函数的连续性的例题与习题
函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？
一．函数的连续
例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）
设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么
在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0
lim (0)(0)x f x f ?→+?=。
证明的思路就此产生！
证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#）
对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有
()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+）
在（+）式两边取0x ?→的极限，那么
lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? ， （&）
由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0
lim (0)(0)x f x f ?→+?=，代入（#）的结果，就有
lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==，
但从（&）知，0
lim lim ()x x y f x ?→?→?=?，所以
lim 0x y ?→?=。
根据函数连续的定义E ，()f x 在任意点x 处连续。
你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。
例（例（一））设常数0a ≠，212(1)1()lim 1
n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--，求()f x 的分段表达式，欲使()f x 连
续，试确定a 的值。
分析：首先要注意，函数()f x 不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形
式来表示一个函数。所以它要求先写出()f x 的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a 的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。 ()f x 中出现了几个幂函数 221
,,n
n
n x x x
+，根据幂函数的性质，x 的大小对幂函数的变化趋势有
根本性的影响，所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。 （1）||1x <： 221
,,n
n
n x x x
+都趋于零（当n →∞时），所以
1
()11
f x -==-。 （2）||1x >： 此时221
,,n
n
n x x x +都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应
的部分，来简化函数()f x ：
2112122(1)
11()lim
11n n n n n n n a x x x f x x a x x
x +++→∞-??++ ?
??==?
?-- ?
??。
（3）1x =： 11()a a
f x a a
--=
=
-； （4）1x =-： 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n n
n n
n n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----， 极限不存在。
故得 ,11,1()1,||1,
1
x x a x f x a
x x x >??-?=?
=??
欲使()f x 连续，即使()f x 在1x =连续，等价于11a a -=，故1
2
a =。
例 （例（一））证明连续函数的局部保号性：设()f x 在0x x =处连续，且0()0f x >，那么存在0δ>，
当0||x x δ-<时，()0f x >。
分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明：因为()f x 在0x x =处连续，所以对任给的0ε>，总存在0δ>，使得当0||x x δ-<时，恒有
0|()()|f x f x ε-<，也就是 0()()f x f x εε-<-<。（+）
若取 0()0f x ε=>，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ()0f x >； 若取01()02f x ε=
>，那么就有 01
()()2
f x f x >。 （不过，此时的0||x x δ-<中的δ要变小） 当然，你也可以取不同的0ε>，当然δ要变。如果我们只需要证实()f x 的值为正，那么取0()0f x ε=>就已经够了。
例（例（一）） 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零，证明
1
()
f x 在[,]a b 也连续。 分析：我们需要证明的是：在[,]a b 上任取点0x ，对任给的0ε>，存在一个0δ>，使当0||x x δ-<时， 有
011
()()
f x f x ε-<。 直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：
002
000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意，上面第一个不等号是因为我们在例中，已经证明了在0x 的一个邻域中有01
()()2
f x f x >！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。
证明：对任一0[,]x a b ∈，0()0f x >，0x 是()f x 的连续点。由局部保号性，存在0x 的邻域01(,)N x δ，使得01
()()2
f x f x >
。所以在这个邻域中，
002
000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<； 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知，对于任给0ε>，存在20δ>，使得当02||x x δ-<时，有
200()
|()()|2
f x f x f x ε-<。 我们取12min(,)δδδ=，那么在这个更小的邻域中，（即0||x x δ-<）有
002000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<， 则有函数的连续的定义知， 0x 是函数1()f x 的连续点；又由0x 的任意性，得1
()
f x 在区间[,]a b 也连续。
例 确定,a b 之值，使函数2
1,0()sin(),0
x e x f x ax b x -??>=??+≤?在(,)-∞+∞内连续。 解：在0x >和0x ≤两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使()f x 在整个实数域中连续，只需确定在0x =的连续性条件。
()f x 在0x =有定义，所以我们只需考虑它在0x =的极限。 0
lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --
→→=+= 2
2
2
11
1
1
1
lim ()lim lim 0lim x x x x x
x
x f x e e e +-
-
-
-
→→→→===
=；
由此得方程 sin 0b =， 容易解得： ,0,1,2,b k k π==±±L ，
而对参数a ，连续性条件对它没有任何限制，所以a 可取任何实数。
例 设,0(),0x e x f x a x x ?<=?+≥?
，,
1()1
b x g x x
连续。
解：两个函数的定义域不同，所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。显然，需要考虑3个区间：0,01,1x x x <≤<≥：
,0
()(),
01,1
x e b x f x g x a x b x a x x ?+
+=++≤
lim(()())lim()1x
x x f x g x e b b --
→→+=+=+， 0
lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++
→→+=++=+， 故有方程 1a b b +=+， （1） 又 1
1
lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --
→→+=++=++，
11
lim(()()))1x x f x g x a x +
→+
→+=+=+，
又有方程
11a b a ++=+， （2）
联立（1）（2），解得
1,a b ==。
练习题1 设()f x 满足条件：12,x x ?，有1212()()()f x x f x f x +=?，且()f x 在0x =处连续。求证()
f x 在整个实数域连续。 练习题2 设,1(),1x x f x a x
()1,0
b x g x x x ≤?=?+>?，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连
续。
二．函数的间断点
这里的基本概念是间断点的类型和分类。请自己整理整理的内容。
例 考察函数 1arctan ,0()0,
0x f x x
x ?
≠?
=??=? 的间断点，判别其类型。 解： 函数在0x =有定义，但是 (0)arctan()2
f π
+=+∞=
，(0)arctan()2
f π
-=-∞=-
，所以在0
x =的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点（第一类）。
例 考察函数11
sin ,0
()0,0x e x f x x
x ?≠?=??=? 的间断点，判别其类型。 解：函数在0x =有定义，但1
1(0)lim sin x
x f e x +
+
→=不存在，这是因为1,1,2,n x n n π
==L 时，0n x +→，1
sin
n
x 不存在； 又101(0)lim sin 0x
x f e x --
→==，这是因为1sin x
在极限过程中是有界量，1
0lim lim 0u x
u x e e -→-∞→==。 所以 0x =是函数的第二类间断点。
例 求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。
（1）2cos
2(1)x
y x x π
=-； （2）111111x x y x x
-
+=--。
解：（1） 0,1x x ==都是使函数y 没有定义的点，故是间断点。
由于 22000cos
cos
122lim lim lim (1)(1)x x x x x
x x x x π
π
→→→==-∞--，所以0x =是函数的无穷间断点（第二类）。
又 22111cos
sin
(1)
(1)
222lim lim lim (1)(1)(1)2
x x x x x x x x x x x π
π
π
π→→→--=-=-=----，
是个确定的值，极限存在，所以1x =是可移去间断点，加以补充定义：
2
cos 2,1(1),
12
x x x x y x ππ
?
?≠?-=??-=??
后函数在1x =连续。
但是要注意的是，0x =仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在0x =仍然间断。 （2）显然，1,0,1x =-+是使函数没有定义的点，所以是间断点。
111111
(1)(1)
1lim ()lim lim lim 11(1)(1)
1x x x x x x x x x f x x x x x x
→-→-→-→--
--+====∞++--， 故 1x =-是无穷间断点（第二类）。
000011
(1)(1)
1lim ()lim lim lim 111(1)(1)
1x x x x x x x x x f x x x x x x
→→→→-
--+====-++--， 故 0x = 是可去间断点（第一类），补充定义 (0)1f =-后，函数在0x =连续。
1
1
1(1)(1)
lim ()lim
lim 0(1)(1)
x x x x x x f x x x x →→→--===++， 可见 1x = 也是可去间断点（第一类），补充定义 (1)0f =后，函数在1x =连续。
例 讨论下列函数的间断点：
（1） 1111x
y e
-=
+； （2）23,0sin 3,0x x y x x x
?+
=?>?
?。
解：（1）1x = 使函数无定义（对
1
1x
-无定义，故函数本身也无定义），故为间断点。 1
1
11lim 01x x
e
-
→-=+， （因为 111
lim x
x e -
-→=∞）
11
11lim 11x x
e
+
→-=+， （因为1
11
lim 0x
x e e +
-∞-→=→）
左，右极限存在，却不相等，故1x =是跳跃型间断点（第一类）。
（2）0x =处没有定义，故为间断点。
2
lim lim(3)3x x y x --
→→=+=， 0
0sin 3sin 3lim lim lim 333x x x x x
y x x
++
+
→→→==?=， 可见，0x =处函数的左，右极限都存在，且相等，故0x =是可去间断点（第一类）。
例 根据,αβ的不同数值，讨论()f x 在0x =处的连续性，若间断，判别属于何种间断点：
1sin ,0
(),0
x x x f x x
e x α
β?>?=??+≤?。 解： 0
0,
01lim ()lim sin 0x x f x x x α
αα++
→→>?==?
≤?
不存在，， （请你讲出理由） 0
lim ()lim()1x
x x f x e ββ--
→→=+=+， 且 (0)1f β=+
所以，当0α>，且 1β=-时，()f x 在0x =的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在0x =连续；
当0α>，且1β≠-时，()f x 在0x =间断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃间断点； 当0α≤时，()f x 在0x =左连续，右间断，故0x =属于第二类间断点。
例 （1998年考研题数二）求函数 tan()
4
()(1)
x
x f x x π
-=+在区间(0,2)π内的间断点，并判别其类型。
解： 当3,
4
22x π
ππ
-
=
时，使tan()4
x π
-
成为无穷大，没有定义，故37,44
x ππ
=
是()f x 的间断点； 因为 34
lim
0tan()
4x x x ππ
→
=-， 故 34
lim ()1x f x π→
=；
74
lim
0tan()
4
x x x ππ
→
=-， 故 34
lim ()1x f x π→
=，
所以，在间断点37,44
x ππ
=，函数()f x 的极限存在，是第一类间断点。 又因当0,4x π
π-
=时，tan()04x π
-=，使得
tan()4
x x π-没有定义，从而函数()f x 在这些点没有定义，因此5,44
x ππ
=也是函数()f x 的间断点。
4
lim
tan()
4
x x x π
π
→
=∞-， 故 4
lim ()x f x π
→
=∞；
54
lim
tan()
4
x x x ππ
→
=∞-， 故 54
lim ()x f x π→
=∞
所以，间断点5,44
x ππ
=属于第二类间断点。
例 （2001年考研题数二）求极限 sin sin sin lim sin x t x
t x t x -→??
???
，记此极限为()f x ，求出()f x 的间断点，并指出
其间断点的类型。
分析：本题不是单纯讨论间断问题，首先要计算一个极限，得出函数()f x 。
解： sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim lim 11lim 1sin sin sin x x x
t x
t x
t x
t x t x
t x t t t x x x x ---→→→-??
????=+-=+
? ? ???
??
?
?
至此，可以看出这是一个1∞型的极限。这是我们已经很熟悉的问题了，做下去——
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim 1lim 1sin sin x
x x
t x
t x x
t x t x t x t x x x ?
--→→--????+=+ ? ??
??
?sin ()x x
e
f x ==。
所以下面我们讨论函数 sin ()x x
f x e
=的间断点。
显然，使sin 0x =的点x 是使得()f x 没有定义的点，即,0,1,2,x k k π==±±L 是()f x 的间断点。
因为 0
0lim ()lim
1sin x x x
f x x
→→==，
lim ()lim
,1,2,sin x k x k x
f x k x
π
π→→==∞=±±L ，
所以，0x =是第一类间断点，而,1,2,x k k π==±±L 是第二类间断点。
练习题3 设2tan ,01,0arcsin 2
x x ae x e y x x ?≤??
-=?>??? 在0x =处连续，求参数a 之值。
练习题4 设()bx x
f x a e
=
+在(,)-∞+∞上连续，且 lim ()0x f x →-∞=，则常数应满足（ ）： A ．0,0a b <<； B. 0,0a b >>; C. 0,0a b ≤>; D. 0,0a b ≥<.
练习题5 （1995年考研题数二） 设()f x 和()g x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠， ()g x 有间断点，则（ ）
： A ． (())g f x 必定有间断点； B. 2
[()]g x 必定有间断点； B ． (())f g x 必定有间断点； D.
()
()
g x f x 必定有间断点。 （请你举出例子来验证你的结论）
练习题6 （1998年考研题数四）设函数21()lim
1n
n x
f x x →∞+=+，讨论()f x 的间断点，结论为（ ）
A ．不存在间断点； B. 存在间断点1x =； C. 存在间断点0x =； D. 存在间断点1x =-
函数的可导性与连续性的关系教案 教学目的 1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件． 2．使学生了解左导数和右导数的概念． 教学重点和难点 掌握函数的可导性与连续性的关系． 教学过程 一、复习提问 1．导数的定义是什么？ 处连续的定义是什么？ 2．函数在点x 处连续必须具备以在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x
∴f(x)在点x 处连续． 综合(1)(2)原命题得证． 在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系． 二、新课 1．如果函数f(x)在点x 0处可导，那么f(x)在点x 处连续．
处连续． ∴f(x)在点x 提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x 处一定可导吗？为什么？若 不可导，举例说明． 处连续，那么f(x)在该点不一定可导． 如果函数f(x)在点x 例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线． 证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|， 处是连续的． ∴函数y=|x|在点x
2．左导数与右导数的概念． (2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)． (3)函数在一个闭区间上可导的定义． 如果函数y=f(x)在开区间(a，b)可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导． 三、小结 1．函数f(x)在x 0处有定义是f(x)在x 处连续的必要而不充分条件． 2．函数f(x)在x 0处连续是f(x)在x 处有极限的充分而不必要条件． 3．函数f(x)在x 0处连续是f(x)在x 处可导的必要而不充分的条件． 四、布置作业
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝ ＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是． 而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范 围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ， 若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜ ＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一 集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} 2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( ) 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数的连续性·教案示例 目的要求 了解函数在一点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义区间内每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值． 内容分析 1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，而连续概念是建立在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念 时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0 在且两者相等为定义方式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，又是顺理成章的． 2．人们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅入深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进行了研究，本课再用学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进一步，更完善． 3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思： (1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义； (2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 0 00→→存在；＝ 可结合图形说明，只要缺其中的任意一个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解． 4．函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连 续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、 →→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x a x b +- 层层推进的定义方式能很好地培养学生严谨的逻辑思维． 5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在其定义区间里每一点都是连续的． 6．从几何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质． 7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当自变量x 无限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就无限地接近函数值f(x 0)．也可用“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设自变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数. 多元函数的连续性 二元函数的连续性 定义1()(,)D f P f x y =设二元函数的定义域为， 00000,)D ,)D P x y P x y ∈（是的聚点，且（ ，如果0000,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（00(,)(,)f x y P x y 则称函数在点处连续。 (,)D (,)D (,)D (,)C() f x y f x y f x y f x y D ∈如果在的每一点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数，记作 例1讨论函数222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?≠?=+??=? 在(0,0)处的连续性． 解2 22x y x y +x 2 1≤,00??→?→x 222 00 lim 0(0,0)x y x y f x y →→∴==+故函数在(0,0)处连续. 例2讨论函数 ?? ?? ?=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)的连续性． 解取kx y =2222 0lim x k x kx kx y x +==→21k k +=其值随k 的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续． 闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 有界闭区域D上的多元连续函数一定有最大值和最小值． （2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 函数的连续性教学设计 ———凌亚丽内容分析： 函数的连续性是在学生学习了函数概念、函数极限的概念以及极限计算的基础上，对函数的性质进一步进行的讨论。高等数学研究的主要对象是初等函数，而连续性是初等函数的重要性质。因此，这一节内容是高等数学课程的基础性知识，十分重要。 学情分析： 《高等数学》是我院所有专业学生必学的一门公共基础课，也是学生学习专业知识的基础，是学生专升本必学必考的一门课程。但据多数学生反映及本人教学发现，高等数学确实是一门比较难的课程，对于我们学校的学生而言学习更为困难。之所以更难，有两个主要原因。其一，高等数学这门课程难，它是初等数学以外的一门数学，它有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。其二，高职学生的知识基础差，学习兴趣低．教学中发现学生对这门课程表现出不知所措，无奈，无所谓的态度，这是一种令人担忧的现象，尤其是在讲函数的连续性这块，问题更是很多：无趣，无用，无耐等．教学目标: 1. 理解函数连续的概念，会利用定义判断函数在某一点的连续性; 2. 了解闭区间上连续函数的性质； 3．培养学生利用函数连续与间断的思想思考、分析、判断工程问题中变量变化规律的能力。 能力训练: 任务一会讨论函数在某一点的连续性; 任务二会用初等函数的连续性求极限。 教学重点:函数连续的概念，初等函数的连续性。 教学难点:函数连续的定义。 教学过程设计： 教学反思： 通过多用日常生活、经济问题、工程问题的例子，引起学生的学习兴趣，提高学生的学习动力，最后再用所学的数学知识解决实际问题，体现数学的实用性。 教学过程中，也采用的图象的形式，给予了学生直观的感觉，有利于学生理解概念，消化知识。 当然，还有不足，还需不断学习，不断提高自己。 函数的单调性及典型习题 一、函数的单调性 1、定义： （1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1 时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2） 注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念： 1、定义的另一种表示方法 如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x 1 ) f (x2 )0 即 x1x2 y ，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。 x1x2 x x 判断题： ①已知 f (x)1 1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数． 因为 f ( x ②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数． ③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数． ④ 因为函数 1 在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x) 1 f ( x)在 x x ( ,0)(0, ) 上是减函数. 通过判断题，强调几点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域 ( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个 区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ． ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 A B 上 是增（或减）函数． 熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性． 1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 1 2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数 y ＝ f ( x) 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等 3．判断函数单调性的方法 （ 1）定义法． （ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单 调性均可直接说出． （ 3）图象法． 例 1、证明函数 f ( x) 1 ）是减函数． 在（ 0， + x 练习 1：证明函数 f ( x) x 在 0, 上是增函数． 1 1 x 例 2、设函数 f （x ）＝ x 2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明． 例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝ |x 2 ＋ 2x － 3| x 2 2x (2)y ＝ 1| 1 |x (3)y ＝ x 2 2x 3 课题：2.5函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件． 教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义， 最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理. 在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习. 教学过程： 一、复习引入： 1.000 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0 lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课： 1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x =x 0处连续，就是说图象在点x =x 0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x =x 0处的连续情况，以及极限情况. 分析图，第一，看函数在x 0是否连续.第二，在x 0是否有极限，若有与f (x 0)的值关系如何： 图(1)，函数在x 0连续，在x 0处有极限，并且极限就等于f (x 0). (2)第一章函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。 重点2 .证明方法和步骤： (1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ； (2) 作差: f(xj f(X2)； (3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口 定 号： 即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ； (5) 根据定义下结论。 3?常见函数的单调性 ⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k 5.函数的单调性的应用： 判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析 T 2 例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。 例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。 例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。 例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性. 3 例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性. 函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 智立方教育高一函数知识点及典型例题 一、函数的概念与表示 1、映射 （1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B. 注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射2、函数 构成函数概念的三要素①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例1、例2、}3 0| { }, 2 0| {≤ ≤ = ≤ ≤ =y y N x x M给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 由题意知：M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}， 对于图①中，在集合M中区间（1，2]的元素没有象，比如f（ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意； 对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确； 对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确； 对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x=1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例1、y = 函数的定义域为 根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1，解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4函数的单调性·典型例题精析
第一章-集合与函数概念教案典型例题
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
函数的连续性 教案示例
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
12-6.多元函数的连续性PPT
(word完整版)高中函数典型例题.doc
(完整版)函数单调性奇偶性经典例题
函数连续性教学设计
(完整word版)函数的单调性典型例题.docx
高中数学教案——函数的连续性
必修一函数的单调性专题讲解(经典)
函数的连续性的例题与习题集
高中函数部分知识点及典型例题分析
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