第十一章 分式
分式概念
一、 学习目标
1． 了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点
1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、学习过程
1．根据下列问题列出代数式：
（1）长方形花坛面积是100平方米，如果计划花坛的长是a 米，后来决定延长15米，那么它的宽可以表示为____________米。
(2)汽车在一段长为600km 的公路上行驶，甲车每小时行x 千米，甲车所用的时间可表示为__ ,若乙车的速度比甲车的2倍少26千米，那么乙车行驶时间可以表示为_________。
2．观察上面的问题中所列代数式：它们和以前学过的代数式有什么区别？有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
3．分式的概念：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B （B ≠0）可以表示为B
A
的形式，如果B 中含有字母，那么我们把式子
B
A
（B ≠0）叫做分式。其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 整式和分式统称为有理式。
例1：判断下列各式是否是分式，说明理由： （1）)2(23-≠+x x x （2）
32+x （3）2
1
2+x
例2： 当m 为何值时，下列分式有意义？ （1） （2） (3)
例3：当x 是什么数时，分式2
31
2+-x x 的值等于零？
四、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x
2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）23+x （2）x x 235-+ （3）4
5
22--x x
3. 当x 为何值时，分式的值为0？
（1）
（2） (3)
七、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是
千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.
(3)x 与y 的差与4的商是 .
2．当x 取何值时，分式 无意义？
3. 当x 为何值时，分式 的值为0？
1-m m 3
2+-m m 11
2+-m m x x 57+x x 3217-x
x x --22
1x
x x --2
12
31
2-+x x
分式的基本性质（1）
学习目标：
1、理解分式的基本性质；
2、会运用分式的基本性质解题；
3、培养学生类比的推理能力 学习重点：分式的基本性质的理解和掌握 学习难点：利用分式基本性质约分 学习过程： 一、预习导学
1、分数的性质；如果分数的分子和分母都乘（或除以）同一个不为0的数，那么分数的值不变。
2、讨论：如果分式的分子和分母分别乘以同一个任意的实数，所得到的分式和原分式仍相等吗？为什么？分别乘以同一个整式呢？
3、猜想分式的基本性质，并用数学式子表示结论；
4、思考：分式的基本性质中，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，能否去掉“不等于零”，为什么？
5、填空并说明理由
（1）a b =()ab ； （2）()
22
12a b a b ++=()22a b + （3）ab a b a --222=(___))())((b a b a a b a b a +=--+ 例1：化简下列分式：（1）2
2153xy
y
x （2）xy xz xy 642- （3）222
22b ab a b a ++-
把分式中分子与分母的_________约去，叫做约分。
如果一个分式的分子与分母没有_________，这个分式叫做最简分式。 思考：约分步骤？注意事项？
例2：把下列分式约分 （1）22153ab b a - （2）)
(4)(22
2
x y x y x xy --
练习：P8-9：1、2 检测：
1、依据分式基本性质填空：
（1）____)
(432c
y bc y =
（2）b a bx ax cx +=+(__)2 （3）(_______))2(322-=--a a a 2、把分式
b
a b
a ++2.08.05.0中分子、分母的各项系数都化为整数，且分式的值不变，结果为____
3、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“—”号：
（1）y
x
32--
（2）a b
25---
（3）2
2ab x
-
4、把下列分式约分 （1）5
3286mn
n m - （2）2)(15)
(3a b b a ----
5、 若分式1
6
+x 表示一个整数，那么x 可以取的整数值为_______________.
作业：P9，A1 B1 2
分式的基本性质（习题课）
学习目标：
巩固分式基本性质，会利用分式基本性质解决约分、符号化简等问题。 回顾：分式基本性质：
符号表达式： 应用练习：
一、判断正误并说明理由: （1）
b a b a ++-=)(b a b a +-+=1 （2） 11--xz xy =1
1
--z y （3）b a a --3=b a a --3 （4）
22n m =n n m m ÷÷22
=n
m
二、填空：
1、写出等式中未知的分子或分母：
①x y 3= ()y x 23 ②)
()).(().(2
x xy y x x y x x +=
+=+ ③
y x xy 257=()
7 ④
)
()
).(()(1
b
a b a b a +=
-=-；
2、不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号：
①=--
y x 25 ； ②=---b
a
3 ； 3、当
323212y
x k
xy x =-时，k 代表的代数式是 __________ 三、选择： 1、把分式
y
x x
322-中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 （ ）
A ．扩大为原来的5倍；
B ．不变
C ．缩小到原来的
51 ； D ．扩大为原来的2
5倍 2、使等式
27+x =x
x x
272+自左到右变形成立的条件是 （ ） A ．x<0 B.x>0 C.x ≠0 D.x ≠0且x ≠7
3、下列从左到右的变形正确的是（ ） A ．
x y x
y y x y x +-=+- B ．1-=--m n n m C ．122-=--b a b a D ．a b a b b a -=--1)
(2
三、解答题:
1.约分① y x y
x -+2.01.04.0 ② 44422++-x x x ③ y x y x 4422+- ④ 2
222444b ab a b a +--
2. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号
①y x 32-- ②112+--x x ③ 2122--+-x x x ④1
31
2+----x x x
5、先化简,再求值:16
16
82
2-+-a a a ,其中a=5
四、拓展延伸：
1、先化简，再求值2
22
2)1()1()1(-+-x x x ； 其中x=21-
2、16)(8)(2++-+b a b a 期中a+b=5.
分式的基本性质（3）通分
学习目标：
1、理解最简公分母的概念，会把异分母的分式化为同分母的分式
2、体会类比推理能力 学习重点： 通分
学习难点：确定各分式的最简公分母 学习过程： 一、预习导学：
1、分式2226x x y 、2236y x y 、2246xy
x y
有什么共同点？试将它们分别化成最简分式。
2、约分后得到的分式
213x y 、212x y 、2
3x y
分母不相同，试将它们变形成分母相同的分式。
3、什么是最简公分母？
4、（1）分式
2342
527,,2912c
a a
b a b
--的最简公分母是 ； （2）分式x x 312-与9
2
2-x 的最简公分母是 。
5、什么是分数的通分？依据是什么？
7、通分：
（1） 3b
a
、2ab c - ； （2）y x -1，y x +1；
8、通分的关键是什么？
二、交流成果 三、合作探究
1、通分：（1）
b a 21，2
1
ab
（2）221y x -，xy x +21. 2、通分：（1）)3)(4(2--+x x x ，)3)(4(2x x x
---； （2）3))((y x y x x -+，2
)
)((x y x y y -+；
四、达标测试：
1、写出下列各组分式的最简公分母：
（1）x
x x 31,21,1；_____________ （2）ab c ，bc a ，ac b
；________________
（3）xz
xz y x 45,34,2123；_____________ （4）32)1(,)1(,1a z
a y a x ---；_______________ 2、通分： （1）
231
x ，xy
125； （2）xy c z xy x y 34,65,222； （3）
x x +21，x
x -21.； （4）x x +21，121
2++-x x ；
五、小结：（1）最简公分母：确定几个分式的最简公分母，首先应把各分母因式分解，然后取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，即取各分母系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母是最简公分母。
怀柔四中导学案 初二数学第十一章 分式 编写人：王振江
分式的乘除（1）
学习目标
(一)知识与技能目标
使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题． （二）过程与方法目标
经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性 （三）情感与价值目标
教学过程中渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练． 学习重点和难点
重点是掌握分式的乘除运算
难点是分子、分母为多项式的分式乘除法运算． 学习方法 小组合作交流 学习过程 四、
观察下列运算：
,4
3524532543297259275,53425432??=?=÷??=???=?， .2
79
529759275??=?=÷… 猜一猜
??=÷=?c
d
a b c d b a 与同伴交流。 2、解读探究
经观察、类比不难发现
=?c d a b ______，=÷c
d
a b _______=________ 自己归纳总结，将法则补充完整：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的_______，把分母相乘的积作为积的_______。
用符号语言表达：=?d
d
a b
两个分式相除，把除式的分子和分母__________后再与被除式相_____。 用符号语言表达：=?=÷a
b c d a b
例1计算
（1）2234x y y x ? （2）cd b a c
ab 4522
223-÷
例2计算
（1）41441222--÷+--a a a a a （2）m
m m 71
49122-÷
-
4、课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？
练习与检测 计算：
（1）2
33y
x
xy ?- （2）32654x y y x ?
（3）pq n m p mn 4322
22
2-÷
（4）3118222-÷-x x
（5）x x x x x x x x 530119632222-+-?+-- （6）34
53
216222-+-÷---x x x x x x
分式的乘除（2）
一、学习过程 (一)复习回顾
1．分式的乘除法法则． 2．乘方的意义：
n a 表示___个___相_____
(二)新课
1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地进行归纳．
由乘方的意义 由分式的乘法法则 (2)同理：
=??
?
??3
b a = =??
?
??n
b a = 2．分式乘方法则：
=??
?
??n b a （其中n 为正整数） 文字叙述：分式乘方是把分子、分母__________． 3．目前为止，幂的运算法则包括：
(1)a m ·a n ＝ (2) a m ÷a n ＝
(3)(a m )n ＝ (4)(ab)n ＝
(5) =??
? ??n
b a
例： 计算：
（1）2
223??? ??-a bc （2）2
3
23243??
? ??-??
??? ??-c a ab c
（3）3222223??
?
??-÷??? ??n m m n （4）2
2222??? ??+-÷+-b a b a b a b a
小结：
① 对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序。 ② 做乘方运算要先确定符号．
检测：
（1）3
3222???? ??n m p （2）2
2
23???
? ?
?-y
x （3）c c b b a 112?÷?÷
（4）()111
11222+÷+-?-++a a a a a a （5）4
2
232??
? ??÷???? ??-????? ??-a bc ab c c b a
分式的乘除法3（习题课） 学习目标： 熟练掌握分式乘除法法则的基础上，快速、准确进行分式乘除法计算。
一、 选择
1、下列从左到右的变形正确的是（ ）
A 、1)(1=+÷+y x y x
B 、2232
422y x y x y x x =?? C 、y x y x x x =÷÷22
1 D 、b
a a
a b a b a -=+÷-2)22(22 2、若分式
2
3
++a a 无意义，则a 的取值范围是（ ） A 、a= —3 B 、a<2 C 、a>2 D 、a= —2 3、下列是最简分式的是（ ）
A 、11--m m
B 、xy y xy 3-
C 、2
2y x y x ++ D 、b
a b
a -+2.02.0 4、化简4
2
2
1??
? ??????? ??-ab b
a 的结果为（ ） A 、
41ab B 、61b - C 、61b D 、5
1
b
二、填空
1、=?22121554a y x xy ab __________
2、=-÷mn
xy
mn xy 4322__________ 3、=?÷?÷c c b b a 112
_________ 4、=-+?--2
222)1()1(x x x x x x x ___________ 5、=???? ??-3
22c b a __________ 6、=???
??-÷???? ??-????? ??-4
3
22
2x y x y y x ______
6、()
=-÷???? ?
?z xy xz y 63
2
3
__________ 7、计算1
22+???
?
?
?-n m b （n 是正整数）结果为__________
三、计算
1、ab c 2c b a 22?
2、322542n m m n ?-
3、??? ??-÷x x y 27
4、-8xy x y 52÷
5、44112422
22++-?+--a a a a a a 6、)3(2
962
y y y y -÷++-
7、)4(3)98(23232b x
b
a xy y x a
b -÷-? 8、x x x x x x x --+?+÷+--3)2)(3()3(444622
9、10
332
6423020)6(25b a c c ab b a c ÷-÷ 10、22222)(x y x xy y xy x x xy -?+-÷
-
四、先化简，再求值：6
22
96422+-÷++-a a a a a ，其中a = —5
学习目标：
1、 类比同分母分数加减法法则，总结出同分母分式加减法法则，会进行同分母分式加减法计算
2、 在合作中提高学习能力
3、 体会类比、迁移、归纳、概括在学习中的应用 重点：同分母分式加减法 难点：符号变换 学习过程： 一、 类比、猜想，填空
=+7471___ =-107103_____ =+a b a 221______ =-m
x m x 5352_________
前两个是同分母分数加减法，计算时分母________，分子__________
后两个是同分母分式加减法，计算时分母________，分子__________。
由此可以总结出：
同分母分式加减法法则：同分母分式相加减时，分母_______，分子_________， 即=+m b m a ________ =-m b m a ________
二、应用 例1：计算 1、
1111++++-a c a b 2、n
m n
n m m --
-22
练习：P17，练习1
1、a b b b a a -+-22
2、b
a
b a +2
练习：P17练习2
小结：同分母分时加减法计算问题，先想法则，即：________________________________
如果分母不同，可以依据分时基本性质及符号法则进行简单变形，转化成同分母分式加减法再计算。
检测： 1、 填空： （1）
=++x x x 321 （2）=-x y x y 51454 （3）a b b
b a a -+
-= 2、计算： （1）x y x x y x +-- （2）ab
a a
b a 37
231++
-
（3）
x x x x 2323213-++-- （4）a
b a
b a b a -+-+2
学习目标：
1、 会用通分将异分母分时加减法转化成同分母分时加减法计算
2、 在合作中提高学习能力
3、 体会类比、转化思想在数学中的应用 重点：异分母分时加减法 难点：通分、符号变化 学习过程： 一、 类比、猜想、填空（写出必要的步骤）
1、
=++959492 2、 =+31
21 3、 =-6152 4、b a 11+=
5、 =-m
n n m
二、归纳概括
异分母的分式相加减，先进行_________化为_________分式后，再进行加减运算。
即：bd bd ac c d a b =+=+ bd bd ac c d a b =
+=+
三、迁移应用 例1，计算 （1）
x y y x 32+ （2）ab a
b 6132- （3）b a b b a a --+
注：通分的关键是确定最简公分母。
练习P19练习1
（1）
2
1
422--
-x x x （2）y x y x xy x y 222-++-
检测： 计算
（2）
m
m -+-32
9122
（3）a
a --+242
异分母分时加减法2
学习目标：
4、 熟练进行异分母分时加减法计算，会化简求值
5、 在合作中提高学习能力
6、 体会类比、转化思想在数学中的应用 重点：通分
难点：分式与整式混合运算 学习过程： 一、 巩固复习 计算： 1、 12112---x x 2、 b a b
a a +--1
2
2
3、 63242+---a a a
4、 4
8
412-++a a
例1：先化简，再求值m
m -+-32
9122
，其中m = 4
练习：先化简再求值：
1
2
112
---x x ，其中x= —2
检测：
1、 计算
2、计算
3、化简求值 其中x=1。
分式混合运算1
学习目标：
1、 理清分式混合运算顺序，会进行分式混合运算
2、 合作交流中学习
3、 类比、迁移在学习中的应用 重点：运算顺序、准确运算 难点：准确进行分式混合运算 学习过程： 回顾：
进行有理数加减、乘除混合运算时，先进行________运算，再进行_______运算， 如果有括号，先算_____________，同级运算从___到____依次进行。 迁移：
分式加减、乘除混合运算时，先进行________运算，再进行_______运算， 如果有括号，先算_____________，同级运算从___到____依次进行。 应用：
例1计算（1）21123122-+÷++++-x x x
x x x x （2）
（3）
练习：P21练习
反思：运算顺序？ 细节问题？
检测： 一、 计算
1、a a a a a a 2422-?
??? ??+-- 2、11y x x y ????-÷- ? ??
???
3、22424422
x x x
x x x x ??--+÷ ?-++-?? 4、121a a a a a --??÷- ???，
分式混合运算2
学习目标：
4、 理清分式混合运算顺序，熟练进行分式混合运算，会化简求值
5、 合作交流中学习
6、 类比、迁移在学习中的应用 重点：运算顺序、准确运算 难点：准确进行分式混合运算
例1：先化简，再求值：
)(222y x y x y x +-+-，其中3
1
,3-==y x
练习：
1、先化简，再求值：)2)(23(++-x x x
，其中2
3-=x ．
2、先化简，再求值：22
121124x x x x ++?
?-÷ ?+-??
，其中3x =-
3、先化简：???
?
??++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，请你为a 任选一个适当的数代入求值．
4、 已知a+b=2012，求b a a b b b a a -÷
???????
???? ??--??? ??-1
22的值。
5、 已知2a+b —1=0，求代数式)(1)(2
2
b a b a a b a -÷??
?
??++-的值。
16
3
242=--+x x 1
1
411
2=---+x x x 可化为一元一次方程的分式方程1 学习目标：
1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 难点：分式方程产生增根的原因 学习过程：
一、回忆一元一次方程的解法，并且解方程
二、类比：解方程11
11=+-+x
x x ①
三、思考：分式方程的特征是什么？如何解分式方程？这些步骤是否都符合等式的性质？
归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。这也是解分式方程的一般思路和做法。 四、解方程
1
5x -=21025
x - ②
思考：为什么方程①去分母后所得整式方程的解就是原方程的解，而方程②去分母后所得整式方
程的解却不是原方程的解呢？
归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，这样，在去分母时就相当于在方程两边同时乘以0，不符合等式性质。因此应如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。
五、例：解方程（1）
11
2
1=+--x x x （2）
)3)(2(10312+-=+---x x x x x x
六、训练与检测 1、解方程 (1)
6
23-=
x x （2）
2．x 为何值时，代数式1
2
31--+-x x x 的值等于1 ？
可化为一元一次方程的分式方程2（习题课）
学习目标：
会熟练解可化为一元一次方程的分式方程。 重点：解分式方程的步骤，验根的必要性 难点：增根问题 一、 选择
1、分式方程
21
31
=-x 的解是（ ） A ．2
1
=x B ．2=x C ．31-=x D ． 31=x
2、方程12
1x x
=-的解是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3、分式方程21
1x x
=+的解是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．13
D ．1
3
-
4、解方程
x
x -=-22
482
的结果是（ ） A ．2-=x
B ．2=x
C ．4=x
D ．无解
5、分式方程
1
31
x x x x +=
--的解为（ ） A ．1 B ．–1 C ．–2 D ．–3 *6、解分式方程
13101x x x x --+=-时，如果设1
x y x
-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．2
30y y +-= B ．2
310y y -+=
C ．2
310y y -+=
D ．2
310y y --=
二、填空
1、请你给x 选择一个合适的值，使方程2
1
12-=-x x 成立，你选择的x ＝________。 2、方程
1112x x
=+的解是x = 3、已知关于x 的方程32
2=-+x m
x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________．
*4、解方程22
233
21x x x x
--=-时，若设21
x
y x =-，则方程可化为 ___________ ． 三、解分式方程 1、22111x x =--- 2、21
31
x x =--．
3、x x x -=+--23123
4、141
43=-+--x
x x
小结： 解分式方程的一般步骤如下：
*四、已知关于x 的方程
x
x m -=
--+12
1132的解是正数，求m 的负整数值。
学习目标：
1、会列分式方程解应用题，知道验根的必要性，并会验根；
2、学会分析数量关系，并依据等量关系列方程，提高分析问题、处理问题的能力；
3、合作中体验数学服务与生活的本质
重点：列分式方程解应用题
难点：找等量关系列方程
学习过程：
例1：远达中学组织学生到离学校15千米的郊区进行社会实践活动，一部分同学骑自行车前往，另一部分学生在骑车的同学出发40分钟后，乘汽车沿相同的路线前往，结果骑自行车的同学与乘汽车的同学同时到达目的地。已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和自行车的速度。
分析：先读懂题意，明确题目中的已知量、需要的未知量，
本题中涉及到三个量：路程、速度、时间
知一：_________，设二：___________，表示三：_________，存在的等量关系__________________ 完成下列表格：
路程（单位：千米）速度（单位：千米/小时）时间（单位：小时）
骑自行车
乘汽车
完成解题过程：
解、设
注：检验时要完成两件事：3、同学们在练习打字时，张三比李四每分钟多录入20个汉字，张三录入300个汉字与李四录入200个汉字所用时间相同，张三和李四每分钟个录入多少个汉字？
学习目标：
4、会列分式方程解应用题，知道验根的必要性，并会验根；
5、学会分析数量关系，并依据等量关系列方程，提高分析问题、处理问题的能力；
6、合作中体验数学服务与生活的本质
重点：列分式方程解应用题
难点：找等量关系列方程
例2：根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长300米的盲道.铺设了60米后，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果共用了8天完成任务，该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米？
例3：在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？1、某市为了治理污水，需要铺设一条全长550米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加10％，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
2、北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
*（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%
=?
利润
成本
）