AB 与A → C 的夹角为 _____ 3．★★ (2014 四·川卷 ) 平面向量 a ＝ (1， 夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m ＝( ) 2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋ b(m ∈R) ，且 c 与 a 的 5. ★★ (2014福建 W)设M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 1 平行四边形的面积为 1 ，则 与 的夹角 的取值范围是 2 x,x y y,x y r r 7. ★★（ 2014浙江 L ）记max{ x, y} ，min{ x,y} ，设 a,b y,x y x,x y 数学 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 则 EB FC （ ) A ． A D 1 B. AD C. BC D. 1 BC 2 2 4. ★★ (2014 新·课标全国卷Ⅰ 2．★★ ( ·新课标全国卷Ⅰ L) 已知 A ，B ，C 为圆 O 上的三点， W) 设 D 、E 、F 分别为△ ABC 的三边 BC 、 CA 、AB 的中点， 所在平面内任意一点，则 OA OB OC OD 等于 A ． OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM 6. ★★( 2011 浙江 L ) 若平面向量 满足 a 1, 1，且以向量 为邻边的
一、多选题 1．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A ．() a c b c a b c ?-?=-? B ．() () b c a c a b ??-??与c 不垂直 C ．a b a b -<- D ．( )() 22 323294a b a b a b +?-=- 2．在ABC 中，3AB =，1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 3．下列结论正确的是（ ） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形AB C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为3 4．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++= 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b c A B C 6．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =， 则（ ）
高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数， (a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 8．【2011大纲理数1全国卷】设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，〈a －c ，b －c 〉＝60°， 则|c|的最大值等于( ) A ．2 B.3 C. 2 D ．1 9．【2011课标理数北京卷】已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 10．【2011·课标文数湖南卷】设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方 向相反，则a 的坐标为________． 【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb)∥c ，(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝1 2 .
2014高考复习专题平 面向量
一、向量的相关概念： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母?Skip Record If...?、?Skip Record If...?等表示；③用有向线段的起点与终点字母：?Skip Record If...?；坐标表示法：?Skip Record If...? 3、向量的模：向量?Skip Record If...?的大小――长度称为向量的模，记作|?Skip Record If...?|. 4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作?Skip Record If...??Skip Record If...?的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 5、相反向量：与?Skip Record If...?长度相同、方向相反的向量记作 ?Skip Record If...? 6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量?Skip Record If...?与 ?Skip Record If...?相等，记作?Skip Record If...?； 7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作?Skip Record If...?平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。 8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量?Skip Record If...?与?Skip Record If...?，作?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?，?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?叫?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角 说明：（1）当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?同向；（2）当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?反向；（3）当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?垂直，记?Skip 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
《平面向量》 1.向量 2.表示方法 3.向量模（长度） 4.零向量 5.单位向量 6.相等向量 7.相反向量 8.共线（平行）向量 例：下列命题中，正确的是（ ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r C 、a r ＝b r ?a r ∥b r D 、｜a r ｜＝0?a r ＝0 一、 不用坐标研究向量 A （1）加法运算 （2）减法运算 （3）数乘运算 （4）数量积运算cos a b a b θ→ → → → ??= 2 2 a a →→= cos θ= a → = a b → → ⊥? a b →→?∥ 例1：等边三角形ABC 的边长为2，则=?？ 例2: 12,e e →→ 是两个单位向量，它们的夹角是ο 60，则=+-?-)23()2(2121e e e e 例3：(1) |a →|=1，|b →|=2，向量a →与b →的夹角为60°，则|a →-b → |= (2)已知a b a b → → → → +=-，则a b →→ ?=？ 例4：已知单位向量12,e e →→ 的夹角为3 π ，122a e e →→→=-，则a →在1e →上的投影是？
【2017全国理13】已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b → |= 例4：21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=， 若D B A ,,三点共线，则k 的值是（ ） B. 平面向量基本定理：平面内任何一个向量都能由另外两个不共线的向量表示出来。 例：平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点。 若AB u u u r =a r ，=b r ，试以a r ,b r 为基底表示DE 、BF u u u r 【2018全国文7】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144A B A C -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 【2015全国理7】设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r ，则 （A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r (B)1433 AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r （C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)41 33 AD AB AC =-u u u u u u u r u u u r u u u r
高考数学平面向量专题复 习含答案 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且 ，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.
14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________. 15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，